Copiamcd Mcm

1Centro Preuniversitario de la UNS S-10 Ingreso Directo

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA CEPUNS

Ciclo 2011-III ARITMÉTICA “MCD-MCM”

I. NOCIONES TEÓRICAS1. MÀXIMO COMÙN DIVISOR (M.C.D.)1.1. CONCEPTUALIZACIÒN: Dado un conjunto de números enteros positivos se define el M.C.D. de estos aquel entero positivo que cumple las siguientes condiciones: Es un divisor común de los

números. Es el mayor de los divisores comunes.Veamos para 36 y 243 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 1 8 ; 3 62 4 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 2 4

Observamos que los divisores comunes son: 1; 2; 3 ; 4; 6 y 12, por lo que el M.C.D. será 12.Ahora analizando los divisores del MCD:12: 1; 2; 3; 4; 6; 12. Se puede señalar lo siguiente:

Ejemplo 01: Si el

Calcule a + b.Resolución: Se concluye que

, trabajaremos

primero con . Entonces:

, donde b = 7. En

Dado que b = 7, entonces

, Luego a = 4.Por lo tanto: a + b = 11

1.2. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DEL MÀXIMO COMÚN DIVISOR.1.2.1. Descomposición Simultánea: Se extraen los divisores comunes del conjunto de números teniendo en cuanta para ellos los criterios de divisibilidad, vistos ya anteriormente. El procedimiento continúa hasta que ya no se puedan extraer divisores comunes.

80 120 200 240 60 100 220 30 50 210 15 25 52 3 5

Entonces el Observemos que: 80 = 40x2

120= 40x3 Son PESI200= 40x5

1.2.2. MÉTODO DE DIVISIONES SUCESIVAS O ALGORITMO DE EUCLIDES. Consiste en la aplicación repetitiva del siguiente teorema: El MCD del dividendo y divisor de una división inexacta es igual al MCD del divisor y residuo, es decir:

“Se divide el mayor de los números entre el menor luego; el residuo obtenido pasa a ser divisor y este proceso se repite hasta que la división resulte exacta, entonces el último divisor será el MCD de dichos números. Este procedimiento se puede organizar en el siguiente esquema:

Semana Nº 10

Los divisores comunes de un conjunto de números son

también divisores de su MCD

Observación: El MCD está contenido en los números, además es el mayor número que está contenido en cada uno de ellos, también cada uno de los números es múltiplo de su MCD.

En general, sean los números A, B y C de tal manera que MCD(A, B, C) = d. Se tendrá que:

A = d x p B = d x q C = d x rPESI

Entonces: MCD (D, d) = MCD (d, r)


Por lo tanto el MCD(A, B) = r4

Ejemplo 02: Halle el MCD (119, 68) por el método del algoritmo de Euclides.En el esquema:

Por lo tanto el

1.3. PROPIEDADES DEL MÀXIMO COMÙN DIVISOR:

Si A y B son P.E.S.I. entonces:

Si A es múltiplo de B, entonces el M.C.D. de A y B es B.

Si se multiplican o dividen varios números por una misma cantidad, su M.C.D también queda multiplicado o dividido respectivamente por esa misma cantidad. Si

Entonces se concluye que:

Si a y b son PESI, entonces:

2. MÌNIMO COMÙN MÙLTIPLO (M.C.M.)

2.1. CONCEPTUALIZACIÒN: Dado un conjunto de números enteros positivos, el MCM de dichos números es un entero positivo que cumple las siguientes condiciones: Es un múltiplo común de los números. Es el menor de estos múltiplos comunes,

pero diferente de cero.

Veamos para 12 y 18. : 12; 24; 36; 48; 60; 72; 84; 96; 108; …..

18; 36; 54; 72; 90; 108; 126; ……

Múltiplos comunes: 36; 72; 108; 144; ….

Luego, se puede observar que el menor de los múltiplos comunes es 36. MCM (12; 18) = 36Analicemos ahora los múltiplos del MCM:

36; 72; 108; 144; . de donde podemos decir que:

2.2. MÉTODO PARA EL CÁLCULO DEL MCM. Una vez extraído los divisores comunes se seguirán extrayendo factores de los números que quedan hasta que al final todos queden reducidos a la unidad. Calcule el MCM (80; 120; 200)

80 120 200 40

2 3 5 21 3 5 31 1 5 51 1 1

Observemos que:1200= 80x151200= 120x10 PESI 1200= 200x6

Observa el

esquema y

compara

Los múltiplos comunes de un conjunto de números son también múltiplos de su MCM

En general, se tienen los números A, B y C, de tal manera que MCM (A; B; C) = mm = A x p m = B x q m = C x r

PESI

No escapes a

tus problemas afróntalos


2.3. PROPIEDADES DEL MÌNIMO COMÙN MÙLTIPLO2.3.1. El MCM es un número que contiene a cada uno de los números, más aún es el menor número que contiene a cada uno de los números. Además, el MCM es múltiplo de cada uno de los números.2.3.2. En caso de factoriales el MCM de un conjunto de factoriales siempre es el mayor de ellos y en caso del MCD es el menor de ellos.2.3.3. Solo para dos números A y B se cumple que:

2.3.4. Tenemos algunas propiedades parecidas al MCD, como:

II.PROBLEMAS DE CLASE(BÁSICO)01. Halle “k” sabiendo que:

a) 40 b) 60 c) 80 d) 100 e) 50

02. Dados tres números A, B y C se sabe que el y. ¿Cuál es el ?

a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 5

03. El MCD de dos números es 10 y los cocientes obtenidos al aplicar el Algoritmo de Euclides son: 1, 2, 2, 3, y 3. Halle el exceso positivo de los números.a) 100 b) 170 c) 340 d) 510 e) 14004. Si , además

. Calcular cuántos valores de A y B cumplen con lo anteriora) 1 b) 2 c) 3 d) 5

e) 7

05. El MCM de 2 números es 630 y su diferencia es 56. Hallar el menor

a) 60 b) 70 c) 21 d) 80 e) 35

06. El mínimo común múltiplo de 4 números es 5460.Si el menor de dichos números es múltiplo de 3, entonces la suma de 4 números es igual a:(Examen de Admisión 2011-I)a) 38 b) 54 c) 58 d) 60

e) 52

07. M y N tiene 10 y 9 divisores respectivamente. Si ambos números tienen los mismos factores primos ¿Cuál es el menor valor que puede tomar el MCD de M y N?(Segundo Sumativo CEPUNS 2005-II)a) 10 b) 18 c) 24 d) 36

e) 12

08. Se sabe que el MCD de dos números es 9. Si el producto de dichos números es 1620, entonces su MCM es:(Segundo Sumativo CEPUNS 2010-II)a) 90 b) 180 c) 270 d) 36 0 e)

1620

09. Sabiendo que:

Calcular:

a) 71 b) 81 c) 75 d) 77 e) 73

10. La diferencia de 2 números es 44 y la diferencia entre su MCM y su MCD es 500. ¿Cuál de los siguientes números es uno de ellos?

a) 24 b) 32 c) 72 d) 80 e) 48

11. Si y

. Calcular “ ”a) 64 b) 26 c) 17 d) 81

e) 9

12. Se tiene pequeños ladrillos de dimensiones: 10cm, 15cm, 5cm. ¿Cuál es el menor número de ladrillos que hará falta, para poder formar un cubo compacto?

a) 60 b) 120 c) 64 d) 25 e) 40

AxBBAxMCMBAMCD );(),(


13. Tres amigos parten regularmente de la misma ciudad cada 8, 12 y 16 días, respectivamente, La última vez que salieron juntos fue el 16 de octubre de 1998, con la promesa de reunirse los tres en la primera oportunidad para intercambiar información sobre las carreras profesionales a seguir. ¿En que fecha se produce el encuentro?

a) 3-11 b) 6-12 c) 3-12 d) 6-11 e) 30-12

14. Saúl e Isabel escribieron cada uno un número de dos cifras en la pizarra. Jorge halló el M.C.M. de dichos números y obtuvo 462. Si restas uno a cada dígito del número que escribió Saúl obtienes el número que escribió Isabel. Halla la suma de los números escritos en la pizarra. Extraído del IV Concurso Regional de Matemática 2008 “Señor de la Vida”

a) 17 b) 16 c) 12 d) 15 e) 14

15. El M.C.D. de dos números enteros y positivos es doce y el M.C.M. es 72. Si el producto de dichos números entre la suma de los mismos da un cociente mayor que doce. ¿Cuál es la diferencia de dichos números? Extraído del IV Concurso Regional de Matemática 2008 “Señor de la Vida”

a) 17 b) 16 c) 12 d) 15 e) 14

16. Hallar el M.C.D de

a) 570-1 b) 571+1 c) 571-1 d) 572-1 e) 572+1

17. Si

, Calcule “a+b”

a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e ) 7

18. Determine MCM(A, B), si se sabe que:

y AxB = 18144

a) 1018 b) 2015 c) 2818 d) 3024 e) 3321

19. Al calcular el MCD de dos números por el algoritmo de Euclides se obtuvieron por cocientes sucesivos 3; 2; 5 y 3. Halle el mayor de los números, si su MCM es .De la suma de cifras del resultado.

a) 13 b) 17 c) 15 d) 16 e) 14

20. Al calcular el MCD de y , se obtuvieron como cocientes sucesivos 2; 3; 3 y 2. Calcular , además a>c.

a) 14 b) 10 c) 12 d) 9 e) 13

21. Dado: y

Halle la última cifra del

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

22. En una línea de ferrocarril de 18Km de longitud, los rieles miden 12 metros cada uno y al costado comenzando en el origen se han colocado postes distanciados 40 metros entre sí. ¿Cuántas veces coinciden las uniones de 2 rieles con un poste?

a) 148 b) 149 c) 150 d) 151 e) 152

23. Sean: y Si B – A = 51209.

Calcule E, donde:

a) 120 b) 240 c) 600 d) 720 e) 560

24. Se tienen: y Si además el MCM de

dichos números es 18876 veces su MCD, calcule

a) 12 b) 17 c) 13 d) 9 e) 16


25. Determina: Si determine

a) 99 b) 1980 c) 1278 d) 5679 e) 7920

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