Corso di Formazione per docenti di Scuola Superiore:

Il calcolo infinitesimale nei licei non scientifici

Febbraio-Marzo 2013LaboratorioDidattico effediesse

Dipartimento diMatematica – Politecnico di Milano

Prof. Marco Bramanti

Pagina web del corso (materiale scaricabile ecc.): www1.mate.polimi.it/~bramanti/corsi/corso_formazione_analisi_2013.htm

Raggiungibile anche dalla pagina web effediesse:http://fds.mate.polimi.it/

formazione, formazione docenti, calcolo infinitesimale, link a fondo pagina.

Lezione 2. Limiti

Dalle indicazioni nazionali per il 5° anno dei licei non scientifici.

Matematica, Relazioni e funzioni

“Lo studente approfondirà lo studio delle funzioni fondamentali dell’analisi anche attraverso esempi tratti dalla fisica o da altre discipline. Acquisirà il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici”.

Premesse di metodo

Il concetto di limite è il fondamento concettuale del calcolo infinitesimale. Concetto fondamentale non significa però che sia il concetto più importante del corso, o a cui va dedicato il più ampio spazio. Il concetto di limite è più un mezzo che un fine, il fine è introdurre la derivata e l'integrale.

Comunque il concetto di limite è di per sé molto interessante, perché mostra come la matematica nei tempi moderni (dal 19° sec.) abbia saputo “domare” i procedimenti infiniti, strappare l’infinitesimo e l’infinito dal limbo delle idee vaghe o contraddittorie, e ricondurlo alle idee già note attorno ai numeri, pur di dare un ruolo fondamentale però ai concetti di grandezza variabile, funzione, variabile logica.

Conseguenze didattiche di queste premesse in un liceo non scientifico:

Dare rilievo inizialmente alla definizione di limite, la comprensione del concetto, che non va confinato nel solo piano intuitivo, ma affrontato anche nel suo aspetto formale.

Questa comprensione è aiutata vedendo la definizione in azione, il che accade quando questa entra in qualche dimostrazione.

Il concetto di derivata costituirà la prima forte motivazione per cui “è valsa la pena” introdurre i limiti; avvicinare perciò i due argomenti nel tempo.

Allo studente non si deve chiedere di saper risolvere limiti complicati. Un criterio di demarcazione: farei studiare questa funzione?

Obiettivi riguardo ai limiti:

Concettuale: comprendere la definizione di asintoto, continuità, derivata, integrale, e la dimostrazione di almeno alcuni teoremi di calcolo differenziale;

Computazionale: capire come si ricavano le formule di derivazione delle funzioni elementari, saper trovare gli asintoti di una funzione (semplice).

La “preparazione remota” al calcolo infinitesimale (negli anni precedenti)

1. La familiarità col concetto di funzione reale di variabile reale nei suoi vari aspetti logici, analitici, grafici.

Funzione come elemento sintetico tra algebra, trigonometria, geometria analitica, esponenziali e logaritmi.

Funzione come sequenza di istruzioni da “montare e smontare”, idea di composizione e dominio di una funzione composta (es. log di… radice di…).

Monotonia delle funzioni elementari e disequazioni.

Padronanza dei grafici delle funzioni elementari.

Dai grafici di funzioni elementari a quelli di traslate, dilatate, riflesse.

Funzioni definite “a pezzi” e funzione logica “se - allora”

La “preparazione remota” al calcolo infinitesimale (negli anni precedenti)

2. Uso di variabili e quantificatori (“esiste”, “per ogni”). Occorre:

Imparare a percepire quando una frase contiene variabili libere e quindi “non è ancora” una proposizione (finché non si quantificano le variabili).

L’errore più comune nell’uso dei quantificatori da parte degli studenti non è il quantificatore errato ma il quantificatore mancante.

Esercizi si possono costruire col linguaggio comune, con la geometria, con l’aritmetica… (v. libro Bramanti-Travaglini).

Imparare a negare proposizioni contenenti quantificatori.

La “preparazione remota” al calcolo infinitesimale (negli anni precedenti)

3. Uso di valori assoluti e disuguaglianze. Occorre riprendere:

Il concetto di valore assoluto;

modulo della differenza come distanza sulla retta, significato geometrico di disuguaglianze come

Il modulo del prodotto (quoziente) è il prodotto (quoziente) dei moduli, mentre il modulo della somma...

disuguaglianza triangolare.

Come si scrive una catena di disuguaglianze. (v. Bramanti-Travaglini, il capitolo “maggiorazioni”).

Limiti di funzioni / limiti di successioni“Acquisirà il concetto di limite di una successione e di una funzione e apprenderà a calcolare i limiti in casi semplici.”

Non ci sono forti motivazioni per parlare a scuola di limiti di successioni.

1) Il limite di successione entrerà nella definizione di integrale.

2) Entra nella definizione di serie numerica (che a scuola esplicitamente non si fa, anche se è coinvolta nel concetto di valore atteso di una variabile aleatoria discreta, come la legge geometrica o di Poisson).

3) Può servire a sottolineare aspetti algoritmici, di approssimazione numerica (es. approssimazione archimedea di π).

Se si devono fare i limiti di successioni, meglio utilizzarli per avere maggior gradualità nell'introdurre il concetto di limite.

La definizione di successione

Definizione di successione come funzione da N a R.

“Grafico” (punteggiato). (v. grafici con Excel). (poi file b)

Successione come elenco di termini. (Per una funzione su R non è possibile).

Gli ingressi sono infiniti, le uscite possono non esserlo: (-1)n

Gli ingressi sono “ordinati”, le uscite possono non esserlo: sinn definizione di successione monotona.

Ci interessa capire cosa fa an al crescere di n. Esplorazione numerica, grafica.

Verso la definizione di limite di successione

Problema logico: capire che {an} contiene una variabile:

dire ad esempio “an è maggiore di 5” non è una proposizione di senso compiuto: devo sempre quantificare la variabile, cioè dire per quale n succede una certa cosa. (v. “variabili e quantificatori”).

Questo aspetto può pregiudicare la comprensione delle dimostrazioni.

Si possono fare domande vero/falso o ha senso / non ha senso.

Esempi…

Un’utile ginnastica è la definizione (formale) di successione limitata o illimitata. Esempi…

Verso la definizione di limite di successione

Esempio.

Osserviamo che il valore della successione per n grande “si assesta” sul valore 2. Diremo:

Ma cosa vuol dire?

v. Simulazioni Mathematica Demonstrations

Definizione di limite di successione

Se vogliamo che |an-2| sia minore di un numero che abbiamo scelto molto piccolo (quanto vogliamo), non possiamo pretendere che questo sia vero simultaneamente per tutti gli n. Sarà vero in generale soltanto per n abbastanza grande.

Quanto grande? Tanto quanto occorre! Questo dipenderà dal numero “piccolo” che abbiamo scelto.

Si arriva quindi all'idea che la definizione di limite richiede di esprimere una concatenazione di scelte: prima si fissa un numero, piccolo quanto vogliamo, che esprimerà la vicinanza di an al limite L (in questo esempio L=2); poi si dovrà scegliere un “valore di soglia” n₀ tale che per tutti gli n≥n₀ sia vera questa disuguaglianza. E si arriva così alla definizione formale:

Definizione di limite di successione

Definizione di limite (finito). Si dice che

Si dice anche che

Attenzione al linguaggio:

il limite è uguale a…, la successione tende a…

(La successione è un corridore, si muove, il limite il traguardo, sta fermo).

Definizione di limite di successione

Esempio.

Prima di “risolvere la disequazione” ragionarci intuitivamente: è vero che per abbastanza grande si avrà 7/(n+3) piccolo quanto si vuole? Solo dopo che se ne è convinti, risolvere.

Altri esempi, come (cosn)/n (dove non si risolve la disequazione ma si maggiora).

Pochi esempi di definizione di limite.

Devono servire a capire la definizione, non sono “un tipo di esercizio”: i limiti non si calcoleranno con la definizione!

Come prosegue la teoria dei limiti di successioni

Teorema di unicità del limite. (Non lo dimostrerei)

Definizione di limite infinito (farei solo + e – infinito) e successione divergente.

Esempi, con verifica: potenze, esponenziali, logaritmi.

Successioni che non ammettono limite. Esempi…

Teorema sull'algebra dei limiti (finiti).

Dimostrerei ad es. il limite della somma.

Problema logico: usare bene l’espressione “per n abbastanza grande”. Ragionamento ricorrente: Per ogni n>N è vero p(n) e per ogni n>M è vero q(n), allora per n>max(N,M) è vero p(n) e q(n).

Come prosegue la teoria dei limiti di successioni

Primi limiti di quozienti di polinomi, con raccoglimento delle parti principali, come:

Far apprezzare che ora siamo in grado di ricavare il limite, non solo dimostrarlo una volta indovinato. Gli ingredienti sono:

1) La conoscenza del limite di successioni elementari (potenze)

2) Il teorema sull’algebra dei limiti.

Resta escluso per ora il caso in cui il numeratore ha grado maggiore; questo motiva il:

Teorema sull'algebra dei limiti con limiti anche infiniti.

Come prosegue la teoria dei limiti di successioni

Teorema sull'algebra dei limiti con limiti anche infiniti.

Si possono enunciare i vari casi e dimostrarne uno facile, come:

Due teoremi su “limiti e disuguaglianze” che dimostrerei (oppure non li citerei neppure e ne riparlerei per le funzioni):

Teorema del confronto, casi particolari, esempi.

Teorema di permanenza del segno, nelle due forme.

Esempi di esercizi standard fattibili con questi ingredienti…

Perché tutto questo?

Così facendo non c’è troppa teoria?

Ruolo concettuale, teorico, dei limiti di successioni.

In questa prima fase l’obiettivo non è il saper calcolare limiti (o “verificare la definizione di limite”):

esercizio, per lo studente, è anche andare alla lavagna e ripetere una definizione o una dimostrazione, curando linguaggio, simbolismo, uso delle variabili, dei quantificatori:

lo studente deve capire che questo è ciò che è a tema.

Parentesi. Un esempio interessante sull’uso di successioni come algoritmo di approssimazione:

l’approssimazione di π di Archimede.

Limiti di funzioni. Definizioni fondamentali

Tratterei solo funzioni definite su un intervallo (non un insieme qualsiasi) salvo al più il punto a cui tende la variabile (no al “punto di accumulazione”). Definizione di intervallo e casistica:

Si tratta di dare la “epsilon-delta definizione di limite” nei 4 casi nell'ordine didatticamente più graduale.

Limiti di funzioni. Definizioni fondamentali

1. Limite finito all'infinito, asintoto orizzontale.

Più facile perché: ruolo diverso delle due variabili; non è necessario precisare che x non può raggiungere x0.

Esempio guida:

Esempi: quozienti di polinomi di ugual grado, ex a -∞, ma anche del tipo sinx/x, per spiegare subito che l'asintoto può essere attraversato.

Limite per eccesso e per difetto.

Limiti di funzioni. Definizioni fondamentali

2. Limite infinito all'infinito. (E’ l’altro caso che assomiglia a quanto già visto per le successioni).

Definizione formale ed esempi: limiti all'infinito delle funzioni potenza, esponenziale e logaritmo.

Asintoto obliquo: definizione, esempi con funzioni razionali...

Limiti di funzioni. Definizioni fondamentali

3. Limite infinito al finito e asintoto verticale.

Nuova difficoltà: la richiesta x diverso da x0. Esempio:

Limiti di funzioni. Definizioni fondamentali

E se f(x) fosse definita anche in x0? Non dovrei comunque valutare f(x0). Esempio…

Limite destro e sinistro. Esempi sulle funzioni elementari:

Limiti di funzioni. Definizioni fondamentali

4. Limite finito al finito.

E’ una situazione “innaturale”, di cui non si capisce la necessità finché non si studiano i limiti notevoli (e la definizione di derivata).

Lo dicono tutti (perché pensano cos0=1) ma perché è così? Applichiamo la definizione…

Limiti di funzioni. Definizioni fondamentali

La “patologia” precedente prelude alla:

5. Definizione di funzione continua.

Esempio: sinx è continua in 0; cosx è continua in 0.

Come prosegue la teoria dei limiti di funzioni

I prossimi teoremi si possono enunciare e non dimostrare, se si è dimostrato qualcosa per le successioni:

Teorema di unicità del limite (è quasi un completamento necessario della definizione).

Teorema sull'algebra dei limiti per limiti finiti.

Teorema sull'algebra dei limiti per limiti infiniti.

Esempi di limiti e grafici con strumenti di base…

Limiti e grafici di funzioni razionali, limiti di composte di funzioni elementari (per x tendente a valori diversi)…

Come prosegue la teoria dei limiti di funzioni

Teorema del confronto.

Teorema di permanenza del segno. (E’ uno dei più importanti nello sviluppo della teoria, non va snobbato).

Teorema sull'algebra delle funzioni continue. Spiegarlo…

Teorema sulla continuità della funzione composta.

Mostrare ora come si usano congiuntamente questi teoremi:

E’ solo dopo aver enunciato questi teoremi che si capisce la distinzione tra un limite “banale” che si calcola sostituendo il valore, e un limite che dà una forma di indeterminazione. Esempi…

Esercizi sui limiti

C’è ora materiale per esercizi vari sui limiti (senza ancora usare limiti notevoli). Possono sembrare banali ma non lo sono:

Costringono all’elasticità mentale di chiedersi continuamente a cosa tende la variabile (per le successioni questo è meno vero);

Costringono a ricordare il comportamento delle funzioni elementari alla frontiera dell’insieme di definizione,

e a ragionare mentalmente sulla composizione di funzioni.

Esercizi “di avvicinamento” a limiti notevoli e derivate:

Limiti notevoliCi interessano anzitutto per il calcolo delle derivate, si potrebbero presentare anche in quel momento.

Limiti notevoli delle funzioni trigonometriche sin e cos. dimostrazione…

Limiti notevoli legati al numero e. Sequenza logica.

“Gerarchia degli infiniti”: logaritmi, potenze, esponenziali.

Limiti notevoli dedotti da e

Conseguenze dei limiti notevoli

(La lunghezza della circonferenza è il limite dei perimetri dei poligoni regolari di n lati inscritti)

Gerarchia degli infiniti:

Funzioni continue su un intervallo

Un argomento profondo dell’analisi è quello delle proprietà globali delle funzioni continue su un intervallo:

il teorema di Weierstrass sui massimi e minimi di una funzione continua su un intervallo [a,b] (che si userà nella dimostrazione del teorema di Lagrange, pietra miliare del calcolo differenziale e integrale);

il teorema degli zeri e dei valori intermedi (si usa spesso implicitamente nei “confronti grafici” per risolvere equazioni).

Si tratta di “teoremi di esistenza” dell'Analisi Matematica, che si basano sulle proprietà del sistema dei numeri reali.

E’ utili far comprendere bene l’enunciato attraverso esempi e contresempi…