CONTROLO MEEC - Autenticação · Compensador de atraso – Princípio de utilização • Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB

� M

. Isa

bel R

ibei

ro, A

ntón

io P

asco

al

1/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores

CONTROLO MEEC

1º semestre – 2017/2018 Transparências de apoio às aulas teóricas

Capítulo– Projecto Nyquist/Bode Maria Isabel Ribeiro

António Pascoal

Todos os direitos reservados Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram

elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores

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2/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores Projecto no domínio da frequência

EXEMPLO

0>K 21s

+ _

Controlador Sistema a controlar

C(s) G(s) Diagrama de Bode da f.t.ca.=1/s2

K=1

frequência de cruzamento

s/rad.c 01=ω

º)j(Garg c 180=ω

margem de fase

ºM 0=Φsistema marginalmente estável

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3/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores EXEMPLO

0>K 21s

+ _


C(s) G(s) Critério de Nyquist

Contorno de Nyquist

x x pólo

duplo

A

-1

A imagem do contorno de Nyquist passa pelo ponto crítico -1

º*)j(C*)j(Garg*)j(C*)j(G:* 180 1 =ωω∧=ωωω∃

01 =ωω+ *)j(C*)j(G

*jω é um pólo em malha fechada sistema marginalmente estável

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4/Cap.12-ParteA


0>K 21s

+ _


C(s) G(s) Root-Locus

x pólo

duplo

sistema marginalmente estável

x

2 pólos da f.t.c.f. no eixo imaginário

Estratégia de Controlo

zzsK)s(C +=

x x o

efeito estabilizador

Introdução de amortecimento artificial

devido ao termo derivativo

(PD)

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5/Cap.12-ParteA


zzsK +

21s

+ _


C(s) G(s) K=1, z=0.1rad/s

exemplo

ºM 90=Φ

-1

sistema em c.f. estável

∞=MGPode aumentar-se o ganho indefinidamente sem que se perca estabilidade

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6/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores Análise do compensador PD

zzsK)s(C +=

)s/rad(ω

arg C(s)

45º

90º

benefício de avanço de fase

z

compensador por avanço de fase

-1

sistema original

sistema compensado

nova margem de fase

Diagrama de Nyquist

O compensador de avanço de fase afasta o diagrama do ponto -1

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7/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores Compensador PD

zzsK)s(C +=

Compensador de avanço de fase

pszs

zpK)s(C

++=

sistema realizável (com um pólo e um zero)

pszs

zpK

++

21s

+ _


C(s) G(s) avanço de fase

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8/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores Compensador por Avanço de Fase

Ts

Ts

K)s(C

β+

+

β=

1

1

1

1 <β

Ganho estático = K

zero = - 1/T

pólo = - 1/bT

x T1

Tβ1

T1

Tβ1

dB

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

o90

maxφ

maxω

)j(Clim ω∞→ω

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9/Cap.12-ParteA


?max =φ? =ωmax

Máximo (benefício) do AVANÇO DE FASE

11

11

+ωβ+ω=

+β+=ω

ω= TjTjK

TsTsK)j(C

js

)T(arctg)T(arctg)()j(Carg c ωβ−ω=ωφ=ω

( ) ( )22 11 TT

TT

d)(d c

ωβ+β−

ω+=

ωωφ

Cálculo de

⇔=ωωφ

0d

)(d c

( ) ( )⇔=

ωβ+β−

ω+ 0

11 22 TT

TT

maxω

β=ω 2

2 1T

β=ω

T1 maxEm escala logarítmica, equidistante das

frequências de corte do zero e do pólo

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10/Cap.12-ParteA


?max =φ

)T(arctg)T(arctg)( maxmaxmaxcmax βω−ω=ωφ=φ

β=ω

T1 max

)(arctgarctg β−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

β= 1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ββ−=φ

21arctgmax ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−=φ

11arcsinmax

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11/Cap.12-ParteA


)( maxc ωφ Máximo AVANÇO DE FASE

β1

90º

Tz 1−=T

pβ

−= 1

1<β

x 0→β zp >>

º)( maxc 90→ωφ

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12/Cap.12-ParteA


T1

Tβ1

T1

Tβ1

dB

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

o90

maxφ

maxω

β=ω

T1 max

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−=φ

11arcsinmax

?)j(C Kmax =ω=1 Porque é importante

conhecer ?

•  O compensador de avanço de fase usa-se para aumentar a margem de fase, ou seja somar fase na frequência em que o ganho da f.t.c.a. é unitário.

•  Ao somar fase em wmax, também se aumenta o ganho. De quanto?

•  É o preço a pagar pelo avanço de fase

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13/Cap.12-ParteA


T1

Tβ1

T1

Tβ1

dB

K⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β

o90

maxφ

maxω

β=ω

T1 max

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−=φ

11arcsinmax

11 +ωβ+ω=ωTjTjK)j(C

1

11

+β

+β

=ωj

jK)j(C max

maxω=ω

1 K)j(C maxβ

=ω

?)j(C Kmax =ω=1

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14/Cap.12-ParteA


1.  K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2.  Erro de seguimento a rampa unitária 3.  Margem de fase 4.  Margem de ganho

0250.)(eramp ≤∞o

M 48≈ΦdBGM 6≥

Objectivos a atingir

EXEMPLO 1 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

)s(K100100+s 36

1+s s

1+ _

motor com carga amplificador controlador

velocidade

posição angular

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15/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores EXEMPLO 1

)s(K )s)(s(s 10036100

+++

_

G(s) a projectar

)s(K~K)s(K =ganho estático unitário

10 =)(K~

2. Erro de seguimento a rampa unitária 0250.)(eramp ≤∞

401

1

0s

≤=∞→

)s(K)s(sGlim)(eramp

40 0s

≥→

)s(K)s(sGlim

4036

10036 100

0s≥=

++→

K)s)(s(

Klim

1440≥K

escolha-se

1440=K

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16/Cap.12-ParteA


)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+ _

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

ºM 34≅Φ

dB.GM 610≅s/rad.959=ωπ

s/rad.dB 5290 =ω

Os valores seriam diferentes se tivesse sido usado o diagrama de Bode assimptótico

Só com este ganho, o sistema em cadeia fechada é estável, embora não satisfaça a margem de fase pretendida

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17/Cap.12-ParteA


)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+ _

a projectar )s(GK

Confirmação da estabilidade em cadeia fechada usando critério de Nyquist

x x x -100 -36

P=0

Contorno de Nyquist

1=)s(K~

-1 34º

módulo=1

N=0

Z=P+N=0

com

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18/Cap.12-ParteA


)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+ _

a projectar )s(GK

3. Margem de fase oM 48≈Φ

ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de

48º - 34º = 14º No entanto é necessário “dar” FASE ADICIONAL

0 db

-180º

sistema original

sistema original

Compensador de avanço

nova frequência de cruzamento

Como a frequência de cruzamento aumenta é preciso

+ aumento de fase

Não basta um aumento de 14º

34º

figura não à escala. Apenas ilustrativa

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19/Cap.12-ParteA


)s(K~ )s)(s(sx

100361440 100++

+ _

a projectar )s(GK

3. Margem de fase oM 48≈Φ

ºM 34≅ΦPara 1=)s(K~Aumento nominal de

48º - 34º = 14º

Aumento total de fase = Nominal + “Factor de Segurança” = 14º + 10º = 24º

maxω

ºmax 24=φ

avanço

Determinação das características do compensador de avanço de fase

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛β+β−=φ

11arcsinmax

420.=βO parâmetro b define o afastamento entre o zero e o pólo do compensador

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20/Cap.12-ParteA


ºmax 24=φ

?max =ω

5411 .=β

dB.dB

7731 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

βpreço a pagar pelo avanço de fase

onde se coloca ?maxω

T1

Tβ1

maxω

wmax é a frequência a que o avanço de fase é maior β

=ωT

1 max

•  Conhecendo b

•  Escolhendo wmax

•  Calcula-se T

Ganho estático do compensador unitário Todo o ganho necessário já foi considerado

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21/Cap.12-ParteA


onde se coloca ?maxω

maxω Frequência à qual o ganho de malha

dB.)s(GKjs

773−=ω=

s/radmax 39=ω

420

391

.

s/radT

max

=β

=β

=ω

s/rad.T

s/rad.T max

2601

325 1

=β

=ωβ=

maxω

EXEMPLO 1

+3.77dB

-3.77dB f.t.c.a sistema original

f.t.c.a sistema compensado

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22/Cap.12-ParteA


)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+ _

a projectar )s(G

Ts

Ts

K)s(K~K)s(K

β+

+

β==

1

11

2603253821440.s.s.)s(K

++××=

2.603.252.3427)(

++×=sssK

f.t.c.a. do sistema compensado

f.t.c.a. do sistema original*1440

f.t. do compensador com ganho estático unitáro

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23/Cap.12-ParteA


)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+ _

ºoM 4846 <≈Φ

dBdB.GM 6511 >=

Se não for satisfatório, refaça os cálculos


f.t.c.a. do sistema original f.t. do compensador

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24/Cap.12-ParteA


)s(K )s)(s(sx

100361440 100++

+ _

oM 46≈Φ

ºM 34≈Φ

nova margem de fase

Repita o projecto com base no diagrama de Bode assimptótico

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25/Cap.12-ParteA


Compensador de avanço - Sumário

•  Introduz fase positiva na vizinhança da frequência de cruzamento a 0dB do sistema original, aumentando a margem de fase e melhorando assim a estabilidade relativa

•  Preço a pagar é um aumento do ganho de alta frequência

•  O compensador de avanço é equivalente ao controlador PD no intervalo de frequências em que o efeito do pólo é pouco significativo

•  O compensador de avanço é uma representação mais realista do controlador PD em que o pólo tem a função de limitar o ganho de altas frequências do controlador

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26/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores Compensador de Atraso de Fase

Ts

Ts

)s(K~

α+

+

α=

1

1

1

1 >α

Ganho estático = 1

zero = - 1/T

pólo = - 1/aT

x

Tα1

T1

0 dB

α− 1020log

Diagrama de Bode de )s(K~

)s(K~K)s(K = 1 0 =)(K~

O compensador que vai ser apresentado tem ganho estático unitário

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27/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores Compensador de atraso – Princípio de utilização

•  Tirar partido da atenuação do ganho de modo a deslocar a frequência de cruzamento a 0dB para a frequência que conduz à margem de fase desejada.

•  Preço a pagar é uma diminuição da fase na zona de influência do compensador –  Até uma década após o zero

•  Procura-se que a característica de fase original não seja significativamente alterada na vizinhança da nova frequência de cruzamento a 0dB. –  Zero do compensador colocado, pelo menos, uma década antes

da frequência de cruzamento a 0dB desejada.

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28/Cap.12-ParteA

Projecto de controladores Compensador de Atraso de Fase

Ts

Ts

)s(K~

α+

+

α=

1

1

1

Tα1

T1

0 dB

α− 1020log

Diagrama de Bode de )s(K~

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29/Cap.12-ParteA


1.  K(s) estabiliza o sistema motor c.c. com amplificador 2.  Erro de seguimento a rampa unitária 3.  Margem de fase 4.  Margem de ganho

21621 ./)(eramp ≤∞º.M 259≥ΦdBGM 12≥

Objectivos a atingir

EXEMPLO 2 Sistema de controlo (Motor de c.c. com amplificador)

)s(K100100+s 36

1+s s

1+ _

motor com carga amplificador controlador

velocidade

posição angular

� M

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30/Cap.12-ParteA


)s(K )s)(s(s 10036100

+++

_

G(s) a projectar

)s(K~K)s(K =ganho estático unitário

10 =)(K~

2. Erro de seguimento a rampa unitária 21621 ./)(eramp ≤∞

21621

1

0s.)s(K)s(sGlim

)(eramp ≤=∞→

2162 0s

.)s(K)s(sGlim ≥→

216236

10036 100

0s.K

)s)(s(Klim ≥=++→

5839≥K

escolha-se

5839=K

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31/Cap.12-ParteA


)s(K~ )s)(s(sx

100368395 100++

+ _

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

714 s/rad.=ω

dB)j(GK,ºM 20 59 =ω=Φ

Chegará diminuir o ganho de 20dB nesta frequência com um compensador de atraso?

Qual terá que ser a frequência de cruzamento a 0dB para ter a margem de fase pretendida?

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32/Cap.12-ParteA


)s(K~ )s)(s(sx

100368395 100++

+ _

a projectar

)s(GK

)s(GK

diagrama de Bode de

s/rad.º.M 789 para 269 =ω≅Φ

º.ºº.desejadaM 26910259 =+=Φ

factor de segurança

Porque é necessário o factor de segurança?

24dB 9.78rad/s

=ω=ω

)j(GK

O compensador de atraso deve providenciar um ganho de -24dB à frequência de 9.8rad/s

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33/Cap.12-ParteA


0 dB

Dimensionamento do compensador de atraso

-90º

-24dB

define o afastemento entre o pólo e o zero

T.T 841511 =

α T1

8415 2420 10 .dBlog =α⇒−=α−

Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho

Onde “colocar” o compensador?

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34/Cap.12-ParteA


0º

EXEMPLO 2

Várias hipótess possíveis de “colocação” do compensador

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35/Cap.12-ParteA


0 dB

Estratégia de “colocação” do compensador de atraso

-90º

-24dB

T.T 841511 =

α T1

Fase negativa = preço a pagar pela diminuiçãode ganho

Zero do compensador 1 década abaixo da frequência de cruzamento desejada

s/rad.T

9801 =s/rad.T

06201 =α

Na frequência de cruzamento desejada, a fase negativa introduzida pelo compensador já é pequena, embora não nula

Isto justifica a introdução de fase adicional no cálculo da margem de fase desejada

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36/Cap.12-ParteA


)s(K )s)(s(s 10036 100++

+ _

a projectar )s(G

11( ) ( ) 1

sTK s K K s K

sT

αα

+= =

+%

1 0.98( ) 583915.84 0.062

sK ss+= ×+

0.98( ) 368.60.062

sK ss+= ×+



f.t. do compensador

dBG,º MM 22 64 ==Φespecificações verificadas

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

-100

-50

0

50

100

System: sys Frequency (rad/sec): 10 Magnitude (dB): -0.175

Mag

nitu

de (d

B)

10 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 -270

-180

-90

0

Phas

e (d

eg)

System: sys Frequency (rad/sec): 10 Phase (deg): -116

f.t. do compensador



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