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MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Analizamos de la siguiente manera:
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
Por definición de límite:
...(1)
MECÁNICA DINÁMICA 2
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Coordenadas Polares
θ(t)
P
o x
Línea radial
Línea o eje fijo
La posición de la partícula P, en coordenadas polares respecto del origen O , sería:
Vp
Nos fijamos en este término,
¿Qué es?
MECÁNICA DINÁMICA 3
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
Por ser un arco muy pequeño
Magnitud:
Por otro lado: (Por suma de vectores)
Reemplazando en (I):
L = r x Δθ
Por tanto:
MECÁNICA DINÁMICA 4
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
MECÁNICA DINÁMICA 5
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Inscribiendo las coordenadas polares dentro de los ejes cartesianos fijos:
re
e y
xcos
sen
sen
cos 11
MECÁNICA DINÁMICA 6
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
re
e
y
xcos
sen
sen
cos 11
De modo que:
Si derivamos el vector er:
MECÁNICA DINÁMICA 7
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
re
e
y
xcos
sen
sen
cos 11 De igual forma para el otro vector:
MECÁNICA DINÁMICA 8
Método alternativo para obtener las derivadas de los vectores unitarios polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
)(t
)(re
)( re
1
)( e
e
e
eee rr
MECÁNICA DINÁMICA 9
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Entonces:
MECÁNICA DINÁMICA 10
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte
O
P
MECÁNICA DINÁMICA 11
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Coordenadas Rectangulares
v
Δr
vy
vx ax
ay a
rp(t + Δt)
rp(t)
x
y
Coordenadas Normales y
Tangenciales
v Δs
a
x
y
Coordenadas Polares
v
Δr
a
rp(θ + Δ θ)
rp(θ)
x
y
θ
Comparación de los diferentes sistemas coordenados :
MECÁNICA DINÁMICA 12
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
En el caso especial de Movimiento Circular: r = cte
O
P
MECÁNICA DINÁMICA 13
Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 1: Un mecanismo que consiste en un brazo ranurado, está fijado en un pivote O . El pivote O se encuentra a 0.4 m a la izquierda del centro C, sobre el diámetro horizontal de un anillo de radio igual a 0.5 m . El brazo rota a velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido antihorario y arrastra una esferita P, dentro de la ranura, sobre el borde circular del anillo . Analizar la cinemática de la esfera P para la posición de θ = 37o
θ (t)
C O
0.4m
MECÁNICA DINÁMICA 14
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
0.5
0.4
MECÁNICA DINÁMICA 15
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
Entonces, reemplazando datos:
MECÁNICA DINÁMICA 16
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
O
r
θ
B
A
Problema 2: La rotación del brazo OA de 0.9 m alrededor de O puede definirse como θ = 0.15 t2, donde θ se expresa en radianes y t en segundos. El collarín B desliza a lo largo del brazo, de tal modo que su distancia desde O es r = 0.9 – 0.12 t2 , donde r está metros. Determine la magnitud de la velocidad y aceleración del collarín cuando el brazo OA ha girado 30º.
MECÁNICA DINÁMICA 17
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
θ r
B
O
er eθ
Podemos hallar el tiempo para el cual θ = 30º = 0.524 rad, de la expresión:
Reemplazamos dicho valor en las expresiones:
Entonces, la velocidad del collarín B es:
MECÁNICA DINÁMICA 18
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
θ r
B
O
er eθ Luego, la aceleración del collarín B, será:
MECÁNICA DINÁMICA 19
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 3: En el mecanismo mostrado, la distancia d mide 150 pulg; la barra AB tiene 0.7 rad/s de velocidad angular en sentido antihorario y 0.3 rad/s2 de aceleración angular en sentido horario. Utilizando coordenadas polares encontrar la velocidad y la aceleración del punto A en cuando Ө =60° .
B
A
O
d
θ
r
MECÁNICA DINÁMICA 20
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución: Datos:
Del gráfico tenemos que:
Para θ = 60°:
Luego:
Además tenemos:
Por tanto:
ar
60° 30°
MECÁNICA DINÁMICA 21
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 4: La partícula P se mueve en una trayectoria como la señalada en la figura. Determine el vector aceleración, magnitud y dirección, además dibuje dicho vector con su correspondiente dirección en el punto correspondiente de la trayectoria cuando Ө = 30° (v0 = constante ).
b
y
O A
x θ
R P
R = b cos 3θ v0
MECÁNICA DINÁMICA 22
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
y
O A x P
v0
30°
30°
Datos:
Para θ = 30° :
Luego:
Por otro lado:
Reemplazando:
MECÁNICA DINÁMICA 23
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 5: El cable AB, conectado a un motor que va enrollándolo sobre un eje-cilindro de acero (“winche”), arrastra ( tracciona) al vagón de la figura mostrada, a quien le imprime una velocidad de 5 pies/s. Para la posición de Ө = 60°, se pide: a) La velocidad de B y la velocidad angular del cable de tracción. b) La aceleración de B y la aceleración angular del cable AB.
A
12 pies
B
R
θ
MECÁNICA DINÁMICA 24
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Solución:
60°
5 pies/s B
Entonces:
Del gráfico, tenemos que:
Por tanto:
Luego:
Del gráfico vectorial:
Entonces:
MECÁNICA DINÁMICA 25
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 6: La manivela OA de 15 cm, de un mecanismo oscilante de retroceso rápido gira en sentido antihorario, con una velocidad constante de 10 rad/s. Para las posiciones indicadas, hallar la aceleración angular del brazo BD.
D
A
B
O
32.5 cm
15 cm
ω = 10 rad/s θ
MECÁNICA DINÁMICA 26
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
**Gráfica de todas las posiciones del seguidor A y de la barra AD:
MECÁNICA DINÁMICA 27
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Videos demostrativos de dos prototipos desarrollados en MDI:
Prototipo 1 Prototipo 2
MECÁNICA DINÁMICA 28
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 29
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:
D
B
A
O
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 30
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:
D
B
A
Podemos darnos cuenta que la barra BD está subiendo y bajando en un movimiento oscilante. La distancia BD no cambia en el tiempo.
Debido al movimiento del pin A (hacia adentro y hacia afuera), la distancia BA sí cambia.
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 31
Antes de resolver debemos analizar el movimiento del mecanismo:
El movimiento de la barra OA es MCU, por lo tanto la distancia OA no cambia en el tiempo, es constante e igual a 15 cm.
Debido al acoplamiento del pin A con la barra OA, el movimiento del pin sobre la barra AD está limitado por la barra OA y no al revés.
O
A
Primero debemos completar nuestros datos. Del gráfico tenemos que:
Para θ (AOC )= 60º
Podemos hallar ф por su tangente:
En el triángulo ABC, aplicamos ley de senos:
º18
cm5.32
º42
º6015sen
º60cos15
º60θ
15sradθ /10
B
D
O C
A
ф
MECÁNICA DINÁMICA 32
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:
Para θ (AOC )= 60º
La barra OA se mueve con MCU, con radio cte = 15cm
Hallamos la velocidad del punto A:
º48
º42
cm15
sradθ /10
D
O C
A
º60ф ree
MECÁNICA DINÁMICA 33
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:
Para θ (AOC )= 60º
- Ahora hallamos las aceleraciones del pin A:
Recordemos:
En el 1º término, como el radio no cambia en el tiempo, = 0 ; lo que nos deja:
La cual tiene dirección radial hacia adentro.
º42
º48
º42
cm15
srad/10
D
O C
A
º60ф
ree
MECÁNICA DINÁMICA 34
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Aislamos la barra OA de nuestro sistema y la analizamos:
Para θ (AOC )= 60º
Entonces, la aceleración del pin A (en el sistema de la barra OA) es:
º48
º42
cm15
srad/10
D
O C
A
º60ф
º42
ree
MECÁNICA DINÁMICA 35
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Escribimos los nuevos datos calculados
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
MECÁNICA DINÁMICA 36
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Nos fijamos en la velocidad del pin A. Descomponiendo:
Rpta
MECÁNICA DINÁMICA 37
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Podemos también descomponer la aceleración:
a
ra
MECÁNICA DINÁMICA 38
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Regresamos a nuestro sistema inicial (barra BA):
Para θ (AOC )= 60º
Reemplazando datos en (I):
Rpta
cm5.32
º48
º42
15
srad/10
D
O C
A
º60Ф =18º
º42
B
º60cos15
º6015sen
re
e
a
ra
MECÁNICA DINÁMICA 39
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 180º
Primero completamos nuestros datos: Al girar en sentido antihorario, la distancia BA será de: 32.5 – 15 = 17.5 cm
A B
O
θ
Esta posición corresponde a:
O
cm15
A 0 º180
B s
rad10
ree
ree
cm5.17
MECÁNICA DINÁMICA 40
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 180º
Analizamos la barra OA: OA se sigue moviendo en MCU , por lo tanto su velocidad tangencial es la misma del caso anterior. Lo mismo para su aceleración, que sólo es normal.
Esta posición corresponde a:
A B
O
θ
cm5.17
O
cm15
A 0 º180
B s
rad10
ree
ree
MECÁNICA DINÁMICA 41
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 180º
Ahora analizamos la barra BA En la barra BA, la velocidad:
En cuanto a la aceleración, hemos dicho que no hay aceleración tangencial respecto a OA, por lo tanto aθ es igual cero.
Rpta
Rpta
cm5.17
O
cm15
A 0 º180
B s
rad10
ree
ree
MECÁNICA DINÁMICA 42
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 90º
Completamos nuestros datos: El brazo AB, ahora mide:
D
A
B O θ Esta posición corresponde a:
Luego, aplicamos ley de senos en BOA:
B O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
MECÁNICA DINÁMICA 43
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
D
A
B O θ
Para θ = 90º
Analizamos la barra OA:
En A, tenemos los mismos valores de aceleración (no hay componente tangencial) y velocidad.
scmv /150
2/1500 scma
º8.24
re
eB O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
MECÁNICA DINÁMICA 44
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
B O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
scmv /150
2/1500 scma
ree
º8.24
Para θ = 90º
Ahora analizamos la barra BA: Podemos descomponer la velocidad:
Además, sabemos que:
Luego, la otra componente será:
Rpta
rv
v
MECÁNICA DINÁMICA 45
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Para θ = 90º
Ahora analizamos la barra BA:
Descomponemos la aceleración:
Despejando:
Rpta B O
A
cm5.32
º90
cm15
srad10
º8.24
scmv /150
2/1500 scma
ree
rv
v
º8.24
a
ra
º8.24
MECÁNICA DINÁMICA 46
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
Problema 4 (Software): En el mecanismo mostrado, la barra OA mide 15cm y rota en sentido antihorario a razón de 10 rad/s de modo constante. El seguidor A, como se ha observado y explicado en clase se desliza sobre la barra AD.
MECÁNICA DINÁMICA 47
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 48
a) Graficar la variación de la velocidad relativa del seguidor A con respecto al brazo BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90o para β de cero a 360o
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 49
b) Graficar la variación de la velocidad angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 90o para β de cero a 360o
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 50
c) Graficar la variación de la aceleración de Coriolis versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 30o para β de cero a 90o
MECÁNICA DINÁMICA 51
d) Graficar la variación de la aceleración angular de la barra BD versus el ángulo β, a escala, con incrementos de 45o para β de cero a 360o
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 52
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 53
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 54
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 55
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 56
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 57
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 58
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 59
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 60
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 61
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 62
MECÁNICA DINÁMICA Coordenadas Polares
MECÁNICA DINÁMICA 63