Correction-TDn˚19-Phénomènesde diﬀusionpsi.pauleluard.free.fr/IMG/pdf/Correction-TD19-Diffusion.pdf · Physique Correction-TDno19: Phénomènesdediﬀusion A rajouter pour la

Physique Correction - TD no19 : Phénomènes de diffusion

Correction - TD n̊ 19 - Phénomènes dediffusion

1 QCM - Diffusion thermique1. 1.a)2. 2.a)3. 3.c)

2 ThéièreAvantages :• La théière est très bien isolée thermiquement, car le seul contact avec la table se fait par les

trois pieds avec un contact pratiquement ponctuel. On rappelle que les pertes thermiquespar contact avec l’air sont très faibles.

• La forme sphérique de la théière permet d’obtenir une contenance maximale avec une surfaceminimale, et donc de minimiser les pertes thermiques au niveau de la paroi en contact avecl’air.

Inconvénients :• Les pieds sont en métal et la conduction avec la table aurait été plus faible avec un matériau

de conductivité thermique plus faible (du bois par exemple).• Le métal est un très bon conducteur de la chaleur, et les pertes avec l’extérieur sont plus

importantes que si la théière était faite de céramique ou de porcelaine.• De plus, le manche de la théière soit en métal est également peu pratique car celui-ci sera

nécessairement très chaud.

3 Survie en montagneL’igloo étant hémisphérique, utilisons les co-

ordonnées sphériques. Considérons le cas limitedu régime de survie, pour lequel la tempéra-ture intérieure de l’igloo est telle que Tint =10̊ C, et la température extérieure telle queText = −10̊ C. Le régime est donc stationnaire,et l’équation de la diffusion conduit à :

∆T = 0

R

e

De plus, d’après la symétrie de l’igloo, la température dans l’igloo est indépendante des coor-données θ et ϕ En coordonnées sphériques, l’équation de Laplace précédente conduit à :

1r2∂

∂r

(r2∂T

∂r

)= 0

On en déduit que

r2∂T

∂r= a

PSI - Année 2010/2011 1 Lycée Paul Eluard


En intégrant une nouvelle fois, on obtient :

T (r) = −ar

+ b

où a et b sont des constantes. Or les conditions aux limites s’écrivent, en appelant R le rayonintérieur de l’igloo, et e son épaisseur supposée constante pour tout l’igloo :

Tint = T (R) = − aR

+ b

Text = T (R+ e) =− a

(R+ e) + b

La résolution du système conduit à :

a = −Tint − Texte

R(R+ e) < 0

b =(R+ e)Text −RTint

e

En régime stationnaire, l’épaisseur limite e de l’igloo qui permet à quelqu’un de survivre àl’intérieur est telle que le flux thermique allant de l’intérieur vers l’extérieur est égal à 50W . Or :

φ =x −→

j · −→dS = −λ dTdr

∣∣∣∣∣r=R

2πR2 = −2πλa

où l’on a considéré que le vecteur −→j ne dépendait ni de θ, ni de ϕ, et que le flux variait très peuentre R et R+ e.En remplaçant avec l’expression de a, sachant que e� R, R(R+ e) ' R2, on obtient :

φ = (Tint − Text) 2πλR2

e

et donc l’épaisseur minimale de la paroi de l’igloo pour autoriser la survie est donnée par :

e = (Tint − Text) 2πλR2

φ

L’application numérique donne :• e = 13cm pour un petit igloo de 2m de diamètre• e = 50cm pour un grand igloo de 4m de diamètre

L’ordre de grandeur à atteindre est donc tout à fait réalisable, et c’est pourquoi l’igloo esteffectivement un moyen de survivre en montagne en cas d’impossibilité d’atteindre le refuge.

4 Diffusion à travers un fin tuyau entre deux récipients0. Le régime dépend du temps et n’est donc pas stationnaire.



A rajouter pour la question 2) : le nombre dN1,tube = Φ1,tubedt de particules de gaz G1 quitraversent le tube pendant dt correspond aussi au nombre de particules de gaz G1 qui sortentde A pendant dt (noté −dN1A car dN1A < 0 lorsque des particules sortent de A), mais aussiau nombre de particules de gaz G1 qui entrent dans B pendant dt (noté +dN1B car dN1B > 0lorsque des particules entrent dans B). Ceci est vérifié car le flux est constant dans tout le tube.Ceci s’écrit donc :

dN1,part = Φ1,tubedt = −dN1A = dN1B

j1sdt = −NAVAdC1A(t) = NAVBdC1B(t)



5 Double vitrage1. a) voir cours

b) voir cours

c) voir cours. On obtient : φth =λV S

eV(T1 − T2) =

1Rth

(T1 − T2).

2. a) Les matériaux thermiques sont en série, donc :

Req = 2eV

λV S+

eA

λAS

Le nouveau flux à travers la vitre vaut :

φ′th =(T1 − T2)Req

=(T1 − T2)(

2eV

λV S+

eA

λAS

) =(T1 − T2)λV λAS2eV λA + eAλV

' (T1 − T2)λASeA

car λV � λair.b) Remplacer l’air par de l’Argon permet de multiplier l’isolation thermique par un

facteur correspondant au rapport des conductivités thermiques, soit environ 2.c) φth = 4.4kW et φ′th = 100W .d) Pchaudiere = 88kW et P ′chaudiere = 2kW . On voit donc ici clairement l’intérêt d’utiliser

du double vitrage, car la consommation est environ 40 fois plus faible.

6 Evaporation de l’éther



7 Sensation de chaud ou de froid



8 Diffusion dans un tuyau poreux1. Ecrivons tout d’abord la variation dN du nombre de particules entre t et t+ dt entre x etx+ dx de deux manières différentes :

dN =∂(nV )∂t

dt = V∂n

∂tdt = 0

car le régime est stationnaire. Or cette variation correspond au nombre de particulesentrant en x, moins le nombre de particules sortant en x+ dx, moins celles sortant par lasurface latérale, soit :

dN = j(x)Sdt− j(x+ dx)Sdt− jL2πadxdt

On en déduit, en utilisant la loi de Fick dans la paroi du tube caractérisée par un coefficient

de diffusion D′, −→j L = −D′∂n∂r−→u r :

− ∂j∂xSdxdt+D′

∂n

∂r2πadxdt = 0

Or d’après l’énoncé, on peut supposer que la densité moléculaire est linéaire dans le tube,de sorte qu’on peut écrire :

n(r) = αr + β

En utilisant les conditions aux limites{n(a+ e) = 0n(a) = n(x)

, on obtient :

n(r) =n(x)e

[(a+ e)− r]

Finalement, on en déduit :

− ∂j∂xS − D′n(x)

e2πa = 0

2. En utilisant une seconde foi la loi de Fick, mais dans le tube, suivant la direction longitu-dinale :

−→j = −D∂n

∂x−→u x

on obtient :DS

∂2n

∂x2 −D′n(x)e

2πa = 0

Et en posant une distance caractéristique d telle que d2 =aeD

2D′ , on obtient :

∂2n

∂x2 −n(x)d2 = 0

LA solution de cette équation différentielle s’écrit :

n(x) = Ae

x

d +Be−x

d



En utilisant les conditions aux limites,{n(0) = n0

n(L) = n1, on obtient :

n(x) =n0sinh

(L− xd

)+ n1sinh

(x

d

)

sinh

(L

d

)

La distance d respréente donc la distance caractéristique de variation de la densité departicules n(x). Si L� d, les pertes latérales deviennent négligeables et on obtient :

n(x) =(n1 − n0)x

L+ n0

9 Gel d’un lac1. Le flux thermique φ traversant la couche de glace dans le sens des z décroissants est donné

par :

φ =x

S

−→j th ·

−→dS =

(−λdT

dz−→u z)· (−S−→u z) = λS

dT

dz

L’air étant plus froid que l’eau du lac, la température augmente lorsque z augmente (avec

l’axe des z vers la bas). On en déduit donc quedT

dz> 0, et on vérifie donc bien que le flux

précédent est positif, c’est à dire que la glace cède de l’énergie à l’atmosphère.

Or en régime quasistationnaire :

∆T = 0 soitd2T

dz2 = 0 et donc T (z, t) = Ta +Tf − Tae(t) z

où l’on a utilisé les conditions aux limites. On peut en déduire le flux thermique :

φ =λS

e(t) [Tf − Ta]

On trouve que φ > 0 car Tf > Ta. Le flux thermique est bien dirigé des zones les pluschaudes (l’eau) vers les zones les plus froides (l’air).

2. On considère la formation d’une couche de glace entre les instants t et t+ dt, de volume :

dVglace = S [e(t+ dt)− e(t)] = Sde

dtdt

Cette variation de volume est positive s’il y a formation de glace.Appliquons le premier principe de la thermodynamique à la couche d’eau, présente àl’instant t, et qui a donné naissance à la couche de glace précédente à l’instant t+ dt (onnotera que le volume dVliq occupé par la couche d’eau est légèrement différent de dVglacecar la masse volumique de l’eau liquide est différente de celle de la glace). Ce systèmeconstitue un système fermé entre les instant t et t+ dt, et on peut écrire :

dU = δQ+ δW



Or seules les forces de pression interviennent, et comme la variation de volume est trèsfaible si on assimile la masse volumique de l’eau et celle de la glace, dVglace ' dVliq, etdonc δW ' 0.L’eau étant une phase condensée :

dU ' dH = −µlfdVoù lf est la chaleur latente massique de fusion.Or, lors de la fusion d’un volume dV > 0 de glace :

dS =dH

T=µdV lf

T> 0

dS > 0 car la fusion correspond à une augmentation du désordre des molécule d’eau etdonc à une augmentation de l’entropie. On en déduit donc que lf > 0.On en déduit donc que la variation dU précédente est bien négative car la couche d’eaucède de l’énergie vers l’extérieur d’après la première question.

L’énergie de la couche d’eau diminue à cause du changement d’état, et cette énergie est en-tièrement cédée à l’extérieur sous forme d’un flux thermique en régime quasi-stationnaire :

dU = δQ = −φdtavec le flux thermique φ défini précédemment. Cette énergie est à nouveau négative car lacouche d’eau perd de l’énergie au profit de l’extérieur.

On peut donc en déduire :

−µlfSde

dtdt = −λS

e[Tf − Ta] dt soit e

de

dt= λ(Tf − Ta)

µlf

On retrouve bien le résultat demandé.On peut alors intégrer cette équation en :

e2(t) = e20 + 2λ(Tf − Ta)t

µlf

On vérifie bien que pour t assez grand, le terme en e20 est négligeable, et e(t) ∝ √t.

3. Comme la vitesse de croissance de la couche de glace dépend du temps, il faut définir untemps caractéristique de croissance τc qui dépend du temps. On le défini par :

de

dt' e

τcd’où τc =

µlfe2

(Tf − Ta)λOr le temps caractéristique d’établissement d’un régime de diffusion est, d’après le cours :

τdiff =e2

D=e2µc

λ

L’approximation des régimes quasi-stationnaires est valable si le phénomène de diffusionn’a pas le temps de se faire lors de la croissance de la couche de glace pour qu’on puisseconsidérer la température du lac comme constante :

τdiff � τc soite2µc

λ� µlfe

2

(Tf − Ta)λ et Tf − Ta �lf

c' 79K

L’approximation faite est donc parfaitement vérifiée dans les conditions classiques de geld’un lac pour lesquelles Tf = 0̊ C et Ta = −10̊ C, soit Tf − Ta � 79K.



10 Influence de la conductivité thermique de l’air sur la vitesse duson : hypothèse d’adiabaticité

1. L’application du premier principe de la thermodynamique à une particule de fluide, ensuivant cette dernière au cours de son mouvement afin qu’elle constitue un système fermé,entre les instants t et t+ dt, s’écrit :

dU =DU

Dtdt = δW + δQ

Or pour une phase condensée ou un gaz considéré comme parfait, on peut appliquer lapremière loi de Joule, soit dU = mcV dT , et donc pour la particule de volume dV , onobtient :

dU = µcVDT

DtdtdV

De plus, le transfert thermique effectué par la particule avec l’extérieur s’écrit :

δQ = dφdt

, où dφ est le flux élémentaire entrant entre t et t+ dt dans la particule, c’est à dire le fluxthermique allant de l’extérieur vers l’intérieur. Or dφ = −v −→j · −→dSext où l’intégration sefait sur toute la surface de la particule de fluide, et le signe ”− ” provient de la conventiond’orientation du flux pour une surface fermée. En utilisant le théorème d’Ostrogradsky, onobtient :

dφ = −y

div−→j dτ

où l’intégration se fait sur tout le volume de la particule, et sachant que ce volume estélémentaire et qu’on peut considérer le vecteur densité de flux thermique −→j = −λ−−→gradTcomme constant sur le volume dV , on en déduit :

dφ = λdiv(−−→gradT

)dV = λ∆TdV

Finalement, on obtient bien :

dU = µcVDT

DtdtdV = δW + δQ = δW + λ∆TdtdV

2. En ordre de grandeur, on a, en régime sinusoïdal :∣∣∣∣∣δQ

dU

∣∣∣∣∣ =λ∆T

µcVDT

Dt

=Dthf

c2

où Dth est la diffusivité thermique (Dth = 10−5m2.s−1 pour l’air), f la fréquence (entre20Hz et 20kHz pour les sons audibles) et c la vitesse du son (340m.s−1 pour l’air).

3. L’application numérique conduit à :∣∣∣∣∣δQ

dU

∣∣∣∣∣ = 1.7× 10−5

L’hypothèse adiabatique pour le son est donc très bien vérifiée puisqu’à l’échelle des trans-ferts énergétiques mis en jeu :

δQ ' 0



11 Chauffage d’une dalle de béton

12 Cave à vins

1. Variations diurnes : τ =2πω

= 24h et, en moyenne (au printemps par exemple), à ParisTm ' 12̊ C et a ' 5̊ C.

Variations saisonnières (annuelles) : τ =2πω

= 365j et, à Paris Tm ' 12̊ C et a ' 20̊ C.

2. T (z, t) vérifie l’équation de la diffusion :

∂T

∂t= D∆T

Utilisons la notation complexe en régime sinusoïdal forcé pour déterminer la solution, qui



est nécessairement de la forme suivante, d’après la linéarité de l’équation de la diffusion :

T (z, t) = Tm + aei(ωt−kz)

On obtient donc la relation de dispersion suivante :

k2 =− iωD

d’où k = ±√ω

De−iπ

4 = ±√

ω

2D(1− i)

3. On s’intéresse aux ondes thermiques qui se propagent de l’extérieur vers le sol, de sortequ’on ne considère que le cas ”+” précédent, où l’onde est progressive vers les z croissants,avec l’axe z dirigé vers le bas :

T (z, t) = Tm + ae−z

δcos

(ωt− z

δ

)

où δ =

√2Dω

correspond à la distance caractéristique d’atténuation de l’onde lors de lapénétration dans le sol.

On rappelle que D =λ

µcV, et on peut en déduire l’application numérique de δ :

• δ = 12cm pour les variations diurnes• δ = 2.3cm pour les variations annuellesCeci permet de comprendre l’intérêt des caves pour la conservation des vins à une tempé-rature pratiquement constante, à Tm ' 12̊ C, dès que la cave est située à quelques mètressous terre.

On comprend également que la température dans une grotte reste également pratiquementconstante quelle que soit sa profondeur, et qu’elle est également de l’ordre de 12̊ C, enFrance, mais qu’elle dépend bien entendu de la température extérieure moyenne, de sorteque la température des grottes en Afrique orientale peut dépasser les 20̊ C, comme lemontre la figure ci-dessous. On notera que l’influence du flux thermique venant du centrede la Terre est négligeable, même à l’échelle des grottes les plus profondes.

On notera que d’après l’expression précédente, il existe des profondeurs pour lesquelles,lorsque la température est maximale dehors, pendant l’été par exemple, le déphasage del’onde est tel que la température est minimale à l’intérieur de la cave. C’est par exemple

le cas lorsquez

δ= π, soit pour z = πδ ' 7m.



z

extérieur

sol

TT

0

m

δ

cave

a)

b)

c)

Figure 1: a) Température en fonction de la profondeur, au moment où la température est maxi-male à l’extérieur, b) Grotte, c) Température des grottes, en fonction de l’altitudedans diverses régions du globe.


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