Corpuri geometrice – arii şi volume

Corpuri geometrice

Poliedre:

• Prisma• Piramida

• Trunchiul de piramidă

Corpuri rotunde:

• Cilindrul• Conul• Trunchiul de con• Sfera

Prisma

A

BC

C’ B’

A’

A B

CD

A’ B’

C’D’

A B

C

DE

F

F’A’

B’C’

D’E’

Prismă triunghiulară

Paralelipiped dreptunghic

Prismă hexagonală

h

hh

Muchiile laterale au aceeaşi lungime ca înălţimea.

Desfăşurarea prismei

Prisma triunghiulară

Paralelipipedul dreptunghic

Prisma hexagonală

Aria şi volumul prismeiOrice prismă are două baze, care pot fi triunghiuri, patrulatere,

hexagoane, sau orice alt poligon, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor poligonului de bază. În cazul prismei drepte, aceste feţe

laterale sunt dreptunghiuri. Aria unei astfel de feţe laterale este produsul dintre lungimea muchiei

corespunzătoare a bazei şi înălţimea prismei. Aria tuturor feţelor laterale este egală cu produsul dintre perimetrul bazei şi înălţimea prismei.

Al = Pb · h

Pentru a calcula aria totală trebuie să luăm în calcul şi aria celor două baze congruente

At = Al + 2Ab.

De multe ori, baza este un poligon regulat. Pentru a-ţi reaminti formulelele de calcul ale ariei poligoanelor regulate, apasă aici.

Volumul prismei este egal cu produsul dintre aria bazei şi înălţimea prismei:

V = Ab · h.

Paralelipipedul dreptunghicParalelipipedul dreptunghic este un caz particular de prismă

patrulateră dreaptă. Toate feţele paralelipipedului dreptunghic sunt dreptunghiuri. Paralelipipedul dreptunghic are trei dimensiuni: lungime (L), lăţime (l) şi înălţime (h).

Aria totală este suma ariilor celor şase feţe ale paralelipipedului, două câte două congruente:

At = 2L · l + 2L · h + 2l · h.

Volumul său este egal cu produsul celor trei dimensiuni:

V = L · l · h.

Pătratul lungimii diagonalei paralelipipedului dreptunghic este suma pătratelor lungimilor celor trei dimensiuni ale

sale:

d2 = L2 + l2 + h2

Această formulă se mai numeşte şi teorema lui Pitagora în spaţiu.

Ll

h

d

CubulCubul este un caz particular de

paralelipiped dreptunghic, la care toate cele trei dimensiuni sunt egale: L = l = h = m

(muchie). Corespunzător, formulele de mai înainte devin:

At = 6 m2

V = m3

d2 = 3m2

m

m

md

Cilindrul circular dreptExistă asemănări puternice între prismă şi cilindru.

Ca şi în cazul prismei, aria totală este suma dintre aria laterală şi ariile celor două baze:

At = Al + 2Ab

Aria laterală este tot produsul dintre perimetrul bazei şi înălţime, dar, baza fiind cerc, lungimea sa este dată de formula

lungimecerc = 2πr, unde r este raza. Prin urmare:

Al = 2πrh,

şi, ţinând cont de faptul că bazele sunt cercuri, iar aria cercului este dată de formula ariecerc = πr2, rezultă:

At = 2πrh + 2πr2= 2πr( h + r).

Volumul se exprimă tot ca produs dintre aria bazei şi înălţime:

V = πr2h.

Generatoarea g are aceeaşi lungime ca înălţimea h.

r

h g

Piramida regulată V

VV

A AA

B

BB

C

CC

DDE

F OO

OM M

M

hh h

abab

ab

ap ap ap

Piramidă triunghiulară regulată (tetraedru)

Piramidă patrulateră regulată

Piramidă hexagonală regulată

Un tetraedru regulat este o piramidă triunghiulară regulată cu toate fețele

triunghiuri echilaterale

Desfăşurarea piramidei

piramida triunghiulară regulată

piramida patrulateră regulată

piramida hexagonală regulată

Aria şi volumul piramidei regulate

Piramidele au o singură bază, care poate fi orice poligon, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor poligonului de bază. În cazul piramidelor

regulate, toate aceste feţe laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, ale căror baze sunt reprezentate de muchiile bazei piramidei, şi ale căror înălţimi sunt

apoteme ale piramidei. Prin urmare, aria unei astfel de feţe laterale este semiprodusul dintre lungimea muchiei bazei piramidei şi cea a apotemei, iar

aria laterală, sumă a ariilor tuturor feţelor laterale, este:Al = Pb · ap / 2

Aria totală este suma ariei laterale cu aria bazei unice:At = Ab + Al

Fiind poligon regulat, aria bazei se poate calcula cu formula:Ab = Pb · ab / 2,

de unde rezultă că, pentru a calcula aria totală a unei piramide, putem utiliza şi formula:

At = Pb ·( ap + ab) / 2

Volumul piramidei reprezintă o treime din produsul ariei bazei şi lungimea înălţimii piramidei:

V = Ab · h / 3

Apotema bazei, apotema piramidei şi înălţimea piramidei sunt legate prin formula:

ap2 = ab

2 + h2

Conul circular dreptExistă asemănări puternice între piramidă şi con.

Ca şi în cazul piramidei, aria totală este suma dintre aria laterală şi aria bazei unice:

At = Al + Ab

Aria laterală este semiprodusul dintre perimetrul bazei şi generatoare (în loc de apotemă). Fiind cerc, lungimea

bazei este dată de formula lungimecerc = 2πr, unde r este raza. Prin urmare:

Al = πrg, Cum aria bazei este:

Ab = πr2, rezultă:

At = πrg + 2πr2= πr( g + r).Volumul reprezintă tot o treime din produsul dintre aria

bazei şi înălțime: V = πr2h / 3.

O

V

h

r

g

Rolul apotemei bazei este jucat de raza bazei, iar cel al apotemei piramidei, de

generatoare. Avem, deci, relația:

g2 = r2 + h2

Desfăşurarea conului este formată din cercul de bază, şi un sector de cerc

corespunzător suprafeţei laterale. Măsura (în grade) a acestui sector se află, faţă de 360° (măsura unui cerc întreg), în acelaşi raport ca raza bazei faţă de generatoarea

conului:

α / 360° = r / g

αg

r

Trunchiul de piramidă regulatăV

A’

A’

A B

B’

B’

C’

C

C’

D

D’

D’

O’

O’

O

Secţionând o piramidă cu un plan paralel cu baza, obţinem două corpuri: o piramidă „mică” şi un alt corp, numit

trunchi de piramidă.„Piramida mică” este „asemenea”

piramidei „mari”.Trunchiul de piramidă are două baze, una mare şi alta mică, şi un număr de feţe laterale egal cu numărul laturilor

poligonului de bază. Feţele laterale ale trunchiului de piramidă sunt trapeze.Între apotema bazei mari aB, apotema bazei mici ab, înălţimea trunchiului h şi apotema acestuia atr există relaţia:

atr2 = h2 + (aB – ab)2

ab

aB

atr

h

Aria laterală a trunchiului de piramidă regulată este suma ariilor feţelor laterale,

care au formă de trapez. Aria unei astfel de feţe este:

A = (mB + mb) · atr / 2,unde mB şi mb sunt lungimile muchiilor bazei mari, respective ale bazei mici.

Sumând toate ariile feţelor laterale, obţinem pentru aria laterală formula:

Al = (PB + Pb) · atr / 2,unde PB şi Pb sunt perimetrele celor două

baze.Aria totală este suma ariei laterale cu ariile

celor două baze:At = Al + AB + Ab =

(PB + Pb) atr / 2 + PB · aB /2 + Pb · ab / 2Volumul se calculează cu formula:V = h · (AB + Ab + AB · Ab) / 3

mb

mB

atr

ab

aB

h

Trunchiul de con circular dreptAria laterală a trunchiului de con circular drept

este:Al = π·g ·(R + r)

Ariile celor două baze sunt:AB = π·R2, respectiv Ab = π·r2,

de unde:At = Al + AB + Ab = π·g· (R + r) + π·R2 + π·r2

Volumul trunchiului de con este:V = π·h·(R2 + r2 + R·r) / 3

Relaţia dintre generatoarea g a trunchiului de con, înălţimea h şi cele două raze ale bazelor, R şi r,

este:g2 = h2 + (R – r)2

R

r

h g

Sfera

A

A’

B’B

C

C’

M M’

N’

N

O’

O

r

r

r

hz

hc

Sfera poate fi obţinută prin rotirea unui cerc în jurul unui diametru.

Sfera nu are desfăşurare, ea nu poate fi „întinsă” pe o suprafaţă plană. Din acest motiv, hărţile geografice redau imprecis

suprafeţele reale de teren.Secţionând sfera cu un plan, vom obţine

două calote sferice. Secţionând sfera cu două plane paralele, porţiunea din sferă cuprinsă

între cele două plane se numeşte zonă sferică.

Aria calotei sferice şi a calotei sferice se exprimă prin aceeaşi formulă:

A = 2πrh,unde h este înălţimea zonei, respectiv calotei

sferice.Corespunzător, aria întregii sfere este:

A = 4πr2,Volumul sferei se calculează cu formula:

V = 4πr3 / 3.

Dacă nu te interesează poligoanele regulate, apasă aici:

Poligoane regulatePoligoanele regulate sunt poligoane ale căror laturi sunt congruente şi ale căror

unghiuri sunt congruente.Următoarele aspecte sunt caracteristice poligoanelor regulate:

- vârfurile poligoanelor regulate sunt puncte conciclice; cercul determinat de aceste puncte se numeşte cercul circumscris poligonului.

- există un cerc tangent tuturor laturilor poligonului; acesta este cercul înscris, raza sa se mai numeşte apotemă (a poligonului regulat).

- cele două cercuri menţinonate mai sus sunt concentrice; centrul lor comun se numeşte, pur şi simplu, centrul poligonului.

- unghiurile poligonului regulat cu n laturi au măsura 180° · (n - 2) / n.- aria unui poligon regulat se poate calcula cu formula:

A = P · a / 2,

unde P este perimetrul poligonului şi a este apotema sa.Pentru fiecare din următoarele poligoane regulate, vom nota latura, apotema,

raza cercului circumscris şi aria sa cu l, a, r şi A, respectiv.

Triunghiul echilateralr = l · 3 / 3 = 2 a

a = r / 2 = l · 3 / 6

l = r · 3 = 2 a · 3

A = l2 · 3 / 4 = r2 · 3 3 / 4 = a2 · 3 3

l

a

R

Pătratul

r = l · 2 / 2 = a 2

a = r · 2 / 2 = l / 2

l = r · 2 = 2a

A = l2 = 2r2 = 4a2

l

a

R

Hexagonul regulat

r = l = a · 2 3 /3

a = r · 3 / 2 = l · 3 / 2

l = r = a · 2 3 /3

A = l2 · 3 3 / 2 =

= l2 · 3 3 / 2 =

= 2 3 · a2

l

a

R

Dacă vrei să te întorci la aria şi volumul prismei, apasă aici:

Probleme1.Determinaţi aria totală şi volumul tetraedrului regulat de muchie m.

2. Determinaţi volumul tetraedrului care are două muchii opuse perpendiculare, de lungime a şi respectiv b, şi ambele perpendiculare pe segmentul de lungime c

care uneşte mijloacele lor.

3. Determinaţi aria totală şi volumul conului circular drept care are raza bazei r şi trei generatoare perpendiculare două cate două.

4. Să se determine volumul corpului care rezultă după ce secţionăm o sferă cu două plane paralele, aflate fiecare la 5 cm de centrul sferei şi eliminăm cele două

calote şi cilindrul determinat de cele două plane.

5. Prisma dreaptă ABCA’B’C’ are ca bază triunghiul isoscel ABC (AB = AC). Să se determine măsura unghiului BAC, astfel încât volumul prismei să fie

maxim.

6. Calculaţi aria laterală, aria totală şi volumul unei piramide triunghiulare / patrulatere / hexagonale regulate, cunoscând măsura unghiului diedru format de muchia laterală cu planul bazei / măsura unghiului format de o muchie laterală şi

una din laturile pe care cade.