Controllo dei Robot A. Rizzo Controllo del Moto Controllo nello spazio dei giunti

Controllo dei Robot A. Rizzo

Controllo del Moto

Controllo nello spazio dei giunti


Controllo del Moto

Controllo nello spazio operativo



)(),()( qgqFqqqCqqB v

Determinare le n componenti di forza generalizzate tali che risulti :

)()( tqtq dA causa degli organi di trasmissione :

1 rmmr KqqK

)(qBBqB

Matrice diagonale e costante



dqFqKBK mmmrrm 1111 rvrm KFKF

)(),()( 11111 qgKqKqqCKqKqBKd rmrrmrr

Sostituendo otteniamo :

Dove :Attrito viscoso riportato all’asse del motore

Disturbo = Contributo dipendente dalla configurazione



Controllo indipendente ai giunti

2ri

iii k

bI

a

tvm R

kkF il coefficiente d’attrito viscoso

trascurabile rispetto al coefficiente d’attrito elettrico


Controllo indipendente ai giunti

s

kk

IRs

kss

kk

IR

IsR

kk

IsR

k

sIsR

kk

IsR

k

sM

vt

av

vt

a

a

tv

a

t

a

tv

a

t

1

111

1 2

vm k

k1

vt

am kk

IRT

sTs

ksM

m

m

1

costante di guadagno velocità – tensione

costante di tempo caratteristica del motore


Controllo in retroazione


Controllo in retroazione

Un’efficiente riduzione degli effetti del disturbo d sull’uscita è assicurata da:

Un elevato guadagno degli amplificatori a monte del punto d’applicazione del disturbo;

La presenza, nel controllore, di un’azione integrale al fine di annullare, a regime ( costante), l’effetto della componente gravitazionale sull’uscita.

s

sTKsC c

c

1)(PI = Proporzionale Integrale


Retroazione di posizione

s

sT1K)s(C P

PP

CV = 1 CA = 1,

kTV = kTA = 0


Retroazione di posizione

sT

k

skk

IRkIsR

kk

IsR

k

sFm

m

vt

av

a

tv

a

t

11

11

1)(

sTs

sTKk

ssT

k

s

sTKsP

m

PPm

m

mPP

1

)1(1

1

)1()(

2

Blocco interno

Ramo di azione diretta :

H(s) = kTP

Ramo di retroazione :


il sistema risulta intrinsecamente instabile

il sistema risulta stabile


il sistema migliora notevolmente le sue caratteristiche di prontezza.

PTPPm

m

TP

r

sTkKk

sTs

k

s

s

1

11

1

)(

)(2

Fdt a ciclo chiuso


Fdt disturbo-uscita

PTPPm

m

PTPPt

a

sTkKksTs

sTkKksR

sD

s

11

1

1

)(

)(2

Da essa si osserva che conviene aumentare KP in modo da ridurre l’influenza del disturbo sull’uscita durante il transitorio.

Conviene tuttavia scegliere KP con valori non molto elevati, per evitare che al sistema di controllo siano assegnate caratteristiche di risonanza poco accettabili.

Osserviamo, inoltre, che lo zero all’origine dovuto al controllore PI consente di annullare, quando è costante, gli effetti della gravità sulla posizione.


Retroazione di posizione e velocità

C P (s ) = k p ; C A (s ) = 1 ; k T A = 0

s

sT1K)s(C V

VV

.


m

VVPm

sTs

sTKKksP

1

1)(

2Fdt ramo diretto

riportando l’anello di retroazione in velocità in parallelo all’anello di retroazione in posizione

Fdt ramo in retroazione

TPP

TVTP kK

ksksH 1)(

ponendo TV = Tm lo zero del controllore cancella gli effetti del polo reale del motore


211

1

)(

)(

sKkKk

skK

kk

s

s

VTPPmTPP

TV

TP

r

21

1

1

)(

)(

sKkKk

skK

ksTKkKk

sR

sD

s

VTPPmTPP

TV

mVTPPt

a


211

1

)(

)(

sKkKk

skK

kk

s

s

VTPPmTPP

TV

TP

r

2

221

1

)(

nn

TP

s

ksW

m

nTVV k

kK2

m

nVTPP k

KkK2

Quindi, fissate le costanti di trasduzione kTP e kTV, si trova KV dalla prima eq. e successivamente KP dalla seconda equazione


Retroazione di posizione velocità e accelerazione

C P(s) = K P; C V(s) = K V;

s

sT1K)s(C A

AA

;


TAAm

m

ATAAmm

TAAm

m

kKk

TT

kKksT

kKk

ksG

1

1

11

)(

)(

1)(

2sG

s

sTKKKsP AAVP Fdt ramo di azione diretta :

Fdt ramo in retroazione :

s

kK

kksH

TPP

TVTP 1)(


Scelta dello zero :

Oppure :


211

1

)(

)(

sKKkKk

Kkks

kK

kk

s

s

AVTPPm

ATAm

TPP

TV

TP

r

21

1

1

)(

)(

sKKkKk

Kkks

kKk

sTKKkKksR

sD

s

AVTPPm

ATAm

TPP

TV

AAVTPPt

a

Stavolta le specifiche e il fattore di riduzione degli effetti indotti dal disturbopossono essere fissati indipendentemente.


Stima dell’accelerazione


Coppia precalcolata


Hardware per sistemi di controllo assi

DSP per motion control (HCTL1100,LM628/9) Microcontrollori (MPC555, etc.) Schede controllo assi (GALIL,PMD, etc.)


HCTL1100 Agilent (Ex HP)





LM628/9 National




Microcontrollori

MPC555


Schede controllo assi





CONTROLLO CENTRALIZZATO )(),()( qgqFqqqCqqB v

Trasmissioni : Krq = qm

cva

mvaaa

atr

vGv

qKiRv

iKK

1

Attuatori :


uqgqFqqqCqqB )(),()(

rvatrv KKRKKFF 1

cvatr vGRKKu 1

Attrito viscoso meccanico e elettrico(matrice diagonale)

Ingresso di controllo del sistema

Sistema controllato in tensione


Sistema controllato in coppia

cia

atr

vGi

iKK

1

F = Fv u = KrKtGivc = ;



Controllo di sistemi non lineari

),( xtfx Esempio : robot


q

qx

)(),()(1 qgqFqqqCuqB

qx

Scegliamo come variabili di stato :


Punto di equilibrio

0),( extfEsempio: Robot

0q )(qgu

)(),()(1 qgqFqqqCuqB

qx


Stabilità dell’equilibrioUn punto di equilibrio xe è stabile nel senso di Lyapunov se partendo abbastanza vicino a xe all’istante iniziale, lo stato vi resterà vicino negli istanti successivi.

00 )(:0 ttxtxxxse ee Asintotica stabilità :

et

xtxtx

)(lim)( 0

Globale asintotica stabilità :

et

xtx

)(lim

In tal caso può esserci un solo stato di equilibrio

Uniforme stabilità : Indipendente da t (tempo invariante)


Stabile

Instabile


Asintotica stabilità

Globale asintotica stabilità


Teorema di Lyapunov

),( xtfx Assumiamo che l’origine x=0 è un punto di equilibrio :

0)0,( tf

rxxN : Intorno dell’origine

L’origine è un punto di equilibrio STABILE se

0),(

0),(:),(

xtV

xtVNxxtV


Asintoticamente stabile se

0),( xtV

TEOREMA DI LASALLE

0)0(

)(

f

xfx

Asintoticamente stabile se

0)(

0)(

xV

xV Ed inoltre 0)( xV solo per x=0


Esempio

Sistema lineare Axx Data una P>0 soluzione di QPAPAT Con Q>0

PxxxV T)(E’ una funzione di Lyapunov, infatti

0

)(

QxxxPAPAx

PAxxPxAxxPxPxxxVTTT

TTTTT


Controllo PD con compensazione di gravità

Stato del sistema TTT qq ,~

qqq d ~errore

Funzione candidata di Lyapunov:

0~~2

1)(

2

1~, qKqqqBqqqV PTT 0~, qq

Energia cinetica Energia potenziale elastica virtuale


qKqqqBqqqBqV PTTT ~)(

2

1)(



qKqguqqFqqqqCqBqV PTTT ~)(),(2)(

2

1

Derivando

Da

Si ricava

Sostituendo :

),(2)( qqCqB Nullo ! Proprietà di

qKqgu P~)( Scegliendo :

qFqV T


Azione proporzionale-derivativa

qKqKqgu DP ~)(

qKFqV DT )( 0V per q= 0q~

Postura di equilibrio :


qKqKqgqgqFqqqCqqB DP ~)()(),()(

0,0 qq All’equilibrio : 0~ qKP

qqqqq dd 0~



• Tramite questa tecnica di controllo qualunque postura di equilibrio risulta globalmente asintoticamente stabile

• La componente gravitazionale va compensata in maniera perfetta (affinché il risultato sia garantito matematicamente)


Feedback Linearization

uxbxfx n )()()(

)()(

1xf

xbu controllo

)(nxSe utilizziamo : )1(

21 n

n xkxkxk

01)1()( xkxkx n

nn


Controllo a dinamica inversa di un manipolatore

(momento calcolato, feedback linearization) uqgqFqqqCqqB )(),()(

)(),(),( qgqFqqqCqqn

uqqnqqB ),()(

Posto :

),()( qqnyqBu Scelta la legge di controllo :

yq


r qKqKy DP

r qKqKq PD

yq


r qKqKq PD

2

22

21

00

00

00

nn

n

n

PK

nnn

n

n

DK

200

020

002

22

11

dPdDd qKqKq r

dPdDdPD qKqKqqKqKq

0~~~ qKqKq PD

Attraverso la scelta delle matrici KP e KD diagonali si ottiene un sistema disaccoppiato: la componente del riferimento ri influenza la sola variabile di giunto qi con una relazione i/o del secondo ordine caratterizzata da una pulsazione naturale ni e da un coeff. di smorz. i


),()(~~)( qqnqqBqKqKqBu dDP PD Cancellazione dinamica


Controllo nello Spazio Operativo

Controllo con inversa dello Jacobiano


Controllo nello Spazio Operativo

Controllo con trasposta dello Jacobiano



xxx d ~Errore nello spazio dei giunti

0~~2

1)(

2

1)~,( xKxqqBqxqV P

TT 0~, xqFunzione candidata di Lyapunov

Derivando

xKxqqBqqqBqV PTTT ~~)(

2

1)(

Simmetrica e difinita positiva

0dx qqJx A )( qqJxxx Ad )(~

xKqJqqqBqqqBqV PTA

TTT ~)()(2

1)(



0),(2)( qqqCqBqT

xKqJqguqqFqV PTA

TT ~)()(

qqJKqJxKqJqgu ADTAP

TA )()(~)()(

Scegliendo come legge di controllo :

qqJKqJqqFqV ADTA

TT )()(

Definita positiva


Postura di equilibrio


qqJKqJxKqJqgqgqFqqqCqqB ADTAP

TA )()(~)()()(),()(

0)()(~)(),()( qqJKqJxKqJqFqqqCqqB ADTAP

TA

0,0 qq All’equilibrio :

0~)( xKqJ PTA

0~ xxx d

Se lo Jacobiano è a rango pieno :



qqJKqJxKqJqgu ADTAP

TA )()(~)()(

Tale schema di controllo rivela un’analogia con quello basato sulla trasposta dello Jacobiano


Controllo a dinamica inversa

uqqnqqB ),()( qqnyqBu ,)( Controllo a dinamica inversa

yq

qqqJqqJx AA ),()(

qqqJxKxKxqJy APDdA ),(~~)(1

Per un manipolatore non ridondante scegliendo :

Matrici diagonali definite positive

Derivando una volta la relazione della cinematica differenziale qqJx A )(


yq qqqJxKxKxqJq APDdA ),(~~)(1

xxxxxx dd ~~

qqqJxKxKxqqqJqqJqJq APDAAA ),(~~~),()()(1

0~~~)(~~~)( 11 xKxKxqJxKxKxqJqq PDAPDA

0~~~ xKxKx PD


Controllo a dinamica inversa

qqnyqBu ,)(

qqqJxKxKxqJy APDdA ),(~~)(1


Considerazioni conclusive• Il controllo nello spazio dei giunti è in genere più complesso del controllo nello spazio operativo

• In presenza di singolarità e/o ridondanza: • Negli schemi con trasposta di J se l’errore entra nel nullo di J il manipolatore si ferma in una configurazione diversa da quella desiderata• Negli schemi con inversa di J si devono trovare accorgimenti numerici (es. inversa ai valori singolari smorzati)

• Il controllo dei giunti è in un certo senso trasparente a tali problemi, in quanto ridondanze e singolarità vengono affrontate a monte, durante l’inversione cinematica, mentre in questo caso devono essere gestite all’interno dell’anello di controllo

• Se, come in questi casi, si usa lo Jacobiano analitico bisogna rifarsi a rappresentazioni minime dell’orientamento. Per utilizzare lo Jacobiano geometrico (più semplice da determinare) bisogna scegliere rappresentazioni più complesse (es. asse/angolo o quaternione unitario)


Controllo dell’interazione

0hAll’equilibrio stavolta, con :

Controllo di cedevolezza

Utilizziamo una legge di controllo PD con compensazione di gravità nellospazio operativo

qqJKqJxKqJqgu ADTAP

TA )()(~)()(

Vettore equivalente delle forze di contatto

AAJTJ

che Ricordiamo


qqJqqJ

qJpx A

P

)()(

)(

qqJ

pv

)(

xTxTo

oIv A

)(J = TA()JA

Dipende dalla configurazione

(Esempio manipolatore in singolarità di spalla)


Modello semplice ma significativo del contatto: Ambiente elasticamente cedevole e disaccoppiato

K semi-definita positiva

exxdx

Posizione di equilibrio dell’ambiente non deformato

ATAT A

TA hhT ( )


• La matrice Ka definisce la rigidezza dell’ambiente. Ove è possibile definire la sua inversa, essa rappresenta la cedevolezza dell’ambiente. E’ detta cedevolezza passiva perché descrive una caratteristica intrinseca dell’ambiente nello spazio operativo

• Ricordando che essa è semidefinita positiva ne consegue che il conceto di cedevolezza non è caratterizzato, a livello globale, su tutto lo spazio operativo, ma ca opportunamente specificato per quelle direzioni (l’immagine di Ka) lungo le quali il moto dell’organi terminale è vincolato dall’ambiente

• Invece la matrice Kp-1 rappresenta una cedevolezza attiva poiché è il risultato dell’applicazione di una opportuna legge di controllo di posizione


Con il modello di ambiente

La relazione

Diventa


All’equilibrio :


• La posizione di equilibrio dipende dalla posizione di riposo per l’ambiente e dalla posizione desiderata imposta dal sistema di controllo del manipolatore• L’interazione dei due sistemi (ambiente e manipolatore) è influenzata dal peso associato alle rispettive caratteristiche di cedevolezza• E’ possibile agire sulla cedevolezza attiva in maniera tale da far dominare il manipolatore sull’ambiente o viceversa• Tale dominanza può essere selettiva rispetto alle direzioni (valori elevati degli elementi di Kp corrispondenti alle direzioni in cui si desidera che l’ambiente ceda, e viceversa)


• Considerando adesso l’espressione della forza di contatto all’equilibrio si riconosce l’opportunità di accordare le caratteristiche di cedevolezza del manipolatore a quelle dell’ambiente, che può presentare caratteristiche differenti lungo direzioni diverse dello spazio operativo• Lungo direzioni in cui l’ambiente presenta rigidezza elevata è opportuno rendere il manipolatore cedevole affidando allo stesso il compito di graduare l’intensità dell’interazione mediante una scelta opportuna della posizione desiderata e viceversa


• Ambiente rigido e manipolatore cedevole: x(inf)=xe, il manipolatore genera una forza dipendente da Kp che può essere specificata mediante la scelta della componente di (xd-xe) lungo la direzione di interesse

• Ambiente cedevole e manipolatore rigido: x(inf)=xd, è l’ambiente a generare una forza elastica lungo le direzioni di interesse


Esempio

All’equilibrio :


Il manipolatore domina sull’ambiente(cedevolezza passiva)

L’ambiente domina sul manipolatore(cedevolezza attiva)

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