CORRIGE ELECTRICITE TD1

Exercice 1

Question 1

On remplace le dipôle CD par un dipôle de Thévenin alimentant la résistance R’

Détermination de Eth

Détermination de Rth

On passive le générateur de tension

R1

E

C R3

R4 I’

R’

R2

D

Eth

Rth

R’

I’

R1

E

C R3

R4 R2

D

I1

I2

UCD

R1

C R3

R4 R2

D

R1

C R3

R4 R2

D

RCD est l’association en série du groupe R2//R4 et du groupe R1//R3

Détermination de I’

Cas particulier

Si R1=R2=R3=R4 on constate que I’=0

____________________________________________________

Question 2.

On utilise le théorème de Kennely pour remplacer un groupe de trois résistances (R, R et 2 R)

en triangle par un groupe de trois résistances en étoile.

Dans l’association en étoile, deux résistances sont identiques et ont pour expression,

la troisième ayant pour expression

On recommence pour le deuxième groupement de trois résistances et on obtient le schéma

équivalent :

Eth

Rth

R’

I’

C

D

R4

R2

R3

R1

Ce schéma correspond tout à fait à celui du cas particulier de la question 1 avec

et

Quand on applique une tension entre A et B la branche composée de R’ ne véhicule aucun

courant et peut être retirée.

Entre A et B deux résistances de 3 R sont en parallèle

======================================================

Exercice 1 Question 2 Autre solution

Toutes les résistances non annotées ont pour valeur R

Le schéma est parfaitement symétrique par rapport à la droite AB.

On peut redessiner ce schéma en introduisant 3 fils conducteurs de résistance nulle

On fait ainsi apparaître deux groupes de résistance identiques reliés par les fils

A

B

O

O

A

B

R

R/2

R/4

R/2

R

O

A

B

On place un ohmmètre entre A et B

Par raison de symétrie, la distribution des courants et leurs intensités sont les mêmes dans les

deux associations. Il en résulte que l’intensité du courant dans le fil central ajouté est nul.

On ne changera donc rien en retirant ce fil

On peut calculer la résistance équivalente à l’une des associations par exemple A1B1

A1

A2

B1

B2

A2

B1

A1

B2

La résistance équivalente à l’association de deux résistances identiques de valeur 2R en // est

égale à R

D’où RA1B1=3R

De même RA2B2=3R

La résistance équivalente globale est 1 1 2 2

1 1 2 2

3 3 3

6 2

A B A BAB

A B A B

R R R RR R

R R R

A1 B1

A1 B1

2R

A1 B1

R R R

Exercice 2

On flèche les intensités puis les tensions en respectant les conventions

Sur le schéma les intensités sont fléchées en rouge et les tensions en bleu

Il y a 5 inconnues :les intensités des courants

Il nous faut donc 5 équations pour résoudre le problème

On écrira 3 équations de mailles de manière à parcourir tous les éléments du circuit et 2

équations de nœuds

Maille KLAQBK

2E-R i1-2R i4+2R i=0 (1)

Maille BPAQB

E-2R i2+2R i=0 (2)

Maille LMAL

2R i3-aE+2R i4=0 (3)

Noeud L

i4=i1+i3 (4)

Nœud B

i1+i2+i=0 (5)

La résolution de ce système de 5 équations conduit à 36 2

E ai

R

Cette résolution est traitée en annexe

2R i

2 E

2R

R 2 R

a E

A B

2R

2R

E

i

i1

i4

i2

R i1

2R i4

2R i2

2R i3

i3 K L M

P

Q

Exercice 3

Le dipôle AB (portion de circuit à laquelle on a enlevé la résistance 2R représentée en

trait épais) est remplacé par un dipôle de Thévenin

L’ensemble du circuit est équivalent au circuit suivant

Eth+Rth i+2R i=0 d’où 2

th

th

Ei

R R

Nous allons calculer Eth et Rth

======================================================

Calcul de Eth

Dans le dipôle remplacé par un dipôle de Thévenin on calcule la tension UAB qui est égale à

Eth

B A

Eth Rth

2R i

2R i

Rth i

B A

Eth

Rth

B

2 E

2R

R 2 R

a E

A

2R

E

i’1

i’4

R i’1

2R i’4

2R i’1

2R i’3

i’3 K L M

P

On applique les lois de Kirchoff

Maille KLAPBK

2E-R i’1-2R i’4 -2R i’1-E=0

Maille LMAL

2R i’3-aE+2R i’4=0

Noeud L

i’4=i’1+i’3

La résolution de ce système conduit à 1

2'

8

E aEi

R

On en déduit 1

2 62 ' 2

8 4AB

E aE E aEU E Ri E R

R

Eth=6

4

E aE

On passive les générateurs du dipôle remplacé par un dipôle de Thévenin.

On remplace donc les générateurs de tension par des fils

On détermine RAB

La résistance équivalente à l’association de deux résistances identiques de valeur 2R en // est

égale à R

RAB= R donc Rth=R

Expression de i

2

th

th

Ei

R R

1 63

2 2 3 4 6 2

th th

th

E E E aE E ai

R R R R R R

B A

R

2R

2R

2R

B A

R

2R

R

Exercice 4

Le dipôle AB (portion de circuit à laquelle on a enlevé la résistance 2R représentée en

trait épais) est remplacé par un dipôle de Norton

L’ensemble du circuit est équivalent au circuit suivant

En appliquant le loi du diviseur d’intensité on obtient 2

NN

N

Ri I

R R

Etant donné que nous avons remplacé le même dipôle par un dipôle de Thévenin et par un

dipôle de Norton, RN=Rth=R

Il faut calculer IN

==========================================================

Calcul de IN

Dans le dipôle remplacé par un dipôle de Norton on établit un court-circuit entre A et B en

reliant A et B par un fil de résistance nulle. L’intensité du courant qui passe dans ce fil est

égale à IN

B A

IN

RN

A B

2R i

IN

RN

UAB est nulle (court-circuit)

Maille KLABK

2E-R i1-2R i4 -E+2R i2=0 (1)

Maille LMAL

2R i3-aE+2R i4=0 (2)

Maille BPAQB

E-2R i2 +0=0 (3)

Noeud L

i4=i1+i3 (4)

Nœud B

IN=i2+i1 (5)

La résolution de ce système conduit à 32 2

N

E ai

R

===========================================================

Expression de i

32 2 3 6 2

N NN N

N

R IR E ai I I

R R R R R

2 E

2R

R 2 R

a E

A B

2R

E

IN

i1

i4

i2

R i1

2R i4

2R i2

2R i3

i3 K L M

P

Q