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Controle de Sistemas I
Renato Dourado Maia
Faculdade de Ciência e Tecnologia de Montes Claros
Fundação Educacional Montes Claros
Sinais e Sistemas - Fundamentos
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia2
Classificação de SinaisSinal de Tempo Contínuo:
É definido para todo tempo t, sendo t uma variável independente contínua – conjunto dos números reais.
Notação: parêntesis – x(t).
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia3
Sinais e Sistemas - IntroduçãoExemplo de Sinal de Tempo Contínuo
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg1.m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6Sinal de Tempo Contínuo
t
x(t)
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia4
Classificação de SinaisSinal de Tempo Discreto:
É definido somente em instantes isolados de tempo, sendo escrito normalmente como função de n, uma variável independente discreta – conjunto dos números inteiros.
Notação: colchetes – x[n].
A amostragem de um sinal de tempo contínuo gera um sinal de tempo discreto:
[ ] ( ) 0, 1, 2, 3, ... é o período de amostragem
Tx nT
n x n= = ± ± ±
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia5
Sinais e Sistemas - IntroduçãoExemplo de Sinal de Tempo Discreto
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg1.m
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110
1
2
3
4
5
6Sinal de Tempo Discreto
n
x[n]
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia6
Classificação de SinaisSinal Par:
Um sinal é par se, e somente se: ( ) ( ) x t x t t−= ∀
Sinal Ímpar:
Um sinal é ímpar se, e somente se: ( ) ( ) x t x t t− −= ∀
O CASO DISCRETO É ANÁLOGO!!!
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia7
Sinais e Sistemas - IntroduçãoExemplo de Sinal Ímpar - Seno
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO DAS ORDENADAS - Y
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg2.m
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x(t)
Sinal Ímpar - Seno
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t-x
(-t)
Sinal Ímpar - Seno
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia8
Sinais e Sistemas - IntroduçãoExemplo de Sinal Par - Cosseno
SIMETRIA EM RELAÇÃO AO EIXO DAS ORDENADAS – Y, E DAS ABCISSAS - X
M_3_SinaisFundamentosProg2.m
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x(t)
Sinal Par - Cosseno
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
tx(
-t)
Sinal Par - Cosseno
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia9
Classificação de SinaisTodo sinal pode ser decomposto em uma soma de parte par e parte ímpar:
Parte par:
Parte ímpar:
1 [ ( ) ( )]2x t x t+ −
O CASO DISCRETO É ANÁLOGO!!!
1 [ ( ) ( )]2x t x t− −
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia10
Classificação de SinaisExemplo: decompor o sinal abaixo em suas partes par e ímpar:
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia11
Classificação de SinaisExemplo - Solução
1 [ ( ) ( )]2
Parte Par x t x t+ −=1 [ ( ) ( )]2
Parte Ímpar x t x t−= −
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia12
Classificação de SinaisSinal Periódico:
Um sinal é periódico se existe uma constante positiva T ou N, tal que:
[ ] [ ], x n x n N n= + ∀( ) ( ), x t x t T t= + ∀
O MENOR VALOR PARA T OU N QUE SATISFAÇA ÀS EQUAÇÕES É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL – T0 OU N0 .
0
0
0
1 ( )
2 ( )
2 [ ]
f é a freqüência fundamental de x t em hertz
é a freqüência fundamental de x t em radianos por segundo
é a freqüência fundamental d
T
e x n em radiano
T
Ns
πω
π
=
=
Ω =
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia13
Sinais e Sistemas - IntroduçãoExemplos de Sinais Periódicos
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg3.m
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t
x(t)
Sinal Periódico Contínuo
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[n]
Sinal Periódico Discreto
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia14
Classificação de SinaisSinal Aperiódico:
Um sinal é aperiódico se não existe uma constante positiva T ou N, tal que:
[ ] [ ], x n x n N n= + ∀( ) ( ), x t x t T t= + ∀
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia15
Sinais e Sistemas - IntroduçãoExemplos de Sinais Aperiódicos
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg3.m
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
x(t)
Sinal Aperiódico Contínuo
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
n
Sinal Aperiódico Discreto
x[n]
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia16
Classificação de SinaisSinal Determinístico:
Não há nenhuma incerteza com relação ao seu valor em qualquer tempo. Um sinal determinístico pode ser modelado como uma função do tempo completamente especificada. Um exemplo é um sinal senoidal.
Sinal Aleatório:
Há incerteza antes de sua ocorrência real. Um exemplo é um eletrocardiograma.
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia17
Potência e Energia de SinaisPotência instantânea de um sinal:
Energia de um sinal:
Potência média de um sinal:
2( )P x t=2[ ]P x n=
1
0
2( )t
t
E x t dt= ∫1
0
2[ ]n
n nE x n
=
= ∑
1
0
2
1 0
1 ( )t
t
P x t dtt t
=− ∫
1
0
2
1 0
1 [ ]n
n nP x n
n n =
=− ∑
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia18
Potência e Energia de SinaisExemplo: calcular a energia do sinal abaixo:
, 0 1( ) 2 , 1 2
0,
t tx t t t
caso contrário
≤ ≤= − ≤ ≤
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia19
Potência e Energia de SinaisExemplo - Solução
1 21 2 22 2 3
10 1 0
1 1 1 2( 2) (2 )3 3 3 3 3tE t dt t dt t= + − = − − = + =∫ ∫
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia20
Operações Básicas em SinaisDeslocamento no Tempo: 0 0( ) [ ]x t e x nt n− −
0 0
0 0
, 0, , , . , 0, , , .
t ntSe delocamento para a direita isto é é atraso
Se delocamento para a esquerda isto é é adiantamen nto>
<
Reflexão Temporal:
Um sinal par é igual a sua versão refletida.
Um sinal ímpar é igual ao negativo de sua versão refletida.
( ) [ ]x t e x n− −
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia21
Operações Básicas em SinaisMudança de Escala de Tempo: ( ) [ ]x t e x knα
1, . 0 1, . 0. 1, [ ] .Se ocorre compressão Se ocorre dilataçãoé um inteiro Se alguns valores de x n são pek dk r idos
α α> < <> >
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia22
Operações Básicas em SinaisExemplo: considerando o sinal abaixo, esboçar o sinal .( ) (1 2)y t x t= −
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia23
Operações Básicas em SinaisExemplo - Solução
A PRIMEIRA OPERAÇÃO A SER REALIZADA É O DESLOCAMENTO!!!
Seja a seguinte transformação geral:
Para determinar o sinal :
Trocar por .Considerando , determinar , ou seja:Esboçar o eixo transformado abaixo do eixo .Esboçar .
( ) ( )ay t x t b= +
( )y tt τ
t baτ = + t t ba aτ
= −t τ
( )y t
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia24
Operações Básicas em SinaisExemplo - Solução
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia25
Operações Básicas em SinaisExercício: considerando o sinal abaixo, esboçar os sinais
( ) ( 1), ( ) ( 1), ( ) (3 2), ( ) (3 2 1)y t x t y t x t y t x t y t x t= + = − + = = +
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia26
Operações Básicas em SinaisExemplo: considerando o sinal abaixo, esboçar os sinais .( ) (2 ) ( ) ( 2)y t x t e y t x t= =
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg4.m
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
x(t)
Sinal x(t)
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia27
Operações Básicas em SinaisExemplo - Solução
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg4.m
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y(t)
Sinal y(t) = x(t/2)
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.50
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t
y(t)
Sinal y(t) = x(2t)
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia28
Operações Básicas em SinaisExemplo: considerando o sinal abaixo, esboçar o sinal .[ ] [2 ]y n x n=
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg5.m
-6 -4 -2 0 2 4 60
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
x[n]
Sinal x[n]
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia29
Operações Básicas em SinaisExemplo - Solução
Script em Matlab: M_3_SinaisFundamentosProg5.m
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
0.2
0.4
0.6
0.8
1
n
y[n]
Sinal y[n] = x[2n]
Controle de Sistemas I - Renato Dourado Maia30
Dica
NÃO DEIXEM DE ESTUDAR A LISTA DE EXEMPLOS RESOLVIDOS...