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X SBAI – Simpósio Brasileiro de Automação Inteligente18 a 21 de setembro de 2011São João del-Rei - MG - Brasil
ISSN: 2175-8905 - Vol. X 147
CONTROLE COM MODOS DESLIZANTES ROBUSTO A FALHAS NA PROPULSAODE HELICOPTERO
Fernando B. Rodrigues∗, Jefferson Leone e Silva∗, Andre Luiz A. de Paula∗, Jose Paulo
F. Garcia†
∗Universidade Estadual Paulista-UNESP/FEISLaboratorio de Pesquisa em Controle
Ilha Solteira, SP, Brasil
†Universidade Estadual Paulista-UNESP/FEISDepartamento de Eng. Eletrica
Ilha Solteira, SP, Brasil
Emails: [email protected], [email protected],
[email protected], [email protected]
Abstract— This paper presents experimental results of a helicopter simulator. The system is subjected to
a fault in the power signal of the motor’s propulsion. It was considered access to the system output and the
other states of the system were obtained through derivative filters. Design of a Controller with Sliding Modes is
accomplished to control the system even in the presence of faults.
Keywords— Sliding Mode Control, Helicopter Simulator, Faults.
Resumo— Neste trabalho sao apresentados resultados experimentais obtidos de um sistema de simulacao de
voo de helicoptero. O sistema esta sujeito a uma falha no sinal de alimentacao dos motores propulsores. Foi
considerado acesso a saıda do sistema e os outros estados do sistema foram obtidos atraves de filtros derivativos.
O projeto de um Controlador com Modos Deslizantes e realizado para controlar o sistema mesmo na presenca
da falha.
Palavras-chave— Controle com Modos Deslizantes, Simulador de Helicoptero, Falhas.
1 Introducao
Controle com Estrutura Variavel e Modos Desli-zantes (CEV-MD) e uma tecnica de controle ro-busta a incertezas parametricas, disturbios ex-ternos e a uma classe de incertezas ditas casa-das (Drazenovic, 1969). Simulacoes em diferen-tes plantas ja comprovaram a robustez e a eficaciadesta tecnica (Garcia et al., 2009a; Spurgeon andDavies, 1993).
Resultados obtidos em aplicacoes experimen-tais sao cada vez mais importantes para se com-provar resultados teoricos e obtidos atraves desimulacoes computacionais (Garcia et al., 2005).Neste trabalho foi utilizado um sistema de simula-cao de voo de helicoptero 3-DOF (Quanser, 2007)para testes experimentais relacionados a ocorren-cia de falhas na propulsao da aeronave. Este sis-tema e propıcio para o desenvolvimento de pesqui-sas na area de controle, pois e um sistema de difıcilestabilizacao, o que torna ainda maior o desafio deaplicacao da teoria e testes de novas tecnicas decontrole.
O projeto de controle e realizado utilizando ometodo CEV-MD, que e robusto a deste tipo falhana aeronave, ja que e uma incerteza casada. A im-plementacao do CEV-MD, com este tipo de falha,visa comprovar experimentalmente resultados ob-tidos em simulacoes (Garcia et al., 2009a; Garciaet al., 2009b).
2 Sistema de Simulacao de Voo deHelicoptero
O sistema de simulacao de voo de Helicoptero 3-DOF esta representado na Figura 1. Dois motoresDC sao dispostos nas extremidades de um quadroretangular e acoplados a duas helices. Todo o sis-tema esta detalhadamente descrito no manual dofabricante (Quanser, 2007).
Contra-peso
Ângulo deGiro Horizontal
Ângulo deElevação
ε >0
λ >0
MotorDianteiro
ρ >0
Ângulo deInclinação
MotorTraseiro
Corpo doHelicóptero
Eixo Fixo
Figura 1: Planta simplificada do sistema helicoptero
3-DOF da QuanserR©.
Para uma melhor representacao do sistemareal, foi utilizado um modelo matematico naolinear, representado por equacoes diferenciais(Maia, 2008),
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ISSN: 2175-8905 - Vol. X 148
x1 = x4, (1)
x2 = x5, (2)
x3 = x6, (3)
x4 = x26.{ξ3.sen(2x1) + ξ4. cos(2x1)}+
+ ξ5.sen(x1) + ξ6. cos(x1) + {ξ7(u21+
+ u22) + ξ8(u1 + u2)}. cos(x3),
(4)
x5 = ξ16.{ξ1(u21−u2
2)+ξ2.(u1−u2)−υ2.x5}, (5)
x6 = {ξ13 + ξ14.sen(2x1) + ξ15. cos(2x1)}−1.
.{υ1 − υ3.x6 + [ξ9(u21 + u2
2) + ξ10(u1+
+ u2)].sen(x2) + x4.x6.[ξ11.sen(2x1)+
+ ξ12. cos(2x1)]},
(6)
x7 = x1, (7)
x8 = x3, (8)
sendo que x1, x2 e x3 representam respectiva-mente os angulos de elevacao (ε), de inclinacao(p) e giro horizontal (λ); x4 , x5 e x6 representamas suas derivadas (em rad/s).
Os valores dos parametros do modelo do heli-coptero sao mostrados na Tabela 1.
Tabela 1: Parametros do Sistema Helicoptero 3-DOF.
Parametro Valorξ1 0, 1117 N/V 2
ξ2 0, 0449 N/Vξ3 −0, 4843ξ4 0, 1153ξ5 −1, 0389 N/(m.Kg)ξ6 −1, 3170 N/(m.Kg)ξ7 0, 0656 N/(m.Kg.V 2)ξ8 0, 0264 N/(m.Kg.V )ξ9 −0, 0718 N.m/V 2
ξ10 −0, 0289 N.m/Vξ11 1, 0567 Kg.m2
ξ12 −0, 2515 Kg.m2
ξ13 0, 5454 Kg.m2
ξ14 0, 1258 Kg.m2
ξ15 0, 5283 Kg.m2
ξ16 4, 1832 (m.Kg)−1
υ1 0, 107 N.mυ2 0, 18 N.sυ3 0, 47 N.m.s
A representacao linearizada no espaco de es-tados e dada na forma
x(t) = Ax(t) + Bu(t),y(t) = Cx(t),
(9)
sendo que, u(t) ∈ ℜm e o sinal de controle, x(t) eum vetor de n estados, y(t) e um vetor de p saıdas,A ∈ ℜn×n , B ∈ ℜn×m e C ∈ ℜp×n sao matrizesconstantes.
O vetor de estado para o Helicoptero 3-DOFe definido por
xT =
[
ε, p, λ,∂
∂tε,
∂
∂tp,
∂
∂tλ,
∫
εdt,
∫
λdt
]
,
(10)e o vetor de saıda e
yT =
[
ε, p, λ,
∫
εdt,
∫
λdt
]
. (11)
As correspondentes matrizes no espaco de es-tados do modelo linearizado em torno do pontode operacao [ε◦, p◦, λ◦] = [27, 5◦, 0◦, 0◦] sao da-das na Equacao (12) e Equacao (13). Osvalores numericos foram obtidos a partir daTabela 1 e do comando linmod do softwareMATLAB/SIMULINK R©, considerando o angulode elevacao em 27, 5◦, que e o angulo quandoa haste que sustenta o corpo do helicoptero e ocontra-peso esta na posicao horizontal (MATLABuser’s guide, 2005).
AT =
0 0 0 −1, 0389 0 −0, 0234 1 0
0 0 0 0 0 −13, 9126 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 −0, 7330 0 0 0
0 0 1 0 0 −0, 4377 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
,
(12)
B=
0 0
0 0
0 0
1, 3384 1, 3384
9, 5331 −9, 5331
0 0
0 0
0 0
. (13)
3 Controlador com Estrutura Variavel eModos Deslizantes (CEV-MD)
Nesta secao, o projeto de um Controlador comEstrutura Variavel e Modos Deslizantes (CEV-MD) contınuo no tempo e revisado (DeCarloet al., 1988).
CEV-MD e um controle de realimentacao cha-veado de alta velocidade, tal que esse chavea-mento e utilizado para conduzir e manter, por
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todo tempo subsequente, a trajetoria dos estadosde uma planta sobre uma superfıcie especificadae escolhida no espaco de estados ou por sobre ainterseccao de todas as superfıcies. Essa superfı-cie escolhida e chamada de Superfıcie de Desliza-mento (SD) ou superfıcie de chaveamento.
O Modo Deslizante (MD) ocorre quando a tra-jetoria dos estados da planta atinge a SD e nelapermanece por todo tempo subsequente fazendoassim, com que o sistema sofra menor influenciade disturbios externos, alteracoes parametricas eincertezas no canal de controle, chamadas de in-certezas casadas (Drazenovic, 1969). A lei de con-trole CEV-MD fornece entao um meio robusto eeficaz de controlar plantas lineares e nao lineares.
Considerando o sistema linear contınuo notempo, Equacao (9), a superfıcie de deslizamentoe dada por S(t) = {x(t)|Gx(t) = 0}, sendo G∈ ℜn×m uma matriz constante, que e projetadatal que o sistema no deslizamento seja estavel.
3.1 Projeto da Superfıcie de Deslizamento
Suponha que a dinamica da planta, em (9), tem aseguinte forma regular,
x1(t) = A11x1(t) + A12x2(t),x2(t) = A21x1(t) + A22x2(t) + bu(t),
(14)
onde x1 ∈ ℜ(n−m)×1, x2 ∈ ℜm×1 e b ∈ ℜm×m. Asdemais matrizes tem as dimensoes apropriadas ea superfıcie de deslizamento e dada por
S(t) = [G1G2]
[
x1(t)x2(t)
]
= 0, (15)
sendo que G1 ∈ ℜm × (n−m) e G2 ∈ ℜm×m e naonula. De (15) para a condicao de deslizamento,tem-se
x2(t) = −G−12 G1x1(t). (16)
A dinamica de ordem reduzida para o sistemaem modo deslizante e
x1(t) =[
A11 − A12G−12 G1
]
x1(t), (17)
que tem a estrutura de realimentacao A11 +A12Fcom F = −G−1
2 G1. Se o par (A11, A12) e contro-lavel, entao e possıvel usar a tecnica classica deprojeto de controle com realimentacao para calcu-lar um F tal que A11 +A12F tenha caracterısticasdesejadas durante o modo deslizante.
3.2 Projeto da Lei de Controle
Depois de projetar a superfıcie de deslizamento, oproximo passo e garantir a existencia de um mododeslizante. Um modo deslizante existe se na vizi-nhanca da superfıcie de deslizamento, em (15), atangente ou o vetor velocidade das trajetorias dosestados sempre apontam em direcao a superfıciedeslizante (DeCarlo et al., 1988).
O problema de existencia se assemelha a umproblema de estabilidade generalizado e, conse-quentemente, o segundo metodo de Lyapunovpode ser usado para analise. Assim, a estabili-dade para a superfıcie de deslizamento requer aselecao de uma funcao de Lyapunov V (t) que epositiva definida e tem uma derivada negativa notempo, na regiao de atracao. Quando uma fun-cao de Lyapunov existe, e dito que as condicoesde alcancabilidade e atratividade sao satisfeitas.
Uma estrutura usada para o controle e
u (t) = ueq (t) + u±n (t) , (18)
sendo que ueq (t) e o controle equivalente (que econtınuo no tempo) e u±
n (t) e a parte do controleque mantem os estados no deslizamento, a qualpodera ser com estrutura variavel (chaveada) ounao. Para o sistema em modo deslizante, a lei decontrole equivalente deve satisfazer a condicao
S (t) = Gx (t) = GAx (t) + GBueq (t) = 0. (19)
De (19) segue que
ueq (t) = Feqx (t) ; Feq = −(GB)−1
GA, (20)
no qual GB e assumido nao-singular.Agora, a lei de controle u±
n (t), que leva o es-tado para o modo deslizante, e projetada. Supo-nha que
S (t) = Gx (t) , S ∈ ℜm×1 e G ∈ ℜm×n, (21)
e a candidata a funcao de Lyapunov e
V (t) =1
2S(t)
TS (t) . (22)
A derivada no tempo de V (t) pode ser escrita
como V (t) = S(t)TS (t). Assim, a condicao de
existencia para o modo deslizante e satisfeita se
V (t) = S(t)TS (t) < 0. (23)
Para o sistema da equacao (9), com o contro-lador da equacao (18), tem-se que
S (t) = G[
Ax (t) + B(
ueq (t) + u±n (t)
)]
. (24)
Substituindo (20) em (24) vem que
S (t) = GAx (t)−GB(GB)−1
GAx (t)+GBu±n (t) ,(25)
logoS (t) = GBu±
n (t) . (26)
Controladores com Estrutura Variavel exigemum mecanismo de chaveamento infinitamente ra-pido (no caso ideal) o que nao e possıvel no casoreal. Devido ao chaveamento finito, a trajetoriado sistema sobre a superfıcie de deslizamento os-cila, produzindo um fenomeno denominado tre-pidacao (chattering) (DeCarlo et al., 1988). As
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componentes de alta frequencia da trepidacao saoindesejaveis, pois podem excitar dinamicas de altafrequencia nao modeladas da planta, resultandoem instabilidades nao previsıveis.
Uma escolha suave para a parcela da lei decontrole u±
n (t), tal que, nao exista chaveamentoe utilizando apenas o modo deslizante, pode serdada por
u±n (t) = ρ(GB)
−1S (t) , ρ < 0. (27)
Desta forma, a condicao de existencia e
S(t)T S(t) = ρ ‖S(t)‖ < 0, se S(t) 6= 0, (28)
entao, V e negativa para x 6= 0 e o vetor de estadodo sistema e transferido para a superfıcie desli-zante S (t) = 0. Assim, segue que a lei de controle,Equacao (18), e dada por
u (t) = −[
(GB)−1
GAx (t) − ρ(GB)−1
S (t)]
.
(29)
3.3 Aplicacao de CEV-MD no Helicoptero
Considerando o modelo linearizado dado nasEquacoes (12) e (13), o projeto do controlador,Equacao (29), com a dinamica no deslizamento(17), e realizado. Assim, obtem-se a matriz de ga-nho da superfıcie de deslizamento G e o ganho docontrole equivalente Feq.
GT =
2, 5031 2, 50290, 4181 −0, 4172−0, 0454 0, 04480, 3736 0, 37360, 0524 −0, 0524−0, 0486 0, 04811, 5687 1, 5694−0, 0115 0, 0113
, (30)
Feq =
1, 3214 1, 3227−0, 2577 0, 2523−0, 0339 0, 0335−2, 1295 −2, 1293−0, 3261 0, 3252−0, 0245 0, 02441, 5687 1, 5694−0, 0115 0, 0113
. (31)
Uma das caracterısticas mais importantes doCEV-MD e que quando o sistema entra em mododeslizante, o mesmo permanece insensıvel as per-turbacoes que ocorrem nos canais de entrada, asquais sao chamadas de perturbacoes “casadas”(Drazenovic, 1969). Este fato sera explorado naaplicacao experimental, atraves de uma falha nossinais de tensao que geram os torques dos motoresdo sistema simulacao de voo do helicoptero.
4 Resultados Experimentais
O experimento, utilizando o helicoptero 3-DOF,foi realizado como mostrado na Figura 2, onde foiutilizado um microcomputador digital para emu-lar o controlador CEV-MD contınuo. O perıodode amostragem utilizado foi o menor valor dispo-nıvel no equipamento, o de um milisegundo (1ms),o qual garante uma boa aproximacao do sinal con-tınuo.
y(t)
PLANTA
A/DD/A
u(t)
AMPLIFICADORESDE POTÊNCIA
y(k)u(k)MICROCOMPUTADOR
COMMATLAB/SIMULINK
REAL-TIME
Figura 2: Esquema de controle do helicoptero 3-DOF.
Como apenas os estados [ε, p, λ] sao medidos,as suas respectivas derivadas sao obtidas atravesde filtros derivativos, como na Equacao (32).
50s
s + 50. (32)
O objetivo e o controle do angulo de eleva-cao do helicoptero mesmo diante de uma falha nospropulsores, pois este angulo e o que sofre maiorinfluencia a esse tipo de perturbacao. A falha in-serida foi um erro no sinal de controle u(k) quesai do microcomputador e entra no conversor di-gital/analogico (D/A), fazendo com que o helicop-tero sofra perda de potencia nos motores.
O experimento foi dividido em dois casos: (i)a falha no sinal de controle ira gerar uma perda depotencia de 50% somente no motor dianteiro; (ii)a falha no sinal de controle ira gerar uma perdade potencia de 50% nos dois motores (dianteiro etraseiro).
4.1 Resultados Obtidos com Perda de Potenciano Motor Dianteiro
O experimento consiste em controlar o voo do he-licoptero durante 140 segundos e a falha de perdade 50% da potencia no sinal de controle no mo-tor dianteiro ocorre a partir dos 50 segundos desimulacao.
Na Figura 3 (a) pode ser vista a variacao detensao entre os motores dianteiro e traseiro envi-ada para as fontes amplificadoras, e a Figura 3(b) mostra as tensoes dos dois motores medidasna saıda do controlador, onde pode-se notar que
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somente a tensao do motor dianteiro aumenta, demodo a compensar a perda da potencia.
0 20 40 60 80 100 120 140-10
0
10
20
30
Tempo (segundos)
Tensã
o (
Volts
)
Sinais de Controle
DianteiroTraseiro
0 20 40 60 80 100 120 140-10
0
10
20
Tempo (segundos)
Tensã
o (
Volts
)
Sinais de Controle
DianteiroTraseiro
(a)
(b)
Figura 3: Tensoes nos motores com perda de poten-
cia no motor dianteiro: (a)Tensoes enviadas as fontes
amplificadoras e (b) Tensoes na saıda do controlador.
O comportamento do angulo de elevacao dohelicoptero e o sinal de referencia sao apresenta-dos na Figura 4, onde o angulo de elevacao comecaa oscilar de forma suave em torno do sinal de refe-rencia no inıcio da ocorrencia da falha, e retorna areferencia, com erro desprezıvel, apos 17 segundosaproximadamente.
0 20 40 60 80 100 120 1400
5
10
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20
25
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Tempo (segundos)
Ele
vaçã
o (
gra
us)
Sinal de ReferênciaÂngulo de Elevação
Figura 4: Angulo de elevacao e sinal de referencia
com perda de potencia no motor dianteiro.
4.2 Resultados Obtidos com Perda de Potenciaem Ambos os Motores
Os resultados experimentais obtidos quando a fa-lha no sinal de controle gera perda de potenciade 50% em ambos os motores do helicoptero seraoapresentados.
O experimento foi realizado com um tempo devoo do helicoptero de 140 segundos. A perda depotencia no motor dianteiro ocorre a partir dos 50segundos de simulacao, enquanto que a perda depotencia no motor traseiro ocorre a partir dos 53segundos de simulacao, ficando assim, a falha nosdois motores ate o final do experimento.
Na Figura 5 (a) sao apresentados os sinais decontrole do Helicoptero enviados as fontes ampli-ficadoras dos motores. A Figura 3 (b) mostra as
tensoes dos dois motores medidas na saıda do con-trolador. Desta vez as tensoes sobem ao mesmopatamar para manter o sistema estavel diante daperda da potencia.
0 20 40 60 80 100 120 1400
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Tempo (segundos)
Ten
são
(V
olts
)
Sinais de Controle
DianteiroTraseiro
0 20 40 60 80 100 120 140
0
20
40
Tempo (segundos)
Ten
são
(V
olts
)
Sinais de Controle
DianteiroTraseiro
(a)
(b)
Figura 5: Tensoes nos motores com perda de potencia
em ambos os motores: (a)Tensoes enviadas as fontes
amplificadoras e (b) Tensoes na saıda do controlador.
A Figura 6 mostra o angulo de elevacao e osinal de referencia. Assim como no caso anterior,o angulo de elevacao sofre uma leve oscilacao emtorno do sinal de referencia nos primeiros segundosapos a ocorrencia das falhas, retornando rapida-mente a referencia.
0 20 40 60 80 100 120 1400
5
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15
20
25
30
Tempo (segundos)
Ele
vaçã
o (
gra
us)
Sinal de ReferênciaÂngulo de Elevação
Figura 6: Angulo de elevacao e sinal de referencia
com perda de potencia em ambos os motores.
Os valores das tensoes apresentados nas Figu-ras 3 (b) e 5 (b) foram medidos no SIMULINKem um ponto antes da ocorrencia da perda depotencia, com o intuito de mostrar a atuacao docontrolador na presenca da falha, aumentando ovalor das tensoes. Com isso, quando os valoresdas tensoes sofrem as elevacoes para compensar aperda de potencia, os valores reais enviados paraos amplificadores dos motores sao reduzidos em50%, ficando assim dentro dos valores nominaisdos motores e nao ultapassando o valor maximode 24 volts.
5 Conclusoes
Neste trabalho explorou-se a caracterıstica doControlador com Estrutura Variavel e Modos Des-lizantes (CEV-MD) de tornar o sistema imune a
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determinados tipos de incertezas e/ou perturba-coes, ditas “casadas”. Foi utilizado um simuladorde voo, o Helicoptero 3-DOF da Quanser R©, pararealizar os experimentos. A falha considerada foiuma perda de potencia na alimentacao dos propul-sores da aeronave. Nos experimentos realizadospode-se comprovar o bom desempenho do sistemacontrolado por CEV-MD, mesmo diante da exis-tencia deste tipo de falha no sinal de controle.
Agradecimentos
Este trabalho contou com o apoio da Fundacaode Amparo a Pesquisa do Estado de Sao Paulo(FAPESP); projetos n. 06/58850-6 e n. 07/53010-2, e com a Coordenacao de Aperfeicoamento dePessoal de Nıvel Superior (CAPES).
Referencias
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