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CAPES DE SCIENCES PHYSIQUES ENONCES ET CORRIGES DE PROBLEMES DE PHYSIQUE DU CONCOURS (19881999)

Corrigs par e

Jean-Jacques LABARTHELaboratoire Aim Cotton e www.lac.u-psud.fr

Site dachage : http://perso.club-internet.fr/moririyo/physique/index.html Premi`re version : 6 juillet 2002 e Cette version : 10 novembre 2003

CAPES

3

CAPESIndex des noms propres ENONCES 1988 (incomplet) 12 14 15

A. Rgime transitoire dun circuit R, L, C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 e B. Oscillations forces dun circuit R, L, C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 e

CAPES

4

C. Rgime transitoire dun oscillateur mcanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 e e 1989 26 A. Notions qualitatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 B. Choix dune unit de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 e C. Etude dune horloge ` balancier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 a DEUXIEME PARTIE : Horloge ` quartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 a A. Etude lmentaire de la pizo-lectricit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ee e e e B. Etude lectrocintique dune lame de quartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 e e TROISIEME PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Quelques questions poses par la ralisation dune horloge atomique . . . . . . . . . . . . . . . 44 e e A. Emissions atomiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 B. Etude dun gaz mono-atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1990 49

PREMIERE PARTIE : Horloges naturelles et mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 e

A. Choc de deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

CAPES

5

B. Ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 C. Interaction de deux protons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 D. Loi dOhm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 E. Electricit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 e 1991 73 1. Etude simplie dun haut-parleur lectrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 e e 2. Propagation du son dans lair par onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 3. Interfrences avec des ondes ultrasonores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 e 2. POUVOIR SEPARATEUR DUNE LUNETTE ASTRONOMIQUE . . . . . . . . . . . . . . 81 3. FORMATION DUN COURANT ASCENDANT ET DUN NUAGE . . . . . . . . . . . . . 84 1992 (incomplet) 92

1. EMISSION ET PROPAGATION DUNE ONDE SONORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

DEUXIEME PARTIE. MECANIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 I. Mouvement dun point matriel dans un champ newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . 92 e II. Etude nergtique du mouvement dun point matriel dans un champ newtonien . . . . 97 e e e

CAPES

6

TROISIEME PARTIE. OPTIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 I. ETUDE DUN APPAREIL PHOTOGRAPHIQUE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 II. INTERFERENCES LUMINEUSES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 1993 107 A. Modlisation optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 e B. Etude de la goutte deau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 C. Analogie avec larc-en-ciel atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Diraction dune particule alpha par un noyau dor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Deuxi`me Partie. Electricit dans lAtmosph`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 e e e A. Etude de dcharges lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 e e B. Le tonnerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 C. Fluctuations du champ magntique terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 e Troisi`me Partie. Le Soleil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 e 1994 (incomplet) 134

Premi`re partie. LArc-en-Ciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 e

CAPES

7

2EME PARTIE. PROPAGATION DONDES ACOUSTIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 3EME PARTIE. THERMODYNAMIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 1995 (incomplet) 151

Premi`re partie. Phnom`nes lis ` latmosph`re terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 e e e e a e A) Stabilit de latmosph`re terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 e e B) Etude lectrique du syst`me (terre, atmosph`re) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 e e e Deuxi`me partie. Fonctionnement dun haut parleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 e A) Etude mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 e B) Etude nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 e e C) Alimentation du haut-parleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 1996 174 I) Etude dun oscillateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 II) Etude dun oscillateur a frquence module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 e e DEUXIEME PARTIE. Etude de convertisseurs dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 e

PREMIERE PARTIE. Schma de principe dun oscillateur ` frquence module . . . . . . . . . 174 e a e e

CAPES

8 I) Etude thermodynamique thorique dun moteur ` combustion interne . . . . . . . . . . 181 e a II) Etude dun dispositif dascenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

TROISIEME PARTIE. Etude dune lunette astronomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 I) Grossissement et cercle oculaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Il) Etude du pouvoir sparateur dune lunette astronomique . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 e 1997 (incomplet) 203

DEUXIEME PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 C. Production dnergie lectrique ` partir dun champ magntique . . . . . . . . . . . . . 203 e e a e 1999 (incomplet) 210

Partie A. Champs et interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 CORRIGES 1988 (incomplet) 217 218

A. Rgime transitoire dun circuit R, L, C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 e B. Oscillations forces dun circuit R, L, C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 e

CAPES

9

C. Rgime transitoire dun oscillateur mcanique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 e e 1989 (incomplet) 234

PREMIERE PARTIE : Horloges naturelles et mcaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 e C. Etude dune horloge ` balancier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 a TROISIEME PARTIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 Quelques questions poses par la ralisation dune horloge atomique . . . . . . . . . . . . . . . 249 e e Etude dun gaz mono-atomique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 1990 (incomplet) 257

A. Choc de deux solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 2 Ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 3 Interaction de deux protons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 1991 (incomplet) 276

1. EMISSION ET PROPAGATION DUNE ONDE SONORE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 1. Etude simplie dun haut-parleur lectrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 e e

CAPES

10 2. Propagation du son dans lair par onde plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 3. Interfrences avec des ondes ultrasonores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 e

3. FORMATION DUN COURANT ASCENDANT ET DUN NUAGE . . . . . . . . . . . . . 290 1992 (incomplet) 298

DEUXIEME PARTIE. MECANIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 I. Mouvement dun point matriel dans un champ newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . 298 e II. Etude nergtique du mouvement dun point matriel dans un champ newtonien . . . . 303 e e e 1993 (incomplet) 309

Premi`re partie. LArc-en-Ciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309 e Diraction dune particule alpha par un noyau dor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Deuxi`me Partie. Electricit dans lAtmosph`re . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 e e e A. Etude de dcharges lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 e e 1994 (incomplet) 321

3EME PARTIE. THERMODYNAMIQUE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

CAPES 1995 (incomplet)

11 331

Premi`re partie. Phnom`nes lis ` latmosph`re terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 e e e e a e A) Stabilit de latmosph`re terrestre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 e e B) Etude lectrique du syst`me (terre, atmosph`re) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 e e e Deuxi`me partie. Fonctionnement dun haut parleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 e A) Etude mcanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 e B) Etude nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 e e 1996 (incomplet) 353

DEUXIEME PARTIE. Etude de convertisseurs dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 e I) Etude thermodynamique thorique dun moteur ` combustion interne . . . . . . . . . . 353 e a 1997 (non corrig) e 1999 (incomplet) 362 363

Partie A. Champs et interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

INDEX DES NOMS PROPRES

12

Index des noms propresAbraham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 dAlembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 Archim`de. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235 e Avogadro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Beau de Rochas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 Bell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .69 Binet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Boltzmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253 Borda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Copernic. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .93 Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

INDEX DES NOMS PROPRES Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Feynman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 Galile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .258 e Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 Geiger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .250 Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 Huygens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Joule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Kennelly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Lenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 Marsden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 Mayer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 Ohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Rutherford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375 Snell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 Thevenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Wheatstone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121 Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

13

ENONCES

1988 (INCOMPLET)

15

1988 (incomplet)A. Rgime transitoire dun circuit R, L, C. eCette partie est corrige page 218. e Dans le circuit de la gure 1, R est la rsistance dun conducteur ohmique, L est linductance dune e bobine dont la rsistance est ngligeable, C est la capacit dun condensateur. e e e On dsigne par e

1988 (INCOMPLET)

16

R

L + q(t) - q(t)

i(t)

v(t) C

Fig. 1: circuit RLC. q(t) la charge instantane du condensateur ` la date t ; e a i(t) lintensit instantane dans le circuit ` la date t ; e e a v(t) la tension instantane aux bornes du condensateur ` la date t. e a

1. En tenant compte des orientations indiques sur le schma, tablir les relations entre q(t) et v(t) dune e e e part, et entre q(t) et i(t) dautre part.

1988 (INCOMPLET)

17

2. On suppose dabord que la rsistance R est nulle ; la tension initiale est v(0) = V0 ; le courant initial est e i(0) = 0.2 Etablir lexpression de v(t) ; on posera 0 = 1/LC.

3. On tudie maintenant le cas o` la rsistance R nest pas nulle. e u e a. Etablir lquation direntielle ` laquelle satisfait v(t) ; on posera = R/2L0. e e a b. Dire qualitativement quels sont les rgimes dvolution possibles de la tension v(t). La rsolution de e e e lquation direntielle nest pas demande. e e e c. Dnir et exprimer la rsistance critique Rc . e e 4. On se place encore dans le cas o` la rsistance R nest pas nulle ; v(0) = V0 ; i(0) = 0. u e Calculer lnergie dissipe par eet Joule au cours du rgime transitoire. e e e

1988 (INCOMPLET)

18

B. Oscillations forces dun circuit R, L, C. eCette partie est corrige page 222. e On ins`re dans le circuit RLC dcrit dans la partie A un gnrateur de tension parfait dont la tension e e e e instantane aux bornes est e e(t) = em cos t (em : tension maximale ; : pulsation).

On ralise ainsi le circuit reprsent ` la gure 2. e e ea 1. Etablir lquation direntielle ` laquelle satisfait q(t). e e a 2. Dnir le rgime transitoire et le rgime forc. e e e e 3. En rgime forc, on note lintensit instantane e e e e i(t) = im cos(t + ).

1988 (INCOMPLET)

19

R

L + q(t) - q(t)

e(t)

v(t) C i(t)

Fig. 2: circuit RLC avec un gnrateur. e e 3.1. On introduit les grandeurs complexes e et i associes ` e(t) et ` i(t), soit, respectivement e a a e = em ejt , i = im ejt ej avec j 2 = 1.

e Dterminer limpdance complexe z = e/i en fonction des caractristiques du circuit (R, L et C) et de e e la pulsation . e e 3.2. Exprimer im et en fonction des caractristiques du circuit (R, L et C) et de la donne em . 3.3.a. Quappelle-t-on rsonance dintensit ? e e

1988 (INCOMPLET) b. Quelle est alors la relation entre L, C et ? c. Que peut-on dire du circuit ` la rsonance? a e 3.4.a. Donner lallure de la courbe indiquant comment varie im en fonction de la pulsation . b. Dnir puis tablir lexpression donnant la bande passante. e e c. Dnir puis tablir lexpression donnant le facteur de qualit. e e e 4. En rgime forc, on note la tension aux bornes de la bobine e e vL (t) = um cos(t + L ). On pose = um , em = 0 et Q= L0 . R

20

1988 (INCOMPLET) 4.1. Montrer que peut se mettre sous la forme = 2 2Q2 1 2 1 + 4 Q2 .

21

4.2.a. A quelle condition sur Q, admet-il un maximum? b. Calculer la valeur m correspondante en fonction de Q. c. Calculer la valeur m du maximum de en fonction de m . 4.3. Etablir une expression quivalente simple de quand e au voisinage de lorigine. 4.4. Etablir une expression quivalente simple de quand e courbe reprsentative de ()? e 1. En dduire lallure de la courbe () e

1. Que peut-on en dduire quant ` la e a

4.5. A laide de dveloppements limits dordre suprieur aux prcdents, tudier comment, suivant les e e e e e e valeurs de Q, se situe la courbe () par rapport aux courbes trouves prcdemment (en B.4.3 et B.4.4) e e e dans les parties 1 et 1.

1988 (INCOMPLET) 4.6. Sur le mme syst`me daxes, donner les allures des courbes () pour Q = 0,5 et Q = 5. e e 5. Calculer, en rgime forc, pour = 0 : e e a. Lnergie W dissipe en une priode ; e e e b. Lnergie maximale WL de la bobine ; e c. Lnergie maximale WC du condensateur ; e d. Lexpression = 2WL /W ; que constate-t-on?

22

C. Rgime transitoire dun oscillateur mcanique. e eCette partie est corrige page 231. e On consid`re le dispositif de la gure 3. e Un ressort lastique, de masse ngligeable, de raideur k, de longueur ` vide l0 , a son extrmit suprieure e e a e e e

1988 (INCOMPLET) S xe. A lextrmit infrieure est x un corps M assimilable ` un point matriel de masse m. e e e e a e

23

Le rle unique de lamortisseur D, de masse ngligeable, li ` M , est dexercer sur le corps la force o e e a u e ff = hv, o` v dsigne la vitesse de M et h un coecient de frottement uide, positif. Les mouvements de M sont verticaux ; ils sont tudis dans le rfrentiel, considr comme galilen, pour e e ee e e e lequel S est xe. La position de M est repre, au cours du temps, par son abscisse x(t) sur laxe vertical e e descendant Ox, xe. A lquilibre, labscisse de M est nulle. e 1. A lquilibre, lallongement du ressort est dsign par a. e e e Exprimer a en fonction de m, de k et de la valeur absolue g de lintensit de la pesanteur. e 2. Etablir lquation direntielle du mouvement de M . e e 3. On supprime lamortisseur D, puis on abandonne M sans vitesse initiale ` labscisse x(0) = X0 . a2 Etablir lexpression de x(t) ; on posera 0 = k/m.

4. Apr`s avoir replac lamortisseur D, on reprend la mme opration que celle dcrite prcdemment en e e e e e e e C.3, on posera = h/2m0.

1988 (INCOMPLET)

24

a. Dire qualitativement quels sont les rgimes possibles dvolution de x(t). La rsolution de lquation e e e e direntielle nest pas demande. e e b. Dnir et exprimer le coecient de frottement critique hc . e 5. Calculer lnergie dissipe dans lamortisseur D pendant le rgime transitoire. e e e

1988 (INCOMPLET)

25

S

O M D x(t) x

Fig. 3: loscillateur mcanique. e

1989

26

1989Valeurs numriques et relations pouvant tre utiles ` la rsolution du probl`me. e e a e e Vitesse de la lumi`re dans le vide : c = 3,00 108 m s1 ; e Constante de gravitation universelle : G = 6,67 1011 N m2 kg2 . Pour la Terre : distance moyenne au Soleil : d = 1,5 1011 m ; vitesse moyenne de translation sur sa trajectoire : u = 3,0 104 m s1 ;

1989 rayon moyen : RT = 6 400 km ; masse : MT = 6,0 1024 kg ; un jour solaire vrai = 24 h = 86 400 s ;

27

la Terre fait un tour sur elle-mme, dans un rfrentiel galilen, en un jour sidral soit 86 164 s ; e ee e e latitude de Paris : P = 48 51 ; acclration de la pesanteur ` Paris : g = 9,81 m s2 ; ee a Acclration de la pesanteur sur la Lune : 6 fois plus faible que sur la Terre ; ee Constante de Planck : h = 6,63 1034 J s ; Constante de Boltzmann : k = 1,38 1023 J K1 ; Constante molaire des gaz parfaits : R = 8,31 J mol1 K1 ; Masse molaire de lair : M = 29,0 g mol1 ; Masse volumique de lair dans les conditions normales : s = 1,29 kg m3 ; Pour le csium 133, sous une pression de 105 Pa : e temprature de fusion : Tf = 29 C, e

1989 temprature dbullition : Te = 670 C ; e e Quelques intgrales: e 0

28

x2 eax dx x4 eax dx2

2

= =

0

1 , 4a a 3 . 2 8a a

(1) (2)

PREMIERE PARTIE : Horloges naturelles et mcaniques eA. Notions qualitatives.Les tres humains ont une connaissance intuitive de ((lcoulement du temps)). e e 1. Citez des phnom`nes naturels permettant ` lhomme de quantier cet coulement en labsence de tout e e a e instrument de mesure pralablement construit. e 2. Voici deux propositions :

1989 ((Le skieur a eectu la descente en 76 s)) ; e ((Le train est entr en gare ` 6 h 48 min)). e a

29

Trouvez-vous une dirence entre les deux concepts de mesure qui leur sont associs ? Dans lare e mative, prcisez les deux notions et indiquez celle qui selon vous, intervient dans la ralisation des divers e e instruments de ((mesure du temps)). 3. Les appareils utiliss pour dater les vnements sont appels horloges. Quelles doivent tre les qualits du e e e e e e phnom`ne commandant le fonctionnement dune horloge? Citez des types dhorloges utilises au cours e e e de lhistoire pour mesurer des intervalles de temps. 4. Ordres de grandeur (` exprimer dans lunit lgale du Syst`me International) : a e e e quelle est la dure dune rvolution du centre dinertie de la Terre autour du Soleil? Pour valuer e e e cet ordre de grandeur, ` partir des valeurs numriques donnes en dbut dnonc, on assimilera le a e e e e e mouvement orbital de la Terre ` un mouvement circulaire et uniforme. a quel ((temps)) met la lumi`re pour traverser une pi`ce dhabitation de 6 m de long? e e une mouche a un battement dailes toutes les millisecondes. Quobserve-t-on lors de la projection, ` a 24 images par seconde, du lm de son mouvement, ralis avec une camra du type ((24 images par e e e

1989

30 seconde))? Quel appareil faut-il utiliser pour observer limmobilit des ailes ? Comment procder e e pour mesurer la dure dun battement dailes avec un tel appareil? e

B. Choix dune unit de mesure. e1. Le jour solaire vrai est la dure qui spare deux passages conscutifs du Soleil au mridien dun point de e e e e la surface terrestre. a. Reprsentez la projection de la Terre suppose sphrique, sur le plan de lquateur, ple Nord au-dessus e e e e o de ce plan ; laxe Nord-Sud est suppos perpendiculaire au plan de lquateur. Dessinez. deux mridiens e e e voisins en prcisant langle quils forment. e b. Quelle est lheure solaire de Moscou ainsi que celle de Washington lorsquil est 8 heures ` Paris, a a a a sachant que Moscou est ` 35 27 ` lest de Paris, Washington ` 79 25 ` louest de Paris, et que les a horloges locales indiquent toutes 12 heures lorsque le Soleil est au znith du lieu? e c. Quel est le dcalage horaire (en considrant lheure solaire) entre deux points situs ` un kilom`tre e e e a e lun de lautre sur le parall`le passant par Paris? Quel est lintrt de la dtermination du temps local? e e e e

1989

31

2. Le jour sidral est la dure de rotation de la Terre autour de laxe des ples, dans un rfrentiel galilen. e e o ee e En vous aidant dun schma, montrer que le jour sidral a une dure plus courte que le jour solaire vrai ; e e e on rappelle que les mouvements diurne et orbital de la Terre seectuent dans le mme sens. e 3. Quel est le phnom`ne qui permet de dnir actuellement la seconde? e e e Pourquoi nutilise-t-on plus ni le jour solaire vrai, ni le jour sidral, comme unit de rfrence? e e ee

C. Etude dune horloge ` balancier aCette partie est corrige page 234. e Ltude des mouvements dans un rfrentiel li ` la Terre sera conduite en ngligeant les forces dinertie e ee ea e de Coriolis 1 : cela revient ` (( faire comme si )) ce rfrentiel tait galilen, en remplaant toutefois les a ee e e c forces de gravitation par les forces de pesanteur. Le balancier dune horloge de campagne est constitu dune tige et dun disque x ` son extrmit e e a e e infrieure (gure 4). e1. Gaspard Gustave de Coriolis (1792-1843)

1989O YL

32

X

a 2R

Z

Fig. 4: Balancier de lhorloge. La tige, de forme paralllpipdique, a pour longueur L = 15 cm, largeur a = 1 cm, paisseur b = 2 mm. ee e e Le disque est un cylindre de rvolution de rayon R = 5 cm, limit par deux sections droites distantes de e e c = 4 mm. Laxe du cylindre est parall`le ` OY , axe de rotation horizontal du balancier, perpendiculaire au plan e a de la gure.

1989 Lensemble du balancier forme un solide homog`ne, en acier de masse volumique = 7500 kg m3 . e Ce balancier constitue un pendule qui commande lavancement des aiguilles de lhorloge.

33

On fera abstraction des autres lments de celle-ci ; ils seront supposs ne pas aecter le mouvement du ee e pendule. A linstant choisi comme origine des temps, le pendule est immobile et son axe de symtrie fait avec e la verticale descendante OZ un angle 0 . Lacclration de la pesanteur vaut localement g = g k, k tant le vecteur unitaire de laxe OZ. ee e 1. Quelles sont les forces appliques au pendule prcdent? e e e 2. Montrer, par des considrations nergtiques sans utiliser dquation direntielle , que le moue e e e e vement est priodique si les frottements peuvent tre ngligs. e e e e 3.a. Dnissez le moment dinertie dun solide par rapport ` un axe Oy. e a b. Calculez le moment dinertie Jd du disque par rapport ` son axe de rvolution. a e

1989

34

a e a c. Calculez le moment dinertie Jt de la tige par rapport ` un axe parall`le ` OY et passant par son centre dinertie. d. Calculez le moment dinertie J du balancier par rapport ` laxe de rotation OY ; quel thor`me est-il a e e judicieux demployer? Enoncez-le. e. Application numrique : calculez J. e

4. Est-il lgitime de ngliger la pousse dArchim`de? Justiez votre rponse. e e e e e 5. Etablissez lquation direntielle du mouvement du balancier en supposant que linuence des e e frottements est ngligeable. e 6. On suppose que langle 0 est de lordre de quelques degrs. e Quelle proprit appara dans ce cas? Quelle est alors la solution gnrale de lquation direntielle? e e t e e e e e Donnez la valeur littrale T0 de la priode correspondante. e 7. Pratiquement, langle 0 a une valeur plus importante.

1989 a. b. Intgrez lquation direntielle de la question 5 ; Donnez-en la signication physique. e e e Montrez que la priode du pendule peut scrire e e0

35

T =K0

d cos cos 0

(3)

K tant un coecient ` dterminer. e a e c. Calculer T en fonction de T0 et 0 ; on pourra poser u = sin(/2) = sin(0 /2) sin et faire un dveloppement quon limitera au deuxi`me ordre en 0 . e e a e d. Calculer numriquement la priode T0 ` Paris. Quel est langle maximal 0m tolrable si on veut que e e la priode T di`re de moins de 1% de la priode T0 ? e e e 8. Lhorloge est place dans un avion, ` Paris, sous la responsabilit dun steward. e a e Au moment du dcollage, lappareil roulant sur une piste horizontale, lacclration de lavion peut e ee tre considre comme constante. Le steward vous interroge : (( Comment placer le plan doscillation du e e e balancier pour que, ni la position dquilibre, ni la priode ne soient modies pendant le dcollage? )) e e e e Donnez votre rponse et justiez-la. e

1989 9. Lavion atterrit ` Singapour, lieu dont la latitude est s = 1 22 . a

36

a. Quelles sont les grandeurs physiques susceptibles de faire varier la priode T0 lorsque lhorloge change e de lieu? b. On veut prciser linuence de la seule latitude (laltitude restant nulle). e

On consid`re que la Terre tourne ` vitesse constante autour de laxe des ples ; On assimile le champ de e a o gravitation total au seul champ cr par la Terre suppose forme dune rpartition de masses ` symtrie ee e e e a e sphrique. On rappelle que lacclration de la pesanteur g est telle que le poids dun point matriel de e ee e masse m a pour expression p = mg. . Donner lexpression vectorielle de g en fonction du rayon RT de la Terre, de la latitude et de 2 lexpression g0 = GMT /RT . Que reprsente g0 ? e . Dans ce mod`le, calculer les valeurs numriques de gs et de gp , acclration de la pesanteur ` e e ee a Singapour et ` Paris. a . En fait, les mesures eectues donnent : gs = 9, 78 m s2 et gp = 9, 81 m s2 . Comment justier e lcart entre les valeurs mesures et les valeurs calcules en ? e e e

1989

37

. En ne tenant compte que de linuence de la latitude, indiquez si lhorloge rgle ` Paris est core e a rectement rgle ` Singapour. Prcisez si elle avance ou retarde et calculez lcart relatif de priode e e a e e e e a a (Ts Tp )/Tp ; Tp est la valeur de la priode ` Paris, Ts sa valeur ` Singapour. 10. a. Au cours dun voyage Terre-Lune, limpesanteur est suppose tre momentanment ralise ` e e e e e a lintrieur dun vhicule spatial. e e On dispose de deux instruments de mesure de temps : une horloge ` balancier et une montre ` quartz. a a Ces deux appareils fonctionnent-ils correctement? Justiez votre rponse. e b. Mme question apr`s larrive sur la Lune. e e e

11. Ltude du mouvement du balancier sur la Terre a t faite jusquici en ngligeant tout frottement. e e e e En ralit, des frottements existent ; pour simplier, on suppose que les frottements solides sont toujours e e ngligeables et que le moment des forces de frottement uide par rapport ` laxe de rotation OY peut e a u scrire , o` est une constante positive et la drive par rapport au temps de llongation . e e e e a. Ecrivez lquation direntielle du mouvement du balancier dans le cas des oscillations de faible e e amplitude.

1989

38

b. Donner la solution gnrale en supposant que linuence des frottements reste faible. Prcisez lallure e e e de la courbe reprsentant les variations de llongation au cours du temps. e e c. Quelle conclusion en tirez-vous, concernant le mcanisme dune horloge fonctionnant correctement? e

DEUXIEME PARTIE : Horloge ` quartz aLes horloges ` quartz, plus ables que les horloges mcaniques utilisent les proprits pizo-lectriques a e e e e e dun quartz : ces proprits permettent dobtenir des talons de frquence meilleurs que les prcdents. e e e e e e La rsolution de A nest pas ncessaire pour aborder B. e e

A. Etude lmentaire de la pizo-lectricit. ee e e eLe quartz a pour formule brute SiO2 : dans un cristal de quartz, chaque atome de silicium est entour e par quatre atomes doxyg`ne disposs aux sommets dun ttra`dre rgulier. e e e e e

1989 1. a. Reprsentez un ttra`dre lmentaire du cristal de quartz. e e e ee

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b. On admet que la charge porte par chaque atome de silicium est +2 ; quelle est la charge porte par e e un atome doxyg`ne, le cristal tant globalement neutre? e e c. Dans le cristal, un atome doxyg`ne est li ` deux atomes de silicium ; quel est le moment dipolaire e ea moyen associ au ttra`dre lmentaire? Quen est-il pour lensemble du cristal? e e e ee 2. a. Une lame de quartz, convenablement taille, est comprime suivant une direction (gure 5). Il appara e e t alors des charges lectriques opposes sur les deux faces parall`les A et B ; une traction suivant la e e e mme direction inverse le signe des charges. Donnez une interprtation de ce phnom`ne ` lchelle e e e e a e microscopique.+ F B A + + F

Fig. 5: la pizo-lectricit. e e e

1989

40

b. De la mme mani`re, si on mtallise les faces A et B prcdentes, et si on leur applique une tension e e e e e e e e u = VA VB , la lame de quartz se dilate ou se contracte selon le signe de u. Interprtez ce phnom`ne ` lchelle microscopique. a e c. Si la lame prcdente est comprime puis abandonne sans contrainte, elle se met ` osciller ; ses atomes e e e e a sont anims de mouvements sinuso e daux et les charges des faces A et B varient sinuso dalement avec la mme frquence. Donnez la forme gnrale de lquation direntielle rgissant un mouvement oscillatoire e e e e e e e harmonique. d. En dduire le schma dun circuit lectrique, compos de deux lments passifs, qui semble quivalent e e e e ee e au cristal de quartz prcdent. e e

B. Etude lectrocintique dune lame de quartz. e eLexprience conduit, en fait, ` une premi`re modlisation de la lame de quartz mtallise prcdente qui e a e e e e e e utilise deux condensateurs et une bobine ; en faisant abstraction des phnom`nes dissipatifs, on retient e e le diple quivalent AB de la gure 6. o e Dans ce qui suit, la tension applique ` la lame de quartz est sinuso e a dale u = VA VB = V 2 cos t.

1989

41

On se limite ` ltude du rgime sinuso a e e dal forc. Ladmittance complexe du diple scrit: Y = g + jb e o e avec j 2 = 1. 1. a. Montrez que ladmittance du diple AB peut se mettre sous la forme o Y = j C0 + C 1 LC2 .

b. Etudiez les variations de la susceptance b en fonction de . Prcisez notamment lexpression de db/d e et tracez la courbe reprsentative de b(). e e La pulsation pour laquelle b est innie sera note 1 ; celle, non nulle, pour laquelle b est nulle sera note e 2 . c. Indiquez pour quelles valeurs de ce diple est de nature inductive ou capacitive. o 2. a. Quel est le comportement du diple pour chacune des pulsations 1 et 2 ? o e o b. Pour des pulsations voisines de 1 , on modlise le quartz par le diple de la gure 7. Justiez cette schmatisation et donnez les valeurs de L et C . e Montrez que, dans ces conditions, une variation de la pulsation provoque une variation Z de

1989 limpdance telle que |Z| = 2L||. e

42

e o e e c. Pour des pulsations voisines de 2 , on modlise le quartz par le diple reprsent gure 8. Pour justier cette schmatisation, montrez pralablement que, dans ces conditions, une variation de la pulsation e e provoque une variation Y de ladmittance du quartz telle que |Y | = 2C0 || 1 + Donnez alors les valeurs de L et C . 3. Applications numriques : C0 = 1 pF, C0 /C = 105 , f1 = 1 /2 = 106 Hz. e e e a a. Calculer L et f = f2 f1 (f2 est la frquence associe ` 2 ). b. Commentez le rsultat obtenu pour L. e c. Que dire des variations de limpdance et de ladmittance pour une variation de 1 Hz respectivement e au voisinage de f1 et de f2 ? 4. On place, en parall`le sur le quartz, un condensateur de capacit C2 . e e C0 C .

1989A C C0 C B B B A A

43

L L C

L

Fig. 6: circuit LCC0 .

Fig. 7: circuit L C .

Fig. 8: circuit L C .

a. Montrez que la pulsation 1 ne change pas, tandis que la pulsation 2 diminue. e e e e b. Comment choisir C2 pour rduire de moiti lcart de frquence f ?

1989

44

TROISIEME PARTIE Quelques questions poses par la ralisation dune horloge atoe e miqueCette partie est corrige page 249. e Les horloges atomiques fournissent galement des talons de frquence qui peuvent tre prfrs aux e e e e eee horloges ` quartz. a Ce sont des dispositifs complexes comportant, eux aussi, un oscillateur ` quartz, mais ce dernier, grce ` a a a un dispositif dasservissement, ne peut vibrer qu` une frquence impose par un ((oscillateur atomique)). a e e La ralisation dune horloge atomique conduit ` aborder les questions voques ci-dessous. e a e e

A. Emissions atomiques1. Dans une horloge atomique, on utilise les ondes lectromagntiques mises par des atomes excits. e e e e

1989 a. Que signie lexpression ((atome dans un tat excit))? e e

45

b. Quelle est la relation donnant la frquence de londe lectromagntique mise par un atome qui se e e e e dsexcite? e Prcisez clairement la signication des dirents termes. e e c. Dans une horloge atomique, la transition entre deux niveaux hyperns dun atome de csium 133 e correspond ` une onde de frquence = 9 192 631 770 Hz. Quelle est la longueur donde associe dans le a e e vide? Quel est le type dondes lectromagntiques mises dans ce domaine de longueur donde? e e e d. Quelle est la valeur de la quantit de mouvement dun photon de frquence ? e e e. Quel principe de la mcanique quantique exclut, en fait, la production dune onde rigoureusement e monochromatique? Enoncez ce principe. 2. Les atomes metteurs dune onde lectromagntique sont toujours en mouvement par rapport ` lespace e e e a li ` lobservateur. ea

1989 a. Justiez cette armation.

46

b. La frquence de londe perue par lobservateur est dirente de la frquence dmission. Quel est le e c e e e nom de ce phnom`ne? e e Ce phnom`ne existe-t-il pour des ondes autres que les ondes lectromagntiques? Illustrez votre rponse e e e e e en dcrivant une exprience de la vie courante. e e c. Aux ondes lectromagntiques mises par les atomes des corps purs solides sont associs des spectres e e e e de bande ; pour les corps purs gazeux, il sagit de spectres de raies. Justiez ces rsultats. e An de minimiser la dispersion des frquences entra ee par leet dcrit en 2.b, on utilise donc un corps e n e pur gazeux et on slectionne les atomes se propageant dans une direction dtermine: un jet atomique e e e de csium mis par un four. Ltude des vitesses des atomes de ce jet permet de conna la dispersion e e e tre en frquence des radiations mises. e e

B. Etude dun gaz mono-atomique1. Dans une horloge atomique la temprature du four dans lequel se forme la vapeur de csium est voisine e e de 100 C.

1989

47

a. Quel param`tre physique a-t-il fallu modier pour que le csium soit eectivement ` ltat de vapeur e e a e dans le four? Justiez votre rponse en donnant lallure du diagramme de stabilit des direntes phases dun corps e e e pur dans le cas le plus usuel. Donnez les noms des points remarquables de ce diagramme. b. Pour quelle(s) raison(s) est-il prfrable dutiliser une vapeur ` 100 C au lieu de 670 C. ee a 2. Dans le four prcdent, le csium 133 se comporte comme un gaz parfait mono-atomique. Un volume V e e e N atomes par unit de volume) ` la temprature T . e a e contient N atomes de masse m (soit n = V a. Rappelez les signications, ` lchelle microscopique, de lexpression ((gaz parfait)). a e b. Indiquez lexpression de lnergie cintique E dun atome de gaz parfait mono-atomique en fonction e e de sa vitesse. 3. On admet que le gaz prcdent obit ` la statistique de Boltzmann : le nombre datomes contenus dans e e e a un volume innitsimal dV dont les vecteurs vitesses ont une norme comprise entre v et v + dv est e dN = A exp E kT v 2 dv dV. (4)

1989 a. Donnez lexpression de N , nombre total datomes contenus dans le volume V en fonction de A.

48

b. Calculez la vitesse quadratique moyenne u (racine carre de la moyenne des carrs des vitesses des e e divers atomes) en utilisant le rsultat prcdent. e e e c. Application numrique : Calculez cette vitesse pour le csium 133 gazeux ` 100 C. e e a 4. Dnissez lnergie interne U du gaz parfait tudi contenu dans le volume V ; donnez son expression en e e e e fonction de la temprature absolue T . e 1 nmu2 . 3 Retrouvez directement cette relation, sans utiliser la statistique de Boltzmann, par ltude mcanique e e des chocs des atomes sur une paroi.

5. En utilisant lquation des gaz parfaits, montrez que la pression p peut scrire sous la forme p = e e

1990

49

1990Valeurs numriques pouvant tre utiles ` la rsolution du probl`me : e e a e e Constante dAvogadro 2 : N = 6,02 1023 mol1 ; Permittivit du vide : e0

= 8,85 1012 F m1 ;

Clrit de la lumi`re dans le vide : c = 2,998 108 m s1 ; ee e e Charge lmentaire: e = 1,60 1019 C ; ee Masse de llectron : 9,109 1031 kg ; e2. Amedeo Avogadro (1776-1856)

1990 Masse du proton : 1,673 1027 kg.

50

A. Choc de deux solidesCette partie est corrige page 257. e On dispose dune table plane et horizontale sur laquelle sont placs deux solides A et B, de masses e ee e e e respectives mA et mB . Cette table, xe dans le rfrentiel du laboratoire suppos galilen, est perce de multiples trous permettant ` une souerie denvoyer des jets dair. Les frottements seront ainsi ngligs. a e e Le solide B est initialement immobile et le solide A vient le heurter avec une vitesse caractrise par le e e vecteur v0 . On supposera : que le choc est lastique ; e que les solides sont toujours en translation. On notera vA et vB les vecteurs vitesses respectifs des deux solides apr`s le choc. e 1. Prciser les caractristiques dun choc lastique. e e e

1990

51

2. On consid`re le mme choc lastique analys dans deux rfrentiels distincts : celui du laboratoire not e e e e ee e a R, galilen, et un autre rfrentiel R1 en translation par rapport ` R. On notera ve le vecteur vitesse de e ee a translation de R1 par rapport ` R. 2.1. Quelle est la proprit caractristique dun rfrentiel galilen? e e e ee e 2.2. Si le rfrentiel R est galilen, ` quelles conditions R1 le sera-t-il aussi? ee e a e e 2.3. Quelle est la relation entre les vecteurs vitesses v et v1 dun mme point exprims dans les deux rfrentiels? ee 2.4. Exprimer la conservation de lnergie lors du choc entre les deux solides dans chaque rfrentiel. En e ee utilisant les relations prcdentes, quelle loi de conservation retrouve-t-on? e e e e 3. On suppose dabord que les vecteurs vitesses vA et vB des deux solides restent colinaires apr`s le choc. e On choisit un axe x x orient dans le sens de v0 (gure 9). e 3.1. Exprimer en fonction du rapport des masses = mB /mA et de v0 , valeur algbrique de v0 , les e valeurs algbriques vA et vB des vitesses des deux mobiles apr`s le choc. e

1990i x A v0 B x

52

Fig. 9: Avant le choc (rfrentiel du laboratoire R). ee 3.2. Quobtient-on si mA = mB ? 4. On suppose maintenant que les directions des vitesses sont quelconques apr`s le choc et que les masses e des deux solides sont gales. e e Montrer que les vecteurs vitesses vA et vB sont orthogonaux apr`s le choc. Peut-on dterminer compl`tement ceux-ci? e e e 5. Les masses mA et mB sont direntes et on suppose les directions des vecteurs vitesses vA et vB quelconques. Le solide B est toujours immobile avant le choc. 5.1. Dans le rfrentiel R du laboratoire, dterminer, en fonction de v0 et du rapport des masses = ee e mB /mA , le vecteur vitesse vG et le mouvement du centre de masse G de lensemble A et B : avant le choc ;

1990 apr`s le choc. e

53

e ee ee 5.2. On utilise un rfrentiel, not R , appel rfrentiel du centre de masse (ou encore rfrentiel ee e barycentrique). Ce rfrentiel est anim, par rapport au rfrentiel du laboratoire, suppos galilen, dun mouvement de ee e ee e e translation tel, qu` chaque instant, le centre de masse soit constamment immobile dans ce rfrentiel. a ee e a. A quelle condition R sera-t-il aussi galilen? b. Avant le choc, dterminer dans R , en fonction de mA , et v0 : e les vecteurs vitesses vA et vB ; les quantits de mouvement pA et pB ; e les nergies cintiques EcA et EcB , e e

des deux solides A et B. 5.3. Apr`s le choc, suppos lastique, e ee a. Comparer les quantits de mouvement pA et pB . e

1990

54

e e b. Calculer lnergie cintique totale Ec du syst`me form par les deux solides et montrer que les modules e e des quantits de mouvement ne sont pas modis par le choc dans R . e e e c. On suppose que dans R , toutes les directions des quantits de mouvement et donc des vitesses sont e e probables. On peut reprsenter vA par un vecteur dorigine xe et dont lextrmit se trouve sur un e cercle (gure 10).

v* A

Fig. 10: La vitesse vA apr`s le choc (rfrentiel R ). e ee Reprsenter alors vB avec la mme origine lorsque < 1. e e En utilisant les lois de composition des vitesses, reprsenter graphiquement les vecteurs vitesses vA et vB e dans le rfrentiel du laboratoire. Montrer que, dans ce dernier cas, le projectile A est dvi au maximum ee e e

1990 u dun angle m que lon calculera dans le cas o` = mB /mA = 1/2.

55

B. Ressort1. e Le solide A, de masse mA , glissant en translation sur la table horizontale, est anim dune vitesse caractrise par le vecteur v0 , les frottements tant toujours ngligeables. Il vient heurter lextrmit e e e e e e e libre M dun ressort, initialement dtendu, de longueur ` vide l0 , de raideur k et de masse ngligeable ; e a ses spires ne sont pas jointives. Lautre extrmit du ressort est attache ` une paroi xe. On prend e e e a comme tat de rfrence le ressort dtendu. e ee e 1.1. On appelle m la projection de M sur un axe Ox parall`le ` la direction du ressort (gure 11) ; on e a pose Om = x. Lorsque le ressort est au repos, x = 0. Exprimer lnergie potentielle de ce ressort ` un instant quelconque, en fonction de x. En dduire la e a e longueur minimale du ressort au cours de linteraction. 1.2. a. Exprimer les forces appliques au solide A. e

1990

56

A v0 M

x

O

x

Fig. 11: Avant le choc contre le ressort. b. En dduire lquation direntielle du mouvement. e e e c. Donner la solution x(t) de cette quation. e d. Sachant que le contact solideressort cesse lorsque ce dernier reprend sa longueur ` vide, en dduire a e la dure de linteraction. e Application numrique : v0 = 0, 25 m s1 ; k = 15 N m1 ; mA = 0, 6 kg ; l0 = 0, 15 m. e

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57

2. Le ressort est li maintenant au solide B, de masse mB , initialement immobile. Le projectile A de e vecteur vitesse v0 vient heurter lautre extrmit libre du ressort initialement dtendu (gure 12) e e eA v0 B A B

x* A (a) (b)

x* B

Fig. 12: (a) avant le choc dans R ; (b) dans R . On suppose que ce choc est unidirectionnel, que la table est horizontale et que les frottements sont ngligeables. e 2.1. Expliquer pourquoi, dans le rfrentiel du laboratoire, on ne peut transformer toute lnergie ee e cintique du projectile en nergie potentielle lastique. e e e e 2.2. Pourquoi est-ce possible dans le rfrentiel du centre de masse R ? Calculer dans celui-ci lnergie ee

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cintique, avant le choc, du syst`me form par les deux solides et en dduire la longueur minimale du e e e e ressort au cours de linteraction. Application numrique : v0 = 0, 25 m s1 ; k = 15 N m1 ; mA = mB = 0, 6 kg ; l0 = 0, 15 m. e 2.3. a. Calculer la vitesse du centre de masse des deux solides dans le rfrentiel du laboratoire. Celle-ci ee e est-elle aecte par linteraction? Le rfrentiel du centre de masse R est-il galilen? e ee e b. Dans ce rfrentiel, R , on utilise un rep`re dorigine G. Soient x et x les abscisses des deux ee A B extrmits du ressort. e e Exprimer les forces appliques ` chaque solide, dans ce rfrentiel, en fonction de la raideur k et des e a ee abscisses x et x . A B Ecrire les quations direntielles du mouvement de B et de A. e e En dduire x(t) = x (t) x (t). e B A c. En supposant que linteraction cesse lorsque le ressort reprend sa longueur initiale, dterminer : e la dure de linteraction ; e les vitesses, apr`s linteraction, des solides A et B dans le rfrentiel R puis dans le rfrentiel R. e ee ee

1990 Application numrique : v0 = 0, 25 m s1 ; k = 15 N m1 ; mA = mB = 0, 6 kg ; l0 = 0, 15 m. e

59

C. Interaction de deux protons1. Deux protons, en interaction mutuelle dans le cadre de la mcanique non relativiste, sont ` une e a distance r0 , lorsque le premier est immobile et le second anim dune vitesse v0 dirige vers le premier e e (gure 13).v0 p r0 p

Fig. 13: Interaction de deux protons.

1.1. Quelles grandeurs physiques sont conserves au cours du temps? e 1.2. Expliquer pourquoi, dans le rfrentiel du laboratoire, on ne pourra jamais trouver simultanment ee e les deux protons avec une vitesse instantane nulle. e Pourquoi est-ce possible dans le rfrentiel du centre de masse? ee

1990

60

1.3. Indiquer les caractristiques du champ lectrostatique E et du potentiel V crs par une charge e e ee ponctuelle q en un point situ ` une distance r de celle-ci. Quelles sont les surfaces quipotentielles et ea e les lignes de champ? 1.4. Donner les expressions des forces exerces entre les deux protons en fonction de leur distance r. e Exprimer leur nergie potentielle dinteraction Ep . e 1.5. Calculer lnergie cintique initiale de lensemble des deux protons dans le rfrentiel du centre de e e ee masse. En dduire lnergie potentielle maximale de ce syst`me ainsi que la distance minimale entre les deux e e e protons. Calculer la vitesse instantane de chacun des protons dans le rfrentiel du laboratoire lorsque ceux-ci e ee sont ` leur distance minimale. a Application numrique : r0 est inniment grand ; v0 = 2 106 m s1 . e 2. On consid`re ` prsent, dans le cadre de la mcanique relativiste, un proton incident dont lnergie e a e e e cintique initiale est grande. Celle-ci est susamment leve et on esp`re crer au cours dun choc sur le e e e e e

1990 proton immobile une paire forme dun proton p et dun anti-proton p : e p + p p + p + p + p.

61

(5)

On ngligera lnergie potentielle initiale dinteraction, le proton incident tant tr`s loign du proton e e e e e e cible. 2.1. Ce choc est-il lastique? e 2.2. Quelles grandeurs physiques sont conserves? e 2.3. Dans quel rfrentiel peut-on, ventuellement, obtenir les quatre particules simultanment immoee e e biles? En dduire : e lnergie cintique initiale minimale dans ce rfrentiel et dans celui du laboratoire ; e e ee la vitesse initiale minimale du projectile dans le rfrentiel du laboratoire. ee 2.4. Comparer cette derni`re vitesse ` celle que devraient avoir deux protons ayant deux vitesses direce a tement opposes dans le laboratoire. e

1990

62

D. Loi dOhm 3On consid`re un lectron libre dans un conducteur mtallique, plac dans un champ lectrique uniforme e e e e e E. A linstant t0 , il subit un choc qui modie sa vitesse. Celle-ci a alors une valeur quelconque v0 . On suppose quentre deux chocs, la seule force applique est la force lectrique. e e 1. Exprimer la vitesse v(t) de llectron ` linstant t, avant quil ne subisse un autre choc. e a 2. Quelles sont les hypoth`ses qui permettent dexprimer la vitesse moyenne v de lensemble des lectrons e e sous la forme e v = E (6) m o` m est la masse de llectron et e sa charge? u e Que reprsente alors ? e3. Georg Simon Ohm (1789-1854)

1990 3.

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Dun point de vue macroscopique, laction des chocs est quivalente ` une force de frottement uide e a f = hv, de sens contraire ` la vitesse v. h est une constante positive. a 3.1. Ecrire lquation direntielle ` laquelle obit la vitesse. e e a e 3.2. Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite v1 = On exprimera en fonction des donnes. e 4. Le conducteur poss`de n lectrons libres par unit de volume. e e e 4.1. Exprimer le vecteur densit de courant j en fonction de E, n, . e Quelle est lexpression macroscopique de cette relation? e E. m (7)

1990 4.2. En dduire lexpression de la conductivit du mtal. e e e 5. Le cuivre poss`de autant dlectrons libres que datomes. e e

64

Calculer et v pour un conducteur de cuivre de section s = 2 mm2 parcouru par un courant dintensit e I = 1 A. Donnes numriques pour le cuivre : e e conductivit : = 6 107 1 m1 ; e masse atomique molaire : A = 63, 5 103 kg mol1 ; masse volumique : = 8920 kg m3 .

E. Electricit eUn diple comporte entre deux bornes A et B une rsistance R et un condensateur de capacit C placs o e e e en srie. e

1990 1.

65

On place aux bornes A B un gnrateur de tension idal de force lectromotrice E et un interrupteur e e e e K. Initialement, le circuit est ouvert et le condensateur dcharg. Soit vs la tension aux bornes du e e condensateur (gure 14). A linstant t = 0, on ferme linterrupteur.

A i K E

R

C B

vs

Fig. 14: Le circuit.

1990

66

1.1. Quels sont les comportements du condensateur ` linstant t = 0, puis au bout dun temps tr`s a e long? e e En dduire les valeurs correspondantes de vs , de lintensit i et de lnergie du condensateur. e 1.2. On pose = RC. Pour t 0 : a. b. c. Ecrire lquation direntielle ` laquelle obit vs . e e a e Indiquer lunit de . e Etablir lexpression de vs (t) et donner lallure de la courbe correspondante en prcisant : e lasymptote ; la pente initiale ; les coordonnes de lintersection de la tangente ` lorigine et de lasymptote. e a Application numrique : R = 1 k ; C = 1 F ; E = 10 V. e

1990 2.

67

u Entre A et B, on applique une tension alternative sinuso dale de la forme ve (t) = Ve cos t, o` Ve est une constante et o` la pulsation peut varier. u 2.1. On utilise les deux voies dun oscillographe bicourbe (gure 15). Pour une certaine frquence, e loscillogramme est le suivant (gure 16) (les calibres des deux voies sont dirents). e a. b. c. d. Quelle courbe correspond ` la voie I? Justier votre rponse. a e Dterminer le dphasage entre les tensions visualises. e e e En dduire la frquence et la priode utilises. e e e e Quelle est la tension ecace aux bornes du condensateur?

e. Donner lexpression de vs (t). Application numrique : Ve = 200 V ; R = 1 k ; C = 1 F. e

1990

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voie I A ve(t) R voie II C B vs

Fig. 15: Les deux voies. 2.2. On double la frquence, la valeur de Ve restant inchange. e e Dterminer la tension ecace aux bornes du condensateur. e

1990 2.3. En faisant varier la frquence, on obtient aux bornes du condensateur une tension de la forme e vs = Vs () cos[t + ()]. On appelle gain, G(), le rapport des tensions maximales G() = et gain en dcibel 4(dB) e H() = 20 log G() a. Indiquer les valeurs de G et H lorsque : 0; .4. Alexander Graham Bell (1847-1922)

69

(8)

Vs () Ve

(9)

o` log reprsente le logarithme dcimal. u e e

(10)

1990

70

e e b. On appelle pulsation de coupure c , la pulsation pour laquelle la dirence entre le gain (en dcibel) et le gain maximum est de 3 dB : H(c ) = Hmax 3 dB. Exprimer cette pulsation de coupure en fonction de R et de C ou de . 2.4. On utilise maintenant une nouvelle rsistance R et un nouveau condensateur de capacit C e e associs ` R et C selon le schma prsent sur la gure 17. e a e e e dale La tension dentre ve (t) est toujours sinuso e ve = Ve cos t, a. b. c. vs = Vs cos(t + ). (12) (11)

Exprimer le gain G() = Vs /Ve en fonction de , R, C, R , C . A quelle condition celui-ci est-il indpendant de la frquence? e e Quel est alors lintrt du montage? e e

1990

71

Fig. 16: Loscillogramme.

1990

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R

C ve R C vs

Fig. 17: Le nouveau montage.

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1991Valeurs numriques et relations pouvant tre utiles ` la rsolution du probl`me. e e a e e Acclration due ` la pesanteur : g = 9,81 m s2 ; ee a Constante molaire des gaz parfaits : R = 8,31 J mol1 K1 ; Masse molaire de lair : M = 29,0 g mol1 ; Rapport des capacits caloriques molaires ` pression et ` volume constant de lair : = Cp /Cv = e a a 1,40.

1991

74

1. EMISSION ET PROPAGATION DUNE ONDE SONORECette partie est corrige page 276. e

1. Etude simplie dun haut-parleur lectrodynamique e eUn haut-parleur lectrodynamique est constitu (voir gure 18) : e e dun aimant annulaire, daxe horizontal x x, crant un champ magntique B radial et de norme e e constante B dans la rgion utile de lentrefer ; e e dun solno indformable de mme axe x x, comportant N spires circulaires de rayon a, plac e de e e dans lentrefer de laimant ; e de dune membrane M , perpendiculaire ` laxe x x, solidaire du solno et pouvant eectuer de a faibles dplacements axiaux autour de sa position dquilibre grce ` un syst`me lastique que lon e e a a e e modlisera par un ressort unique de raideur k. e

1991

75

1.1. Lensemble mobile (membrane + solno e de), de masse m, repr, par labscisse x(t) lorsquil est en e e mouvement, est soumis aux forces suivantes : son poids et la raction du support verticale et oppose au poids ; e e la force de rappel du ressort de raideur k ; e e de la rsultante des forces de Laplace 5 exerces par laimant sur le solno lorsquil est parcouru par e un courant dintensit i(t) ; e une force de frottement uide proportionnelle ` la vitesse : F = xex . a Faire un schma, en respectant les orientations donnes, o` gure la force lmentaire df sexerant sur e e u ee c un petit lment i dl de courant du solno (on supposera sur ce schma lintensit i positive). Expliciter ee e de e e cette force lmentaire. ee En dduire les caractristiques de la rsultante f sexerant sur lensemble du solno (on posera e e e c e de l = 2N a). Le rfrentiel dtude tant suppos galilen, appliquer le thor`me du centre dinertie en projection sur ee e e e e e e laxe x Ox, la position dquilibre lorsque le solno nest parcouru par aucun courant tant repre e e de e e e par x = 0.5. Pierre-Simon marquis de Laplace (1749-1827)

1991 En dduire lquation direntielle liant x(t) et ses drives ` i(t) : e e e e e a (quation demande). e e

76

(13)

e 1.2. Le solno se dplaant dans lentrefer ` la vitesse v = xex = v(t)ex , calculer la force lectromotrice e de e c a induite e(t) par ce dplacement en fonction de B, l et v. On adoptera la convention habituelle selon e laquelle e est positive si, seule dans le circuit ferm, elle y fait circuler un courant dintensit positive, e e et on prcisera, ` laide dune gure, les autres conventions choisies. La bobine, de rsistance R et e a e dinductance propre L, est connecte ` une source idale de tension dlivrant la tension u(t). Montrer e a e e que lquation direntielle vrie par i(t) scrit e e e e e Ri + L di Blv = u dt (14)

1.3. La source idale dlivrant une tension sinuso e e dale u(t) = U 2 cos t, on se propose dtudier le e rgime forc ` la pulsation impose par la source. On associe ` u(t) la forme complexe e ea e a u(t) = U 2ejt = U 2ejt avec j 2 = 1. (15) On cherche alors i(t) et v(t) sous les formes complexes associes : e jt j(t) i(t) = I 2e = I 2e v(t) = V 2ej(t) = V 2ejt .

(16)

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77

e e A partir de lquation (13), exprimer V en fonction de I. En utilisant lquation (14), crire la relation e liant U , I et V . Dduire des rsultats prcdents la relation entre U et I que lon mettra sous la forme : e e e e u e U = Z I o` Z est une impdance complexe. On note Z L limpdance complexe de la bobine en labsence de mouvement de la membrane ; exprimer e Z L. Montrer que lon peut mettre Z sous la forme Z = Z L + Z m o` Z m reprsente limpdance motionnelle u e e du haut-parleur. Exprimer les parties relle et imaginaire de Z m , soit : e Z m () = Rm () + jXm () e e e o` Rm reprsente la rsistance motionnelle et Xm la ractance motionnelle. u 1.4. On se propose de tracer le diagramme dimpdance du haut-parleur. Soit P () le point du plan e e complexe daxe Z m (). Montrer que le lieu dcrit par le point P quand varie est un cercle de rayon a a e R0 tangent ` laxe imaginaire ` lorigine, appel cercle de Kennelly 6 . Exprimer R0 en fonction de B, l et . Placer les points correspondant ` 0, et = 0 = a k/m ; (17)

Lnergie fournie par la source est dissipe en partie dans la rsistance ohmique R sous forme de e e e e chaleur et dans la rsistance motionnelle Rm sous forme dmission acoustique. Dans quel intervalle e6. Arthur Edwin Kennelly (1861-1949)

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78 e e e a de pulsation [1 , 2 ] la rsistance motionnelle est-elle de valeur suprieure ou gale ` R0 ? Placer les points correspondant ` 1 et 2 sur la courbe prcdente. Exprimer 2 1 en fonction de a e e et de m.

2. Propagation du son dans lair par onde planeCette partie est corrige page 284. e On consid`re la propagation du son dans lair par ondes planes le long de laxe Ox. Les vibrations e tant longitudinales, on appelle (x, t) llongation instantane dune particule de uide, cest-`-dire son e e e a dplacement par rapport ` sa position dquilibre repre par la variable x. e a e e e 2.1. (x, t) est solution dune quation de dAlembert 7 ` une dimension, du type : e a 2 (x, t) 1 2 (x, t) 2 = 0. x2 c t2 (18)

Que reprsente c? Donner, sans dmonstration, la forme gnrale de (x, t) et prciser sa signication. e e e e e7. Jean le Rond dAlembert (1717-1783)

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2.2. On se propose de dterminer exprimentalement la vitesse de propagation du son dans lair. On e e dispose pour cela dun haut-parleur, dun gnrateur idal de tension pouvant dlivrer une tension sie e e e nuso dale de frquence f , dun microphone et dun oscilloscope. En supposant qu` la sortie du haute a parleur on observe une onde sonore plane progressive sinuso dale de frquence f , donner lexpression de e llongation instantane (x, t) dune particule de uide par rapport ` sa position dquilibre (repre e e a e e e par la variable x), sachant qu` la sortie du haut-parleur (en x = 0) on observe (x = 0, t) = m cos 2f t a et que lon nglige toute attnuation. e e Expliquer comment lon devra procder exprimentalement pour mesurer la longueur donde de cette e e vibration. En dduire la vitesse c du son dans lair sachant que lon trouve = 20,0 cm pour f = 1700 Hz. e 2.3. La vitesse de propagation du son dans lair libre est indpendante de la frquence. Citer des faits e e de la vie courante ou imaginer des expriences simples qui permettent dtayer cette assertion. e e

3. Interfrences avec des ondes ultrasonores. eCette partie est corrige page 286. e Au lieu dun haut-parleur on dispose maintenant de cellules pizo-lectriques pour engendrer des ultrae e sons. Ces mmes cellules peuvent galement servir pour les dtecter. e e e

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3.1. Lorsque lon applique une tension sinuso dale de frquence f = 40,0 kHz ` une cellule pizolectrique, e a e e on observe devant la cellule une mission donde plane progressive sinuso e dale de longueur donde = 0,85 cm. En dduire la vitesse de propagation c des ultrasons produits dans lair. e On consid`re deux metteurs connects en parall`le ` un gnrateur idal de tension dlivrant une e e e e a e e e e tension sinuso dale de frquence f = 40,0 kHz. Le circuit dphaseur (not sur la gure 19) nest e e e pour linstant pas connect. e e Ces deux metteurs, situs en S1 (x = D, y = a/2) et S2 (x = D, y = a/2) sont supposs quasi e e ponctuels et mettent sensiblement dans la mme direction. On dplace une troisi`me cellule, jouant e e e e le rle de dtecteur, perpendiculairement ` cette direction, le long de laxe Oy. On supposera que o e a les deux ondes arrivant au point M de coordonnes (x = 0, y) sont des ondes planes progressives de e e mme amplitude se propageant selon S1 M et S2 M . Les distances a = 10,0 cm et |y| tant petites e devant la distance D = 1,50 m, montrer que lon peut observer un phnom`ne dinterfrence en e e e dplaant le dtecteur le long de Oy. En dduire lexpression littrale et numrique de linterfrange e c e e e e i. On intercale entre les bornes de sortie du gnrateur idal de tension, dlivrant une tension sie e e e nuso dale de pulsation , et celles dentre de lmetteur S2 un oprateur lectrique idal, appel e e e e e e dphaseur, dont la fonction de transfert scrit : e e v (19) H(j) = s = exp(j). ve Quelle en sera laction sur le phnom`ne dinterfrence observ lorsque = /2? e e e e

1991 3.2. Pour raliser ce circuit dphaseur on propose le montage de la gure 20. e e

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En admettant que lamplicateur oprationnel utilis puisse tre considr comme idal, exprimer la e e e e e e e e e fonction de transfert harmonique H(j) = v s /v e . Montrer que lon a ralis ainsi un circuit dphaseur dont le dphasage peut tre ajust par action sur la valeur de la capacit C du condensateur. Calculer e e e e la valeur de la capacit C pour que lon ait = /2 lorsque R = 1,00 k et R = 10,0 k. e

2. POUVOIR SEPARATEUR DUNE LUNETTE ASTRONOMIQUEOn consid`re une lunette astronomique dont lobjectif est constitu par une lentille mince convergente, e e suppose parfaitement stigmatique et achromatique, de distance focale image f = 800 mm. La partie e utile de la lentille est limite par un diaphragme circulaire, centr sur laxe optique, de diam`tre = e e e 60 mm. La lunette est prcde dun ltre qui ne laisse passer que la lumi`re dont la longueur donde e e e e est voisine de 0,50 m et na pas dautre action. A laide de cet objectif on dsire observer une toile double, assimile ` deux sources ponctuelles S1 et e e e a e a e e e e e e a S2 situes ` linni, de mme intensit, spares par un angle tr`s petit (au maximum gal ` quelques

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dizaines de secondes dangle). Ces deux toiles sont par exemple les deux composantes de 163 Cas e distantes angulairement de = 34,7 . 1. Quappelle-t-on lentille parfaitement stigmatique? Lentille parfaitement achromatique? 2. Exprimer en fonction de et de f la distance sparant les images de ces deux toiles dans le plan focal e e image de lobjectif de cette lunette. Calculer numriquement en m. e 3. En fait, lorsque la lunette est dirige vers une toile, assimile ` une source ponctuelle S place ` linni, e e e a e a on observe dans le plan focal image de la lentille une tache circulaire, appele tache dAiry 8 , dont le e premier minimum nul, autour du centre brillant, correspond ` un rayon angulaire donn par la relation : a e = 1,22/ (o` est exprim en radian lorsque et sont exprims en m`tres). u e e e Quel phnom`ne physique met-on ainsi en vidence? e e e Calculer numriquement, en secondes dangle, la valeur de ce rayon angulaire pour la lunette tudie ; e e e en dduire le diam`tre d, exprim en m, de la tache dAiry dans le plan focal image de lobjectif. e e e 4. Quelle est la valeur minimale de la distance angulaire sparant les deux composantes dune toile double e e8. George Biddell Airy (1801-1892)

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pour que les deux toiles puissent tre spares ` laide de la lunette tudie? On supposera que les deux e e e e a e e images sont encore distinctes si le maximum central de la tache dAiry correspondant ` lune des deux a toiles co e ncide avec le premier minimum nul de la tache dAiry correspondant ` lautre toile. a e Peut-on esprer, avec cet objectif, sparer les deux composantes de 163 Cas? e e 5. Pour observer limage obtenue dans le plan focal de lobjectif on utilise un oculaire que lon assimilera ` une lentille mince convergente, suppose parfaitement stigmatique et achromatique, de distance focale a e image f = 8,0 mm. Comment faut-il placer cette lentille pour que lon puisse observer sans accommoder limage dune source ponctuelle place ` linni ? Faire un schma reprsentant la position des deux e a e e lentilles ainsi que le trajet de trois rayons lumineux (dont deux judicieusement choisis) issus dune toile e faisant avec laxe optique de la lunette langle . En dduire, ` laide de cette construction gomtrique, la e a e e valeur du grandissement angulaire G de la lunette en fonction de f et f . Si les deux composantes dune e e toile double sont distantes angulairement de , sous quel angle seront-elles visuellement spares e apr`s traverse de la lunette? Calculer numriquement dans le cas de 163 Cas. e e e 6. Sachant que la limite angulaire de rsolution de lil est de 80 dans les meilleures conditions, le pouvoir e sparateur de la lunette est-il limit par le pouvoir de rsolution de lil ou par le pouvoir sparateur de e e e e lobjectif? Existe-t-il dautres facteurs susceptibles de limiter ce pouvoir sparateur? Quelles mthodes utilise-t-on e e pour y remdier? e

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3. FORMATION DUN COURANT ASCENDANT ET DUN NUAGECette partie est corrige page 290. e Dans toute ltude qui suit, le champ de pesanteur est suppos uniforme, lair se comporte comme un e e gaz parfait de masse molaire M et de capacits thermiques Cp et Cv constantes. e Lair est suppos sec. Un point N de latmosph`re est repr par ses coordonnes cartsiennes dans un e e e e e e tri`dre orthonorm (Ox, Oy, Oz), tel que laxe Oz co e e ncide avec la verticale ascendante, la cote z = 0 tant prise au niveau de la mer. Le module de lacclration de la pesanteur est appel g. On dsigne par e ee e e p la pression au point N . 1. Lair est suppos tre un uide de masse volumique localement en tat dquilibre. On consid`re une ee e e e tranche dair dpaisseur dz, de volume Sdz. Prciser, ` laide dun schma, la nature et la direction des e e a e forces extrieures appliques sur cette tranche. e e En crivant que cette tranche reste en quilibre tablir la relation e e e dp/dz = g. On appelle p0 et T0 la pression et la temprature thermodynamique au niveau de la mer, p et T la e

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pression et la temprature thermodynamique ` la cote z. Exprimer ` laltitude z en fonction de M , p, e a a T et de la constante molaire des gaz R. Des relevs exprimentaux montrent quen labsence de mouvement des masses dair, la temprature est e e e fonction ane de laltitude z, pour z variant de 0 ` 8000 m, suivant la loi a T = T0 z. A laide de lquation dtat des gaz parfaits et des relations prcdentes montrer que la pression p et la e e e e temprature T ` laltitude z sont lies par la relation, appele ((loi de nivellement baromtrique)), e a e e e T = T0 p p0q

o` lon exprimera lexposant q en fonction de M , g, et R. Quelle est la dimension physique de cet u exposant? Calculer numriquement q sachant que = 6,50 103 K m1 . e e On donne : p0 = 1,01 105 Pa et T0 = 288 K. Exprimer numriquement la pression p en fonction de la temprature T . e 2. Ltat dquilibre tudi prcdemment nest possible que si les isothermes et les isobares co e e e e e e ncident avec les quipotentielles du champ de pesanteur, donc ici avec les surfaces dquation z = constante. Si, par e e suite dhtrognits du sol, celui-ci prsente des carts de temprature dun point ` un autre, lair qui e e e e e e e e a

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surmonte ces terrains schaue diremment et se met en mouvement. On se propose dtudier de faon e e e c tr`s simplie la formation dun courant ascendant. e e a On suppose que lair est localement, ` laltitude z1 , et ` la verticale du point Q, plus chaud que lair a avoisinant. Des photographies infrarouge montrent que ce gaz se dtache verticalement sous forme dune e ((bulle)). Tout se passe comme si une certaine poche de gaz tait limite par une enveloppe souple et non e e tendue. Cette ((bulle)) de gaz, que lon notera B, volue ensuite sans changer de mati`re ni de chaleur e e e avec lextrieur, la pression de la bulle restant gale ` celle de lair environnant ` la mme altitude. e e a a e On supposera que la temprature de lair environnant reste toujours fonction ane de la temprature e e (T = T0 z). On note pB , TB et B la pression, la temprature et la masse volumique du gaz emprisonn dans e e la bulle, TA et A la temprature et la masse volumique de lair environnant ` la mme altitude. e a e e a Montrer que la bulle sl`ve si la temprature TB de la bulle est de valeur suprieure ` celle de lair ee e environnant TA . Le gaz emprisonn dans la bulle subit donc une transformation adiabatique que lon supposera e e a rversible. On appelle T1 la temprature du gaz dans la bulle ` laltitude de sa formation z1 et p1 e la pression ` laltitude z1 . Quelle relation lie la pression pB et la temprature TB de la bulle au a e cours de son ascension aux valeurs initiales p1 et T1 ? Exprimer TB en fonction de pB . Montrer quil existe une altitude plafond z2 pour lascension de la bulle. On note T2 et p2 la temprature et la pression de la bulle lorsquelle arrive ` cette altitude. e a

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e Calculer numriquement T2 et p2 pour T1 = 280 K et z1 = 2 000 m. En dduire la valeur de e laltitude plafond z2 ` laquelle se stabilise la bulle. a

3. Lair tant suppos maintenant humide (cest un mlange dair sec et de vapeur deau), montrer comment e e e lon pourrait expliquer qualitativement la possibilit de formation dun nuage au cours de lascension de e cette bulle.

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(P) Ple Sud i(t) x B Ple Nord membrane M B a x B Ple Sud coupe selon (P), vue ct membraneFig. 18: haut-parleur lectrodynamique. e

ex

u(t)

exi(t)

B

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S1

y M(0, y)

x

-D S2

O

x

Fig. 19: interfrences avec des ondes ultrasonores. e

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R R

R ve

+ C vs

Fig. 20: circuit dphaseur. e

1991

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z g = - g ez O y Q xFig. 21: la ((bulle)) de gaz.

B

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1992 (incomplet)DEUXIEME PARTIE. MECANIQUEI. Mouvement dun point matriel dans un champ newtonien eCette partie est corrige page 298. e On tudie le mouvement dun satellite dans le champ gravitationnel terrestre. Ce satellite est considr e e e comme un objet ponctuel. La Terre est assimile ` une rpartition sphrique de masse. On montre que e a e e

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dans ces conditions son champ gravitationnel en un point extrieur est identique ` celui que crerait une e a e masse ponctuelle place en son centre et gale ` sa masse totale. e e a Ltude est mene dans le rfrentiel gocentrique li au centre O de la Terre et en translation par rapport e e ee e e ee e e e aux axes de Copernic 9 . Ce rfrentiel est considr galilen. On ne tient compte que du champ gravitationnel terrestre. On utilisera les valeurs numriques suivantes : e masse de la Terre : MT = 6,00 1024 kg ; rayon de la Terre : RT = 6 400 km ; constante de gravitation universelle : G = 6,67 1011 N m2 kg2 ; dure du jour sidral : T0 = 86 164 s. e e 1. Donner lexpression du champ gravitationnel terrestre G en un point M situ ` la distance r > RT du ea centre de la Terre. 2. Satellites circulaires.9. Nicolas Copernic (Nicolaus Copernicus, 1473-1543)

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On dsire placer un satellite de masse m sur une orbite circulaire de rayon r dont le centre sera confondu e avec le centre de la Terre. a. Montrer que le mouvement circulaire est ncessairement uniforme. e b. Le satellite ayant atteint, au cours de la phase de lancement, un point M distant de r du centre O de la Terre, quelles caractristiques doit-on donner ` son vecteur vitesse pour le placer en ce point en orbite e a circulaire? c. Etablir lexpression de la priode T du satellite en fonction du rayon de son orbite. e d. Etablir lexpression de lnergie E du satellite sur sa trajectoire circulaire en fonction du rayon de son e orbite. e. Soit la latitude de la base de lancement et la vitesse de rotation de la Terre autour de laxe de ses ples. Quelle nergie faut-il communiquer au satellite pour le placer, depuis le sol, sur son orbite o e circulaire? Quel est lintrt dune base quatoriale? e e e f. Application numrique : r = 6 600 km ; e Calculer la vitesse du satellite sur son orbite circulaire, ainsi que la priode de son mouvement. e

1992 (INCOMPLET) g. Satellites gostationnaires. e Donner la dnition dun satellite gostationnaire. e e

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Est-il possible de placer un satellite gostationnaire ` la verticale de Paris? Justier la rponse. e a e Calculer le rayon de lorbite gostationnaire. e Calculer la vitesse du satellite sur cette orbite.

3. Etude dune orbite de transfert. a On dsire faire passer le satellite prcdent de lorbite circulaire (O1 ) de rayon r1 ` lorbite circulaire e e e (O2 ) de rayon r2 (r2 > r1 ). Pour y parvenir, on lui fait emprunter une orbite de transfert elliptique (E), a e a tangente en son prige M1 ` lorbite (O1 ) et en son apoge M2 ` lorbite (O2 ). Les passages en M1 e e de lorbite (O1 ) ` lorbite (E) et en M2 de lorbite (E) ` lorbite (O2 ), sont eectus en fournissant au a a e satellite, ` laide de propulseurs, deux impulsions permettant daugmenter respectivement son nergie de a e E1 et E2 (g. 22). On admettra que les relations donnant E et T , tablies avec r pour des trajectoires circulaires, restent e formellement valables ici, pour des trajectoires elliptiques de demi-grand axe a en remplaant r par a. c a. Quel est le demi-grand axe de lorbite de transfert?

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(

)O r 1 M1 r2

(

2

)

M2

(

1

)

Fig. 22: lorbite de transfert. b. Quelles sont les nergies respectives du satellite sur les orbites (O1 ), (O2 ), (E), en fonction de G, MT , e m, r1 et r2 ? c. Exprimer E1 et E2 en fonction des mmes param`tres. e e Application numrique. Calculer E1 et E2 : m = 100 kg ; r1 = 6 600 km ; r2 = 42 200 km. e

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a d. Calculer la dure du transfert de lorbite (O1 ) daltitude 200 km, ` lorbite (O2 ) daltitude 35 800 km. e

II. Etude nergtique du mouvement dun point matriel dans un champ e e e newtonienCette partie est corrige page 303. e (titre original complet : II. Etude nergtique du mouvement dun point matriel dans un e e e champ newtonien attractif) Soit O un point xe du rfrentiel dtude galilen (R). ee e e On note r la distance ` O dun point M quelconque de lespace et on pose a OM = ru. Une particule de dimensions ngligeables, assimile ` un point matriel de masse m est anime dans (R) e e a e e dune vitesse v. Elle subit en M la seule force f = k u r2 (k constante positive).

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1. Montrer que le moment cintique en O du point matriel reste constant au cours du mouvement. En e e dduire que ce mouvement seectue dans un plan contenant le centre des forces O. e e c Dans la suite on aura intrt ` utiliser la base cylindrique (u, u , uz ) dnie de la faon suivante : e e a u : vecteur unitaire de OM ; e e e uz : vecteur unitaire colinaire au moment cintique de la particule et de mme sens ; u : vecteur tel que (u, u , uz ) soit orthonorme directe. e

2. Montrer que la force f drive dune nergie potentielle Ep . Etablir lexpression de cette nergie potentielle e e e en la prenant par convention nulle ` linni. a 3. Dnir lnergie mcanique du point matriel. Montrer que cest une constante du mouvement. e e e e 4. Soit Ox un axe cartsien du rfrentiel (R). On rep`re la position M de la particule dans le plan de son e ee e mouvement par ses coordonnes polaires r et = (Ox, u). e a. On dnit la constante des aires du mouvement de la particule par : C = r2 . Justier le terme e ((constante)).

1992 (INCOMPLET) b. Les conditions initiales du mouvement sont dnies par : e r = r0 ; = 0 ; v = v0 ; (u, v0 ) = 0 .

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Exprimer E et C en fonction de k, m, r0 , v0 et 0 . c. Montrer que lnergie mcanique de la particule peut se mettre sous 1a forme e e E= 1 2 mr + E (r) 2 avec E (r) = k mC 2 + . r 2r2

d. Montrer que la fonction E (r) admet un minimum Em pour r = rm . Exprimer Em et rm en fonction de k, m, r0 , v0 et 0 . Tracer lallure du graphe E (r). e. Dnir la condition que doit satisfaire E pour que le point matriel reste prisonnier du centre des e e forces. f. Quelle est, en fonction de k, m, r0 , la valeur minimale v0m de v0 pour que le point matriel chappe e e au centre des forces? g. Quelle est la nature du mouvement lorsque E = Em ?

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TROISIEME PARTIE. OPTIQUEI. ETUDE DUN APPAREIL PHOTOGRAPHIQUE.Lobjectif dun appareil photo est modlis par une lentille mince convergente de distance focale f , e e accole ` un diaphragme circulaire de diam`tre D. Les axes de la lentille et du diaphragme sont confondus e a e e a e e et f est gale ` 50 mm. La lentille est utilise dans les conditions de Gauss. On dnit le nombre douverture N par le rapport N = f /D.

diaphragme objectif

film

Fig. 23: lappareil photo.

1992 (INCOMPLET) 1. Enoncer les conditions de Gauss. 2. La mise au point tant faite ` linni, quelle est la distance de lobjectif au plan du lm? e a

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3. La distance minimale de mise au point parfaite tant de 60 cm, calculer dans ces conditions la distance e de lobjectif au plan du lm. Commenter le rsultat. e 4. Notion de profondeur de champ. Lobjectif est mis au point sur linni. A tout point de laxe correspond alors sur la pellicule une tache. Compte tenu du grain de la pellicule et de lacuit visuelle, il y a nettet apparente si le diam`tre de e e e cette tache est infrieur ou gal ` . e e a e e On note A1 le point de laxe le plus proche de lobjectif pour lequel ce crit`re de nettet apparente est satisfait. a. Reprsenter sur une gure le point A1 et son image A1 , ainsi que les grandeurs D et . e a e b. Calculer la distance p1 du point A1 ` lobjectif en fonction de N , f et et commenter le rsultat. c. Application numrique : = 30 m. e

1992 (INCOMPLET) Calculer p1 pour N = 2,8 et N = 16.

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5. La tache centrale de diraction donne par une ouverture circulaire de diam`tre D a pour rayon angulaire e e = 1,22/D. Quelle condition doit respecter le nombre douverture de lobjectif de 50 mm de focale pour que la nettet ne soit pas limite par la diraction? e e Faire lapplication numrique pour = 30 m et = 10 m (on prendra = 0,6 m). Conclusion? e 6. On sintresse dans cette question aux valeurs pouvant tre donnes ` certains param`tres. e e e a e a. Les nombres douverture disponibles au niveau de lobjectif sont : l,8 - 2,8 - 4 - 5,6 - 8 - 11 - 16 - 22. Quelle remarque peut-on faire et pourquoi ce choix? b. Les vitesses dobturation disponibles, au niveau de lappareil, sont, en secondes : 1/1000 - 1/500 1/250 - 1/125 - 1/60 - 1/30 - 1/15 - 1/8 - 1/4 - 1/2 - 1 - 2. Quelle remarque peut-on faire ` propos de ce choix? a c. Le photographe dsire diminuer la profondeur de champ tout en conservant la mme exposition ` sa e e a photographie. Comment doit-il oprer? e

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II. INTERFERENCES LUMINEUSESOn envisage le dispositif interfrentiel des trous dYoung. e Une source S, de dimensions susamment petites pour pouvoir tre considre comme ponctuelle, claire e e e e e un cran opaque perc de deux trous S1 et S2 , galement de faibles dimensions, distants lun de lautre e e de a. On note O le milieu du segment S1 S2 et O z laxe normal en O au plan opaque. a e e La source S se trouve au point O de laxe O z, ` une distance d en amont du point O . Le phnom`ne a dinterfrence est observ sur un cran (E) plac normalement ` laxe O z ` une distance D en aval du e e e e a point O . e c Lespace est rapport au rep`re cartsien (O, ux , uy , uz ) dni de la faon suivante : e e e O : point de lcran appartenant ` laxe O z ; e a e e uz : vecteur unitaire de laxe O z, orient du point O vers lcran ; ux : vecteur unitaire parall`le ` S1 S2 , orient de S2 vers S1 ; e a e e uy : vecteur unitaire tel que la base (ux , uy , uz ) soit orthonorme directe. On utilisera les valeurs numriques suivantes : e a = 1,2 mm D = 2,00 m d = 40 cm.

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X S1 O d

x

uxO D (E)Fig. 24: le dispositif des trous dYoung.

uy uz

O

S 2

z

1. Le champ dinterfrences est la rgion de lespace o` est observ le phnom`ne dinterfrence. e e u e e e e a. Loptique gomtrique ne permet pas de prvoir lexistence dun champ dinterfrences en ce qui e e e e concerne le dispositif des trous dYoung. Pour quelle raison ? A quel phnom`ne physique doit-on faire e e appel pour en comprendre lexistence? b. Reprsenter sur un schma le champ dinterfrences. e e e

1992 (INCOMPLET) 2. Soit M (x, y, 0) un point quelconque de lcran (E). e

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a. Dnir la dirence de marche (M ) entre les trajets des ondes parvenant en M et provenant de S1 e e et S2 . b. Etablir les expressions des distances S1 M et S2 M en fonction de x, y, a et D. c. Sachant que dans le dispositif des trous dYoung x, y et a sont faibles devant D, en dduire lexpression e approche de la dirence de marche (M ) = ax/D. e e 3. La source S est une source monochromatique mettant une radiation de longueur donde . e a. Dnir le lieu des points de lcran o` lintensit lumineuse est maximale. e e u e b. Dnir le lieu des points de lcran o` lintensit lumineuse est minimale. e e u e c. Dcrire la gure dinterfrences. Dnir et exprimer son interfrange. e e e 4. S est maintenant une source de lumi`re blanche mettant dans tout le domaine du spectre visible : e e [400 nm, 750 nm].

1992 (INCOMPLET) a. Dcrire la gure dinterfrences observe sur lcran. e e e e

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b. A la distance x = 8,5 mm du centre de la gure dinterfrences, on place la fente dun spectroscope. e Dcrire le spectre observ. e e Calculer les longueurs donde des radiations non observes. e

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1993Premi`re partie. LArc-en-Ciel eAu cours de ce probl`me, on va tudier quelques phnom`nes naturels. e e e e

A. Modlisation optique eI. Etude gomtrique e e

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Ltude de larc-en-ciel commence par le calcul de la dviation de la lumi`re suppose ici monochroe e e e a ee matique dans une goutte deau sphrique. Le document n 1 (` rendre complt avec la copie) indique e la coupe dune goutte deau et dans le plan mridien le rayon incident S. e e e I.1. Rappeler les lois de Snell 10 -Descartes 11 pour la rexion puis la rfraction pour deux milieux dindices absolus respectifs n1 et n2 . I.2. A laide des gures 25 et 26, donner lexpression de langle de dviation D, en fonction de i pour la e e rexion, et en fonction de i1 , i2 , n1 et n2 pour la rfraction. e I.3.a. On trace, dans cette question, ` la surface du dioptre sphrique, pour le rayon incident S, le rayon a e e e e e rfract R1 dans la goutte deau. Complter le document n 1. (Le rayon rchi en M ne sera pas trac.) e e Le document n 1 est corrige page 309. e a e I.3.b. Le rayon R1 arrive en N ` la surface interne du dioptre. Complter le document n 1 et commenter bri`vement. e10. Willebrord Snell van Royen dit Willebrordus Snellius (1580-1626) 11. Ren du Perron Descartes (1596-1650) e

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I.3.c. Dterminer la dviation D pour le rayon sorti de la goutte apr`s avoir subi une rexion interne. e e e e On exprimera D en fonction de i et de n. I.3.d. Montrer que la dviation D passe par un extremum Dm pour une valeur im de i. Montrer que e u Dm est un minimum dans le cas o` n = 4/3. Calculer Dm pour n = 4/3. La hauteur dincidence est la distance qui spare le rayon incident dun axe parall`le passant par le centre e e de la goutte (on pourrait lappeler galement par analogie param`tre dimpact). Calculer la hauteur e e dincidence en fonction du rayon de la goutte au minimum de dviation. e

Le mod`le de larc-en-ciel est introduit ` partir du concept de goutte deau sphrique de rayon R et e a e dindice n, recevant des rayons lumineux provenant du Soleil suppos ponctuel et ` linni. Le rayon e a lumineux pn`tre dans la goutte, y subit une rexion interne et en ressort. e e e I.4. Etude qualitative I.4.a. Pourquoi observe-t-on toujours un cercle ou un arc de cercle? On saidera du schma de situation e ci-dessous pour se rendre compte de la symtrie du phnom`ne. e e e

1993 I.4.b. Pourquoi lobservation du phnom`ne est-elle dicile ou impossible ` midi? e e a I.4.c. Deux observateurs distants de quelques m`tres voient-ils la mme image du phnom`ne? e e e e

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I.5. Imaginer un dispositif simple ` monter au lyce (en laboratoire) pour sensibiliser les l`ves au a e ee phnom`ne. e e II. Etude de la dispersion On travaille en lumi`re blanche dans la partie II. e II.1. Quelle est ltendue du spectre visible dans le domaine des longueurs donde? e II.2. Pourquoi observe-t-on des couleurs dans larc-en-ciel? II.3. Montrer que la dviation minimale cro avec lindice n de la goutte et estimer la variation de la e t dviation D pour une variation dindice n = 0,01. On peut considrer que lincidence i correspondant e e ` la dviation minimale est sensiblement constante pour lensemble du spectre visible. a e II.4. En posant n=A+ B , 2 A et B tant positifs, e (20)

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indiquer, du violet ou du rouge, la couleur qui est la plus dvie. Pour cela, on calculera les variations e e de , o` est linclinaison des rayons issus du sommet de larc pour lobservateur terrestre. u II.5. Imaginer un dispositif simple ` monter au lyce (au laboratoire ou en plein air) pour prsenter un a e e phnom`ne analogue. e e

B. Etude de la goutte deauValeurs numriques et relations pouvant tre utiles ` la rsolution du probl`me. e e a e e Acclration due ` la pesanteur : g = 9,81 m s2 ; ee a Constante molaire des gaz parfaits : R = 8,31 J mol1 K1 ; Masse molaire de lair : M = 29,0 g mol1 ; Rapport des capacits caloriques molaires ` pression et ` volume constant de lair : = Cp /Cv = e a a 1,40.

La forme et la taille de la goutte sont deux lments dterminants dans lobservation du phnom`ne de ee e e e larc-en-ciel.

1993 I. Formation des gouttes

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Ltat de surface libre de leau dans latmosph`re dpend de deux variables indpendantes : la temprature e e e e e T et la surface libre s du liquide. Au cours dune transformation innitsimale rversible qui augmente la temprature de dT et la surface e e e libre de la goutte de ds, il faut fournir respectivement une quantit de chaleur e Q = cdT + kds et un travail W = Ads. A, fonction de la seule temprature (A = aT + b, avec a et b constantes), dsigne la ((constante)) de e e tension supercielle du liquide. Pour leau, A = 0,070 N m1 ` 27 C, a A = 0,068 N m1 ` 47 C. a 1. Enoncer le premier principe de la thermodynamique ; exprimer la direntielle dU de lnergie intern