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Università degli Studi di Napoli
Dipartimento di Architettura
Corso di Formazione per l’insegnamento della Fisica nella Scuola Secondaria di secondo grado
Ferdinando Casolaro
Quale Geometria per lo spazio curvo?
Dal vettore nello spazio piatto al tensore nello spazio curvo secondo il Modello di Minkovskj
Napoli, 01 marzo 2019
“ A me la cosa peggiore in una scuola sembra l’uso di metodi basati sulla paura,sulla forza e sull’autorità artificiosa.
Un tale trattamento- DISTRUGGE I SENTIMENTI SANI, LA SINCERITA’ E LA
FIDUCIA IN SE STESSO DELL’ALLIEVO.- PRODUCE SOGGETTI SOTTOMESSI.
E’ relativamente semplice tenere la scuola lontano da questo gravissimo male.
Date all’insegnante il minor numero di mezzi coercitivi, così che l’unica fonte di rispetto da parte dell’allievo sia
costitutita dalle qualità umane ed intellettuali dell’insegnante stesso”
ALBERT EINSTEIN
Quale Geometria per lo spazio fisico? (*)Con le Indicazioni nazionali per i licei e le Linee guida per gli Istituti
tecnici, dal 2010 (2012?) si richiede di insegnare quegli elementi della
Fisica sviluppatesi principalmente nella prima metà del XX secolo,
quali Teoria della Relatività, Fisica Quantistica, Ottica moderna.
La Geometria su cui poggia la Fisica classica è essenzialmente quella
euclidea.
Attraverso la Geometria euclidea il docente rappresenta
analiticamente e graficamente i fenomeni fisici.
Per uno studio corretto della Teoria della Relatività Generale si deve
conoscere la Geometria su cui essa si fonda.
(*) <www.aifnapoli2.it> cliccando sulla destra <Relazioni tra Fisica e
Matematica> e in basso: <Ferdinando Casolaro> <Geometria e Relatività>.
Indicazioni nazionali e Linee guida
Nelle ultime Indicazioni nazionali e Linee guida,
relativamente alla geometria, si fa solo qualche
confuso cenno allo studio di geometrie che
vanno oltre il modello euclideo.
Lo studio ed i risultati dei Nuclei di Ricerca
Didattica istituiti nelle Università italiane negli
ultimi sessanta anni portano invece a
considerazioni diverse.
“L’EVOLUZIONE DELLA MATEMATICA ATTRAVERSO QUATTRO CONGETTURE FONDAMENTALI
SULL’OSSERVAZIONE DEL MONDO FISICO”
1. Prima congettura relativa alla geometria:L’universo non è piatto, è curvo (VIII-VII sec. a.C)
2. Seconda congettura relativa alla geometria: "la luce si propaga in linea retta" (III sec. a.C).
3. Dalle congetture di Galileo al concetto di funzione:“La formalizzazione matematica dei fenomeni fisici”
Lo studio locale della espressione analitica che rappresenta il fenomeno (equazioni differenziali).
4. La congettura nell’incertezza:La funzione del “Calcolo delle probabilità” nell’analisi di
fenomeni reali.
EVOLUZIONE STORICA
- VIII-VII sec. a.C. - I primi frammenti di Geometria sferica (spazio curvo).
- VI sec. a.C.-II sec. d.C. - La geometria euclidea (da Talete a Tolomeo attraverso le scuole filosofiche ed Euclide) e primi tentativi di geometrizzare l'Arte con
l’Ottica degli antichi (Ottica ed elettromagnetismo).
- II sec. d.C-XI sec. d.C. - Oscurantismo culturale (periodo romano); non ci sono risultati, ma solo grandi costruzioni (statica delle masse).
- XII-XVI sec. - Geometria e Arte: si fissano le regole della Prospettiva, alla base degli sviluppi successivi di Geometria descrittiva e geometria proiettiva (Arte e
Matematica; Ferdinando Casolaro pagg. 129-148).
- XVII sec. - La geometria analitica e l'introduzione degli elementi impropri (rappresentazione grafica delle leggi fisiche). Galileo:“La formalizzazione matematica dei fenomeni fisici”.
- XVIII-XX sec. - Ampliamento della geometria euclidea alla geometria affine (calcolo vettoriale) e proiettiva (trasformazioni geometriche). Le geometrie non
euclidee (Fisica moderna).
La Matematica dell’incerto.
Dallo spazio piatto allo spazio curvo
Nello spazio curvo, i corpi, in assenza di forze non
gravitazionali, percorrono la linea più breve (geodetica) in
analogia al percorso rettilineo che è valido solo nello spazio
piatto.
Precisamente, secondo il concetto classico:
- la materia crea un campo gravitazionale e questo fa deviare i
corpi;
invece secondo Einstein:
-il campo gravitazionale va interpretato come curvatura dello spazio
e tale curvatura determina la sostituzione del concetto di retta con
quello di geodetica.
Prima congettura relativa alla geometria:L’universo non è piatto, è curvo (VIII-VII sec. a.C)(*)
Il problema dell'Astronomia dal periodo Babilonese ad oggi
I più antichi reperti di geometria a nostra disposizione:
VIII-VII sec. a.C.: gli astronomi Caldeo-Babilonesi, cercarono di approfondire le proprietà dello spazio; il campo di studio
su cui operavano era la sfera.
- III sec. A.C.: i greci, studiosi della geometria piana, hanno
lasciato tracce di geometria sferica Autolico di Pitane; "Sulle
Sfere mobili" ed "Il sorgere ed il tramontare", tradotti nel
1885.
(*)[F. Casolaro: "Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un modello analitico su uno spazio curvo". Atti del
Congresso Nazionale Mathesis - Bergamo 2002]
“Nel libro “Sulle sfere mobili” le proposizioni sono disposte in ordine
logico secondo lo stile usato da Euclide, il quale pure trattò alcune
questioni di Geometria Sferica, nel trattato “I fenomeni” di cui c’è una
traduzione pubblicata nel 1916.
Altri matematici che hanno lasciato tracce sulla “Sferica” sono:
- Teodosio di Bitinia (circa 20 a.C.) - “Sphericae” - Problema
fondamentale dell’astronomia greca: determinare l’ora di notte
osservando le stelle.
- Menelao (circa 98 d. C.), che scrisse il trattato “Sphaerica”, pervenuto
in una versione araba in tre libri.
- Tolomeo (II sec. d. C.): pone le basi della trigonometria piana, quando
già si conosceva la trigonometria sferica, utile per l’Astronomia.
Seconda congettura relativa alla geometria:
"la luce si propaga in linea retta" (III sec. a.C)
Nel periodo greco ebbe origine un gruppo di ricerche, di cui faceva parte Euclide, i cui risultati costituiscono “l'Ottica degli
antichi”.
- III a.C. - Primo tentativo di razionalizzazione dell’arte (dal tridimensionale al bidimensionale) attraverso il concetto di
propagazione rettilinea della luce.
- I a.C – Vitruvio - De Architectura: Primo modello per i
trattatisti del Rinascimento:
a) Interesse dei Greci per la rappresentazione come
fondamento dell’arte pittorica
b) Limiti dell’Architettura come Scienza
- II-XI d.C. periodo romano e l'oscurantismo culturale
Dall’Ottica degli antichi (III sec. a.C.)
all’Architettura gotica (XII-XIII sec. d.C.)
- Testimonianza dell'interesse dei greci per la rappresentazione come fondamento per l'arte pittorica, lo si evince da alcuni
passi di Vitruvio (Marco Vitruvio Pollone, vissuto probabilmente nel I sec. a.C.) che si può considerare il più
significativo trattatista di Architettura del mondo latino.
- Di Vitruvio si sa poco, addirittura si mette in dubbio l'originalità della sua opera "il De Architectura" (27 a.C.) in cui egli descrive la Basilica di Fano, di cui sarebbe stato il
costruttore (I cap. - V libro).
Il periodo romano: oscurantismo culturalela matematica in Occidente è sopravvissuta per merito degli
Indiani e degli Arabi
Tra il 150 a.C e il 364 d.C. (il periodo più probabile è considerato intorno al 250 d.C.) è vissuto ad Alessandria un grande
matematico, Diofanto, il quale raccolse e risolse problemi che compendiò in un unico trattato "l'Arithmetica" costituito da
tredici libri.
Dal 300 d.C. al 1100, in Europa non vi fu alcun progresso nell'ambito scientifico; si hanno solo tracce di traduttori delle
opere di Euclide, Aristotele e degli antichi greci.
Le traduzioni erano tutte in latino, lingua ufficiale della Chiesa che impose il suo potere nella Cultura
Il periodo romano: oscurantismo culturale
380 - Teodosio dichiara il Cristianesimo religione ufficiale dell'Impero), per cui il Latino diventò la lingua internazionale
dell'Europa e, quindi, la lingua della Matematica e della Scienza.
Dal III sec. A.C. al III sec. D.C. (da Euclide a Diofanto), Alessandria era la capitale intellettuale del mondo civilizzato, ma la città fu
ripetutamente minacciata da eserciti stranieri.
Nel 47 a.C. Giulio Cesare incendia la flotta di Alessandria, nei cui pressi era situata la Biblioteca che prese fuoco e centinaia di
migliaia di volumi furono distrutti.
Nel 389 d.C. l'imperatore cristiano Teodosio ordinò al vescovo di Alessandria Teofilo di distruggere tutti i monumenti pagani
compreso il Tempio di Serapide con l’intera Biblioteca.
Il periodo romano: oscurantismo culturale
Nei mille anni successivi alla nascita di Cristo non si riscontra alcun
interesse per la matematica in Occidente che è sopravvissuta per
merito degli Indiani e degli Arabi che copiarono le formule dai
manoscritti greci sopravvissuti e reinventarono molti teoremi che
erano stati perduti.
Gli arabi avevano dato una struttura allo studio dell'algebra, i cui
risultati si sono conosciuti in Europa dall'XI secolo in poi (periodo
della rifioritura economica), per merito principalmente di Leonardo
Pisani (1170-1250) detto Fibonacci.
Rifioritura economica: Geometria ed Architettura
Fibonacci era nato a Pisa, ma aveva viaggiato in Europa ed in Asia Minore per seguire il padre; ed è durante questi viaggi che aveva racimolato manoscritti che contenevano gran parte dei risultati di
algebra ottenuti dagli arabi.
Nel 1202 scrisse il Liber Abaci, di cui venne in possesso Dante Alighieri
Siamo ormai nel XIII secolo; da questo momento (e nei tre secoli successivi) l'interesse dei matematici è rivolto principalmente
all'Architettura ed all‘Arte.
XII-XIV secolo - Con l'Architettura gotica, nel sec. XII, si incomincia ad intravedere un principio di rappresentazione più rigorosamente
razionale.
Dall’Architettura gotica alla prospettiva
Il problema principale che poneva l'Architettura gotica era quello di ottenere la massima luminosità possibile e la massima ampiezza
degli ambienti con il minimo ingombro delle masse murarie e delle strutture.
Carattere gotico ebbero le abbazie di Fossanova e di Casamari, la chiesa dei Servi a Bologna e il San Francesco d'Assisi.
Successivamente riscontriamo il primo passo per il superamento della concezione medioevale nelle opere di Giotto (1266 - 1337), di
Duccio di Buoninsegna (tra il 1278 ed il 1318 circa) e, qualche decennio più tardi, nelle opere di Ambrogio Lorenzetti (morto a Firenze o a Siena durante la peste del 1348), in cui è evidente la ricerca per definire lo spazio contenente i vari elementi della
rappresentazione.
La ProspettivaMa l'adozione di un metodo di PROSPETTIVA LINEARE
GEOMETRICA risale all'inizio del 1400 con Filippo Brunelleschi. (Firenze, 1377-1446), che per primo fissò le norme
della Prospettiva.
Le prime opere del Brunelleschi si mantengono ancora nell'ambito della tradizione gotica.
Crocefisso di Santa Maria Novella (1409): si incomincia a intravedere un'opera nuova per le perfette proporzioni e per la simmetrica
distribuzione delle parti, (prima applicazione della prospettiva).
Sulla stessa linea si è espresso Leon Battista Alberti (Genova 1404 circa - 1472) che ha anche dedicato al Brunelleschi il suo trattato
"De pictura" in cui scrisse che nell'arte fiorentina di quegli anni si intravedeva già il superamento delle opere dell'antichità.
Piero della Francesca (Arezzo 1415-1492)
Matematico dell’Arte
Razionale richiama Euclide
- Costruisce teorema dopo teorema, problema dopo problema
- Piero non si ritrasse mai dalle matematiche nelle quali era stato
tenuto maestro raro, tanto che i libri meritatamente
gli hanno acquistato nome del miglior geometra che fusse nei tempi
suoi. - G. Vasari (1511-1574)
“De Perspectiva pingendi” (inviluppo di linee piane)
Leonardo da Vinci
(Firenze 1452-1519)
(“Mirabile e celeste – Vario ed instabile”. Vasari)
genialità – la pittura deve avere un fondamento scientifico
Studia prima la scienza, e poi seguita la pratica nata da essa scienza: quelli che si innamorano della pratica senza la
diligenza sono come i nocchieri che entrano in mare sopra nave senza timone o bussola, che mai non hanno certezza dove si vadino. Sempre, la pratica deve essere edificata sopra una
buona teorica, della quale la prospettiva è guida e porta: senza quella, niente si fa bene, così di pittura come in ogni
altra professione. (Trattato della Pittura - cap.VII )
XVI sec. - Federico Commandino (Urbino 1509-1575)
- La prospettiva passa dalle mani degli artisti a quelle
degli scienziati.
- Prima intuizione del concetto di omologia
Prospettiva lineare – Riferimento di tutte le figure
considerate a due piani fra loro ortogonali (la pianta e l’alzata):
ribalta la figura e fissa gli elementi uniti.
Inaugura il metodo delle proiezioni centrali; definisce il punto
all’infinito; pone le basi della G. D. e della Geometria Proiettiva.
XVII secolo:
Girard Desargues (1591-1661)
Gaspard Monge (1746-1818)
Jean Victor Poncelet (1778-1867)
Il piano euclideo ampliato a piano proiettivo.
Nella rappresentazione analitica nel piano viene aggiunta una terza
coordinata x3 che per i punti all’infinito (punti impropri) assume
il valore zero.
La dimensione non è una grandezza assoluta(nella rappresentazione analitica del Modello relativistico viene
aggiunta una quarta coordinata: il tempo).
Se il segmento SP è perpendicolare ad r, la proiezione si dice ortogonale.
Se consideriamo la retta r e la retta PP’ che si intersecano nel
punto P’; il loro punto di intersezione P’ è detto sezione, in
analogia alla sezione tra due piani, alla sezione di un piano
con una qualsiasi figura solida.
Proiezione e sezione
Si definisce Proiezione di un punto P su una retta r, da un centro di
proiezione S, il punto P’SPr
L’operazione di sezione e proiezione tra rette (o tra piani
nello spazio) si definisce prospettività.
Date due rette r ed s del piano ed un punto S esterno sia ad r che ad s, si definisce prospettività di centro S tra le rette s ed r la
corrispondenza che ad ogni punto Ps fa corrispondere il punto P’SPr (cioè la proiezione del punto P di r dal centro
di proiezione S)
Definizione di punto improprio
Se s incide r in un punto U, si può osservare:
a) al punto U corrisponde se stesso: U è detto punto unito;
b) esiste un punto Is tale che la retta IS è parallela ad r, per cui al punto Inon corrisponde alcun punto di r.
Associamo al punto Is un elemento J di r che è detto punto improprio o punto all’infinito (individuato dalla direzione della retta r).
Infatti, se consideriamo la prospettività di centro S tra la retta s ed una qualsiasi retta r’ parallela ad r, possiamo osservare che al punto Is
corrisponde ancora J
J
Punto e Retta nel piano Proiettivo
Partendo dalla rappresentazione di un punto P(x,y) nel
piano cartesiano, mediante l’ampliamento proiettivo,
si individua il punto improprio con l’aggiunta di una
terza coordinata.
Consideriamo una direzione del piano (punto
improprio P); sia r la retta per l’origine che
individua P e sia P1(x,y) un punto di r.
;.........1000/1
,1000/1
)1000,1000(
;.......10/1
,10/1
)10,10(
;......2/1
,2/1
)2,2( ;1
,1
),(
1000
10
21
yxyxP
yxyxP
yxyxP
yxyxP
1000
1,,;.........
10
1,,.;.........
2
1,, );1,,( 1000221 yxPyxPyxPyxP
I punti di tale successione appartengono tutti alla retta r
ed al crescere dell’indice k, cresce la distanza OPk ,
ovvero, al tendere a zero del denominatore comune alle
due coordinate (o terza coordinata), il punto Pk si
allontana indefinitivamente.
Posto:
Possiamo definire le coordinate dei punti impropri
come terne di numeri reali (x1 , x2 , x3) in cui risulta
x3 = 0.
Pertanto, l’espressione x3 = 0.
Individua il luogo geometrico dei punti impropri del
piano, cioè la retta impropria.
3
2
3
1 y x
x
x
xx
Prospettività tra piani
Ogni prospettività tra piani e nello spazio o la composizione di
due o più prospettività, è detta omografia tra piani e .
Se e sono sovrapposti diciamo prospettività del piano in sé.
La composizione di due prospettività nello spazio è detta omologia.
La figura schematizza la prospettività con centro improprio (si
considera il sole come punto all’infinito) tra il piano verticale che
contiene la finestra, e il piano orizzontale che contiene la
proiezione (quindi è una prospettività tra piani).
A
B
S
D
C
T
A
B
S
D
C
T
A
B
S
T
s
Q
P
A
BS
T
D
C
Q
P
Proiezione delle finestra
sul pavimento la mattina
Proiezione delle finestra
sul pavimento alcune ore
dopo
Sovrapposizione delle
proiezioni
Le trasformazioni geometriche
- dal piano euclideo al piano affine; - dal piano affine al piano proiettivo.
E’ indispensabile ampliare la geometria euclidea alla geometria proiettiva? Si, perché:
- Le trasformazioni euclidee, (quelle conservano gli angoli), in natura sono poche.
- Il primo approccio di un bambino con la geometria ha due caratteristiche:
1. la visualizzazione della forma (approccio euclideo);
2. la visualizzazione delle ombre (approccio proiettivo:
l’ombra di una figura non conserva gli angoli, dunque
va oltre la geometria euclidea).
Spazio piatto: da Talete (VI sec. a.C. ad oggi)Trasformazioni lineari
Geometria Proiettiva Geometria Affine Geometria euclideaOmografie Affinità SimilitudiniInvarianti Invarianti Invarianti
Rette in rette Parallelismo Perpendicolarità-Misure angoliConiche non degeneri Coniche chiuse CirconferenzeBirapporto Rapporto semplice Rapporto distanze
IsometrieInvarianti
Le isometrie conservano tutte le proprietà delle similitudini e mutano segmenti congruenti in segmenti congruenti
[F. Casolaro: Atti del Progetto di Ricerca del Ministero della Pubblica Istruzione sulle “Interrelazioni tra Disegno e Matematica per una didattica finalizzata all’uso delle nuove tecnologie” - Sorrento, 11 - 15 dicembre 1990, Roma, 6 - 10 maggio 1991,
Roma, 8 - 12 dicembre 1991]
www.ing.unisannio.it/casolaro
Algebra lineare e geometria - Indicazioni
Primo biennioLo studente apprenderà gli elementi dell’algebra dei vettori (somma,
moltiplicazione per scalare e prodotto scalare), e ne comprenderà il ruolo fondamentale nella fisica].
Secondo biennioStudierà i concetti di vettore, di dipendenza e indipendenza lineare, di
prodotto scalare e vettoriale nel piano e nello spazio nonché gli elementi del calcolo matriciale. Approfondirà inoltre la comprensione
del ruolo fondamentale che i concetti dell’algebra vettoriale e matriciale hanno nella fisica.
- Algebra vettoriale ed operazioni tra vettori.- Dipendenza lineare.- Calcolo matriciale e determinante di una matrice.- Equazione della retta, equazione del piano.- Prodotto scalare.
Definizione di vettore e concetto di iperpiano
In matematica, un vettore è definito come classe di equivalenza di segmenti equipollenti
L'equipollenza tra segmenti è una relazione di equivalenza. Una classe di equivalenza [v] di segmenti equipollenti prende il nome di vettore.
In Fisica, una grandezza si può definire come vettore quando:
1) vale la legge del parallelogramma;
2) è invariante rispetto ai sistemi di riferimento
per traslazione.
Un iperpiano di uno spazio Sn è un suo sottospazio ad n-1 dimensioni: la retta è iperpiano di S2; il piano, individuato come S2, è iperpiano di S3.
IMPORTANTE: Riferimento a fasci di rette come direzioni del piano e fasci di piano come giacitura dello spazio S3.
Le funzioni trigonometriche
senOA
HA
OA
HA
OA
HA
n
nn .............2
22
1
11
tgOH
HA
OH
HA
OH
HA
n
nn .............2
22
1
11
cos.............2
2
1
1 n
n
OA
OH
OA
OH
OA
OH
An a
A2
A1
O α b
H1 H2 Hn
A 1° teorema sui triangooli rettangoli (1)
2° teorema sui triangooli rettangoli (2)
α 3° teorema sui triangooli rettangoli (3)
O H
Dal teorema di Pitagora:
Dividendo membro a membro (1) e (2), si ha:
tgOHAHtgOH
AH
OAOHOA
OH
senOAAHsenOA
AH
coscos
1cos 22
2
2
2
2
2
2222 sen
OA
OA
OA
AH
OA
OHOAAHOH
tg
sen
OH
AHsen
OA
OHOA
AH
coscos
tgOH
HA
OH
HA
OH
HA
OA
OH
OA
OH
OA
OH
senOA
HA
OA
HA
OA
HA
n
nn
n
n
n
nn
...........
cos............
............
2
22
1
11
2
2
1
1
2
22
1
11
CONCETTI ESSENZIALI
- Iperpiano – Prodotto scalare
- Equazione della retta, equazione del piano
- Dipendenza lineare
- Calcolo matriciale e determinante di una matrice
PRODOTTO SCALARE
da cui:
cosbaba
jjbaijbajibaiibajbibjaia yyxyyxxxyxyx
yyxx babababa cos
r I vettori nella rotazionePRODOTTO VETTORIALE
α Si applichi una forza F, parallela al piano
orizzontale, in un punto del piano α in
β modo da far ruotare il piano α intorno alla
retta r fino a sovrapporsi al piano β.
F C’è una retta nello spazio che non cambia la
propria direzione?
Le rette parallele alla retta r restano ancora
parallele ad r?
Osservazione. Una rotazione nel piano è
individuata da una retta che non appartiene
al piano, ma è perpendicolare ad esso.
piano terra orizzontale (pavimento)
Dipendenza lineare tra vettori nel piano e determinante
della matrice con le componenti dei vettori.
Due vettori del piano sono linearmente dipendenti se hanno la stessa
direzione
Se u è un vettore non nullo del piano π, ogni altro vettore v di π, avente
la stessa direzione di u, si può esprimere come prodotto del vettore u
per un numero reale α:
v = α u
da cui:
cioè:
se due vettori sono linearmente dipendenti, esiste una combinazione
lineare di essi con scalari non nulli che dà il vettore nullo".
0vu )1(
Dipendenza lineare tra vettori nello spazio S3
Tre vettori u, v, w dello spazio si dicono linearmente dipendenti se hanno la stessa giacitura, cioè se esiste un piano che contiene i
segmenti orientati che li rappresentano.
La giacitura individuata da due vettori u e v non paralleli definisce, tutti e soli i vettori linearmente dipendenti dal sistema {u, v}.
Infatti, se u e v sono due vettori non paralleli e non nulli del piano, un qualsiasi vettore w, appartenente al piano individuato da u e v, si può
decomporre lungo le direzioni di essi, cioè, si può esprimere come somma di due vettori α1u ed α2v, linearmente dipendenti da u e da v.
α1uu
w = α1u + α2v =>v w => α1u+α2v+(-1)w=0
α2v
Equazione della retta in
In un riferimento cartesiano del piano, sia P(x, y) un punto diverso
dall'origine, in modo che il segmento orientato identifichi il vettore
che ha per componenti rispettivamente le coordinate x ed y di P.
Se è un vettore ortogonale ad , per definizione di
prodotto scalare, si ha:
La (4.4), equazione della retta OP, individua, dunque, il luogo
geometrico dei punti P(x, y) del piano tali che il segmento OP è
perpendicolare alla direzione del vettore .
Se “curvassi” questa retta , otterrei un arco, ed il vettore perpendicolare
in ogni punto alla retta tangente all'arco, non avrebbe più direzione
costante, e quindi le componenti a e b del vettore
risulterebbero funzioni delle coordinate del punto nel piano.
2S
PO
),( ban
0:,0 byaxcioèPOn
),( ban
),( yxPO
),( ban
Sia un vettore del piano applicato nell’origine di un sistema
di assi cartesiani ortogonali Oxy.
Determinare il luogo geometrico dei punti P (x, y) del piano tale che il
vettore individuato dal segmento orientato sia perpendicolare
ad .
. Y
P2 P3
P1
O X
OP
,n a b
,n a b
n
,OP x y
Equazione del piano in
Anche per il piano in , si può fissare un riferimento cartesiano ed un punto P(x,y,z) diverso dall'origine, in modo che il segmento
orientato identifichi il vettore che ha per componenti rispettivamente le coordinate x,y,z di P.
Se è un vettore ortogonale ad , per definizione di prodotto scalare, si ha:
l’equazione del piano per l'origine, che contiene i punti A, B, C, individua, dunque,
il luogo geometrico dei punti P(x, y, z) dello spazio tali che il segmento OP è perpendicolare alla direzione del vettore
S3
0:,0 czbyaxcioèPOn
),,( cban
PO
S3
),,( zyxPO
Equivalente del piano in uno spazio curvo
I vettori perpendicolari al piano in ogni punto, hanno la stessa direzione.
Così di seguito, operando su spazi piatti, di dimensione tre, quattro,
…ecc, i vettori perpendicolari allo spazio hanno tutti la stessa direzione.
In uno spazio curvo, la direzione del vettore perpendicolare allo spazio
cambia in ogni punto, per cui le componenti del vettore normale allo
spazio in un punto (precisamente al piano tangente la superficie in quel
punto) sono funzioni delle coordinate.
[F. Casolaro: "Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un modello analitico su uno spazio curvo". Atti del Congresso Nazionale
Mathesis - Bergamo 2002]
0),,(),,(),,( 332211 dzzyxgdyzyxgdxzyxg
0 czbyax
Dipendenza lineare tra vettori nel piano e determinante
della matrice con le componenti dei vettori.
Due vettori del piano sono linearmente dipendenti se hanno la stessa
direzione
Se u è un vettore non nullo del piano π, ogni altro vettore v di π, avente
la stessa direzione di u, si può esprimere come prodotto del vettore u
per un numero reale α:
v = α u
da cui:
cioè:
se due vettori sono linearmente dipendenti, esiste una combinazione
lineare di essi con scalari non nulli che dà il vettore nullo".
0vu )1(
Ampliamento della geometria euclidea alla geometria affine con
l’introduzione dei vettori
Esempio: Due vettori del piano sono linearmente dipendenti se hanno la stessa direzione; in tal caso, dalla rappresentazione cartesiana delle componenti, si deduce che: “la matrice costituita dalle componenti dei vettori ha determinante nullo”:
ax : bx = ay : by ax by - ay bx = 0
y
cioè:
a ay ax bx
ax det = 0
ay by
b
by
bx x
Modello geometrico in uno spazio a curvatura non nulla.
Considerata una superficie come spazio in sé, come si può costruire su di
essa una geometria analoga a quella del piano:
- Ai concetti intuitivi di punto, piano e retta associamo rispettivamente i
concetti di punto stesso, superficie e geodetica. Ovviamente l’analogo
del segmento rettilineo sarà l’arco di geodetica.
- Alla seguente relazione di uguaglianza tra figure, in geometria euclidea
:Due figure piane sono uguali, se possono farsi corrispondere punto per
punto in modo che le distanze rettilinee fra le coppie di punti
corrispondenti, siano uguali,
corrisponde, per la geometria non euclidea:
Due figure su una superficie sono uguali se possono farsi corrispondere
punto per punto in modo che le distanze geodetiche fra coppie di punti
corrispondenti sono uguali.
Modello geometrico in uno spazio a curvatura non nulla.
Sulla sfera valgono, per figure uguali, proposizioni analoghe ai postulati
della congruenza nel piano, in quanto la sfera può muoversi liberamente
su se stessa come il piano (non valgono le proprietà affini [3] e le
proprietà del parallelismo che si avvalgono del V postulato).
- Le proprietà fondamentali dell'uguaglianza fra archi geodetici e angoli,
corrispondono ai postulati della congruenza tra segmenti ed angoli.
- Quella superficie che si può muovere liberamente su se stessa
(conservando le proprietà locali), come accade per la superficie piana, è
caratterizzata da una grandezza costante in ogni suo punto:
la curvatura K.
Modello geometrico in uno spazio a curvatura non
nulla.
La definizione rigorosa di curvatura richiede conoscenze che
esulano da un’esposizione elementare. Come per i concetti di
retta e di piano in geometria euclidea, riteniamo che si possa
lasciare all’intuito dello studente di immaginare quelle
superfici a curvatura zero (il piano), a curvatura costante (la
sfera), a curvatura variabile (ellissoide, o banale esempio
dell’uovo).
Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova
applicazione nello spazio fisico.
Riemann, riteneva che le proprietà che distinguono lo spazio
fisico da altre varietà, possono essere ricavate solo
dall'esperienza; di conseguenza, egli pensava che gli assiomi
della geometria euclidea potessero essere veri solo
approssimativamente per lo spazio fisico e, come
Lobacewscki, riteneva che sarebbe stata l'Astronomia a
stabilire la geometria che meglio si adatta allo spazio fisico.
Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova
applicazione nello spazio fisico.
Già nel 1854, Riemann, dedusse che lo studio della geometria non si può
astrarre dall'evoluzione fisica.
In uno spazio in cui la curvatura cambia da un luogo all'altro per la
presenza della materia, e da un istante all'altro per il moto della materia,
le leggi della geometria euclidea non sono valide. Pertanto, per
determinare la vera natura dello spazio fisico, si deve associare fra loro
spazio e materia (e di conseguenza il tempo).
A tale scopo, così si esprimeva:
"O la realtà soggiacente lo spazio forma una varietà discreta, oppure
bisognerà cercare il fondamento delle sue relazioni metriche fuori di
esso, nelle forze connettive che vi agiscono. Questo ci porta nel dominio
di un’altra scienza, quella della fisica, in cui l’oggetto delle nostre
ricerche non ci consente di entrare oggi”
Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova
applicazione nello spazio fisico.
Quest'idea, che ha condotto poi alla Teoria della relatività, fu sviluppata
da William Clifford (1845-1879) il quale sosteneva che:
"La variazione della curvatura dello spazio sia ciò che accade
realmente in quel fenomeno che chiamiamo moto della
materia, sia essa pesante o eterea”.
Riemann, applica allo spazio ordinario i suoi risultati, concludendo che
lo spazio fisico è una varietà a tre dimensioni a curvatura costante.
In questa varietà, la geometria non si può astrarre
dall'evoluzione fisica.
Modello di Riemann ed estensione della geometria
alla Fisica.
Il modello formulato nel 1854 da Riemann (geometria ellittica), si può
considerare una estensione della geometria differenziale di Gauss.
Riemann voleva dimostrare che gli assiomi di Euclide sono verità
empiriche (e non verità evidenti) ed adottò l'approccio analitico proprio
perché riteneva che nelle dimostrazioni geometriche si potesse essere
indotti ad assumere come verità ciò che è soltanto una nostra
percezione, in quanto conosciamo lo spazio solo localmente; da qui lo
studio del comportamento locale dello spazio, cioè l'approccio metrico-
differenziale.
In una varietà tridimensionale di uno spazio a quattro dimensioni
, un’equazione lineare in quattro incognite del tipo:S4
0),,,(),,,(),,,(),,,( 44332211 dttzyxgdztzyxgdytzyxgdxtzyxg
ottenuta dal prodotto scalare tra il vettore g( )
normale alla superficie ) ed il vettore ds (dx, dy, dz, dt) (spostamento
infinitesimo su ), individua un iperpiano
dello spazio in cui le (i = 1,...,4) sono funzioni delle
coordinate (x, y, z, t) analoghe a quelle introdotte da Riemann per la sua
geometria non euclidea; la metrica è definita da
14131211 ,,, gggg
4S
4S3S
4S
gii
4
1,
2
ji
jiij dxdxgds
I sistemi:
In cui le matrici:
hanno rango , , rappresentano, rispettivamente, uno
spazio (analogo al piano euclideo) iperpiano di , ed uno spazio
(analogo alla retta euclidea) iperpiano di .
21 A 32 A
2S3S
1S2S
0
0
24232221
14131211
dtgdzgdygdxg
dtgdzgdygdxg
0
0
0
34333231
24232221
14131211
dtgdzgdygdxg
dtgdzgdygdxg
dtgdzgdygdxg
24232221
141312111
gggg
ggggA
34333231
24232221
14131211
2
gggg
gggg
gggg
A
Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di
Minkovsky
Nell’idea di Einstein, le funzioni , che nelle relazioni precedenti
rappresentano i coefficienti delle variabili x, y, z, t, incorporano gli effetti
delle masse gravitazionali nello spazio.
Tali effetti, provocando una curvatura in ogni punto, sono la causa del
cambiamento di direzione del vettore normale alla superficie in quel
punto.
Con l’introduzione della coordinata-tempo, si ha poi una più corretta
analisi dell’universo, identificato col
cosiddetto spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky [5],
in cui l'insieme dei punti-eventi (x, y, z, t) definisce un continuo a quattro
dimensioni che rappresenta uno spazio geometrico .
gij
4S
4S
Spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di
Minkovsky
In tale ottica, lo spazio dei punti (x, y, z) del modello euclideo, visto
come sottospazio di
può essere assimilato ad un iperpiano dello spazio-tempo di Minkovsky.
- per t = 0 (ovvero t = costante), si ha l'iperpiano
di , che è lo spazio geometrico euclideo
tridimensionale, in cui valgono le leggi della
cinematica classica;
- se invece è costante una delle coordinate x, y,
z, si hanno iperpiani di che caratterizzano
modelli cinematici relativistici su , che è
l'analogo del piano euclideo.
3S
3S
4S
2S
3S
4S
4S
3S222222 dtcdzdydxds
S3
Lo spazioAd esempio, l'insieme dei punti P(x, y, 0, t) P(x, y, t) è un iperpiano
di , le cui coordinate (x, y, t) individuano i punti-eventi del
piano (x, y) che è prolungato alla cinematica con l'introduzione della
coordinata tempo.
In tale contesto, bisogna tener conto che la metrica è definita da:
Tale relazione si può giustificare geometricamente, aggiungendo alla
terna reale (O,x,y,z) del riferimento di ,
un quarto asse immaginario ortogonale ad in cui la coordinata
tempo è moltiplicata per l'unità immaginaria i e, per uniformità
dimensionale, per la velocità della luce c.
4S3S
3S
3S
222222 dtcdzdydxds
4S
x
fig. 6.1
dz ic dt
O
dy
Il vettore ha allora componenti (dx, dy, dz, icdt) (fig. 6.1)
e quindi la metrica è definita da:
cioè la (6.1).
Ciò porta a concludere che la geometria non si può astrarre
dall’evoluzione fisica.
ds
2222222 dtcidzdydxds22222 dtcdzdydx
dx
La dimensione: grandezza relativa e non
assoluta
Punto e Retta nel piano ProiettivoPartendo dalla rappresentazione di un punto P(x,y) nel
piano cartesiano, mediante l’ampliamento proiettivo,
si individua il punto improprio con l’aggiunta di una
terza coordinata.
Consideriamo una direzione del piano (punto
improprio P); sia r la retta per l’origine che
individua P e sia P1(x,y) un punto di r.
;.........1000/1
,1000/1
)1000,1000(
;.......10/1
,10/1
)10,10(
;......2/1
,2/1
)2,2( ;1
,1
),(
1000
10
21
yxyxP
yxyxP
yxyxP
yxyxP
1000
1,,;.........
10
1,,.;.........
2
1,, );1,,( 1000221 yxPyxPyxPyxP
I punti di tale successione appartengono tutti alla retta r
ed al crescere dell’indice k, cresce la distanza OPk ,
ovvero, al tendere a zero del denominatore comune alle
due coordinate (o terza coordinata), il punto Pk si
allontana indefinitivamente.
Posto:
Possiamo definire le coordinate dei punti impropri
come terne di numeri reali (x1 , x2 , x3) in cui risulta
x3 = 0.
Pertanto, l’espressione x3 = 0.
Individua il luogo geometrico dei punti impropri del
piano, cioè la retta impropria.
3
2
3
1 y x
x
x
xx
Secondo la concezione classica, la geometria esprime un
insieme di proprietà relative al movimento dei corpi ed alla
propagazione della luce, che si ottengono facendo astrazione
dal tempo e dalle forze.
Quindi, con un’estensione della geometria alla cinematica (che
è la teoria del movimento rispetto allo spazio-tempo) e
successivamente alla dinamica (con l’introduzione delle forze)
si avranno approssimazioni che ci avvicinano man mano ad un
grado più concreto della realtà fisica, che troverà poi
un’ulteriore correzione con la teoria della relatività generale.
Con tale teoria, Einstein sollevò anche una questione più ampia
legata al significato delle gij il cui uso incorporava gli effetti
gravitazionali delle masse nello spazio;
Dunque, il modello newtoniano che assegna una legge per il moto
libero di un punto e vi aggiunge poi una forza, risulta essere solo
un’astrazione nella nuova costruzione della dinamica di Einstein.
Tale concezione sarebbe reale se la materia fosse composta da
piccole masse, poste a distanza tale una dall’altra da potersi
muovere senza subirne la reciproca influenza; invece la
materia si muove sotto l’influenza di altra materia che,
secondo la dinamica newtoniana è la causa delle forze
gravitazionali.
Tema 1987/88
Studiare la trasformazione τ : e, tra
E tra l’altro, dimostrare:
1. Le aree di due triangoli che si corrispondono nella trasformazione
sono uguali;
2. Le due parti di piano limitate da una retta e da una parabola e,
rispettivamente, dalla retta e dalla parabola ad esse corrispondenti in
tale trasformazione, sono equivalenti.
Trasformiamo mediante τ la circonferenza γ di equazione:
Si ha:
che è un’ellisse in quanto risulta:
Pertanto la circonferenza γ è trasformata da τ in un ellisse per cui è
un’affinità e non una similitudine.
12
1
22
yY
xX
122 YX
112
122
2
2
yx 01643216 22 yxyx
033 A
Relativamente al punto 1, scriviamo i tre vertici di un triangolo T1, ed il trasformato
T2 secondo τ. Calcolando le aree con il determinante della matrice 3X3, si potrà
constatare che sono uguali, per cui anche le aree del punto 2 sono uguali, in quanto
un’affinità conserva il rapporto tra le aree delle figure corrispondenti. Non c’è
bisogno di calcolare gli integrali.
Se ABC è il triangolo di vertici: A (-2, 1); B (3, 0); C (1, -2), l’area è data da
Area (ABC) = =
I trasformati secondo τ sono: A’ (-2, 0); B’ (10, 1); C’ (4, 0); si ha:
Area (A’B’C’) =
da cui, il rapporto tra le aree dei triangoli è uguale a 1.
Di conseguenza anche le parti relative al punto 2 sono equivalenti perché l’affinità
conserva il rapporto tra aree di figure corrispondenti.
6
121
103
112
2
1
1
1
1
2
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
6
104
1110
102
2
1
Bibliografia
F. Casolaro: “Uno studio di funzioni elementari senza l’utilizzo dell’Analisi Matematica”. Atti del Convegno NazionaleMathesis “La Matematica negli anni ’90” - Iseo, 23-27 aprile 1990 – pag. 206-219.
F. Casolaro: “Il problema dell’integrazione indefinita”. Atti del Convegno “La Matematica applicata all’Economia edall’Ingegneria” - Ovindoli, 5-8 giugno 1991 - Ratio Mathematica n. 4, 1992 – pag. 29-38.
F. Casolaro: “Svolgimento del tema n. 1 per il concorso a cattedre della classe LXXXV (Scienze Matematiche). Periodicodi Matematiche n. 1, 1992 – pag. 45-54.
F. Casolaro: “Svolgimento del tema n. 2 per il concorso a cattedre della classe LXXXV” - (Scienze Matematiche)” -Periodico di Matematiche n. 1 del 1992 – pag. 55-62.
F. Casolaro: “Svolgimento del tema della maturità scientifica 1992”. Periodico di matematiche n. 1, 1993 - pag. 27-41.F. Casolaro- A. Lungo: “Svolgimento del tema della maturità scientifica 1993”. Periodico di Matematiche n. 1, 1994 –
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nella cultura e nell’insegnamento”, Roma 20-23 ottobre 1995 pag. 363-368.F. Casolaro - Aldo Morelli: “Strategia dell’errore” Atti del XIX Convegno Nazionale U.M.I.-C.I.I.M. “Apprendere la
matematica: errori, difficoltà, conquiste”. Vicenza, 23-25 ottobre 1997 (nell’ambito del Nucleo di Ricercadidattica dell’Università di Napoli).
E. Ambrisi - F. Casolaro: “Il valore culturale della prova di Matematica agli esami di Stato”. Congresso NazionaleMathesis 1998: “Matematica è/e Cultura” - L’Aquila, 19-21 ottobre 1998 – pag. 27-32.
F. Casolaro - Aldo Morelli “La sfera: questioni didattiche”. Atti del XX Convegno Nazionale U.M.I.-C.I.I.M. “LaMatematica e le altre Scienze"; Orvieto, 22-24 ottobre 1998 (nell’ambito del Nucleo di Ricerca didatticadell’Università di Napoli).
F. Casolaro - R. Santarossa: “Svolgimento del tema della maturità magistrale sperimentale del P.N.I. 1998”. Periodicodi Matematiche n. 2/3 -1998 – pag. 125-132.
F. Casolaro: “Svolgimento del tema degli esami di Stato, indirizzo scientifico ordinario 1999”. Periodico diMatematiche n. 3 -1999 – pag. 80-83 .
F. Casolaro - A. Fontana: “Svolgimento del tema degli esami di Stato, prova suppletiva per l’indirizzo scientificoordinario 1999” con A. Fontana. Periodico di Matematiche n. 1 – 2000 – pag. 58-66.
F. Casolaro: “Integrali”. Testo monografico di esercizi e complementi sull’integrazione indefinita. Edizione Zanichelli1997.
F. Casolaro: "La matematica nelle scienze applicate: Equazioni algebriche ed equazioni differenziali nei programmidegli Istituti tecnici" con R. Prosperi - Atti del Congresso Nazionale Mathesis - Mantova 2001– pag. 173-186.
Bibliografia
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F. Casolaro: Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un modello analitico suuno spazio curvo". Atti del Congresso Nazionale Mathesis "La Matematica fra tradizione e innovazione: unconfronto europeo" – 17-19 ottobre Bergamo 2002 – pag.185-198.
F. Casolaro: "Conoscenze matematiche e questioni etiche nei percorsi universitari delle lauree riformate" - Atti delConvegno Nazionale "Nuovi programmi per le lauree riformate: i corsi di Matematica e Informatica",organizzato dal Dipartimento di Matematica dell'Università della Calabria - Tropea, 16-18 settembre 2002.
F. Casolaro: "Le trasformazioni omologiche nella Storia, nell'Arte, nella Didattica" - Atti del Convegno Internazionale"Matematica e Arte: un sorprendente binomio" Vasto, 10-12 aprile 2003; pagg. 129-148.
F. Casolaro "Matematica ed Etica: i nodi essenziali per una corretta educazione matematica nella scuola di oggi" - Attidel Convegno Nazionale "Insegnare la Matematica nella scuola di tutti e di ciascuno” - organizzato DalDipartimento di Matematica dell’Università degli Studi di Bari - 19-21 febbraio 2004; pagg. 263-266.
F. Casolaro (con Olivello, Isernia, Giovine): "Formazione umana del cittadino ed integrazioni con la Fisica, l'Economia ele Scienze Applicate: Aspetti intuitivi propedeutici al rigore delle conoscenze scientifiche” pubblicato agli Attidel protocollo di intesa Mathesis-MIUR sul tema "Le competenze matematiche tra la scuola e l'Università"tenutosi a Barletta nei giorni 5, 6 e 7 maggio 2005 - pag. 47-83.
F. Casolaro – R. Pisano: “Riflessioni sulla geometria nella Teoria della relatività”, Atti del XXVI Congresso Nazionale di“Storia della Fisica e dell'Astronomia” (SISFA 15-17 giugno 2006), tenutosi il giorno 15/05/2006 presso laFacoltà di Architettura “Valle Giulia” dell’Università di Roma “La Sapienza”. pag. 221-231.
F. Casolaro (con I. Aschieri, L. Iorio) "Dal finito all’infinito numerabile”. Pubblicato agli atti del Seminario MPI-Mathesis"Matematica senza numeri", tenutosi a Parma nei giorni 28, 29, 30 aprile 2007.
F. Casolaro: “L’evoluzione della Matematica attraverso quattro congetture fondamentali sull’osservazione del mondofisico”. Atti del 1° Convegno AIF: Calitri, Latina, Minturno, Napoli: “Qual è il ruolo culturale ed interdisciplinaredelle scienze fisiche e matematiche? Ipotesi e prospettive” - Aversa, 26 Maggio 2008 - pag. 71-83.
F. Casolaro - Pubblicazioni agli Atti del Progetto del M.P.I. del Dip. di Progettazione e Rilievo dell’Università “LaSapienza” di Roma (11-15 dicembre 1990; 6-10 maggio 1991; 8-12 dicembre 1991): “Disegno e Matematicaper una didattica finalizzata alle nuove tecnologie”.
