Convolution e No

Exercices - Produit de convolution : enonce

Existence et calculs

Exercice 1 - Indicatrices - Troisie`me annee - ?Soit f = 1[1,1] et g = 1[a,a], avec a 1. Calculer f ? g apre`s en avoir justifie lexistence.

Exercice 2 - Deux fonctions dans L1loc - Troisie`me annee - ?Soit et deux nombres reels. Montrer lexistence et calculer le produit de convolution

(ex1[0,+[(x)) ? (ex1[0,+[(x)).Exercice 3 - Fonctions de [0,+[ - Troisie`me annee - ?

1. Soient f et g deux fonctions definies et localement bornees sur [0,+[. Montrer que leproduit de convolution f ? g a un sens.

2. Soit K Lloc(R+). Pour n N, on note Kn = K?n = K ? ? K (n facteurs). Montrerque pour tout a > 0 et tout n N, on a

|Kn(x)| M(a)n xn1

(n 1)! ,

ou` M(a) = supx[0,a] |K(x)|.Exercice 4 - Convolee de Gaussiennes - Troisie`me annee - ?

Pour (m,) R R+, on conside`re la fonction gm, definie par

gm,(x) =1

2pie

(xm)222 .

Si (p, ) et (q, ) sont dans R R+, peut-on definir gp, ? gq, ? Que dire de cette fonction ? Lacalculer. On rappelle que

R ex2/2dx = 12pi .

Exercice 5 - Quand C1 ? C1 donne C2... - Troisie`me annee - ??Soit f et g deux fonctions continues sur R de classe C1, bornees, et dont les derivees sont

bornees. On suppose que f et g sont dans L1(R). Montrer que f ? g est bien definie, et quelleest de classe C2.

Divers

Exercice 6 - Loperateur de convolution - Troisie`me annee - ?Soit f L1(Rn). Montrer que loperateur

T : L2(Rn) L2(Rn)g 7 f ? g

est continu. Calculer son adjoint.

Exercice 7 - Application a` la topologie - Troisie`me annee - ??

1. Donner un exemple de partie mesurable A de R de mesure (de Lebesgue) non nulle, maisne contenant aucun ouvert (on rappelle que lon dit alors que A est dinterieur vide).

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2. Soient A et B deux parties mesurables de Rd, de mesure finie mais non nulle. Montrerque la fonction 1A ? 1B est continue. En calculant son integrale sur Rd, montrer quelleest non nulle. En deduire que lensemble A + B = {a + b; a A, b B} est dinterieurnon vide.

3. Reprendre la question precedente si A et/ou B peuvent maintenant etre de mesure infinie.

Exercice 8 - Fonctions radiales - Troisie`me annee - ???

1. Montrer que si f et g sont deux fonction de L1(R) paires, alors f ? g est encore paire.2. Generalisation : on dit quune fonction f : Rn C est radiale si la valeur de f(x) ne

depend que de la distance de x a` lorigine (la norme choisie ici est la norme euclidienneclassique). Montrer que le produit de convolution de deux fonctions radiales de L1(Rn)est encore une fonction radiale.

Suites regularisantes et applications

Exercice 9 - Norme de loperateur de convolution - Troisie`me annee - ??

1. Soit p [1,+], et h Lp(Rd).On sait que Th : f 7 f ?h est un operateur lineaire bornede L1 dans Lp, et que

ThL(L1,Lp) hp.En testant Th sur une suite regularisante, montrer que

ThL(L1,Lp) = hp.

2. Soit p [1,+[ et h L1(Rd) une fonction positive. On sait que Th : f 7 f ? h est unoperateur lineaire borne sur Lp, et que

ThL(Lp) h1.En observant que la suite hn(x) = 1h1n

dh(nx) est une unite approchee, montrer que

ThL(Lp) = h1.

Exercice 10 - Convergence du taux daccroissement - Troisie`me annee - ??Soit f L1(R).

1. Pour h R, exprimer la fonction x 7 x+hx f(t)dt comme le produit de convolution de fpar une fonction h.

2. On pose F (x) = x0 f(t)dt, et on pose Gh(x) =

F (x+h)F (x)h . Justifier que Gh converge

vers f dans L1(R) quand h tend vers 0.

Exercice 11 - Theore`me de Weierstrass - Troisie`me annee - ??Pour tout n 1, on pose

an = 11(1 t2)ndt et pn : R C, t 7

{(1 t2)n/an si |x| 10 sinon.



1. Montrer que (pn) est une unite approchee.2. Soit f une fonction continue sur R, nulle en dehors de I = [1/2, 1/2]. Montrer que f ?pn

est une fonction polynome sur I.

3. En deduire le theore`me de Weierstrass : si J est un segment de R, et si f : J C est unefonction continue, alors f est limite uniforme sur J dune suite de fonctions polynomes.

Exercice 12 - Theore`me de Fejer - Deuxie`me annee - Troisie`me annee - ???Si f et g sont deux fonctions continues et 2pi-periodiques, on definit leur produit de convo-

lution par

f ? g(x) = 12pi

pipif(x t)g(t)dt.

Dans toute la suite, f designe une telle fonction continue 2piperiodique. Pour k Z, on noteek(x) = eikx. On note

Sn = en + e(n1) + + e0 + + en1 + en, Cn =S0 + S1 + + Sn

n+ 1 .

1. Montrer que f ? Sn est un polynome trigonometrique. Quel nom donne-t-on usuellementa` f ? Sn ?

2. Montrer que si x / R\2piZ, on a :

Cn(x) =1

n+ 1

(sin((n+ 1)x/2)sin(x/2)

)2.

3. Montrer que Cn 0, que 12pi pipi Cn(t)dt = 1, et que pour tout ]0, pi], Cn converge

uniformement vers 0 sur [pi, pi]\[, ].4. Montrer que f ? Cn converge uniformement vers f sur R.

Ainsi, cet exercice prouve le theore`me de Fejer : toute fonction continue 2piperiodique estlimite uniforme sur R de polynomes trigonometriques. En outre, il donne une suite qui realiselapproximation uniforme - la suite des moyennes de Cesaro de la serie de Fourier de f .

Convolution de mesures

Exercice 13 - Masses de Dirac - Troisie`me annee - ??Pour a R, on note a la masse de Dirac en a, cest-a`-dire la mesure telle que

a(A) = 1 a A, a(A) = 0 sinon.1. Si est une mesure de Borel positive sur R, exprimer ? a comme une certaine mesure

image de . Etudier le cas particulier de = b, et la mesure de Lebesgue.2. Pour m 1 un entier, et p [0, 1], on conside`re la mesure

B(m, p) =mk=0

Ckmpk(1 p)mkk.

Montrer que B(m, p) = B(1, p) ? B(1, p) ? ? B(1, p).


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