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Correction narration de recherche problème n°7 :
Le Combat entre l’Homme et la Machine
Quel Combat ?
Non : on veut savoir lequel calcule le mieux.
Regardons l’énoncé
En math, 25 veut dire 22222. On dit 2 élevé à la puissance 5.
1) Combien vaut 35
2) Combien vaut 75 ?
3) Combien vaut 115 ?
4) Quel est le chiffre des unités de 55 ? 205 ? 415 ? 725 ? 985 ? 995 ? 1015 ? 127 5 ? 342 4565 ? 14 520 000 005 487 123 3695 ?
Début de la rechercheVous vous lancez dans les calculs de puissance. Mais que veut dire 3 puissance 5?
La même question dans tous les groupes :
Est ce que 35 =3 5 ?
Vous en débattez mais les débats n’apparaissent pas toujours dans vos copies
Ou ailleurs :
Vous aboutissez à une vraie réflexion mathématique : 35 3 5
Une fois d’accord sur la notion de puissance (qui fait partie du programme de 4°), vous commencez à calculer.
Certains n’indiquent pas comment ils calculent, les résultats sont vaguement écrits.
Alors qu’une ou deux phrases suffisent
La calculatrice vous permet d’avancer assez vite …
Tous les groupes les uns après les autres font la même constatation :
Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ?
Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ?
Certains se posent des questions :
D’autres utilisent ce truc sans chercher à le prouver.
Mais problème : est ce que ça fonctionne pour tous les nombres ?
Ce sera notre discussion dans quelques instants…
Est ce que le chiffre des unités du résultat est celui du départ?
Mais d’abord, regardons un peu la suite du problème…
L’apparition des difficultés
Arrivent ensuite plusieurs difficultés :
Autant dire, je n’ai pas trop envie de travailler…
L’apparition des difficultésMais la vraie difficulté vient de la calculatrice
L’apparition des difficultés
L’apparition des difficultés
Certains ne se posent aucune question et recopient une partie de ce qu’ils lisent
L’apparition des difficultés
Mais au fait, pourquoi la calculatrice ne veut pas écrire la réponse ?
1005 =100100100100100 =10 000 000 000
Donc la calculatrice ne permet pas de répondre aux dernières questions…
Il faut trouver autre chose que la calculatrice pour les grands nombres…
Quel est le chiffre des unités de 55 ? 205 ? 415 ? 725 ? 985 ? 995 ? 1015 ? 127 5 ? 342 4565 ? 14 520 000 005 487 123 3695 ?
3 méthodes possibles :
1) Calculer à la main
2) Chercher une calculatrice plus performante
3) Trouver un « truc » qui fonctionne à tous les coups
Où est la méthode?Avant de voir les 3 méthodes, remarquons que certains concluent sans expliquer, écrivant des nombres « au hasard? »
Ces résultats sont à l’encontre du « truc » que TOUT le monde a remarqué.
1ère méthode : calculer à la main
Méthode peu utilisée pour les
grands nombres…
Attention à l’écriture
mathématique…
1ère méthode : calculer à la main
Et le calcul est correct…
1ère méthode bis : calculer à la main intelligemment
2ème méthode : chercher une autre calculatrice plus performante
Un exemple : Excel
3ème méthode : trouver un truc
Au fait : est ce que ça marche? Est ce que ça marche TOUT LE TEMPS, pour tous les nombres?
Il faut le vérifier !!!
3ème méthode : trouver un truc
1) Où sont les vérifications?
2) Et est-ce suffisant? Pourquoi seulement 3 nombres?
Deux questions?
3ème méthode : trouver un truc
C’est le même problème !
1) Où sont les vérifications
2) Et est-ce suffisant? Pourquoi seulement 3 nombres
3ème méthode : trouver un truc
Certains d’entre vous ont bien suivi les conseils que nous avons donnés :
Prouver « le truc »
Prouver « le truc »
Prouver « le truc »Dans toutes les multiplications, dans tous les produits, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités des facteurs.
Ex : 27
29
2 3 3
5 4 00
7 7 3
7 9 = 6 3 Le 6 est mis en retenue…
Donc il reste à poser le 3
Qu’on ajoute à rien du tout à cause du zéro « de décalage ».
Prouver « le truc »Dans toutes les multiplications, dans tous les produits, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités des facteurs.
Ex : 15
1 2 5
7 5
3 0 00
1 5 0 00 0
1 8 7 5
5 5 = 2 5 Le 2 est mis en retenue…
Donc il reste à poser le 5
Qu’on ajoute à rien du tout à cause des zéros « de décalage ».
Prouver « le truc »Si maintenant on veut multiplier 12 13 14
1 2
13
3 6
1 2 00
1 5 6
1 5 6
1 4
6 2 4
6 0 00
1 5 6 0 00 0
1 6 8 2 4 On retrouve le chiffre des unités comme la multiplication des chiffres des unités.
Donc 12 13 14= 16 824
Donc il suffit de regarder le chiffre des unités :
2 3 4 = 24…
Prouver « le truc »
Donc pour trouver le chiffre des unités de 1015, il suffit de calculer 1 1 1 1 1 =1
Donc le chiffre des unités de 1015 est 1.
Donc pour trouver le chiffre des unités de 1275, il suffit de calculer 7 7 7 7 7 =16 087
Donc le chiffre des unités de 1275 est 7.
Maintenant regardons tous les chiffres élevés à la puissance 5
Prouver « le truc »
Et là, on est sur que tout nombre qui se termine par 0, si on l’élève à la puissance 5, le résultat finira par 0
tout nombre qui se termine par 1, si on l’élève à la puissance 5, le résultat finira par 1
Et ainsi de suite…
On résume
Qu’a t on démontré?
1) Dans une multiplication, le chiffre des unités vient de la multiplication des unités
2) Et si un nombre est élevé à la puissance 5, le chiffre des unités est le même que celui de départ.
Ceci est dû aux résultats de 05;15; 25;…
On prolonge ?
