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Corso di Fondazioni
Metodi razionali per il calcolo del cedimento del palo singolo:
� Metodi analitici approssimati (es. Randolph & Wroth, 1978)
� Metodo delle curve di trasferimento (es. Coyle & Reese, 1966)
� Metodo agli elementi di contorno (es. Poulos & Davis, 1968)
� Metodo agli elementi finiti (es……….)
Difficoltà comune a tutti i metodi: calibrazione dei parametri dei modelli
Corso di Fondazioni
Dalle equazioni sopra scritte persostituzione ed integrazione si ottienefacilmente un espressione del cedimento:
Corso di Fondazioni
Nel caso di palo rigido w = wb= ws
Per equilibrio Q = P+S
e quindi ……….
Nel caso di palo deformabile o compressibile w ≠ wb≠ ws
Per equilibrio vale solo Q = P+S
Corso di Fondazioni
( )( )
( )0
0
2
1
41
41
12
r
L
L
Ltghr
L
L
Ltgh
r
LI
ow
µµ
ζπρ
ξη
ν
µµ
ξη
νν
+−
−+
+=wIEL
Qw =
0r
rb=ηb
L
G
G=ξ
LG
G=ρ
Per pali che attraversano uno strato con modulo GL ed hanno la punta su un semispazio con modulo GB
per pali che attraversano terreni con rigidezze variabili L
p
E
E=λ
per pali di rigidezza assiale finita rispetto ai terreni circostanti
( )[ ]
−−+=0
25.015.225.0lnr
Lξνρζ
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
2
4 112
Ed
lw i
pi
+=∆ −
π
8
34 112
Ed
lw i
p
Ui
+=∆ −
π
8
34 112
Ed
lw i
p
Li
+=∆ −
π
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
∑ ∆+∆−==
i
j
Liji wwww
1
∑−
=
∆+∆−=1
1
i
j
Uiji wwww
( )
∑
+−+−=
=
−−
i
j
jjjj
pi
QQQQ
Ed
lww
1
112 4
32
π
Sostituendo le espressioni precedenti in entrambi i casi si ottiene:
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
( )∑ +−==
−n
jjj
pb QQ
Ed
lww
112
2
π
Alla punta del palo si ottiene la seguente relazione:
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
Per equilibrio alla traslazione verticale possiamo scrivere:
∑−==
i
jji dlQQ
1τπ
( )
∑
+−+−=
=
−−
i
j
jjjj
pi
QQQQ
Ed
lww
1
112 4
32
π
( )∑ +−==
−n
jjj
pb QQ
Ed
lww
112
2
π
Utilizzando la condizione di equilibrio all’interno delle due relazioni sugli spostamenti si ottengono le equazioni che legano gli spostamenti alle tensioni tangenziali incognite τj ed alla pressione alla punta p, che insieme al cedimento alla testa w, costituiscono le n+2 incognite del problema.
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
ijjij IE
dw τ=∆
Iij si può calcolare mediante le soluzioni proposte dal Mindlin (1936).Il contributo totale in i di tutte le tensioni agenti sui conci j per il punto visto come appartenente al terreno porta a scrivere:
∑ +==
n
jibijji pII
E
dw
1τ
∑ +==
n
jbbbjjb pII
E
dw
1τ
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
∑ +==
n
jibijji pII
E
dw
1τ
∑ +==
n
jbbbjjb pII
E
dw
1τ
∑ =+=
n
ii Qdlp
d
1
2
4τππ
( )
∑
+−+−=
=
−−
i
j
jjjj
pi
QQQQ
Ed
lww
1
112 4
32
π
( )∑ +−==
−n
jjj
pb QQ
Ed
lww
112
2
π
n + 2 equazioni in n+2 incognite
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
QwEL
QIw w
1==
100 1000 10000
k=Ep/E1
100 1000 10000
k=Ep/E1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Iw=(wLE1)/Q
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Iw=(wLE1)/Q
L
d
E1
E2
BEM
R&W
L
d
E1
E2
E2/E1=100
E2/E1=1
L/d=100
50
25
10
L/d=100
50
25
10
BEM
R&W
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
Metodo delle curve di trasferimento(Coyle & Reese, 1966)
1. Il palo viene suddiviso in n conci;
2. Si imprime alla punta uno spostamento wp e nota la curva di trasferimento alla base oppure utilizzando un'espressione tipo P=2dEwp/(1-ν2) si calcola lo sforzo allapunta P;
3. Si assume uno spostamento wn del punto a mezz'altezza dell'ultimo concio del palo. Nel primo passo si assume wn=wp;
4. Con il valore di wn si calcola sull'appropriata curva di trasferimento il valore dellatensione tangenziale mobilitata τn;
5. Ipotizzando τn costante su tutto il concio il carico Qn agente in testa al concio n sipuò esprimere come Qn=P+τnπdL/n
6. Lo spostamento verticale del punto a mezz'altezza del concio n dovuto allacompressione elastica del tratto di palo di lunghezza L/2n si può calcolare come vn=(Qn+3P)/2 x (L/(πd2Epn);
Corso di Fondazioni
da Piles and Pile Foundations Russo et al. (2012)
Metodo delle curve di trasferimento(Coyle & Reese, 1966)
7. Si calcola allora un nuovo w'n= wp+vn
8. Si confronta w'n con wn; se i due valori differiscono di una quantità maggiore di unoscarto prefissato si ripetono i passi da 4 ad 8;
9. Quando è stata ottenuta la convergenza con la precisione desiderata si considerail concio successivo, n-1e così via fino a pervenire ad una coppia di valori Q, w perl'estremità superiore del palo;
10. Il procedimento viene quindi ripetuto per diversi valori dello spostamento wp,ricavando per punti la curva Q,w della testa palo.
Prove di carico a Feluy (Belgio, 1998)
Carico-Cedimento - OMEGA 3
0
10
20
30
40
50
60
70
0 250 500 750 1000 1250 1500 1750 2000
Q (kN)w
(m
m)
Misure
Q-w Singhyp
P-wp Singhyp
Ratz
P-wp Ratz
Q-w BEM
P-wp BEM
Approssimazione di Steinbrenner, 1934
H =
2 L 0.3
L0
.4 L
0.3
L
C a s e 3
4 E 4 E 2 E
2 E
E
C a s e 1
E E
2 E
C a s e 2
4 E
E
2 E
C a s e 4
4 E
E p /E = 1 0 0 0
L /D = 2 5
ν = 0 .3
Approssimazione di Steinbrenner, 1934
MethodFEM Bem - Steinbrenner
IW IW ∆ (%)
Case 1 0.862 0.761 -13.3
Case 3 0.876 0.777 -12.7
Case 3 0.929 1.071 13.3
Case 4 1.027 1.579 35.0
Homogeneous 1.731 1.780 2.8