Copulas Abhängigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen

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  • Folie 1
  • Copulas Abhngigkeitsstrukturen von Zufallsvariablen
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  • Inhalt Einfhrung Einfhrung Korrelation Mgliche Fehlschlsse Das Copula - KonzeptDas Copula - Konzept Einleitung und Definition einer Copula Sklars Theorem und Umkehrung Copulabasierte Zusammenhangsmae Frchet-Hoeffding Grenzen Unabhngigkeits- und Komonotonie-Copula Abstrakte CopulasAbstrakte Copulas Archimedische Copulas (Gumbel) Parametrische Copulas (Gauss) Konstruktion von CopulasKonstruktion von Copulas Inversionsmethode Lineare Konvexkombination SimulationSimulation
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  • Korrelation Mgliche Fehlschlsse Modellierung der Abhngigkeitsstruktur gehrt zu den grundlegendsten Fragen des Quantitativen Risk Managements (QRM) Mehrer Mglichkeiten Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen zu beschreiben Der lineare Korrelationskoeffizient ist ein Standardwerkzeug fr den Zusammenhang zweier Zufallsvariablen Bestimmt Grad der linearen Abhngigkeit mit Werten [0,1] Nur globale Gre. Ermittlung ist von den Randverteilungen abhngig (momentenbasiert)
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  • Korrelation Mgliche Fehlschlsse Bei nur paarweiser Korrelation knnen nicht zu kompensierende Fehler entstehen Die alleinige Angabe der Korrelation ist unzureichend Aus Unkorreliertheit folgt nicht unbedingt Unabhngigkeit Normalverteilungsannahme fr Einzelrisiken kann nicht gerechtfertigt sein (z.B.Groschden) Bekannt ist: Unterschiedliche strukturelle Risiken mit gleicher (Rand-) Verteilung knnen dieselbe Korrelation aufweisen
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  • Korrelation Mgliche Fehlschlsse Simulation von jeweils 5037 Risiko-Paaren
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  • Korrelation Mgliche Fehlschlsse Die Risiken X, Y und Z wurden wie folgt aus Zufallszahlen U und V erzeugt, die ber dem Intervall [0,1] stetig gleichverteilt und stochastisch unabhngig sind: Man zeigt: Aufgrund obiger Konstruktion sind die Risiken X, Y und Z dann jeweils auch ber dem Intervall [0,1] stetig gleichverteilt, jedoch nicht mehr unabhngig sind. Fr die Korrelationen erhlt man den gleichen Wert: Erheblich strukturelle Unterschiede zwischen (X,Y) und (X,Z)!! Paare (X,Y) Quadrat (fast) gefllt Paare (X,Z) Besitzen keine Flche
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  • Korrelation Mgliche Fehlschlsse Die gleichen Randverteilungen Die gleiche lineare Korrelation Jedoch: deutlich unterschiedlich! (Bild aus Eine Einfhrung in Copulas von Johanna Neshlehova)
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  • Korrelation Mgliche Fehlschlsse Beispiele zeigen Notwendigkeit einer prziseren Beschreibung von Abhngigkeiten auf Das Wissen der (1-dim) Randverteilungen und die Korrelationsmatrix reichen fr die gemeinsame Verteilung der Komponenten des Zufallvektors nicht aus Mchtige Alternative: Das Copula - Konzept
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  • Das Copula - Konzept Als vollstndige Beschreibung der Abhngigkeiten Aus reiner linearer Abhngigkeit wird beliebige Abhngigkeit (was auch die stochastische Unabhngigkeit umfasst) Grundliegende Idee: Trennung der Randverteilungs- und Abhngigkeitsproblematik Der Copula allein soll die Beschreibung der Abhngigkeiten der Zufallsvariablen zukommen Die Zufallsvariablen werden selbst einzeln durch ihre eindimensionalen Randverteilung beschrieben Dadurch Anwendbarkeit zahlreicher bekannter Analyse- und Modellierungsmglichkeiten bezglich der Randverteilungen
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  • Das Copula - Konzept Einfache Definition einer Copula Folgerungen: 1.1-dim Randverteilungen einer Copula sind Rechteckverteilungen auf [0,1] 2.Copula ist Null, falls ein = 0 Erinnerung: Die Beschreibung der Abhngigkeitsstruktur zweier Zufallszahlen erfolgt mittels der zugehrigen bivariaten Verteilungsfunktion
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  • Das Copula Konzept Einleitung und Definition Fr den 2-dim Fall lsst sich ihr Verlauf auf dem Rand Einheitsquadrates [0,1] leicht illustrieren:
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  • Das Copula Konzept Sklars Theorem Der folgende Satz ermglicht die Aufteilung einer mehrdimensionalen Verteilung in ihre Randverteilung und eine zugehrige Copula:
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  • Das Copula Konzept Sklars Theorem Sklars Theorem gewhrleistet nur die Existenz einer Copula (Die Wahl der Copula bleibt ein Modellrisiko) Beispiel und Produktcopula Bedeutung: In der Darstellung einer gemeinsamen Verteilungsfunktion mit Hilfe einer Copula werden somit die Informationen ber den Zusammenhang der Zufallszahlen vollstndig separiert von den Informationen ber die univariaten Randverteilungsfunktionen. Die Copula ist ein Funktional der Randverteilungsfunktionen, und beschreibt die fehlenden mehrdimensionalen Abhngigkeitsstrukturen der zugrunde liegenden Zufallsvariablen
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  • Das Copula Konzept Sklars Theorem Zur Vereinfachung: Betrachtung in zwei Dimensionen
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  • Das Copula Konzept Sklars Theorem Dreht man die Pfeile um
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  • Das Copula Konzept Sklars Theorem In der Copula sind nur Informationen ber die Art der Abhngigkeit von X und Y enthalten, aber keinerlei Informationen ber Ihre Randverteilungen Die Randverteilungsfunktionen enthalten keinerlei Information ber die Art der Abhngigkeit Mittels der Copula kann man eine gewnschte Abhngigkeitsstruktur whlen und diese mit beliebigen, gewnschten Randverteilungen kombinieren. Daraus erhlt man eine gemeinsame Verteilung von X und Y, welche die gewnschte Abhngigkeitsstruktur und die gewnschte Randverteilungen aufweist.
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  • Das Copula Konzept Umkehrung von Sklars Theorem Vorab Definition: Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion F stetig und streng monoton steigend Pseudoinverse gewhnliche Inverse der Verteilungsfunktion Erinnerung: Sei Z auf [0;1] gleichverteilt und f die Pseudo-Inverse einer Verteilungsfunktion F. Setzt man X = f ( Z ), dann hat X die Verteilungsfunktion F.
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  • Das Copula Konzept Umkehrung von Sklars Theorem Umkehrung von Sklars Theorem Wichtiges Resultat: Es ist also mglich, die Abhngigkeitsstruktur getrennt von den Randverteilungen zu betrachten. Auf den folgenden Folien besitzen die beiden Verteilungsfunktionen verschiedene Randverteilungen, haben aber die gleiche Abhngigkeitsstruktur (Copula ist identisch)
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  • Verteilungsfunktion A-B
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  • Verteilungsfunktion C-D
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  • Das Copula Konzept Dichte Die Dichte einer Copula ist durch ihre partiellen Ableitungen gegeben: Im Gegensatz zur Copula kann ihre Dichte Werte weit ber eins annehmen Da die Dichte einer Copula teils nicht existiert bzw. anzugeben ist, ist darunter im folgenden die diskrete Dichte zu verstehen, welche numerisch aus der Copula approximiert werden kann. Die Nicht-Existienz der Dichte ist fr die numerische Betrachtung der Copula nicht schlimm, die diese auf einem endlichen feinen Gitter auch immer nur zu endlichen Werten des Anstiegs fhrt. Die Existenz einer diskreten Dichte ist somit eingngig.
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  • Das Copula Konzept Dichte Die Dichte wird zur Simulation nicht bentigt, allerdings zur heuristischen Vorhersage: Hohe Werte der Dichte gehen mit Punkthufungen der Simulation in diesen Bereichen berein, da die Dichte der Copula, als mehrdimensionale Verteilungsfunktion betrachtet, Wahrscheinlichkeitsmasse auf dem n-dim. Einheitswrfel [0,1] (a=dim n) verteilt. Interpretiert man die Copula als Funktion zur Modellierung von stochastischen Abhngigkeiten, so wrde ihre Dichte entsprechendAbhngigkeitsmasse verteilen. Da die Copula eine mehrdim. Verteilungsfunktion ist, ist ihre (diskrete) Dichte schwach positiv. Somit ist diese nach unten durch Null beschrnkt. Ws sind also nur noch Wertebereichsberschreitungen im positiven Bereich zu untersuchen
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  • Das Copula Konzept Die linke Seite wird als die Frchet-Hoeffding Untergrenze bezeichnet, ist eine Copula nur fr d=2 und d = 2 entspricht der perfekten negativen Abhngigkeit oder Kontramonotonie Die rechte Seite wird als die Frchet-Hoeffding Obergrenze bezeichnet, Ist eine Copula in jeder Dimension d 2 und entspricht der perfekten positiven Abhngigkeit oder Komonotonie (spter mehr dazu)
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  • Das Copula Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmae Der lineare Korrelationskoeffzient ist ein Zusammenhangsma (globales Ma) Um die durch die Copula beschriebenen Abhngigkeiten zu charakterisieren, werde Abhngigkeitsmae definiert. Im Gegensatz zur linearen Korrelation sind diese translationsinvariant (invariant unter streng monoton wachsenden Funktionen):
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  • Das Copula Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmae Viele auf Copulas basierende Zusammenhangsmae beruhen auf der Konkordanz und Diskordanz Allgemein bedeutet Konkordanz, dass groe Werte der Zufallsvariablen X tendenziell mit groen Werten von Y auftreten Dementsprechend ist Diskordanz der Zusammenhang kleiner Werte mit kleinen Werten Die bekanntesten Mae sind Kendalls Tau () und Spearmans Rho ().
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  • Das Copula Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmae Spearmans Rangkorrelationskoeffiezient : Kendalls Rangkorrelationskoeffizient : Sie lassen sich als Funktionen der Copula von X und Y darstellen und hngen somit nicht von ihren Randverteilungen ab. Jedes dieser Mae kann, bei gegebenen Randverteilungen, Werte im Intervall [-1,1] annehmen. Die Extremwerte -1 und 1 ergeben als Copula der Zufallsvariablen die zweidimensionale FH-Ober- bzw. Untergrenze.
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  • Das Copula Konzept Copulabasierte Zusammenhangsmae Der Korrelationskoeffizient von Bravais-Pearson lsst sich nicht als