Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui - unirc.it · 2 Teorema di Bernoulli. 3 Teorema di Bernoulli g p v z 2 2 +++ ++++ γ Enunciato Nel moto permanente di un fluido: ideale

1111

Corso di Idraulica AgrariaCorso di Idraulica Agrariaed Impianti Irriguied Impianti Irrigui

Docente: Ing. Demetrio Antonio Docente: Ing. Demetrio Antonio ZemaZema

Anno Accademico 2011Anno Accademico 2011--20122012

Lezione n. 5: Idrodinamica (parte prima)Lezione n. 5: Idrodinamica (parte prima)

22

Teorema di Teorema di BernoulliBernoulli

3333

Teorema di Teorema di BernoulliBernoulli

g

vpz

2

2

++++++++γ

EnunciatoEnunciato

Nel Nel moto permanentemoto permanente di un di un fluido:fluido:

�� ideale (o perfetto)ideale (o perfetto) (privo cio(privo cio èè di di sforzi viscosisforzi viscosi ed ed agitazione turbolentaagitazione turbolenta , che determinano la dissipazione , che determinano la dissipazione delldell ’’energia meccanica)energia meccanica)�� pesante pesante (ossia sottoposto al campo gravitazionale)(ossia sottoposto al campo gravitazionale)�� incomprimibile incomprimibile (ossia avente (ossia avente ρρρρρρρρ = costante)= costante)

il trinomio (detto il trinomio (detto trinomio di trinomio di BernoulliBernoulli ))

si mantiene si mantiene costante costante lungo la traiettorialungo la traiettoria di una particelladi una particella

4444

Termini del trinomio di Termini del trinomio di BernoulliBernoulli

zz èè la la quota geodeticaquota geodetica

p/p/γγγγγγγγ èè ll ’’altezza piezometricaaltezza piezometrica

vv22/2g/2g èè ll ’’altezza cineticaaltezza cinetica

g

vpzH

2

2

++=γ èè ilil carico totale carico totale

5555

Interpretazione geometrica del teorema di Interpretazione geometrica del teorema di BernoulliBernoulli

z1 z

2

z3

p /1

γp /

2γ

p /3

γ

v /2g1

2

v /2g2

2

v /2g3

2

z=0

Linea dei carichi totaliH=cost

Piezometrica

Traiettoria

6666

LL’’energia potenziale,energia potenziale, posseduta dalla bottiglia e posseduta dalla bottiglia e associata al campo gravitazionale associata al campo gravitazionale ed ed allall ’’azione della azione della pressionepressione cui essa cui essa èè soggetta, soggetta, èè::

EEpp = P= P (z + p/(z + p/γγγγγγγγ) ) essendo:essendo:

P = mgP = mg

Interpretazione energetica del teorema di BernoulliInterpretazione energetica del teorema di Bernoulli

Energia di posizione Energia di posizione + +

energia di pressioneenergia di pressione

7777

2

2

1vmEC =

2

2

1vm

pzPEt +

+=

γ

LL’’energia cineticaenergia cinetica sarsar àà

LL’’energia meccanica complessivaenergia meccanica complessiva posseduta dalla massa posseduta dalla massa di fluido in moto permanente di fluido in moto permanente èè


8888

cost2

1 2 =+

+ vm

pzP

γ

cost2

2

=++g

vpz

γ

Se non vi sono Se non vi sono perdite di energiaperdite di energia (per attrito o per urto), (per attrito o per urto), questa rimane costante lungo la traiettoriaquesta rimane costante lungo la traiettoria

e, dividendo per il peso P, si ha:e, dividendo per il peso P, si ha:

Teorema di BernoulliTeorema di Bernoulli


9999

Il Il carico totalecarico totale zz ++ p/p/γγγγγγγγ ++ vv22/2g/2g rappresenta dunque rappresenta dunque ll ’’energia meccanica totale dellenergia meccanica totale dell ’’unitunit àà di peso di fluido in di peso di fluido in movimento movimento (energia specifica)(energia specifica)

I tre termini hanno le dimensioni di una I tre termini hanno le dimensioni di una lunghezzalunghezza : :

zz [L][L]

p/p/γγγγγγγγ [M L[M L --22 TT--22]] // [M L T[M L T --22 LL --33] = [L]] = [L]

vv22/2g/2g [L[L 22 TT--22]] // [L T[L T --22] = [L]] = [L]


10101010

Correnti lineariCorrenti lineari

Una corrente si dice Una corrente si dice lineare o gradualmente variatalineare o gradualmente variataquando i valori dei quando i valori dei raggi di curvaturaraggi di curvatura delle singole delle singole traiettorie sono traiettorie sono molto grandimolto grandi : in tal caso i : in tal caso i filetti fluidi filetti fluidi della corrente sono della corrente sono rettilinei e parallelirettilinei e paralleli

z0

p /0

γ

z=0

La La quota piezometricaquota piezometrica (z(z ++ p/p/γγγγγγγγ) rimane ) rimane costantecostante nella nella sezione trasversale della correntesezione trasversale della corrente ; pertanto in essa può ; pertanto in essa può ipotizzarsi una ipotizzarsi una distribuzione idrostatica della pressione distribuzione idrostatica della pressione

11111111

Teorema di Bernoulli per le correnti lineariTeorema di Bernoulli per le correnti lineari

cost2

2

=++g

vpz mα

γ

Si ipotizza che la Si ipotizza che la velocitvelocit àà della corrente abbia una della corrente abbia una distribuzione uniformedistribuzione uniforme nella sezione trasversale e nella sezione trasversale e pertanto un valore costante pari alla pertanto un valore costante pari alla velocitvelocit àà media vmedia v m m

nella sezione nella sezione ΣΣΣΣΣΣΣΣ, pari a, pari a Q/Q/ΣΣΣΣΣΣΣΣ

Pertanto il Pertanto il carico totalecarico totale assume la seguente espressione:assume la seguente espressione:

prende il nome di prende il nome di coefficiente di Corioliscoefficiente di Coriolis e tiene conto e tiene conto delldell ’’errore che si commette con tale sostituzioneerrore che si commette con tale sostituzione

I valori diI valori di αααααααα nella pratica sono dellnella pratica sono dell ’’ordine di ordine di 1.11.1, salvo , salvo casi particolari;casi particolari; se lse l ’’altezza cinetica altezza cinetica éé piccola, si può piccola, si può porre porre αααααααα == 11

12121212

Il moto in condotta dei liquidi perfetti: Il moto in condotta dei liquidi perfetti: applicazioni applicazioni -- tracciamento e discussione tracciamento e discussione

delle linee piezometriche e dei carichi totalidelle linee piezometriche e dei carichi totali

13131313

Condotta a diametro costante Condotta a diametro costante collegante due serbatoi collegante due serbatoi

Hh

p /1

γ

p /2

γ

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

PiezometricaA

z1

z2

1B

2

Per il Per il teorema di Bernoulli teorema di Bernoulli applicato ai punti 1 e 2 si avrapplicato ai punti 1 e 2 si avr àà::

g

vpz

g

vpzH

22

222

2

211

1 ++=++=γγ

14141414

Hh

p /1

γ

p /2

γ

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

PiezometricaA

z1

z2

1B

2

hpzHpzv =+=+= γγ 22111 ;;0


+−

+=γγ

22

11

22

2

pz

pz

g

vper cui:per cui:

15151515

( )hHgv −= 22

Σ= 2vQ


hHp

zp

z −=

+−

+

γγ2

21

1Ponendo:Ponendo:

per la per la velocitvelocit àà in condottain condotta vv22 si ha:si ha:

e, quindi, per la e, quindi, per la portata Q:portata Q:

Hh

p /1

γ

p /2

γ

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

PiezometricaA

z1

z2

1B

2

16161616

Hh

p /1

γ

p /2

γ

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

PiezometricaA

z1

z2

1B

2

La La linea dei carichi totalilinea dei carichi totali si traccia si traccia da monteda monte ed ed èè ll ’’orizzontale orizzontale passante per la passante per la superficie libera del serbatoio di montesuperficie libera del serbatoio di monte , a quota H = , a quota H = zz11 + p+ p11//γγγγγγγγ

Nella sezione di sbocco la Nella sezione di sbocco la quota piezometricaquota piezometrica èè rappresentata dalla rappresentata dalla superficie liberasuperficie libera del liquido presente nel serbatoiodel liquido presente nel serbatoio

PoichPoich éé la condotta la condotta èè a diametro costante, la portata e quindi a diametro costante, la portata e quindi ll ’’altezza cinetica sono pure costanti; pertanto la altezza cinetica sono pure costanti; pertanto la linea piezometricalinea piezometricaèè ll ’’orizzontaleorizzontale passante per la passante per la superficie libera del serbatoio di superficie libera del serbatoio di vallevalle , a quota h = z, a quota h = z 22 + p+ p22//γγγγγγγγ


17171717

( )hHgv −= 22

Σ= 2vQ

Per il Per il teorema di Bernoulli teorema di Bernoulli applicato tra i punti 1 e 2, applicato tra i punti 1 e 2, come nel caso di condotta a diametro costante, risu lta:come nel caso di condotta a diametro costante, risu lta:

Condotta a diametro variabile Condotta a diametro variabile collegante due serbatoi collegante due serbatoi

H

h

v /2g1

2

D1 D

2

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

PiezometricaA

1

B

2

18181818

22

221

1

4;

4

d

Qv

D

Qv

ππ==

PoichPoich éé la la portata Qportata Q èè costantecostante lungo la tubazione, lungo la tubazione, possiamo calcolare le possiamo calcolare le velocitvelocit àà media media della corrente della corrente vv11 eevv22 nei due tronchi:nei due tronchi:

e tracciare conseguentemente le e tracciare conseguentemente le linee piezometrichelinee piezometriche e e dei carichi totalidei carichi totali

Condotta a diametro variabile Condotta a diametro variabile collegante due serbatoi collegante due serbatoi

H

h

v /2g1

2

D1 D

2

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

PiezometricaA

1

B

2

19191919

Condotta a diametro variabile e in depressioneCondotta a diametro variabile e in depressione

Dal Dal teorema di Bernoulli teorema di Bernoulli si ha:si ha:

( )hHgv −= 22

Q = vQ = v22ΣΣΣΣΣΣΣΣ2 2 vv22ΣΣΣΣΣΣΣΣ2 2 = Q = v= Q = v11ΣΣΣΣΣΣΣΣ1 1 vv11= v= v22ΣΣΣΣΣΣΣΣ22//ΣΣΣΣΣΣΣΣ1 1

Hh

v/2

g1

2

d1 d

2

d2

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

Piezometrica

A

B

DallDall ’’equazione di continuitequazione di continuit àà si ha poi:si ha poi:

20202020

Nel tratto in cui la piezometrica Nel tratto in cui la piezometrica èè al di sotto dellal di sotto dell ’’asse asse della condotta il fluido della condotta il fluido èè inin depressionedepressione

In nessun punto però dovrIn nessun punto però dovr àà risultare: risultare:

m33,10p −<γ

Condotta a diametro variabile e in depressioneCondotta a diametro variabile e in depressione

Hh

v/2

g1

2

d1 d

2

d2

v /2g2

2

z=0

Carichi totali

Piezometrica

A

B

21212121

Condotta con sbocco in atmosferaCondotta con sbocco in atmosfera

( )szHgv −= 2

Dal teorema di Bernoulli si ha:Dal teorema di Bernoulli si ha:

da cui, moltiplicando per da cui, moltiplicando per ll ’’area della sezionearea della sezione della della tubazione tubazione ΣΣΣΣΣΣΣΣ, possiamo calcolare la , possiamo calcolare la portata Qportata Q

p/p/γγ

22222222

m33,10−<γp

Se invece da una certa sezione a monte dello sbocco si Se invece da una certa sezione a monte dello sbocco si trova: trova:

bisogna procedere diversamentebisogna procedere diversamente


In tutti i punti della condotta deve risultareIn tutti i punti della condotta deve risultare ::

m33,10p −>γ

p/p/γγ

2323

Sia Sia zz11 la quota del punto in cui la piezometrica si trova a la quota del punto in cui la piezometrica si trova a 10,33 m al di sotto dell10,33 m al di sotto dell ’’asse; asse; zz11--10,3310,33 m m èè la la quota quota piezometricapiezometrica in quel punto in quel punto


2424

( )33,102 += hgvi

Dal Dal teorema di Bernoulli teorema di Bernoulli applicato fra serbatoio ed applicato fra serbatoio ed imbocco imbocco ““ ii ”” ,, in questin quest ’’ultima sezione si avrultima sezione si avr àà::


Σ= ivQLa La portataportata èè quindi:quindi:

2525

is vv =

33,1022

22

++=+=+= hzg

vz

g

vzH s

is

sss

Allo Allo sbocco sbocco ““ ss”” la la velocitvelocit àà èè::

e il e il carico totalecarico totale èè::


Nella Nella sezione 1sezione 1 si ha una si ha una perdita di carico perdita di carico ∆∆HH == HH -- HHss pari a:pari a:

( ) 33,1033,10)( −−=++−+=−=∆ sisis zzhzhzHHH

26262626

La La linea piezometricalinea piezometrica , che, procedendo dallo , che, procedendo dallo sboccosbocco (a (a pressione atmosferica) verso monte, assume pressione atmosferica) verso monte, assume andamento andamento orizzontaleorizzontale , si mantiene , si mantiene parallela alla condottaparallela alla condotta a partire a partire dalla dalla sezionesezione 11, che si trova a , che si trova a 10,33 m10,33 m al di sotto al di sotto delldell ’’asse della condotta asse della condotta


27272727

Dal Dal serbatoioserbatoio si può tracciare la si può tracciare la linea dei carichi totali,linea dei carichi totali, che che èèorizzontaleorizzontale , salvo nella , salvo nella sezione 1sezione 1 , in cui, in cui si verifica la si verifica la perdita di perdita di carico carico ∆∆∆∆∆∆∆∆HH

Nel Nel tratto in depressionetratto in depressione le le altezze cinetichealtezze cinetiche aumentano aumentano progressivamente procedendo da valle verso monte; poichprogressivamente procedendo da valle verso monte; poich éé la la portataportata èè costantecostante , l, l ’’area della corrente diminuisce: la corrente si area della corrente diminuisce: la corrente si distacca dalla parete superiore del tubodistacca dalla parete superiore del tubo

In questo caso il moto si dice In questo caso il moto si dice ““ a canalettaa canaletta ””


28282828

Sifone Sifone

Tubazione che collega due serbatoi passando al di Tubazione che collega due serbatoi passando al di sopra del piano dei carichi totali di quello posto a quota sopra del piano dei carichi totali di quello posto a quota maggiore maggiore →→ per fare defluire lper fare defluire l ’’acqua in tali punti, acqua in tali punti, èènecessario creare una necessario creare una depressione nella condottadepressione nella condotta

z=0

p /C

γ

p /B

γ

v/2

gC

2 H

v/2

gB

2

Carichi totali

Piezometrica

zC

zB

A

C

B

29292929

Sifone Sifone

Se la Se la linea piezometrica,linea piezometrica, tracciata da valle, arriva a tracciata da valle, arriva a --10,33 m10,33 m dalla dalla tubazione, procedendo da tale punto verso monte, essa si manterrtubazione, procedendo da tale punto verso monte, essa si manterr ààparallela alla tubazioneparallela alla tubazione ; successivamente assumer; successivamente assumer àà andamento andamento orizzontale orizzontale

La La linea dei carichi totali, linea dei carichi totali, tracciata da monte, tracciata da monte, èè sempre sempre orizzontaleorizzontale , , salvo nella salvo nella sezione 1,sezione 1, in cui si verifica la in cui si verifica la perdita di caricoperdita di carico ∆∆∆∆∆∆∆∆HH

Nel tratto in depressione il Nel tratto in depressione il motomoto èè a canalettaa canaletta con con corrente acceleratacorrente accelerata

v/2

g2

∆H

∆H

v/2

g2

10,3

3

10,3

3

Carichi totali

Piezometrica

A

M

M'A

B

11

30303030

Sifone Sifone

Applicando il teorema di Bernoulli tra un Applicando il teorema di Bernoulli tra un punto A delpunto A delserbatoio di monte serbatoio di monte ed il ed il punto pipunto pi ùù elevato della tubazione elevato della tubazione MM, si ha:, si ha:

( )33,102 +−= MAM zzgv ΣvQ M=

v/2

g2

∆H

∆H

v/2

g2

10,3

3

10,3

3

Carichi totali

Piezometrica

A

M

M'A

B

11

31313131

Sifone Sifone

EE’’ spesso utile tracciare la spesso utile tracciare la linea dei carichi totali linea dei carichi totali e la e la piezometrica assolutepiezometrica assolute

Possono verificarsiPossono verificarsi 2 casi2 casi

Carichi totali

Carichi totali assoluti

M

p /a t m

γ

A B

32323232

Sifone Sifone

Non vi può essere nessuna particella liquida nel pu nto Non vi può essere nessuna particella liquida nel pu nto M, quindi M, quindi non si può verificare il motonon si può verificare il moto

Carichi totali


M

p /a t m

γ

A B

Caso A: Caso A: punto pipunto pi ùù alto del sifone alto del sifone (M)(M) a quota superiore a quota superiore alla linea dei carichi totali assolutaalla linea dei carichi totali assoluta

33333333

Sifone Sifone

In tal caso In tal caso si può verificare il moto del fluidosi può verificare il moto del fluido

Caso B: Caso B: punto pipunto pi ùù alto del sifone alto del sifone (M)(M) a quota inferiore a quota inferiore alla linea dei carichi totali assolutaalla linea dei carichi totali assoluta

v/2

g2

v/2

g2

10,3

3

10,3

3


Carichi totali

Piezometrica

Piezometricaassoluta M

p /a t m

γ

M'

A B

34343434

Il moto in condotta dei liquidi realiIl moto in condotta dei liquidi reali

35353535

Regimi di motoRegimi di moto

Nel moto di un Nel moto di un fluido realefluido reale , rispetto ad un fluido ideale, , rispetto ad un fluido ideale, intervengono due intervengono due azioni interneazioni interne ::

�� viscositviscosit àà ddàà luogo ad luogo ad azioni tangenzialiazioni tangenzialitra le particelle di fluido e tra esse e la tubazio ne (tra le particelle di fluido e tra esse e la tubazio ne (azione azione di trascinamentodi trascinamento --resistenza del condottoresistenza del condotto ))

�� agitazione turbolentaagitazione turbolenta ddàà luogo ad luogo ad urti urti ed a scambio di quantited a scambio di quantit àà di moto di moto tra le particelletra le particelle

Entrambe tali azioni provocano una Entrambe tali azioni provocano una dissipazione o perdita di energia dissipazione o perdita di energia meccanicameccanica

36363636


Distribuzione di velocitDistribuzione di velocit àà in una sezione di una correntein una sezione di una correntecilindrica in moto uniformecilindrica in moto uniforme

LL’’azione frenante esercitata dalle corone di fluido p iazione frenante esercitata dalle corone di fluido p iùùesterne rispetto a quelle piesterne rispetto a quelle pi ùù interne, ma soprattutto interne, ma soprattutto quelle sull'involucro esterno vincolato, producono quelle sull'involucro esterno vincolato, producono dissipazione di energiadissipazione di energia

37373737


µρ Dv

=Re

La distinzione tra regime laminare e turbolento La distinzione tra regime laminare e turbolento èè nello nello scambio di quantitscambio di quantit àà di moto di moto fra gli elementi fluidi animati fra gli elementi fluidi animati da differenti velocitda differenti velocit àà

Il Il comportamento dei fluidi comportamento dei fluidi in questi regimi può essere in questi regimi può essere visualizzato attraverso il visualizzato attraverso il numero di Reynoldsnumero di Reynolds ::

[[ --]]

essendo essendo vv la la velocitvelocit àà del fluidodel fluido , , ρρρρρρρρ e e µµ le sue le sue densitdensit àà e e viscositviscosit àà dinamicadinamica , mentre D , mentre D èè il il diametro della diametro della tubazionetubazione

38383838


Reynolds mostrò che, introducendo un Reynolds mostrò che, introducendo un filetto fluido filetto fluido coloratocolorato in una tubazione con acqua in moto, fino a una in una tubazione con acqua in moto, fino a una certa certa velocitvelocit àà VV11 il filetto si mantiene il filetto si mantiene rettilineorettilineo , mentre, , mentre, per per velocitvelocit àà VV2 2 > V> V11, esso , esso si disperde si disperde nella massa fluidanella massa fluida

39393939


Il moto di un fluido si può svolgere in presenza de lle Il moto di un fluido si può svolgere in presenza de lle sole azioni viscosesole azioni viscose : in tal caso si parla di : in tal caso si parla di moto in moto in regime laminare regime laminare (o (o moto laminaremoto laminare ))

Quando Quando èè presente lpresente l ’’agitazione turbolenta agitazione turbolenta si parla di si parla di moto in regime turbolento moto in regime turbolento (o (o moto turbolentomoto turbolento ))

EE’’ possibile distinguere un possibile distinguere un moto turbolento di moto turbolento di transizionetransizione ed un ed un moto assolutamente turbolentomoto assolutamente turbolento , in , in funzione della funzione della stabilitstabilit àà dei fenomeni di agitazione dei fenomeni di agitazione turbolentaturbolenta

Nel Nel moto turbolentomoto turbolento possono coesistere possono coesistere le azioni le azioni viscose e lviscose e l ’’agitazione turbolentaagitazione turbolenta : in generale : in generale questquest ’’ultima prevale sulle azioni viscoseultima prevale sulle azioni viscose

40404040


Il Il numero di Reynolds numero di Reynolds può considerarsi un può considerarsi un indice del indice del grado di turbolenzagrado di turbolenza : quanto maggiore : quanto maggiore èè il suo valore, il suo valore, tanto pitanto pi ùù elevato elevato èè il grado di turbolenza della corrente il grado di turbolenza della corrente fluidafluida

Sperimentalmente si Sperimentalmente si èè trovato che per un valore del trovato che per un valore del numero di Reynolds numero di Reynolds pari a circa pari a circa 20002000 (detto (detto valore valore criticocritico ) si ha il ) si ha il primo insorgere della turbolenzaprimo insorgere della turbolenza

41414141

Perdite di carico distribuite (o continue)Perdite di carico distribuite (o continue)

In una condotta tra due serbatoi In una condotta tra due serbatoi èè convogliata una convogliata una portata fluida; una portata fluida; una batteria di piezometri batteria di piezometri consente il consente il rilievo della linea piezometrica e della linea dei carichi rilievo della linea piezometrica e della linea dei carichi totalitotali

fluido perfetto o idealefluido perfetto o ideale

42424242

I piezometri evidenziano menischi disposti a quote che I piezometri evidenziano menischi disposti a quote che progressivamente diminuiscono nel senso del moto; c iò progressivamente diminuiscono nel senso del moto; c iò implica un simile andamento della linea dei carichi implica un simile andamento della linea dei carichi totali, conseguente alle totali, conseguente alle dissipazioni energetiche dissipazioni energetiche che che inevitabilmente intervengono nel fenomenoinevitabilmente intervengono nel fenomeno

fluido realefluido reale

Perdite di carico distribuite Perdite di carico distribuite

43434343

CadenteCadente

Se esiste una Se esiste una forza tangenziale o forza tangenziale o azione di azione di trascinamento trascinamento (ossia un(ossia un ’’azione esercitata dal liquido azione esercitata dal liquido sulla superficie del condotto),sulla superficie del condotto), si origina una si origina una differenza differenza dH tra le quote piezometrichedH tra le quote piezometriche

)g2

vpz()

g2

vpz(dH

222

2

211

1 α+γ

+−α+γ

+=

44444444

Il Il carico totale carico totale (e quindi l(e quindi l ’’energia per unitenergia per unit àà di peso) di peso) perduto per unitperduto per unit àà di percorso di percorso (o (o perdita unitariaperdita unitaria ) ) èè::

ds

dHJ = cadente [cadente [ --]]

CadenteCadente

La cadente quindi rappresenta la La cadente quindi rappresenta la perdita distribuita (o perdita distribuita (o continua) di caricocontinua) di carico

45454545

Nel caso di Nel caso di moto uniforme (vmoto uniforme (v 11 = v= v22):):

dhp

zp

zdH 22

11 =

+−

+=γγ

ds

dh

ds

dHJ == cadente piezometricacadente piezometrica

Cadente piezometricaCadente piezometrica

46464646

Perdite di carico concentrate (o localizzate)Perdite di carico concentrate (o localizzate)

Se la condotta non conserva le sue caratteristiche di Se la condotta non conserva le sue caratteristiche di uniformituniformit àà (es. variazione brusca della sezione o della (es. variazione brusca della sezione o della direzione del suo asse), si originano delle direzione del suo asse), si originano delle ““ sacchesacche ”” di di liquido che non partecipano al moto di trasporto, i n cui liquido che non partecipano al moto di trasporto, i n cui si accentua la turbolenza si accentua la turbolenza →→ tutta l'energia viene tutta l'energia viene dissipata dal moto di agitazione turbolentadissipata dal moto di agitazione turbolenta

47474747

g

v

g

vJL

g

v

g

vHzz CCBA 2222

2222

Σ++=Σ++∆=−

g

vC 2

2

Σ somma delle perdite di carico concentratesomma delle perdite di carico concentrate

Applicazione: Applicazione: condotta a diametro costante condotta a diametro costante che collega due serbatoi di quota zche collega due serbatoi di quota z AA e ze zBB

48484848

Si può porre: Si può porre:

( )g

vkLvJzz BA 2

2

+=−

risolvendo lrisolvendo l ’’equazione del motoequazione del moto rispetto alla sola rispetto alla sola incognita incognita vv

Applicazione: Applicazione: condotta a diametro costante condotta a diametro costante che collega due serbatoi di quota zche collega due serbatoi di quota z AA e ze zBB

49494949

Formule pratiche di moto uniformeFormule pratiche di moto uniforme

Formula di DarcyFormula di Darcy --Weisbach Weisbach

gD

vfJ

2

2

=

ff == indice di resistenza indice di resistenza [[ --]]((usualmente compreso usualmente compreso tra 0,01 e 0,1tra 0,01 e 0,1 ))

5050

Moto laminareMoto laminare

Per il Per il moto laminaremoto laminare e per e per sezione circolaresezione circolare vale la vale la formula di Hagen e Poiseuilleformula di Hagen e Poiseuille ::

2

32

D

vJ

γµ

=

2

2 32

2 D

v

Dg

vf

γµ

=Dv

fρ

µ64=

Dal confronto con la Dal confronto con la formula di Darcyformula di Darcy --WeisbachWeisbachrisulta:risulta:

µρ Dv

=Re

Ricordando lRicordando l ’’espressione del espressione del numero di Reynolds Renumero di Reynolds Re ::

51515151

Pertanto si ha:Pertanto si ha:

ƒƒƒƒƒƒƒƒ = 64/Re log = 64/Re log ƒƒƒƒƒƒƒƒ = log 64 = log 64 –– log Re log Re

0.01

0.1

100 1000 10000Re

f

Il Il moto laminaremoto laminare èè stabilestabile per per ReRe == 800800÷÷÷÷÷÷÷÷20002000

Moto laminareMoto laminare

5252

0.01

0.1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08Re

f

D2

D3

D1<D2<D3

D1

Formula di PrandtlFormula di Prandtl2

715,3

1log2

1

−

=

D

fε

dove dove DD èè il il diametro della tubazionediametro della tubazione ed ed εεεεεεεε una variabile una variabile che ne caratterizza la che ne caratterizza la scabrezzascabrezza

Moto assolutamente turbolentoMoto assolutamente turbolento

Il Il moto assolutamente turbolentomoto assolutamente turbolento èè caratterizzato da caratterizzato da numeri di Reynolds numeri di Reynolds molto elevati, dellmolto elevati, dell ’’ordine di ordine di 101055 o 10o 1066

εεεεεεεε/D/D

5353

Moto turbolento in tubi lisciMoto turbolento in tubi lisci(di materiale plastico)(di materiale plastico)

Formula di Formula di BlasiusBlasius

0.01

0.1

1.E+02 1.E+03 1.E+04 1.E+05 1.E+06 1.E+07 1.E+08Re

f ε/D=0,05

ε/D=0,01

ε/D=0,001

25,0316,0 −= Ref

Formula di Formula di Von KVon K ààrmanrman

−=

ff Re

51,2log2

1

5454

Moto turbolento di transizioneMoto turbolento di transizione

Regime intermedio tra quello Regime intermedio tra quello puramente turbolentopuramente turbolento e e quello quello turbolento in tubi lisciturbolento in tubi lisci

Formula di Formula di Colebrook e White Colebrook e White

+−=

Dff 715,3Re

51,2log03,2

1 ε

55555555

Abaco di MoodyAbaco di Moody

Completa rappresentazione delle diverse leggi di mo toCompleta rappresentazione delle diverse leggi di mo to

0.01

0.1

1.E + 02 1.E + 03 1.E + 04 1.E + 05 1.E + 06 1.E + 07 1.E + 08Re

f

Mo to la m ina reMo to Tu rb o le n to

d i tra ns izione

Moto asso lu tamen teT urbo len to

Tu bo lis cio

εεεεεεεε/D/D

56565656

5

2

D

QJ β=

D

000042,000164,0 +=β

Per le Per le condotte metalliche degli acquedotticondotte metalliche degli acquedotti (175 mm < (175 mm < D D < < 400 mm)400 mm) valgono le fvalgono le f ormule seguenti:ormule seguenti:

Formula di Darcy Formula di Darcy


con:con:

�� J = [m/m] J = [m/m] �� Q = [mQ = [m 33/s] /s] �� D = [m]D = [m]

57575757

80.4

81.1810237.9

D

QJ ⋅=

Per Per condotte in PVC e polietilenecondotte in PVC e polietilene ::

Formula di De MarchiFormula di De Marchi --MarchettiMarchetti


con:con:

�� J = [m/km] J = [m/km] �� Q = [dmQ = [dm 33/s] /s] �� D = [mm]D = [mm]

58585858

87.410 1

1021.1

852.1

DCW

QJ

⋅=

Per Per condotte in PVC e polietilenecondotte in PVC e polietilene ::

Formula di WilliamFormula di William --HazenHazen


con:con:

�� J = [m/m] J = [m/m] �� Q = [dmQ = [dm 33/s] /s] �� D = [mm]D = [mm]�� CW = 150 (per tubi nuovi; 130 (per tubi usati)CW = 150 (per tubi nuovi; 130 (per tubi usati)

59595959

Si definisce Si definisce raggio idraulico raggio idraulico della generica sezione il della generica sezione il rapporto:rapporto:

C

AR =

dove: dove:

R = raggio idraulicoR = raggio idraulicoA = area della sezioneA = area della sezioneC =C = contorno bagnatocontorno bagnato

Formule per il moto turbolentoFormule per il moto turbolento

6060


Formula di ChezyFormula di Chezy JRCv =

Sono molto utilizzate le cosiddette Sono molto utilizzate le cosiddette formule praticheformule pratiche , che , che si possono pensare derivare dalla:si possono pensare derivare dalla:

CC èè un un coefficiente di coefficiente di velocitvelocit àà

γγγγγγγγ, , m, k e n m, k e n sonosono indici indici di scabrezza di scabrezza (tabellati (tabellati nei manuali in funzione nei manuali in funzione della della tipologia del tipologia del materialemateriale ))

6161


2132 JRkv i=

Pertanto si ha: Pertanto si ha:

Formula di GaucklerFormula di Gauckler --StricklerStrickler

Formula di Formula di Manning Manning 21321JR

nv i=

kk ha dimensioni ha dimensioni [L[L 1/31/3 TT--11]]

n n ha dimensioni ha dimensioni [L[L --1/3 1/3 T]T]


6262

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Corso di Idraulica Agraria ed Impianti Irrigui - unirc.it · 2 Teorema di Bernoulli. 3 Teorema di Bernoulli g p v z 2 2 +++ ++++ γ Enunciato Nel moto permanente di un fluido: ideale