Ingeniería en Sistemas Computacionales

COORDENADAS: POLARES, CILINDRICAS Y ESFERICAS

Materia:Cálculo Vectorial

Docente:Ing. Yesica Martínez Ixta

Elaborado por:Jiménez Hernández Carlos Enrique

12105011

Toluca, México a 22 de Marzo de 2012.

Coordenadas polares

Hasta ahora las gráficas se han venido representando como colecciones de puntos (x,y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones correspondientes a estas gráficas han estado en forma rectangular o en forma paramétrica. En esta sección se estudiará un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.

Para formar el sistema de coordenadas polares en el plano, se fija un punto O, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura 2.18. A continuación, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, θ), como sigue.

r = distancia dirigida de O a P.θ= ángulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje polar hasta el segmento OP.

La figura 2.19 muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsérvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retícula de circunferencias concéntricas cortadas por rectas radiales que pasan por el polo.

Figura 2.19

En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y {r, 2π + θ) representan el mismo punto, También, como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r. θ) y (-r, θ + π) representan el mismo punto. En general, el punto (r, θ) puede expresarse como

(r, θ) = (r, θ + 2mr)(r, θ) = (-r, θ + (2n + 1) π)

Donde n es cualquier entero. Además, el polo está representado por (0, θ), donde θ es cualquier ángulo.

Transformación (o cambio) de coordenadas

Para establecer una relación entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen.

Puesto que (x, y) se encuentra en un círculo de radio r, se sigue que r2 = x2 + y2. Para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que

tanθ= yx,cosθ= x

r, senθ= y

rSi r < 0, estas relaciones también son válidas, como se puede verificar.

Coordenadas cilíndricas

Ya se ha visto que algunas gráficas bidimensionales son más fáciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Algo semejante ocurre con las superficies en el espacio. En esta sección se estudiarán dos sistemas alternativos de coordenadas espaciales. El primero, el sistema de coordenadas cilíndricas, es una extensión de las coordenadas polares del plano al espacio tridimensional.

Para convertir coordenadas rectangulares en coordenadas cilíndricas (o viceversa), hay que usar las siguientes fórmulas, basadas en las coordenadas polares, como se ilustra en la figura.

Coordenadas esféricas

En el sistema de coordenadas esféricas, cada punto se representa por una terna ordenada: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera coordenadas son ángulos. Este sistema es similar al sistema de latitud-longitud que se usa para identificar puntos en la superficie de la Tierra. Por ejemplo, en la figura 4.50 se muestra el punto en la superficie de la Tierra cuya latitud es 40° Norte (respecto al ecuador) y cuya longitud es 80° Oeste (respecto al meridiano cero). Si se supone que la Tierra es esférica y tiene un radio de 4 000 millas, este punto sería

La relación entre coordenadas rectangulares y esféricas se ilustra en la figura 4.51. Para convertir de un sistema al otro, usar lo siguiente.

Esféricas a rectangulares:

Rectangulares a esféricas:

Para cambiar entre los sistemas de coordenadas cilíndricas y esféricas, usar lo siguiente. Esféricas a cilíndricas (r > 0):

Cilíndricas a esféricas (r > 0):

El sistema de coordenadas esféricas es útil principalmente para superficies en el espacio que tiene un punto o centro de simetría. Por ejemplo, la figura 4.52 muestra tres superficies con ecuaciones esféricas sencillas.

Conclusiones

la forma más básica de representar una función es a través de coordenadas rectangulares, pero hay ocasiones en que es más complejo representarlas o graficarlas por su comportamiento, debido a esto se crearon diferentes tipos de coordenadas, y las relaciones entre sí, que facilitan la graficación y el uso de estas funciones apoyándose de identidades trigonométricas.

Algunas de estas funciones tienen ciertas semejanzas en comportamiento dentro de un plano (x,y,z). lo cual hace posible la conversión entre coordenadas.

Bibliografía

Cálculo de varias variables Larson hostetler Edwards.