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Lezione n. 7 (2 ore) Carlo Pagani Dipartimento di Fisica Laboratorio LASA Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano) web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani e-mail: [email protected] Università degli Studi di Milano Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna FISICA Gianluca Colò Dipartimento di Fisica sede Via Celoria 16, 20133 Milano web page: http://www.mi.infn.it/~colo e-mail: [email protected]

Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le ...colo/XXX/Informatica/dispense/fisica...Corsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni Anno accademico

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Lezione n. 7 (2 ore)

Carlo PaganiDipartimento di Fisica – Laboratorio LASA

Via F.lli Cervi 201, 20090 Segrate (Milano)

web page: http://wwwsrf.mi.infn.it/Members/pagani

e-mail: [email protected]

Università degli Studi di MilanoFacoltà di Scienze Matematiche Fisiche e NaturaliCorsi di Laurea in: Informatica ed Informatica per le Telecomunicazioni

Anno accademico 2010/11, Laurea Triennale, Edizione diurna

FISICA

Gianluca ColòDipartimento di Fisica – sede

Via Celoria 16, 20133 Milano

web page: http://www.mi.infn.it/~colo

e-mail: [email protected]

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 2

La carica elettrica

E’ esperienza comune che la materia può contenere della

carica elettrica e molti dei fenomeni associati ad essa sono già noti:

fulmini, scariche, attrazione elettrostatica ecc.

La materia ordinaria contiene enormi quantità di carica elettrica anche

se risulta normalmente nascosta: infatti contiene un numero identico di

cariche positive e negative, risultando così elettricamente neutra.

E’ pero possibile, ad esempio per sfregamento, generare in un corpo un

eccesso di carica di un dato segno, tale corpo avrà allora una carica

netta.

Esiste in natura una forza sensibile allo stato di carica di un corpo:

cariche elettriche dello stesso segno si respingono, cariche di

segno opposto si attraggono.

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 3

Materia, conduttori ed isolanti

La struttura stessa degli atomi è responsabile della natura elettrica della

materia:

– Protoni con carica positiva e neutroni, privi di carica,

formano un nucleo centrale

– Elettroni carichi negativamente orbitano intorno al nucleo

– L’atomo ha una struttura complessivamente neutra, ma

può perdere o acquisire carica per ionizzazione

E’ possibile classificare le sostanze in funzione della facilità che hanno

le cariche elettriche a muoversi attraverso di esse:

– Conduttori: le cariche si muovono abbastanza liberamente, come nel rame

o nei metalli in genere

– Non conduttori o isolanti: le cariche non si muovono affatto, come la

gomma, la plastica o il vetro.

– Semiconduttori: sostanze dal comportamento intermedio, come il silicio o il

germanio utilizzati nei circuiti integrati.

– Superconduttori: sostanze perfettamente conduttrici in cui le cariche si

spostano senza ostacolo alcuno, come il niobio al di sotto della temperatura

di 9 K che viene utilizzato negli acceleratori di particelle.

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 4

La legge di Coulomb

Due particelle con cariche elettriche di modulo q1 e q2, poste ad una

distanza r, subiscono una forza elettrostatica data dalla

legge di Coulomb:

Ciascuna delle cariche esercita una forza F sull’altra, si tratta di una

coppia di azione-reazione.

La forza è sempre diretta lungo la direttrice tra le due particelle, nel verso

di allontanamento se si respingono e nel verso di avvicinamento se si

attraggono.

E’ evidente l’analogia con la forza di gravitazione universale di Newton, k

è detta costante elettrostatica.

L’unità di misura SI per la carica è il coulomb (C) e la costante k è pari a:

2

21

r

qqkF

con 1099.8 2

2

29

smkgN

C

mNk

C.A. Coulomb, 1785

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 5

Concetti e formule fondamentali

Alcune concetti fondamentali:

La quantità di carica elettrica DQ in transito nell’intervallo di tempo Dt è

detta corrente elettrica. L’unità SI della corrente è l’ampere (A).

La costante elettrostatica è determinata dall’espressione:

Diversamente da Coulomb o Franklin oggi sappiamo che la carica

elettrica è quantizzata, ovvero che essa è sempre e solo multiplo di

una carica elementare detta e. Per qualsiasi q vale che:

Ad ogni livello dell’indagine fisica, da quello atomico a quello

macroscopico, è sempre verificato il principio di conservazione della

carica elettrica formulato da B. Franklin.

t

Qi

D

D

][

][][

s

CA sAC 111

04

1

k

2

212

0 1085.8mN

C costante dielettrica del vuoto

Cenneq 1910602.1;...,2,1;

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 6

Tavola Periodica degli elementi

Nella Tavola periodica gli elementi sono ordinati secondo il numero di cariche elementari positive (protoni) che sono contenute nei rispettivi nuclei. Intorno ai nuclei “ruotano” altrettante cariche elementari negative (elettroni) in modo che l’atomo sia elettricamente neutro.

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 7

L’azione a distanza caratteristica della forza elettrostatica viene spiegata

in fisica grazie al concetto di campo elettrico:

– Il campo elettrico è vettoriale, consiste in una distribuzione di vettori nello

spazio intorno ad una particella carica.

– Supponiamo di esplorare tale spazio tramite una particella carica positiva di

prova q0. Se F è la forza a cui la particella è soggetta in un dato punto P(x,y,z),

il campo elettrico in P ha intensità:

Il campo elettrico in un certo spazio può essere visualizzato attraverso le

sue linee di forza:

– In ogni punto la tangente alla linea indica la direzione del campo elettrico

– La densità di linee per unità di superficie normale è proporzionale alla intensità

del campo elettrico: le linee si addensano dove il campo è più intenso

– Si consideri che la particella di prova è sempre positiva: le linee escono dalle

cariche positive ed entrano in quelle negative

Campo elettrico e linee di forza

0q

FE

kgm

m

Fag 1con 0

0

Analogia con il campo gravitazionale

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 8

Campo elettrico e linee di forza - 2

Le linee di forza tracciano sempre traiettorie chiuse, nel caso cariche di

un solo segno si suppongono chiuse su cariche lontane (all’infinito).

Ecco qualche esempio di linee di forza e di vettore campo elettrico

corrispondente per semplici distribuzioni di carica:

Singola carica negativa.

Coppia di cariche positive

Coppia di cariche di segno opposto: dipolo elettrico

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 9

Utilizziamo la carica di prova positiva q0 per descrivere il campo elettrico

di una singola carica puntiforme q in funzione della distanza r:

– L’intensità della forza è data dalla legge di Coulomb:

– L’intensità del vettore campo elettrico è allora data da:

– Vale il principio di sovrapposizione, dunque è possibile calcolare allo

stesso modo il campo generato da più cariche puntiformi come:

– Ciascun contributo Ei corrisponde al campo elettrico che sarebbe generato se

la carica i fosse l’unica presente!

Campo di una carica puntiforme

2

0

04

1

r

qqF

2

00 4

1

r

q

q

FE

r

r

r

qqF

q

F

q

FEEE i

2

0

00

2

0

121

4

1con ......

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 10

Utilizziamo il principio di sovrapposizione per esprimere il campo elettricogenerato da un dipolo elettrico lungo il suo asse (asse z):

Che può essere riscritta come:

Quando ci troviamo a grandi distanze dal dipolo possiamo approssimare il risultato considerandoche z >> d. L’espressione risultante è:

p = qd è il momento di dipolo elettrico, contiene due grandezze intrinseche del dipolo.

Campo di un dipolo elettrico

2

0

2

0

2

0

2

0

2

14

1

2

14

1

4

1

4

1

dz

q

dz

q

r

q

r

qEEE

dqpz

p

z

qd

z

d

z

qE

3

0

3

0

2

0

;2

1

2

12

4

22

2 0 2

12

14 z

d

z

d

z

qE

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 11

Moto di una carica in campo elettrico

Per descrivere il moto di una particella carica q in un campo elettrico

E(x,y,z) è sufficiente considerare che in ogni punto P la forza sulla

particella è data da:

– Il campo è un campo esterno: esso non è generato dalla particella, un corpo

carico non risente del proprio campo elettrico !

– F ha lo stesso verso di E se la particella ha carica positiva, ha il verso

opposto ad E se ha carica negativa.

Nel caso particolare del dipolo in campo uniforme, il moto può essere

ulteriormente semplificato:

– Assumiamo il vettore p come diretto lungo l’asse

del dipolo, dalla carica negativa a quella positiva.

Assumiamo inoltre che il dipolo abbia una struttura

interna rigida.

– il centro di massa rimane fermo ma viene esercitato

un momento torcente t

EqF

t sinsin pEFd Ep

t

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 12

Flusso del campo elettrico

Se in una data porzione di spazio è presente un campo vettoriale, ogni

superficie arbitraria dà luogo ad un flusso di campo determinato dalle

linee di campo che la superficie intercetta.

Introduciamo il vettore areale, il cui

modulo è pari all’area della superficie A

e la cui direzione è normale al piano

dell’area. In un campo elettrico costante

Il flusso è definito come:

Se consideriamo una superficie chiusa, possiamo

sommare il contributo di tutti i piccoli piani di area

DA che la compongono:

– Il campo E può essere ritenuto costante su aree

così piccole

– Facendo tendere a zero l’area dei piani DA:

AE

AdE

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 13

Legge di Gauss

La legge di Gauss mette in relazione il flusso netto di campo elettrico

attraverso una superficie chiusa (detta anche superficie gaussiana) con la

carica netta qint che è racchiusa all’interno della superficie. Vale che:

– Se la carica netta è positiva il flusso è uscente,

se è negativa il flusso è entrante.

– Forma e posizione delle cariche non hanno

importanza!

– Cariche esterne alla superficie danno un flusso

netto pari a zero: tutte le linee di forza entrano

ed escono.

Ad esempio si considerino le superfici in figura:

– S1: carica netta positiva, flusso positivo

– S2: carica netta negativa, flusso negativo

– S3: niente carica, flusso netto nullo

– S4: carica netta nulla, flusso nullo

AdEq

00int

(Legge di Gauss)

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 14

Applicazione della legge di Gauss ai conduttori

Campo elettrico all’interno dei conduttori:

– In un conduttore le cariche in eccesso sono libere di muoversi e la repulsione

elettrostatica le spinge tutte a disporsi sulla superficie esterna

– Applicando la legge di Gauss ad una superficie chiusa

tutta interna al conduttore osserviamo che essa

non racchiude alcuna carica:

• il campo elettrico è nullo all’interno dei conduttori!

Campo elettrico sulla superficie dei conduttori:

– Consideriamo una piccola superficie cilindrica “a cavallo”

dello strato più esterno

– Assumiamo s come densità superficiale di carica:

– Non c’è flusso nella superficie interna poiché E = 0

– Non c’è flusso in quella laterale perché il campo è

ortogonale al vettore areale

– Il solo contributo al flusso è dato dalla faccia esterna

0

0int

ss EAEAq

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 15

Ancora sui conduttori …

Alcune considerazioni ulteriori sui conduttori:

– Su oggetti asimmetrici la carica elettrica in eccesso non si distribuisce

necessariamente in modo omogeneo, la densità superficiale tende ad essere

maggiore laddove il raggio di curvatura è minore (punte, spigoli etc.).

• Il campo sulla superficie è sensibile alla sola densità superficiale di carica, ne

segue quindi che il campo elettrico ha valori più alti in prossimità di spigoli vivi: è

l’effetto punta.

– Le cariche sui conduttori si dispongono sempre in modo da determinare

campo elettrico nullo all’interno, anche se il conduttore non presenta cariche

in eccesso.

• Le linee di forza si arrestano alla superficie e sono ad essa perpendicolari

– Si consideri il caso di un conduttore con una

cavità che racchiuda una carica -q:

• Sulle superfici interna ed esterna del conduttore

esterno si formano delle cariche –q e +q tali che

il campo all’interno sia nullo e il conduttore rimanga

neutro.

• Tali cariche sono dette cariche immagine.

• La configurazione interna della carica è insondabile

dall’esterno, così come la carica interna non risente

in alcun modo di quelle esterne.

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 16

Energia potenziale elettrica

La forza elettrostatica è conservativa, possiamo allora definire per essa

un’energia potenziale elettrica DU tale che:

Dove L è il lavoro compiuto dal campo elettrico nel passare da i a f, mentre

Lapp= -L è il lavoro compiuto da una forza esterna per passare dalla

configurazione iniziale a quella finale

La configurazione di riferimento per un sistema di particelle cariche èquella in cui esse siano infinitamente distanti, a tale configurazioneassegniamo una energia potenziale nulla.

Se indichiamo con L∞ il lavoro compiuto dal campo elettrico portando una carica

dall’infinito alla configurazione finale, l’energia Uf = U sarà pari a:

In perfetta analogia con la gravitazione, il lavoro compiuto non dipendedal percorso effettuato ma solo dalla scelta delle configurazioni iniziale efinale.

LLUUU appif D

LU

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 17

Il potenziale elettrico

L’energia potenziale di una carica dipende dal valore della carica stessa,

invece l’energia potenziale per unità di carica ne è indipendente. Essa

viene chiamata potenziale elettrico ed è dunque data da:

e

– Il potenziale V(x,y,z) è un campo scalare, la sua unità di

misura SI è il [J]/[C] che è più spesso indicato come volt (V):

– Il campo elettrico E può dunque essere anche

misurato in V/m:

Il luogo dei punti nello spazio aventi il medesimo potenziale è chiamato

superficie equipotenziale:– Le linee di forza sono sempre ortogonali

alle superfici equipotenziali

– Un percorso i cui punti iniziale e finale

giacciano su una superficie equipotenziale

compie lavoro nullo.

q

UV

q

L

q

U

q

U

q

UVVV if

if D

D

C

JV

1

11

m

V

C

mJ

C

NE

/

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 18

Calcolo del potenziale elettrico

Ricaviamo un espressione per il calcolo del potenziale elettrico

– dalla definizione stessa di lavoro

e di campo elettrico:

– integrando lungo la traiettoria scelta:

– e dalla definizione di potenziale:

Il risultato è l’integrale di linea della grandezza E∙ds lungo la traiettoria

Se come punto iniziale assumiamo la configurazione di riferimento, allora

Vi = 0 e si ha:

sdEqsdFdL

0

f

i

sdEqL

0

D

f

i

if sdEVVV

f

i

sdEV

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 19

Potenziale di carica puntiforme

Utilizziamo l’espressione appena ricavata per calcolare il potenziale elettrico nello

spazio intorno ad una carica puntiforme, rispetto al potenziale nullo.

Dato che la traiettoria scelta non influenza il risultato, scegliamo quella più semplice,

lungo la direzione radiale.

Per la traiettoria scelta vale che:

dunque ds diventa dr e i limiti di integrazione sono ri = R

ed rf = ∞. Dunque:

Quindi, in forma più generale:

E, per un insieme di n cariche puntiformi:

dsEdsEsdE )0(cos

R

qdr

r

q

drr

qEdrVVV

R

RR

if

0

2

0

2

0

4

11

4

4

10

r

qrV

04

1)(

n

i i

in

i

ir

qVrV

101 4

1)(

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 20

Calcolo del campo elettrico dato il potenziale

Percorrere il cammino inverso, ovvero determinare il campo elettrico E noto il

potenziale V(x,y,z) nello spazio, richiede una derivazione.

Vale sempre che il campo elettrico è perpendicolare alla superficie equipotenziale

passante per P(x0,y0,z0).

Dalle definizioni stesse di lavoro e potenziale:

Es è proprio la componente di E lungo la direzione di ds.

Dunque, in generale la componente di E in qualsiasi direzione è la derivata

del potenziale elettrico, cambiata di segno, lungo quella direzione.

Rispetto agli assi x, y e z:

ds

dVEE

dsEqdVqdUL

s

cos

cos00

VEz

zyxVE

y

zyxVE

x

zyxVE zyx

),,( ;

),,( ;

),,(

Fisica per Informatica 2011Gianluca Colò & Carlo Pagani 21

Appendice: analogia con la forza gravitazionale

Elettrostatica Gravitazione

Grandezza Espressione Unità Grandezza Espressione Unità

Forza Forza

Costante Costante

… … … … … …

2

21

r

qqkF 2

21

r

mmGF

91099.8 k111067.6 G

2

2

C

mN 2

2

kg

mN

amF

EqF

2

s

mkgN

2

s

mkgN