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Corso di biomatematica Lezione 2: Probabilit e distribuzioni di probabilit Davide Grandi

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Sommario Definizione di probabilit la frequenza Assiomi Definizioni Distribuzioni di probabilit: Valor medio e varianza Discrete - esempi

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La probabilit Davide Grandi - Dottorato in Biologia La probabilit P(E) di un evento E il rapporto tra il numero di casi favorevoli F (al realizzarsi di E) ed il numero di casi N possibili, giudicati egualmente possibili (stesso peso) P(E)=F/N con 0 P(E) 1[N finito] Se F=0 non esistono casi favorevoli, e levento IMPOSSIBILE ovvero P(E)=0 Se F=N ovvero tutti i casi sono favorevoli, levento CERTO e P(E)=1. N.B. difficile determinare leguaglianza di tutti i casi possibili

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La probabilit Davide Grandi - Dottorato in Biologia definizione di frequenza definizione di frequenza Si definisce frequenza relativa di un evento in n prove effettuate nelle stesse condizioni, il rapporto tra il numero v delle prove in cui levento si verificato e il numero n delle prove effettuate: f=v/n con 0 f 1 f=0 evento mai verificato, f=1 evento sempre verificato La frequenza dipende dal numero di prove Se il numero di prove sufficientemente alto il rapporto f=v/n tende a stabilizzarsi

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La probabilit Davide Grandi - Dottorato in Biologia legge empirica del caso legge empirica del caso In una serie di prove, ripetute un gran numero di volte, eseguite tutte nelle stesse condizioni, la frequenza tende ad assumere valori prossimi alla probabilit dellevento e lapprossimazione tanto maggiore quanto pi sono numerose le prove eseguite. Definizione frequestista di probabilit: La probabilit di un evento la frequenza relativa ad un numero elevato di prove.

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Assiomi della probabilit Davide Grandi - Dottorato in Biologia definizione matematica di probabilit (Kolmogorov) Sia S un insieme di possibili risultati (A i ) di un esperimento, cio S{A 1, A 2, A 3,A n } se tali eventi sono mutualmente escludentesi allora per ognuno di essi esiste una probabilit P(A) rappresentata da un numero reale che soddisfa le seguenti propriet: P(A) 0 Se come abbiamo ipotizzato A 1, A 2, A 3, sono eventi mutualmente escludentesi, allora deve valere: P(A 1 oppure A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) Dove P(A 1 oppure A 2 ) la probabilit di avere il risultato A 1 o il risultato A 2

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Assiomi della probabilit Davide Grandi - Dottorato in Biologia i P(A i ) = 1 dove la sommatoria estesa su tutti gli eventi mutualmente escludentesi Le conseguenze dei tre assiomi sono: P(non A i ) = 1 P(A i ) ovvero la probabilit di non ottenere A i uno meno la probabilit di ottenerlo P(A i ) 1 La probabilit un numero reale compreso tra 0 e 1, ovvero in pratica 0 P(A i ) 1 dove 1 rappresenta la certezza di ottenere levento e 0 di non ottenerlo

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia EventoEvento Nel calcolo delle probabilit si definisce evento ogni fatto che in seguito ad una prova pu accadere oppure no. Ad ogni evento associato un numero reale che tanto maggiore quanto pi elevata la possibilit che si verifichi: chiamiamo tale evento probabilit dellevento. Eventi dipendenti ed indipendentiEventi dipendenti ed indipendenti Sia dice che levento A dipendente dallevento B, se la probabilit dellevento A dipende dal fatto che levento B si sia verificato o meno. A indipendente da B se la probabilit dellevento A non dipende dal verificarsi di B

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Eventi certi e impossibiliEventi certi e impossibili Definiamo evento certo quellevento che in seguito ad un esperimento DEVE obbligatoriamente verificarsi. Esso costituisce lunit di misura della probabilit: gli si attribuisce probabilit uguale allunit. Tutti gli altri eventi, probabili ma non certi, avranno probabilit minore dellunit. Levento contrario allevento certo detto impossibile, ossia NON pu accadere nella prova in questione. Ad esso associata una probabilit uguale a zero.

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Eventi mutualmente escludentesiEventi mutualmente escludentesi Si dicono eventi mutualmente escludentesi o incompatibili quegli eventi aleatori che non possono verificarsi simultaneamente in una data prova (es moneta). Eventi equiprobabiliEventi equiprobabili Degli eventi casuali si dicono equiprobabili in una data prova se la simmetria dellesperimento permette di supporre che NESSUNO di essi sia pi probabile di un altro ( ad esempio lancio di UN dado)

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Eventi contrariEventi contrari Si dicono eventi contrari due o pi eventi mutualmente escludentesi che formano un gruppo completo. Somma degli eventiSomma degli eventi Si dice somma di due eventi A e B levento C che consiste nel verificarsi dellevento A o dellevento B o di entrambe. La probabilit dellevento C si scrive come: P(C)= P(A B)=P(A+B) =P(A oppure B)

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Prodotto degli eventiProdotto degli eventi Si chiama prodotto di due eventi A e B levento C che consiste nel verificarsi simultaneo degli eventi A e B. La probabilit dellevento C si indica cos: P(C)=P(A B) = P(AxB) = P(A e B) Probabilit condizionataProbabilit condizionata La probabilit che si verifichi levento A calcolata a condizione che si verifichi levento B si dice appunto probabilit condizionata e si denota con: P(A|B)

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Gruppo completo di eventiGruppo completo di eventi Si dice che eventi casuali formano un gruppo completo di eventi se almeno uno di essi deve definitivamente accadere (da 1 a 6 per il dado). Variabili aleatorieVariabili aleatorie Si dicono variabili aleatorie quelle grandezze che possono assumere nel corso di una prova un valore sconosciuto a priori. Si distinguiono tra discrete (numero finito) e continue (riempino densamente un intervallo), e miste.

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Valore atteso di una variabile aleatoriaValore atteso di una variabile aleatoria Si dice valore atteso o speranza matematica la somma di tutti i possibili valori della variabile per la probabilit. Il valore atteso legato al valor medio per un gran numero di prove poich la media tende alla speranza matematica.

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Prodotto delle probabilitProdotto delle probabilit Si intende il verificarsi simultaneamente di due eventi (esempio estrazione del due ed estrazione di picche da un mazzo di carte. ovvero il due di picche!) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) oppure P(AxB) =P(A) + P(B) P(A+ B)

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Addizione delle probabilitAddizione delle probabilit Si intende il verificarsi di due (o pi) eventi sia che accadano insieme oppure in alternativa P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) oppure P(A+B) =P(A) + P(B) P(AXB)

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Definizioni Davide Grandi - Dottorato in Biologia Probabilit compostaProbabilit composta Legato al teroema di moltiplicazione delle probabilit, dice che: la probabilit del prodotto di due eventi uguale al prodotto della probabilit di uno degli eventi per la probabilit condizionata dellaltro, calcolata a condizione che il primo abbia luogo ovvero: P(A B) = P(A) P(B|A)=P(B)P(A|B) Se gli eventi sono mutualmente escludentesi, abbiamo che P(B|A)=P(B) e P(A|B)=P(A) e quindi P(A B) = P(A) P(B)

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Distribuzioni di probabilit Davide Grandi - Dottorato in Biologia Gli assiomi (3) della probabilit ci dicono che i P(A i ) = 1 Dato un insieme di valori possibili mutualmente escludentisi, quindi questa probabilit si distribuisce in un certo modo tra i valori della variabile. Per descrivere una variabile aleatoria dal punto di vista probabilistico specifichiamo questa distribuzione, ovvero stabiliamo la legge di distribuzione della variabile aleatoria. La legge di distribuzione quindi una relazione che stabilisce una corrispondenza tra i valori possibili di tale variabile e la loro probabilit

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Distribuzioni di probabilit Davide Grandi - Dottorato in Biologia Il fatto che una variabile aleatoria si distribuisca secondo una data distribuzione ci permette di trarre alcune conclusioni importanti tra cui la possibilit di definire quello livello di confidenza che viene chiamato livello di confidenza : ovvero la probabilit che laffermazione a cui esso si riferisce sia vera. Le distribuzioni per variabili aleatorie si distinguono in Discrete Continue

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Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Valor medio e varianzaValor medio e varianza Per una distribuzione discreta di probabilit, di variabile casuale x i il valor medio dato da: Lo scarto del valore x i dalla media : Si dice varianza (o scarto quadratico medio) 2 il valor medio del quadrato degli scarti, cio:

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Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Teorema di Bienaym-CebicevTeorema di Bienaym-Cebicev Fissiamo il valore di uno scarto come riferimento, posso mettere in relazione con questo valore gli altri scarti i con esso e con la varianza 2, infatti detto uno scarto in esame vale: Ovvero la probabilit che la distanza di un dato dalla media sia superiore ad un valore predefinito NON SUPERA il rapporto tra la varianza e il quadrato del valore stesso

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Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Distribuzione uniformeDistribuzione uniforme Un esempio tipico il lancio di un dado (o di una moneta): i sei eventi possibili sono i sei punteggi, a ciascuno corrisponde il valore di probabilit Per il terzo assioma della probabilit: In generale avremo

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Distribuzioni discrete Davide Grandi - Dottorato in Biologia Teorema delle prove ripetuteTeorema delle prove ripetute Sia p=P(E) la probabilit dellevento E e sia q la probabilit dellevento complementare E c, ci chiediamo qual la probabilit che su n esperimenti levento E si verifichi k volte (con k