Cours Galilée Spécialité mathématiques première 2020

CORRECTION CONTRÔLE 16

Exercice 1 :1. Déterminons l’ensemble de définition de f , et son ensemble de dérivabilité, puis calculons la dérivée

de f .

f(x) =2x

x+ 1

Df = {x ∈ R/x+ 1 6= 0}Posons x+ 1 = 0x+ 1 = 0⇐⇒ x = −1D’où Df = R− {−1}f étant une fonction rationnelle alors elle est continue et dérivable sur son domaine de définition.Ainsi, pour tout x ∈ R− {−1}

f ′(x) =2(x+ 1)− 2x

(x+ 1)2

=2

(x+ 1)2

2. Déterminons l’abscisse des points de la courbe C qui présentent une tangente parallèle à la droited’équation y = 4x+ 2.Soit (T ) une tangente à la courbe C au point d’abscisse x0 parallèle à la droite d’équation y = 4x+2(T ) : y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0)(T ) étant parallèle à la droite d’équation y = 4x+ 2 alors f ′(x0) = 4

f ′(x0) = 4⇐⇒2

(x0 + 1)2= 4

⇐⇒ 2(x0 + 1)2 − 1 = 0

⇐⇒√22(x0 + 1)

2 − 12 = 0⇐⇒ (

√2(x0 + 1)− 1)(

√2(x0 + 1) + 1) = 0

⇐⇒ (√2x0 +

√2− 1)(

√2x0 +

√2 + 1) = 0

⇐⇒ x0 =1−√2√

2ou x0 =

−1−√2√

2

⇐⇒ x0 = −1 +√2

2ou x0 = −1−

√2

2

Ainsi les points d’abscisses x = −1 +√2

2et x = −1−

√2

2sont les points de la courbe C présentant

une tangente parallèle à la droite d’équation y = 4x+ 2

Cours Galilée Spécialité mathématiques première Page 2 of 7

3. Vérifions s’il existe des tangentes passant par l’origine du repère:Soit (T ) : y = f ′(x0)(x− x0) + f(x0) une tangente à la courbe C au point d’abscisse x0.Si (T ) passe par l’origine alors :

0 = f ′(x0)(0− x0) + f(x0)⇐⇒ −x0f ′(x0) + f(x0) = 0

⇐⇒ −2x0(x0 + 1)2

+2x0x0 + 1

= 0

⇐⇒ −2x0 + 2x0(x0 + 1) = 0⇐⇒ −2x0 + 2x20 + 2x0 = 0⇐⇒ 2x20 = 0⇐⇒ x0 = 0

Ainsi, la tangente à la courbe C au point d’abscisse x0 = 0 est une tangente passant par l’origine durepère.

Exercice 2 :Déterminons les réels a, b, c tels que C admette au point A(1; 3) une tangente de coefficient directeur égal

à 1, ainsi qu’une tangente horizontale au1

2point d’abscisse 2:

• Soit (T ) la tangente à C au point A(1; 3) et de coefficient directeur 1.On a : (T ) : y = 1(x− 1) + f(1) d’où f ′(1) = 1f ′(x) = 2ax+ b donc f ′(1) = 1⇐⇒ 2a+ b = 1 L1De plus, A ∈ (T ) donc 3 = 1(1− 1) + f(1)⇐⇒ f(1) = 3f(1) = 3⇐⇒ a+ b+ c = 3 L2

• Une tangente est horizontale au point d’abscisses 12donc

f ′(1

2) = 0⇐⇒ a+ b = 0 L3

De L1, L2, L3 on obtient le système suivant:2a+ b = 1 L1

a+ b+ c = 3 L2

a+ b = 0 L2

Après résolution de ce système on obtient: a = 1, b = −1 et c = 3Par conséquent; f(x) = x2 − x+ 3Exercice 3 :Représentons un triangle équilatéral ABC tel que (

−→AB,−→AC) = +

π

3etH est le pied de la hauteur issue de A.

Cont.

Cours Galilée Spécialité mathématiques première Page 3 of 7

Déterminons une mesure des angles orientés:

• (−→AB,−−→AH) =

π

6

• (−−→CB,

−→CA) = −π

3

• (−−→HA,

−−→HC) = −π

2

• (−−→BH,

−−→BC) = 0

• (−−→HB,

−−→HC) = π

Exercice 4 :

Représentons le carré ABCD de sens direct et les triangles AEB et BCF

Démontrons que les points D,E et F sont alignés.Il s’agit de montrer que (

−−→ED,

−→EF ) = π + 2kπ avec k ∈ Z

On a:

(−−→ED,

−→EF ) = (

−−→ED,

−→EA) + (

−→EA,−→EF )

= (−−→ED,

−→EA) + (

−→EA,−−→EB) + (

−−→EB,

−→EF )

Déterminons une mesure de chacun des angles (−−→ED,

−→EA), (

−→EA,−−→EB) et (

−−→EB,

−→EF )

• (−−→ED,

−→EA)

Dans le triangle EAD on a:(−−→ED,

−→EA) + (

−−→DA,

−−→DE) + (

−→AE,−−→AD) = π + 2kπ avec k ∈ Z

Or le triangle EAD est un triangle isocèle donc (−−→ED,

−→EA) = (

−−→DA,

−−→DE)

Ainsi, 2(−−→ED,

−→EA) + (

−→AE,−−→AD) = π + 2kπ avec k ∈ Z

Déterminons (−→AE,−−→AD)

On a: (−→AB,−−→AD) = (

−→AB,−→AE) + (

−→AE,−−→AD)

ABCD est un carré donc (−→AB,−−→AD) =

π

2et (−→AB,−→AE) =

π

3car AEB est un triangle équilatéral

Cont.

Cours Galilée Spécialité mathématiques première Page 4 of 7

Donc (−→AE,−−→AD) = (

−→AB,−−→AD)− (

−→AB,−→AE)

D’où (−→AE,−−→AD) =

π

2− π

3=π

6Par conséquent

2(−−→ED,

−→EA) + (

−→AE,−−→AD) = π + 2kπ avec k ∈ Z⇐⇒

2(−−→ED,

−→EA) +

π

6= π + 2kπ avec k ∈ Z⇐⇒

2(−−→ED,

−→EA) = π − π

6+ 2kπ avec k ∈ Z⇐⇒

2(−−→ED,

−→EA) =

5π

6+ 2kπ avec k ∈ Z⇐⇒

(−−→ED,

−→EA) =

5π

12+ kπ avec k ∈ Z

• (−→EA,−−→EB) =

π

3

• (−−→EB,

−→EF )

Dans le triangle EBF on a:(−−→EB,

−→EF ) + (

−−→BF,

−−→BE) + (

−→FE,−−→FB) = π + 2kπ avec k ∈ Z

EBF étant un triangle isocèle alors : (−−→EB,

−→EF ) = (

−→FE,−−→FB)

Donc 2(−−→EB,

−→EF ) + (

−−→BF,

−−→BE) = π + 2kπ avec k ∈ Z

Déterminons (−−→BF,

−−→BE)

On a: (−−→BF,

−−→BE) = (

−−→BF,

−−→BC) + (

−−→BC,

−−→BE)

(−−→BF,

−−→BC) =

π

3car le triangle BCF est équilatéral.

ABCD est un carré donc (−−→BC,

−→BA) =

π

2or (−−→BC,

−→BA) = (

−−→BC,

−−→BE) + (

−−→BE,

−→BA)

D’où (−−→BC,

−−→BE) = (

−−→BC,

−→BA)− (

−−→BE,

−→BA)

=π

2− π

3

(−−→BC,

−−→BE) =

π

6

Par suite;

(−−→BF,

−−→BE) = (

−−→BF,

−−→BC) + (

−−→BC,

−−→BE)

=π

3+π

6

(−−→BF,

−−→BE) =

π

2

Par conséquent;

2(−−→EB,

−→EF ) + (

−−→BF,

−−→BE) = π + 2kπ avec k ∈ Z

⇐⇒ 2(−−→EB,

−→EF ) = π − (

−−→BF,

−−→BE) + 2kπ avec k ∈ Z

⇐⇒ 2(−−→EB,

−→EF ) = π − π

2+ 2kπ avec k ∈ Z

⇐⇒ (−−→EB,

−→EF ) =

π

4+ kπ avec k ∈ Z

Cont.

Cours Galilée Spécialité mathématiques première Page 5 of 7

Enfin;

(−−→ED,

−→EF ) = (

−−→ED,

−→EA) + (

−→EA,−−→EB) + (

−−→EB,

−→EF )

=5π

12+ kπ +

π

3+π

4+ kπ avec k ∈ Z

=5π + 4π + 3π

12+ 2kπ avec k ∈ Z

=12π

12+ 2kπ avec k ∈ Z

(−−→ED,

−→EF ) = π + 2kπ avec k ∈ Z

D’où on conclut que les points E, D et F sont alignés

Exercice 5 :1. Déterminons la classe médiane de chaque série.

Faisons le tableau des effectifs cumulés croissants de chaque série statistique.Moyenne [2 ;4[ [4 ;6[ [6 ;8[ [8 ;10[ [10 ;12[ [12 ;14[ [14 ;16[ [16 ;18[ [18 ;20[ECC 2de7 3 7 13 16 28 30 33 34 34ECC 2de8 0 6 13 17 20 23 26 28 30

L’effectif correspondant à 50% de l’effectif total des élèves de la 2de7 est 17 et ce effectif est atteintdans la classe [10; 12[ donc la médiane de la 2de7 appartient à la classe [10; 12[.L’effectif correspondant à 50% de l’effectif total des élèves de la 2de8 est 15 et ce effectif est atteintdans la classe [8; 10[ donc la médiane de la 2de8 appartient à la classe [8; 10[.

2. Pour chacune des séries, indiquons dans quelles classes se trouvent les quartiles Q1 et Q3.

• Les effectifs correspondants à 25% et à 75% de l’effectif total des élèves de la 2de7 sont de 9 et26 respectivement et ce ces effectifs sont atteint respectivement dans les classes [6; 8[ et [10; 12[donc les quartiles de la série de la 2de7 sont tels que: Q1 ∈ [6; 8[ et Q3 ∈ [10; 12[• Les effectifs correspondants à 25% et à 75% de l’effectif total des élèves de la 2de8 sont de 8 et

23 respectivement et ce ces effectifs sont atteint respectivement dans les classes [6; 8[ et [12; 14[donc les quartiles de la série de la 2de7 sont tels que: Q1 ∈ [6; 8[ et Q3 ∈ [12; 14[

3. Construisons, sur un même graphique et l’un au-dessus de l’autre, le diagramme en boîte de chacunedes séries.En prenant pour valeur maximale l’extrémité gauche de la première classe, et pour valeur maximalel’extrémité droite de la dernière classe et en prenant pour valeurs de la médiane et des quartiles lescentres des classes concernées on a:Min=2; Max=20; pour la série de la 2de7 on a Q1 = 7, Me = 11 et Q3 = 11Pour la série de la 2de8 on a Q1 = 7, Me = 9 et Q3 = 13

Cont.

Cours Galilée Spécialité mathématiques première Page 6 of 7

4. Comparons les résultats obtenus par les deux classes.D’après la représentation on constate que 50% des élèves de la classe de la 2de7 ont une notesupérieure à 10 tandis que dans la classe de la 2de8, 50% des élèves ont une note inférieure à 10.Ainsi nous pouvons dire que les élèves de la classe de la 2de7 ont une performance supérieure auxélèves de la classe de la 2de8 malgré que c’est dans leurs classe que se trouve les meilleures notes.

Exercice 6 :

Un jeu de grattage de la Française des jeux, on a le tableau des gains suivant pour des tickets à 1 euro.Pour 1 500 000 tickets vendus :

1. Déterminons le nombre de tickets perdants:Soit Np le nombre de tickets perdants:

Np = 1.500.000− (4 + 60 + 80 + 500 + 21.000 + 43.000 + 188.000 + 111.000)= 1.500.000− 363.644= 1.136.356

2. Calculons la recette de la Française des jeux si elle vend tous les billets.Le prix de vente d’un billet est de 1 euro et le nombre total de billets vendus est de 1.500.000 ainsile prix total de la vente des billets est de 1.500.000 euros.Soit R la recette de la Française des jeux si elle vend tous les billets:

R = 1.500.000− (4× 1.000 + 60× 250 + 80× 50 + 500× 20 + 21.000× 10+ 43.000× 5 + 188.000× 2 + 111.000× 1)

= 1.500.000− 945.000= 555.000

Ainsi la Française des jeux fera une recette de 555.000 euros si elle vend tous les billets.

3. Calculons la valeur du lot moyen, et l’écart-type de cette série.Soit M la valeur du lot moyen, V la variance et σ l’écart-type

M =4× 1.000 + 60× 250 + 80× 50 + 500× 20 + 21.000× 10 + 43.000× 5 + 188.000× 2 + 111.000× 1

1.500.000

=945.000

1.500.000M = 0.63

V =

∑n(xi −M)2

1.500.000

=4(1000− 0, 63)2 + 60(250− 0, 63)2 + ...+ 111.000(1− 0, 63)2 + 1.136.356(0− 0, 63)2

1.500.000

=11.592.650

1.500.000V = 7, 728

Cont.

Cours Galilée Spécialité mathématiques première Page 7 of 7

σ =√V

=√

7, 728

σ = 2, 78

4. Déterminons la médiane, le premier et le troisième quartile de cette série statistique.Faisons un tableau des effectifs cumulés croissants:

Montant des lots Nombre de lots1000 euros 4250 euros 6450 euros 14420 euros 64410 euros 216445 euros 646442 euros 252.6441 euro 363.6440 euro 1.500.000

Les effectifs correspondants à 25%; 50% et 75% des billets total vendus sont respectivement de375.000; 750.000 et 1.125.000 et ces effectifs sont atteint pour le montant 0 euros.Ainsi la médiane vaut 0 euros, le premier quartile vaut 0 euros et le troisième quartile aussi vaut 0eurosNon, un diagramme en boîte n’est pas pertinent pour résumer cette série statistique.

The End.