Coordenadas polaresDe Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda

Localizacin de un punto en coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posicin del plano se determina por un ngulo y una distancia. De manera ms precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y es el ngulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la coordenada radial mientras que el ngulo es la coordenada angular o ngulo polar. En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de es indefinido. En ocasiones se adopta la convencin de representar el origen por (0,0).

Contenido[ocultar]

1 Historia 2 Representacin de puntos con coordenadas polares 3 Conversin de coordenadas o 3.1 Conversin de coordenadas polares a rectangulares o 3.2 Conversin de coordenadas rectangulares a polares 4 Ecuaciones polares o 4.1 Crculo o 4.2 Lnea o 4.3 Rosa polar o 4.4 Espiral de Arqumedes o 4.5 Secciones cnicas 5 Nmeros complejos

6 Clculo infinitesimal o 6.1 Clculo diferencial o 6.2 Clculo integral o 6.3 Generalizacin o 6.4 Clculo vectorial 7 Extensin a ms de dos dimensiones o 7.1 Tres dimensiones 7.1.1 Coordenadas cilndricas 7.1.2 Coordenadas esfricas o 7.2 n dimensiones 8 Aplicaciones o 8.1 Posicin y navegacin o 8.2 Modelado o 8.3 Campos escalares 9 Vase tambin 10 Referencias 11 Enlaces externos

[editar] Historia

Sistema de coordenadas polares con varios ngulos medidos en grados. Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ngulo y radio se conocen y manejan desde la antigedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invencin de la geometra analtica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares. Los primeros usos empricos de relaciones entre ngulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegacin y el estudio de la bveda celeste. El astrnomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) cre una tabla trigonomtrica que daba la longitud de una cuerda en funcin del ngulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posicin de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arqumedes describe la espiral de Arqumedes, una funcin cuyo radio depende del ngulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacan uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar

puntos en el plano, situacin anloga al estado de la geometra antes de la invencin de la geometra analtica. En tiempos modernos, Grgoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solucin de problemas geomtricos. Saint-Vincent escribi sobre este tema en 1625 y public sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri public sus escritos en 1635 y una versin corregida en 1653. Cavalieri utiliz en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el rea dentro de una espiral de Arqumedes. Blaise Pascal utiliz posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parablicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Mtodo de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (adems de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el sptimo, es el de coordenadas polares.2 En el peridico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utiliz en 1691 un sistema con un punto en una lnea, llamndolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ngulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvi de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El trmino actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El trmino aparece por primera vez en ingls en la traduccin de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del clculo diferencial y del clculo integral de Sylvestre Franois Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero que pens en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

[editar] Representacin de puntos con coordenadas polares

Los puntos (3,60) y (4,210) en un sistema de coordenadas polares. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la lnea OL sobre la que se miden los ngulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ngulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60) indica que est a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ngulo de 60 sobre OL. El punto (4, 210) indica que est a una distancia de 4 unidades desde O y un ngulo de 210 sobre OL.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no est presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un nico punto del plano puede representarse con un nmero infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una funcin biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ngulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ngulo ms un nmero de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, ) se puede representar como (r, n360) o (r, (2n + 1)180), donde n es un nmero entero cualquiera.4 El centro de coordenadas est definido por una distancia nula, independientemente de los ngulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ngulo , un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una nica representacin de un punto, se suele limitar r a nmeros no negativos r 0 y al intervalo [0, 360) o (180, 180] (en radianes, [0, 2) o (, ]).6

Los ngulos en notacin polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegacin martima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones fsicas (especialmente la mecnica rotacional) y la mayor parte del clculo matemtico expresan las medidas en radianes.7

[editar] Conversin de coordenadas

Diagrama ilustrativo de la relacin entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas.

En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ngulo del vector de posicin sobre el eje x. [editar] Conversin de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ngulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

[editar] Conversin de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitgoras) Para determinar la coordenada angular , se deben distinguir dos casos:

Para r = 0, el ngulo puede tomar cualquier valor real. Para r 0, para obtener un nico valor de , debe limitarse a un intervalo de tamao 2. Por convencin, los intervalos utilizados son [0, 2) y (, ].

Para obtener en el intervalo [0, 2), se deben usar las siguientes frmulas (arctan denota la inversa de la funcin tangente):

Para obtener en el intervalo (, ], se deben usar las siguientes frmulas:

Muchos lenguajes de programacin modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementacin de la funcin atan2, que

tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la funcin atan puede recibir como parmetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

[editar] Ecuaciones polaresSe le llama ecuacin polar a la ecuacin que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuacin definiendo r como una funcin de . La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(), ) y se puede representar como la grfica de una funcin r. Se pueden deducir diferentes formas de simetra de la ecuacin de una funcin polar r. Si r() = r() la curva ser simtrica respecto al eje horizontal (0/180), si r(180) = r() ser simtrica respecto al eje vertical (90/ 270), y si r() = r() ser simtrico rotacionalmente en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuacin polar, mientras que en su forma cartesiana sera mucho ms intrincado. Algunas de las curvas ms conocidas son la rosa polar, la espiral de Arqumedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el crculo, la lnea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

[editar] Crculo

Un crculo con ecuacin r() = 1. La ecuacin general para un crculo con centro en (r0, ) y radio a es

En ciertos casos especficos, la ecuacin anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para un crculo con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

[editar] LneaLas lneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuacin

donde es el ngulo de elevacin de la lnea, esto es, = arctan m donde m es la pendiente de la lnea en el sistema de coordenadas cartesianas. La lnea no radial que cruza la lnea radial = perpendicularmente al punto (r0, ) tiene la ecuacin

[editar] Rosa polar

Una rosa polar con ecuacin r() = 2 sin 4. La rosa polar es una famosa curva matemtica que parece una flor con ptalos, y puede expresarse como una ecuacin polar simple,

para cualquier constante 0 (incluyendo al 0). Si k es un nmero entero, estas ecuaciones producirn una rosa de k ptalos cuando k es impar, o 2k ptalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producir una forma similar a una rosa pero con los ptalos solapados. Ntese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. ptalos. La variable a representa la longitud de los ptalos de la rosa.

[editar] Espiral de Arqumedes

Un brazo de la espiral de Arqumedes con ecuacin r() = para 0 < < 6. La espiral de Arqumedes es una famosa espiral descubierta por Arqumedes, la cual puede expresarse tambin como una ecuacin polar simple. Se representa con la ecuacin

Un cambio en el parmetro a producir un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arqumedes tiene dos brazos, uno para > 0 y otro para < 0. Los dos brazos estn conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, despus de las secciones cnicas, en ser descritas en tratados matemticos. Adems es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma ms fcil con una ecuacin polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logartmica y la espiral de Fermat.

[editar] Secciones cnicas

Elipse, indicndose su semilado recto. Una seccin cnica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cnica descanse sobre el eje polar) es dada por:

donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuacin define una hiprbola; si e = 1, define una parbola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un crculo de radio .

[editar] Nmeros complejos

Ilustracin de un nmero complejo z en el plano complejo.

Ilustracin de un nmero complejo en el plano complejo usando la frmula de Euler. Cada nmero complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El nmero complejo z se puede representar en forma rectangular como

donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las frmulas de conversin dadas arriba) como

por lo que se deduce que

donde e es la constante de Neper.9 Esta expresin es equivalente a la mostrada en la frmula de Euler. (Ntese que en esta frmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ngulos, se asume que el ngulo est expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un nmero complejo dado se pueden usar las frmulas de conversin vistas anteriormente. Para las operaciones de multiplicacin, divisin y exponenciacin de nmeros complejos, es normalmente mucho ms simple trabajar con nmeros complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:

Multiplicacin:

Divisin:

Exponenciacin (Frmula de De Moivre):

[editar] Clculo infinitesimalEl clculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta seccin se expresa la coordenada angular en radianes, al ser la opcin convencional en el anlisis matemtico.10 11

[editar] Clculo diferencialPartiendo de las ecuaciones de conversin entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene

Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r() en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramtricas

Diferenciando ambas ecuaciones respecto a resulta

Dividiendo la segunda ecuacin por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r()):

[editar] Clculo integral

La regin R est delimitada por la curva r() y las semirrectas = a y = b. Sea R una regin del plano delimitada por la curva continua r() y las semirrectas = a y = b, donde 0 < b a < 2. Entonces, el rea de R viene dado por

La regin R se aproxima por n sectores (aqu, n = 5). Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto , la longitud de cada subintervalo, es igual a b a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el nmero de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, , n, sea i su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(i),

ngulo central y longitud de arco a .

. El rea de cada sector es entonces igual

Por lo tanto, el rea total de todos los sectores es

Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximacin al rea. En el lmite, cuando n , la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral

[editar] GeneralizacinUsando las coordenadas cartesianas, un elemento de rea infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El mtodo de integracin por sustitucin para las integrales mltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversin Jacobiana:

Por lo tanto, un elemento de rea en coordenadas polares puede escribirse como:

Una funcin en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:

donde R es la regin comprendida por una curva r() y las rectas = a y = b. La frmula para el rea de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una funcin constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas frmulas es el clculo de la Integral de Gauss :

[editar] Clculo vectorial

El clculo vectorial puede aplicarse tambin a las coordenadas polares. Sea de posicin Sea , con r y dependientes del tiempo t.

el vector

un vector unitario en la direccin de

y

un vector unitario ortogonal a posicin son:

. Las derivadas primera y segunda del vector de

[editar] Extensin a ms de dos dimensiones[editar] Tres dimensionesEl sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilndricas y el sistema de coordenadas esfricas. El sistema de coordenadas cilndricas aade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esfricas aade una coordenada angular. [editar] Coordenadas cilndricas

Un punto representado en coordenadas cilndricas. Artculo principal: Coordenadas cilndricas

El sistema de coordenadas cilndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares aadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notacin de dichas coordenadas sea (r, , h). Las coordenadas cilndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

[editar] Coordenadas esfricas

Un punto representado en coordenadas esfricas. Artculo principal: Coordenadas esfricas Las coordenadas polares tambin pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (, , ), donde es la distancia al origen, es el ngulo con respecto al eje z (medido de 0 a 180), y es el ngulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0 y 360) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sita el origen en el centro de la Tierra, la latitud es el ngulo complementario de (es decir, = 90 ), y la longitud l viene dada por 180.12 Las coordenadas esfricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial inters cuando los ngulos determinan la funcin, como en el caso de la hlice.

[editar] n dimensionesEs posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representacin para 4 o ms dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene

[editar] AplicacionesLas coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se siten en un plano bidimensional. Son las ms adecuadas en cualquier contexto donde el fenmeno a considerar est directamente ligado con la direccin y longitud de un punto central, como en las figuras de revolucin, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arqumedes, cuya ecuacin en coordenadas cartesianas sera mucho ms intrincada. Adems muchos sistemas fsicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenmenos originados desde un punto central, son ms simples y ms intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivacin inicial de la introduccin del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.

[editar] Posicin y navegacinLas coordenadas polares se usan a menudo en navegacin, ya que el destino o la direccin del trayecto pueden venir dados por un ngulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegacin.

[editar] ModeladoLos sistemas que presentan simetra radial poseen unas caractersticas adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuacin del flujo de las aguas subterrneas cuando se aplica a pozos radialmente simtricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son tambin buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioelctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (vase el problema de los dos cuerpos).

Los sistemas radialmente asimtricos tambin pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrfono, que caracteriza la sensibilidad del micrfono en funcin de la direccin del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrfono cardioide estndar, el ms comn de los micrfonos, tiene por ecuacin r = 0,5 + 0,5 sin .13

[editar] Campos escalaresUn problema en el anlisis matemtico de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un lmite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados segn la trayectoria de aproximacin al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen ms inters para el anlisis (por anular habitualmente funciones racionales o logartmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y as aplicar el truco. Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el lmite al aproximarse al origen se reduce a un lmite de una nica variable, lo que resulta fcil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitsimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el lmite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.

[editar] Vase tambin

Coordenadas celestes Coordenadas esfricas Coordenadas geogrficas

[editar] Referencias1. Friendly, Michael. Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization. Consultado el 10 de noviembre de 2008. 2. Boyer, C. B. (1949). Newton as an Originator of Polar Coordinates. American Mathematical Monthly 56. 10.2307/2306162, pags. 73-78. http://www.jstor.org/pss/2306162. 3. Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II, Boston: Ginn and Co., pp. 324. 4. Polar Coordinates and Graphing (PDF) (13-04-2006). Consultado el 11 de enero de 2009. 5. (2005) Thomson Brooks/Cole (ed.). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry, Cuarta Edicin edicin. ISBN 0534402305. 6. (1983) Cambridge University Press (ed.). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634. 7. (2005) Brooks/ColeThomson Learning (ed.). Principles of Physics. ISBN 0534-49143-X. 8. Claeys, Johan. Polar coordinates. Consultado el 11 de enero de 2009.

9. Smith, Julius O.. Euler's Identity, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Consultado el 11 de enero. 10. Husch, Lawrence S.. Areas Bounded by Polar Curves. Consultado el 11 de enero de 2009. 11. Lawrence S. Husch. Tangent Lines to Polar Graphs. Consultado el 11 de enero de 2009. 12. Wattenberg, Frank (1997). Coordenadas esfricas. Consultado el 26 de noviembre de 2008. 13. Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edicin. ISBN 0387284702.

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Coordenadas polares. FooPlot (herramienta que puede mostrar grficas de funciones en coordenadas polares) Herramienta online para la conversin de coordenadas cartesianas en coordenadas polares y a la inversa Grficas de funciones en coordenadas polares

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares" Categora: Sistemas de coordenadas Categoras ocultas: Wikipedia:Artculos buenos | Wikipedia:Artculos buenos en w:uk | Wikipedia:Artculos buenos en w:fr | Wikipedia:Artculos destacados en w:af | Wikipedia:Artculos destacados en w:ca | Wikipedia:Artculos destacados en w:en | Wikipedia:Artculos destacados en w:eo | Wikipedia:Artculos destacados en w:koHerramientas personales

Nuevas caractersticas Registrarse/Entrar

Espacios de nombres

Pgina Discusin

Variantes Vistas

Leer Editar Ver historial

Acciones Buscar

Especial:Buscar

BsquedaNavegacin

Portada Portal de la comunidad Actualidad Cambios recientes Pgina aleatoria Ayuda Donaciones

Imprimir/exportar

Crear un libro Descargar como PDF Versin para imprimir

Herramientas

Lo que enlaza aqu Cambios en enlazadas Subir archivo Pginas especiales Enlace permanente Citar este artculo

Otros proyectos

Commons

En otros idiomas

Afrikaans Bosanski Catal esky Dansk Deutsch English Esperanto Suomi Franais Magyar Ido Italiano

Latvieu Nederlands orsk (bokm l) Polski Portugus Romn Srpskohrvatski / Slovenina Slovenina Shqip / Srpski Svenska Trke Ting Vit Esta pgina fue modificada por ltima vez el 10 jun 2010, a las 14:23. El texto est disponible bajo la Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir Igual 3.0; podran ser aplicables clusulas adicionales. Lee los trminos de uso para ms informacin. Poltica de privacidad Acerca de Wikipedia Descargo de responsabilidad

DD

Coordenadas polares

De Wikipedia, la enciclopedia libreSaltar a navegacin, bsqueda

Localizacin de un punto en coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posicin del plano se determina por un ngulo y una distancia. De manera ms precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r, ) donde r es la distancia del punto al origen o polo y es el ngulo positivo en sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la coordenada radial mientras que el ngulo es la coordenada angular o ngulo polar. En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de es indefinido. En ocasiones se adopta la convencin de representar el origen por (0,0).

Contenido[ocultar]

1 Historia 2 Representacin de puntos con coordenadas polares 3 Conversin de coordenadas o 3.1 Conversin de coordenadas polares a rectangulares o 3.2 Conversin de coordenadas rectangulares a polares 4 Ecuaciones polares o 4.1 Crculo o 4.2 Lnea o 4.3 Rosa polar o 4.4 Espiral de Arqumedes o 4.5 Secciones cnicas 5 Nmeros complejos 6 Clculo infinitesimal o 6.1 Clculo diferencial o 6.2 Clculo integral o 6.3 Generalizacin o 6.4 Clculo vectorial 7 Extensin a ms de dos dimensiones

7.1 Tres dimensiones 7.1.1 Coordenadas cilndricas 7.1.2 Coordenadas esfricas o 7.2 n dimensiones 8 Aplicaciones o 8.1 Posicin y navegacin o 8.2 Modelado o 8.3 Campos escalares 9 Vase tambin 10 Referencias 11 Enlaces externos

o

[editar] Historia

Sistema de coordenadas polares con varios ngulos medidos en grados. Si bien existen ejemplos de que los conceptos de ngulo y radio se conocen y manejan desde la antigedad, no es sino hasta el siglo XVII, posterior a la invencin de la geometra analtica, en que se puede hablar del concepto formal de sistema coordenadas polares. Los primeros usos empricos de relaciones entre ngulos y distancias se relacionan con aplicaciones a la navegacin y el estudio de la bveda celeste. El astrnomo Hiparco (190 a. C.-120 a. C.) cre una tabla trigonomtrica que daba la longitud de una cuerda en funcin del ngulo y existen referencias del uso de coordenadas polares para establecer la posicin de las estrellas.1 En Sobre las espirales, Arqumedes describe la espiral de Arqumedes, una funcin cuyo radio depende del ngulo. Sin embargo, estas aplicaciones no hacan uso de un sistema de coordenadas como medio de localizar puntos en el plano, situacin anloga al estado de la geometra antes de la invencin de la geometra analtica. En tiempos modernos, Grgoire de Saint-Vincent y Bonaventura Cavalieri introdujeron de forma independiente el concepto a mediados del siglo XVII en la solucin de problemas geomtricos. Saint-Vincent escribi sobre este tema en 1625 y public sus trabajos en 1647, mientras que Cavalieri public sus escritos en 1635 y una versin

corregida en 1653. Cavalieri utiliz en primer lugar las coordenadas polares para resolver un problema relacionado con el rea dentro de una espiral de Arqumedes. Blaise Pascal utiliz posteriormente las coordenadas polares para calcular la longitud de arcos parablicos. Sin embargo, el concepto abstracto de sistema de coordenada polar se debe a Sir Isaac Newton, quien en su Mtodo de las fluxiones escrito en 1671 y publicado en 1736, introduce ocho nuevos sistemas de coordenadas (adems de las cartesianas) para resolver problemas relativos a tangentes y curvas, uno de los cuales, el sptimo, es el de coordenadas polares.2 En el peridico Acta Eruditorum Jacob Bernoulli utiliz en 1691 un sistema con un punto en una lnea, llamndolos polo y eje polar respectivamente. Las coordenadas se determinaban mediante la distancia al polo y el ngulo respecto al eje polar. El trabajo de Bernoulli sirvi de base para encontrar el radio de curvatura de ciertas curvas expresadas en este sistema de coordenadas. El trmino actual de coordenadas polares se atribuye a Gregorio Fontana, y fue utilizado por los escritores italianos del siglo XVIII. El trmino aparece por primera vez en ingls en la traduccin de 1816 efectuada por George Peacock del Tratado del clculo diferencial y del clculo integral de Sylvestre Franois Lacroix,3 mientras que Alexis Clairault fue el primero que pens en ampliar las coordenadas polares a tres dimensiones.

[editar] Representacin de puntos con coordenadas polares

Los puntos (3,60) y (4,210) en un sistema de coordenadas polares. En la figura se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia (punto O) y la lnea OL sobre la que se miden los ngulos. Para referenciar un punto se indica la distancia al centro de coordenadas y el ngulo sobre el eje OL.

El punto (3, 60) indica que est a una distancia de 3 unidades desde O, medidas con un ngulo de 60 sobre OL. El punto (4, 210) indica que est a una distancia de 4 unidades desde O y un ngulo de 210 sobre OL.

Un aspecto importante del sistema de coordenadas polares, que no est presente en el sistema de coordenadas cartesianas, es que un nico punto del plano puede

representarse con un nmero infinito de coordenadas diferentes. Se puede decir entonces que en el sistema de coordenadas polares no hay una funcin biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas. Esto ocurre por dos motivos:

Un punto, definido por un ngulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ngulo ms un nmero de revoluciones completas y la misma distancia. En general, el punto (r, ) se puede representar como (r, n360) o (r, (2n + 1)180), donde n es un nmero entero cualquiera.4 El centro de coordenadas est definido por una distancia nula, independientemente de los ngulos que se especifiquen. Normalmente se utilizan las coordenadas arbitrarias (0, ) para representar el polo, ya que independientemente del valor que tome el ngulo , un punto con radio 0 se encuentra siempre en el polo.5 Estas circunstancias deben tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas. Para obtener una nica representacin de un punto, se suele limitar r a nmeros no negativos r 0 y al intervalo [0, 360) o (180, 180] (en radianes, [0, 2) o (, ]).6

Los ngulos en notacin polar se expresan normalmente en grados o en radianes, dependiendo del contexto. Por ejemplo, las aplicaciones de navegacin martima utilizan las medidas en grados, mientras que algunas aplicaciones fsicas (especialmente la mecnica rotacional) y la mayor parte del clculo matemtico expresan las medidas en radianes.7

[editar] Conversin de coordenadas

Diagrama ilustrativo de la relacin entre las coordenadas polares y las coordenadas cartesianas. En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ngulo del vector de posicin sobre el eje x. [editar] Conversin de coordenadas polares a rectangulares Definido un punto en coordenadas polares por su ngulo sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:

[editar] Conversin de coordenadas rectangulares a polares Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es: (aplicando el Teorema de Pitgoras) Para determinar la coordenada angular , se deben distinguir dos casos:

Para r = 0, el ngulo puede tomar cualquier valor real. Para r 0, para obtener un nico valor de , debe limitarse a un intervalo de tamao 2. Por convencin, los intervalos utilizados son [0, 2) y (, ].

Para obtener en el intervalo [0, 2), se deben usar las siguientes frmulas (arctan denota la inversa de la funcin tangente):

Para obtener en el intervalo (, ], se deben usar las siguientes frmulas:

Muchos lenguajes de programacin modernos evitan tener que almacenar el signo del numerador y del denominador gracias a la implementacin de la funcin atan2, que tiene argumentos separados para el numerador y el denominador. En los lenguajes que permiten argumentos opcionales, la funcin atan puede recibir como parmetro la coordenada x (como ocurre en Lisp).

[editar] Ecuaciones polaresSe le llama ecuacin polar a la ecuacin que define una curva algebraica expresada en coordenadas polares. En muchos casos se puede especificar tal ecuacin definiendo r

como una funcin de . La curva resultante consiste en una serie de puntos en la forma (r(), ) y se puede representar como la grfica de una funcin r. Se pueden deducir diferentes formas de simetra de la ecuacin de una funcin polar r. Si r() = r() la curva ser simtrica respecto al eje horizontal (0/180), si r(180) = r() ser simtrica respecto al eje vertical (90/ 270), y si r() = r() ser simtrico rotacionalmente en sentido horario respecto al polo. Debido a la naturaleza circular del sistema de coordenadas polar, muchas curvas se pueden describir con una simple ecuacin polar, mientras que en su forma cartesiana sera mucho ms intrincado. Algunas de las curvas ms conocidas son la rosa polar, la espiral de Arqumedes, la lemniscata, el caracol de Pascal y la cardioide. Para los apartados siguientes se entiende que el crculo, la lnea y la rosa polar no tienen restricciones en el dominio y rango de la curva.

[editar] Crculo

Un crculo con ecuacin r() = 1. La ecuacin general para un crculo con centro en (r0, ) y radio a es

En ciertos casos especficos, la ecuacin anterior se puede simplificar. Por ejemplo, para un crculo con centro en el polo y radio a, se obtiene:8

[editar] LneaLas lneas radiales (aquellas que atraviesan el polo) se representan mediante la ecuacin

donde es el ngulo de elevacin de la lnea, esto es, = arctan m donde m es la pendiente de la lnea en el sistema de coordenadas cartesianas. La lnea no radial que cruza la lnea radial = perpendicularmente al punto (r0, ) tiene la ecuacin

[editar] Rosa polar

Una rosa polar con ecuacin r() = 2 sin 4. La rosa polar es una famosa curva matemtica que parece una flor con ptalos, y puede expresarse como una ecuacin polar simple,

para cualquier constante 0 (incluyendo al 0). Si k es un nmero entero, estas ecuaciones producirn una rosa de k ptalos cuando k es impar, o 2k ptalos si k es par. Si k es racional pero no entero, se producir una forma similar a una rosa pero con los ptalos solapados. Ntese que estas ecuaciones nunca definen una rosa con 2, 6, 10, 14, etc. ptalos. La variable a representa la longitud de los ptalos de la rosa.

[editar] Espiral de Arqumedes

Un brazo de la espiral de Arqumedes con ecuacin r() = para 0 < < 6. La espiral de Arqumedes es una famosa espiral descubierta por Arqumedes, la cual puede expresarse tambin como una ecuacin polar simple. Se representa con la ecuacin

Un cambio en el parmetro a producir un giro en la espiral, mientras que b controla la distancia entre los brazos, la cual es constante para una espiral dada. La espiral de Arqumedes tiene dos brazos, uno para > 0 y otro para < 0. Los dos brazos estn conectados en el polo. La imagen especular de un brazo sobre el eje vertical produce el otro brazo. Esta curva es una de las primeras curvas, despus de las secciones cnicas, en ser descritas en tratados matemticos. Adems es el principal ejemplo de curva que puede representarse de forma ms fcil con una ecuacin polar.

Otros ejemplos de espirales son la espiral logartmica y la espiral de Fermat.

[editar] Secciones cnicas

Elipse, indicndose su semilado recto. Una seccin cnica con un foco en el polo y el otro en cualquier punto del eje horizontal (de modo que el semieje mayor de la cnica descanse sobre el eje polar) es dada por:

donde e es la excentricidad y es el semilado recto (la distancia perpendicular a un foco desde el eje mayor a la curva). Si e > 1, esta ecuacin define una hiprbola; si e = 1, define una parbola; y si e < 1, define una elipse. Para la elipse, el caso especial e = 0 resulta en un crculo de radio .

[editar] Nmeros complejos

Ilustracin de un nmero complejo z en el plano complejo.

Ilustracin de un nmero complejo en el plano complejo usando la frmula de Euler. Cada nmero complejo se puede representar como un punto en el plano complejo, y se puede expresar, por tanto, como un punto en coordenadas cartesianas o en coordenadas polares. El nmero complejo z se puede representar en forma rectangular como

donde i es la unidad imaginaria. De forma alternativa, se puede escribir en forma polar (mediante las frmulas de conversin dadas arriba) como

por lo que se deduce que

donde e es la constante de Neper.9 Esta expresin es equivalente a la mostrada en la frmula de Euler. (Ntese que en esta frmula, al igual que en todas aquellas en las que intervienen exponenciales de ngulos, se asume que el ngulo est expresado en radianes.) Para pasar de la forma polar a la forma rectangular de un nmero complejo dado se pueden usar las frmulas de conversin vistas anteriormente. Para las operaciones de multiplicacin, divisin y exponenciacin de nmeros complejos, es normalmente mucho ms simple trabajar con nmeros complejos expresados en forma polar que con su equivalente en forma rectangular:

Multiplicacin:

Divisin:

Exponenciacin (Frmula de De Moivre):

[editar] Clculo infinitesimalEl clculo infinitesimal puede ser aplicado a las ecuaciones expresadas en coordenadas polares. A lo largo de esta seccin se expresa la coordenada angular en radianes, al ser la opcin convencional en el anlisis matemtico.10 11

[editar] Clculo diferencialPartiendo de las ecuaciones de conversin entre coordenadas rectangulares y polares, y tomando derivadas parciales se obtiene

Para encontrar la pendiente en cartesianas de la recta tangente a una curva polar r() en un punto dado, la curva debe expresarse primero como un sistema de ecuaciones paramtricas

Diferenciando ambas ecuaciones respecto a resulta

Dividiendo la segunda ecuacin por la primera se obtiene la pendiente cartesiana de la recta tangente a la curva en el punto (r, r()):

[editar] Clculo integral

La regin R est delimitada por la curva r() y las semirrectas = a y = b. Sea R una regin del plano delimitada por la curva continua r() y las semirrectas = a y = b, donde 0 < b a < 2. Entonces, el rea de R viene dado por

La regin R se aproxima por n sectores (aqu, n = 5). Este resultado puede obtenerse de la siguiente manera. En primer lugar, el intervalo [a, b] se divide en n subintervalos, donde n es un entero positivo cualquiera. Por lo tanto , la longitud de cada subintervalo, es igual a b a (la longitud total del intervalo) dividido por n (el nmero de subintervalos). Para cada subintervalo i = 1, 2, , n, sea i su punto medio. Se puede construir un sector circular con centro en el polo, radio r(i),

ngulo central y longitud de arco a .

. El rea de cada sector es entonces igual

Por lo tanto, el rea total de todos los sectores es

Cuanto mayor sea n, mejor es la aproximacin al rea. En el lmite, cuando n , la suma pasa a ser una suma de Riemann, y por tanto converge en la integral

[editar] GeneralizacinUsando las coordenadas cartesianas, un elemento de rea infinitesimal puede ser calculado como dA = dx dy. El mtodo de integracin por sustitucin para las integrales mltiples establece que, cuando se utiliza otro sistema de coordenadas, debe tenerse en cuenta la matriz de conversin Jacobiana:

Por lo tanto, un elemento de rea en coordenadas polares puede escribirse como:

Una funcin en coordenadas polares puede ser integrada como sigue:

donde R es la regin comprendida por una curva r() y las rectas = a y = b. La frmula para el rea de R mencionada arriba se obtiene tomando f como una funcin constante igual a 1. Una de las aplicaciones de estas frmulas es el clculo de la Integral de Gauss :

[editar] Clculo vectorial

El clculo vectorial puede aplicarse tambin a las coordenadas polares. Sea de posicin Sea , con r y dependientes del tiempo t.

el vector

un vector unitario en la direccin de

y

un vector unitario ortogonal a posicin son:

. Las derivadas primera y segunda del vector de

[editar] Extensin a ms de dos dimensiones[editar] Tres dimensionesEl sistema de coordenadas polares puede extenderse a tres dimensiones con dos sistemas de coordenadas diferentes: el sistema de coordenadas cilndricas y el sistema de coordenadas esfricas. El sistema de coordenadas cilndricas aade una coordenada de distancia, mientras que el sistema de coordenadas esfricas aade una coordenada angular. [editar] Coordenadas cilndricas

Un punto representado en coordenadas cilndricas. Artculo principal: Coordenadas cilndricas

El sistema de coordenadas cilndricas es un sistema de coordenadas que extiende al sistema de coordenadas polares aadiendo una tercera coordenada que mide la altura de un punto sobre el plano, de la misma forma que el sistema de coordenadas cartesianas se extiende a tres dimensiones. La tercera coordenada se suele representar por h, haciendo que la notacin de dichas coordenadas sea (r, , h). Las coordenadas cilndricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

[editar] Coordenadas esfricas

Un punto representado en coordenadas esfricas. Artculo principal: Coordenadas esfricas Las coordenadas polares tambin pueden extenderse a tres dimensiones usando las coordenadas (, , ), donde es la distancia al origen, es el ngulo con respecto al eje z (medido de 0 a 180), y es el ngulo con respecto al eje x (igual que en las coordenadas polares, entre 0 y 360) Este sistema de coordenadas es similar al sistema utilizado para denotar la altitud y la latitud de un punto en la superficie de la Tierra, donde se sita el origen en el centro de la Tierra, la latitud es el ngulo complementario de (es decir, = 90 ), y la longitud l viene dada por 180.12 Las coordenadas esfricas pueden convertirse en coordenadas cartesianas de la siguiente manera:

Las coordenadas polares en el espacio tienen especial inters cuando los ngulos determinan la funcin, como en el caso de la hlice.

[editar] n dimensionesEs posible generalizar estas ampliaciones de forma que se obtenga un sistema de representacin para 4 o ms dimensiones. Por ejemplo, para 4 dimensiones se obtiene

[editar] AplicacionesLas coordenadas polares son bidimensionales, por lo que solamente se pueden usar donde las posiciones de los puntos se siten en un plano bidimensional. Son las ms adecuadas en cualquier contexto donde el fenmeno a considerar est directamente ligado con la direccin y longitud de un punto central, como en las figuras de revolucin, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc. Los ejemplos vistos anteriormente muestran la facilidad con la que las coordenadas polares definen curvas como la espiral de Arqumedes, cuya ecuacin en coordenadas cartesianas sera mucho ms intrincada. Adems muchos sistemas fsicos, tales como los relacionados con cuerpos que se mueven alrededor de un punto central, o los fenmenos originados desde un punto central, son ms simples y ms intuitivos de modelar usando coordenadas polares. La motivacin inicial de la introduccin del sistema polar fue el estudio del movimiento circular y el movimiento orbital.

[editar] Posicin y navegacinLas coordenadas polares se usan a menudo en navegacin, ya que el destino o la direccin del trayecto pueden venir dados por un ngulo y una distancia al objeto considerado. Las aeronaves, por ejemplo, utilizan un sistema de coordenadas polares ligeramente modificado para la navegacin.

[editar] ModeladoLos sistemas que presentan simetra radial poseen unas caractersticas adecuadas para el sistema de coordenadas polares, con el punto central actuando como polo. Un primer ejemplo de este uso es la ecuacin del flujo de las aguas subterrneas cuando se aplica a pozos radialmente simtricos. De la misma manera, los sistemas influenciados por una fuerza central son tambin buenos candidatos para el uso de las coordenadas polares. Algunos ejemplos son las antenas radioelctricas, o los campos gravitatorios, que obedecen a la ley de la inversa del cuadrado (vase el problema de los dos cuerpos).

Los sistemas radialmente asimtricos tambin pueden modelarse con coordenadas polares. Por ejemplo la directividad de un micrfono, que caracteriza la sensibilidad del micrfono en funcin de la direccin del sonido recibido, puede representarse por curvas polares. La curva de un micrfono cardioide estndar, el ms comn de los micrfonos, tiene por ecuacin r = 0,5 + 0,5 sin .13

[editar] Campos escalaresUn problema en el anlisis matemtico de funciones de varias variables es la dificultad para probar la existencia de un lmite, ya que pueden obtenerse diferentes resultados segn la trayectoria de aproximacin al punto. En el origen de coordenadas, uno de los puntos que tienen ms inters para el anlisis (por anular habitualmente funciones racionales o logartmicas), este problema puede solventarse aplicando coordenadas polares. En otros puntos es posible realizar un cambio de sistema de referencia y as aplicar el truco. Al sustituir las coordenadas cartesianas x, y, z... por sus correspondientes equivalencias en coordenadas polares, el lmite al aproximarse al origen se reduce a un lmite de una nica variable, lo que resulta fcil de calcular por ser el seno y el coseno funciones acotadas y r un infinitsimo. Si el resultado no muestra dependencia angular, es posible aseverar que el lmite es indistinto del punto y trayectoria desde el que se ha aproximado.

[editar] Vase tambin

Coordenadas celestes Coordenadas esfricas Coordenadas geogrficas

[editar] Referencias1. Friendly, Michael. Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization. Consultado el 10 de noviembre de 2008. 2. Boyer, C. B. (1949). Newton as an Originator of Polar Coordinates. American Mathematical Monthly 56. 10.2307/2306162, pags. 73-78. http://www.jstor.org/pss/2306162. 3. Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II, Boston: Ginn and Co., pp. 324. 4. Polar Coordinates and Graphing (PDF) (13-04-2006). Consultado el 11 de enero de 2009. 5. (2005) Thomson Brooks/Cole (ed.). Precalculus: With Unit-Circle Trigonometry, Cuarta Edicin edicin. ISBN 0534402305. 6. (1983) Cambridge University Press (ed.). Complex Analysis (the Hitchhiker's Guide to the Plane). ISBN 0521287634. 7. (2005) Brooks/ColeThomson Learning (ed.). Principles of Physics. ISBN 0534-49143-X. 8. Claeys, Johan. Polar coordinates. Consultado el 11 de enero de 2009.

9. Smith, Julius O.. Euler's Identity, Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7. Consultado el 11 de enero. 10. Husch, Lawrence S.. Areas Bounded by Polar Curves. Consultado el 11 de enero de 2009. 11. Lawrence S. Husch. Tangent Lines to Polar Graphs. Consultado el 11 de enero de 2009. 12. Wattenberg, Frank (1997). Coordenadas esfricas. Consultado el 26 de noviembre de 2008. 13. Eargle, John (2005). Springer (ed.). Handbook of Recording Engineering, Fourth Edition edicin. ISBN 0387284702.

[editar] Enlaces externos

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Coordenadas polares. FooPlot (herramienta que puede mostrar grficas de funciones en coordenadas polares) Herramienta online para la conversin de coordenadas cartesianas en coordenadas polares y a la inversa Grficas de funciones en coordenadas polares

Obtenido de "http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polares" Categora: Sistemas de coordenadas Categoras ocultas: Wikipedia:Artculos buenos | Wikipedia:Artculos buenos en w:uk | Wikipedia:Artculos buenos en w:fr | Wikipedia:Artculos destacados en w:af | Wikipedia:Artculos destacados en w:ca | Wikipedia:Artculos destacados en w:en | Wikipedia:Artculos destacados en w:eo | Wikipedia:Artculos destacados en w:koHerramientas personales

Nuevas caractersticas Registrarse/Entrar

Espacios de nombres

Pgina Discusin

Variantes Vistas

Leer Editar Ver historial

Acciones Buscar

Especial:Buscar

BsquedaNavegacin

Portada Portal de la comunidad Actualidad Cambios recientes Pgina aleatoria Ayuda Donaciones

Imprimir/exportar

Crear un libro Descargar como PDF Versin para imprimir

Herramientas

Lo que enlaza aqu Cambios en enlazadas Subir archivo Pginas especiales Enlace permanente Citar este artculo

Otros proyectos

Commons

En otros idiomas

Afrikaans Bosanski Catal esky Dansk Deutsch English Esperanto Suomi Franais Magyar Ido Italiano

Latvieu Nederlands orsk (bokm l) Polski Portugus Romn Srpskohrvatski / Slovenina Slovenina Shqip / Srpski Svenska Trke Ting Vit Esta pgina fue modificada por ltima vez el 10 jun 2010, a las 14:23. El texto est disponible bajo la Licencia Creative Commons Reconocimiento Compartir Igual 3.0; podran ser aplicables clusulas adicionales. Lee los trminos de uso para ms informacin. Poltica de privacidad Acerca de Wikipedia Descargo de responsabilidad

Agregar a favoritos

Invitar a un amigo

Ayuda

Portugus Regstrese! | Iniciar sesin

0

and

En el ndice

Busqueda avanzada

Monografas Nuevas Publicar Blogs ForosMonografias.com > Geografia Descargar Imprimir Comentar Ver trabajos relacionados

Anuncios GoogleDiagrama de Gantt Online

Fcil. Veloz. Visual. Rentable. Apreciado por miles de gestores.www.Wrike.es

Publicar Propiedades Per

Sitio Inmobiliario de El Comercio Negocios Inmobiliarios En Todo Perwww.Urbania.pe/PropiedadesPeru

Graficando en coordenadas polaresEnviado por jaimemontoya Anuncios Google: Los Ingenieros UTP Quieres saber qu Ingeniero eres? Avergualo y Gana muchos Premios! | LosIngenierosUTP.com Mdulos LCD grficos Todos tamaos, colores, interfaces Gran soporte tcnico y precios | www.crystalfontz.com

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

Objetivos Introduccin Rosa de cuatro hojas/ptalos Rosa de tres hojas/ptalos Rosa de ocho hojas/ptalos Una rosa dentro de otra Cardioides Limacones o caracoles Circunferencia Lemniscata La Nefroide de Freeth Concoides de Nicmenes Cisoide de Diocles Parbola Espiral

17. Conclusin 18. Bibliografa

OBJETIVO GENERAL

Estudiar y analizar las diferentes figuras que se forman mediante la graficacin de funciones trabajando con coordenadas polares. OBJETIVOS ESPECFICOS

Apreciar las figuras que se forman con funciones en el plano polar. Visualizar la importancia de las coordenadas polares. Diferenciar las figuras de funciones formadas en coordenadas polares. Familiarizarse de manera global con los grficos que resultan de determinadas funciones. INTRODUCCIN

Al comenzar los estudios del Clculo se suele trabajar de forma especial con coordenadas planas o coordenadas cartesianas, dejando de lado las coordenadas polares. Sin embargo, conforme se contina avanzando en el estudio del Clculo, nos damos cuenta de la necesidad de utilizar coordenadas polares para realizar ciertos clculos y procedimientos que no podran realizarse exitosamente con coordenadas cartesianas. No se trata de que un sistema de coordenadas sea mejor que el otro, sino que ambos son importantes pero uno servir algunas veces y el otro servir en otras ocasiones, dependiendo de nuestras necesidades y del trabajo que estemos realizando. En este trabajo investigativo se presenta una buena cantidad de grficos que nos permitirn conocer muchas de las figuras o grficos que se forman usualmente a travs de funciones en coordenadas polares. Cada uno de ellos tiene una breve explicacin que consiste en describir el grfico que resulta de la funcin y tambin se dan algunos breves detalles histricos o caractersticas que nos permiten reconocer determinado grfico. Para hacernos una idea general de los grficos que se presentarn durante las pginas que veremos seguidamente, vemos ahora un listado general de los tipos de funciones que son graficados en este reporte o las figuras que resultarn: 1. Rosa 2. Cardioide 3. Limaon o caracol

4. Circunferencia 5. Lemniscata 6. Nefroide de Freeth 7. Concoide de Nicmenes 8. Cisoide de Diocles 9. Parbola 10. Espiral Por supuesto que existen muchsimas otras figuras que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las ms importantes o comunes, a la vez que se muestra ms de un ejemplo para casi todos los tipos de grfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada funcin tendr al ser graficada en las coordenadas polares. Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada figura y se tenga una idea global de los tipos de grfico que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas polares. ROSA DE CUATRO HOJAS/PTALOS Este tipo de grfico se conoce como Rosa de cuatro ptalos. Es fcil ver cmo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro ptalos. La funcin para este grfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PTALOS Presentamos ahora el grfico llamado Rosa de tres ptalos. Analgicamente al grfico de la rosa de cuatro ptalos, este grfico es parecido pero tiene slo tres hojas o ptalos en su forma grfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PTALOS El siguiente grfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o ptalos, tal como lo vemos en la siguiente funcin graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRA Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la grfica que vemos a continuacin, donde se aprecia una rosa de tres ptalos precisamente dentro de otra rosa de tres ptalos u hojas. Veamos:

CARDIOIDES A continuacin se presenta el tipo de grfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simtrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazn, razn por la cual se llama este grfico cardioide. La funcin que lo ha generado es:

Habiendo visto el primer grfico de una cardiode, se presenta otro grfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el grfico de la siguiente funcin:

LIMACONES O CARACOLES Limaon viene del latn limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubri Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio Roberval en 1650 cuando la us como ejemplo para mostrar su mtodo para trazar tangentes. Un limaon o las grficas polares que generan limaones son las funciones en coordenadas polares con la forma: r = 1 + b cos Ahora veamos un ejemplo concreto de un grfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La funcin para este grfico es la siguiente:

Veamos otro grfico de una funcin que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del grfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la grfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y est dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuacin el grfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un grfico igual al anterior con la diferencia que ahora est dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaon o caracol con hendidura o concavidad que est dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro grfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual est apuntando hacia arriba, como lo vemos en el grfico siguiente:

CIRCUNFERENCIA Esta nueva funcin nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual ser formada en el grfico polar mediante la siguiente funcin:

Ahora veamos una nueva grfica que resulta en una circunferencia, con la nica diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del grfico anterior, que la circunferencia apareca abajo del radio inicial. La funcin con su grfico es esta:

LEMNISCATA En matemticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuacin en coordenadas polares:

La representacin grfica de esta ecuacin genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el smbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemticas. El smbolo en s mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta funcin con su respectivo grfico lo apreciamos a continuacin:

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

Finalmente se muestra un grfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la nica diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. Veamos:

LA NEFROIDE DE FREETH Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las dems. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es

bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemtico ingls T.J. Freeth, quien descubri esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este grfico:

CONCOIDES DE NICMENES Nicmenes naci sobre el ao 280 antes de Cristo en Grecia y muri en el ao 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las lneas de la Concoide". Veamos un grfico en coordenadas polares de la concoide de Nicmenes:

Veamos un nuevo ejemplo de una concoide de Nicmenes. La grfica anterior est hacia la derecha, mientras que la que se presenta a continuacin tiene una direccin hacia arriba. Veamos:

Un tercer ejemplo de Concoide de Nocmenes lo tenemos en el grfico que se muestra a continuacin, donde su forma se ve diferente a los dos grficos anteriores de este mismo tipo debido a que se le est restando un nmero uno a la funcin. El mismo grfico veramos si se le estuviera sumando uno a la funcin. El grfico quedar as:

CISOIDE DE DIOCLES Esta es una curva muy famosa y til en el clculo. Fue utilizada por un griego llamado Diocles para resolver el problema de la duplicacin del cubo. El grfico aparece de esta forma:

PARBOLA Esta figura es muy conocida en el mundo del Clculo. Tal como podemos generar funciones de parbolas en coordenadas cartesianas, lo podemos hacer tambin en coordenadas polares. Veamos el ejemplo:

ESPIRAL Este grfico tiene la forma de una espiral, tal como su nombre lo indica. La espiral ms simple la podemos encontrar al mirar una cuerda enrollada sobre s misma. La forma de una espiral la vemos en una serpiente enrollada por ejemplo. El grfico que se presenta a continuacin es tambin conocido como Espiral de Arqumedes, precisamente en honor Arqumedes, quien fue un notable fsico y matemtico griego que al ser fascinado por la belleza de esta curva, realiz un estudio profundo sobre sus propiedades matemticas en su escrito titulado Sobre las espirales, escrito en el siglo III antes de Cristo. Para mostrar el grfico que se forma, presentamos la siguiente funcin en coordenadas polares que formar la espiral polar siguiente:

Veamos ahora otra grfica espiral conocida como espiral de Fermat, pues fue examinada por Fermat en 1936. Su ecuacin es r = a + . En el siguiente ejemplo se muestra una funcin y su respectiva grfica que nos permiten conocer la espiral de Fertat:

Un segundo grfico espiral lo tenemos en la funcin que veremos ahora, que podramos encontrarla con dos nombres refirindose al mismo grfico. Ambos nombres equivalen a lo mismo como podremos apreciar . Dichos nombres con los que se conoce a esta espiral son: espiral recproca o espiral hiperbolica. Tendremos entonces:

Otro caso que se puede dar es la espiral logartmica, que se ilustra mediante la siguiente funcin y su respectivo grfico:

CONCLUSIN Luego de haber visto todas las curvas polares presentadas a lo largo de esta investigacin, podemos darnos cuenta que hay muchas figuras que se forman en las coordenadas polares que pueden ser identificadas y reconocidas por un nombre propio que las hace particulares.

El conocer las tendencias que una funcin determinada tiene en las coordenadas polares es una gran ayuda previa que nos facilitar la graficacin de las mismas. Aunque en la actualidad se cuenta con importantes programas de computacin que hacen las grficas con la simple accin de introducir la funcin que necesitamos, es totalmente necesario que como estudiantes de Ingeniera conozcamos cmo se forman y de dnde nacen matemticamente cada una de estas figuras. Al graficar sobre papel sin la herramienta de una calculadora graficadora y sin ningn programa que grafique funciones polares, resultar obviamente ms difcil y nos llevar ms tiempo el crear estas figuras grficamente, pero si tenemos los conocimientos necesarios en cuanto a las forma de encontrar los puntos y tenemos una idea previa de las tendencias que presentar el grfico y si es simtrico o no, seremos capaces de graficar sin complicaciones las funciones que se nos presenten y los problemas que se nos pida desarrollar. En este trabajo se ha tratado tambin de presentar ms de un ejemplo de cada grfico, de manera que no estemos limitados a un solo caso, sino que veamos las diferentes formas que pueden apreciarse en cada tipo de curva polar. Las explicaciones proporcionadas al inicio de cada grfico sirven para describir y dar una explicacin general del nombre y forma que encontraremos en cada grfico, y en algunos casos tambin se da una resea histrica del porqu del nombre del grfico as como tambin de la persona que lo descubri. Es de esta manera que se concluye este trabajo, esperando que sea provechoso y de valor y utilidad. BIBLIOGRAFA Leithold, Louis. El Clculo. Sptima Edicin. Oxford University Press. 1994 Thomas, George. Clculo Varias Variables. Undcima Edicin. Pearson Addison Wesley Educacin. 2005 Wikipedia, la enciclopedia libre. http://es.wikipedia.org/wiki/Lemniscata Ministerio de Educacin y Ciencia. Formacin del profesorado. Espaa. http://www.formacion.pntic.mec.es/web_espiral/matematicas/ arquimedes.htm Sociedad Andaluza de Educacin Matemtica Thales. http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0648- 02/esp_fermat.html

Jaime Oswaldo Montoya Guzmn jaimemontoya[arroba]gmail.com Fecha de finalizacin del documento: 20 de febrero de 2006. Nivel de estudios: segundo ao en la carrera Ingeniera en Sistemas Informticos. Centro de estudios: Universidad Catlica de Occidente. Ciudad y pas: Santa Ana, El Salvador.

ComentariosDomingo, 25 de Abril de 2010 a las 13:04 | 0

Ceal Garc Pero que buen trabajo de monografia, me quedo todo mas claro que con la clase de mi profe, sigue asi y puede que seas autor de un libro

Mostrando 1-1 de un total de 1 comentarios. Pginas: 1 Para dejar un comentario, regstrese gratis o si ya est registrado, inicie sesin.

Agregar un comentarioLos comentarios estn sujetos a los Trminos y Condiciones

Enviar comentario

Trabajos relacionadosEl Asentamiento de Alorda Park Concepto de Oppidum en el Mundo IbricoConcepto de oppidum. Asentamiento poblacional ibrico. El yacimiento de Alorda Park. El trmino oppidum es un trmino la...

Medio siglo de accin cultural francesa: Elementos para una cronologaLos aos postguerra. Los aos cincuenta. Los aos sesenta. Los aos ochenta. Los aos noventa. Situacin actual. Para ...

Pases de fricaDescripcin de los distintos pases del continente Africano. Madagascar. Argelia. Zanzbar. Pemba. Libia. Egipto. Sudn.... Ver mas trabajos de GeografiaNota al lector: es posible que esta pgina no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de pgina, avanzadas formulas matemticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Recuerde que para ver el trabajo en su versin original completa, puede descargarlo desde el men superior.

Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El objetivo de Monografias.com es poner el conocimiento a disposicin de toda su comunidad. Queda bajo la

responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta informacin. Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de informacin.

El Centro de Tesis, Documentos, Publicaciones y Recursos Educativos ms amplio de la Red. Trminos y Condiciones | Haga publicidad en Monografas.com | Contctenos | Blog Institucional Monografias.com S.A.

E-mail:

Regstrese gratis Olvid su contrasea? Ayuda

Contrasea:

Recordarme en este equipo

Iniciar sesin