Corso!di!Laurea!! UNIVERSITÀ DEGLI … · 2017-10-26 · Il dislivello tra il serbatoio di alimentazione e la quota geodetica della sezione di sbocco è pari a 100 m, mentre la condotta

Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 31/03/2014 – 08/04/2014

Corso di Laurea Ingegneria Civile e Ambientale

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ENNA “KORE” FACOLTÀ DI INGEGNERIA E ARCHITETTURA

Colpo d’ariete e cassa d’aria Esercitazioni

INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE COMPLEMENTI DI IDRAULICA AMBIENTALE

COLPO D’ARIETE

10 marzo 2014 3 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa

Nel caso in cui si chiuda istantaneamente l’otturatore, per l’inerzia della massa fluida e per l’elasticità del liquido e della condotta, non si arresta subito tutta la colonna liquida (il moto vario non è di tipo anelastico), ma essa è soggetta a rapidissime oscillazioni di tipo elastico. La colonna liquida si comprime e si accorcia, si dilata e si allunga. L’onda di pressione suscitatasi alla chiusura dell’otturatore migra lungo la colonna liquida riflettendosi all’imbocco, dove la pressione è sempre quella dovuta alla posizione del pelo libero nel serbatoio, cambiando di segno all’otturatore nell’ulteriore ipotesi che ivi non si possa avere cavitazione.


COLPO D’ARIETE


Lo studio dei fenomeni di moto vario elastico, caratterizzati da variazioni forti e rapide (o addirittura istantanee) della velocità e della pressione, rende necessario tenere conto, durante il transitorio, dell’influenza che esercitano

la comprimibilità del liquido e la deformabilità elastica della condotta

Equazione del moto

Equazione di continuità

La densità del liquido e l’area della sezione dipendono da s e da t per tramite della pressione.

∂h∂s +

V g ∂V∂s +

1g ∂V∂t +

λD

V׀V׀2g = 0

V ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂s + ρ A

∂V∂s +

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂t = 0

∂(ρA)∂t +

∂(ρQ)∂s = 0

La velocità V e la pressione P sono funzione dell’ascissa s e del tempo t. Dovendosi considerare il liquido comprimibile e la condotta deformabile è necessario definirne i comportamenti elastici, ossia le relazioni ρ(P) e A(P), che rappresentano le leggi di variabilità della densità del liquido e della sezione trasversale della condotta.


COLPO D’ARIETE


dW = − Wε

dp

Per il principio di conservazione della massa si ha che M=cost …… dM=0 ….. M=ρW ……. d(ρW)=0 ρdW+Wdρ=0 dW = −

Wρ

dρ dρρ

= dp ε

dρdp =

ρε

Modulo di elasticità a compressione cubica

Se il fluido è comprimibile ad un incremento di pressione dP corrisponderà una diminuzione di volume dW data da:

Comprimibilità del liquido

Equazione del moto


∂h∂s +

V g ∂V∂s +

1g ∂V∂t +

λD

V׀V׀2g = 0

V ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂s + ρ A

∂V∂s +

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂t = 0


COLPO D’ARIETE


Limitandosi al caso di condotta circolare di spessore e molto piccolo rispetto ad diametro D (tubo sottile):

Deformabilità della condotta

Formula di Mariotte

σ = p D2 e dσ =

dp D2 e

Deformazioni in campo elastico (legge di Hooke): dDD =

dσE =

dp D2 e E

Modulo di elasticità lineare della condotta A ∩ D2 dA

A = 2 dDD dA

dp = A De E

Equazione del moto


∂h∂s +

V g ∂V∂s +

1g ∂V∂t +

λD

V׀V׀2g = 0

V ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂s + ρ A

∂V∂s +

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂t = 0


COLPO D’ARIETE


V ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ A De E + A

ρε ∂p∂s + ρ A

∂V∂s + ⎝⎜

⎛⎠⎟⎞

ρ A De E + A

ρε ∂p∂t = 0

Equazione del moto


∂h∂s +

V g ∂V∂s +

1g ∂V∂t +

λD

V׀V׀2g = 0

V ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂s + ρ A

∂V∂s +

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p

∂p∂t = 0

ρ∂A∂p + A

∂ρ∂p = ρ

A De E + A

ρε

a =

ερ

1+εDe E

∂h∂t =

1 γ ∂P∂t

∂h∂s =

1 γ ∂P∂s +

∂z∂s

γΑa2

∂h∂t

γΑa2

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞∂h

∂s + sen(β)

V∂h∂s +

a2

g ∂V∂s +

∂h∂t + V sen(β) = 0


COLPO D’ARIETE


Equazione del moto


∂h∂s +

V g ∂V∂s +

1g ∂V∂t +

λD

V׀V׀2g = 0

V∂h∂s +

a2

g ∂V∂s +

∂h∂t + V sen(β) = 0

Il sistema può essere risolto alle differenze finite per determinare le incognite V(s,t) e h(s,t).

Generalmente si preferisce operare su un altro sistema di equazioni ad esso equivalente che sfrutta le proprietà di alcune curve nel piano cartesiano delle variabili s e t, dette curve caratteristiche

Moltiplicando l’equazione del moto per a e sommando membro a membro

∂h∂t + (V+a)

∂h∂s +

ag ∂V∂t + (V+a)

∂V∂s + V sen(β) + a J = 0

Assumendo che il termine (V + a) sia uguale alla derivata di s rispetto a t

dhdt +

ag

dVdt + V sen(β) + a J = 0


COLPO D’ARIETE


Il problema del moto vario è stato ricondotto alla soluzione delle due equazioni differenziali ordinarie:

dhdt ±

ag

dVdt + V sen(β) ± a J = 0

Che risultano valide per valori si s e di t legati dalle condizioni:

dsdt = V ± c Curve caratteristiche

Equazioni di compatibilità

Condizioni iniziali e condizioni al contorno


COLPO D’ARIETE


In termini di differenziali totali:

ht+1i

= h ti-1

+ h ti+1

2 - a2g( )V t

i+1 - V t

i-1 - V ti-1

+ V ti-1

2 sen(β) ∆t - a2 ( )J t

i-1 - J t

i+1 ∆t

V t+1i

= - g

2a ( )h ti+1

+ h ti-1

+ V ti-1

+ V ti+1

2 - g

2a( )V ti-1

- V ti+1

sen(β) ∆t - g2 ( )J t

i-1 - J t

i+1 ∆t

Generico nodo interno:

Nodo di monte (serbatoio):

V t+11

= ga ( )ht+1

1 - ht

2 + Vt

2 +

ga( )Vt

2 sen(β) - a J t

2 ∆t

ht+11

= h01

dh ± ag dV + V sen(β) dt ± a J dt = 0

h t+1

i – h

ti-1

+ ag(V

t+1i

– V t

i-1) + (V

ti-1

sen(β) + a J ti-1

) ∆t = 0

h t+1

i – h

ti+1

– ag(V

t+1i

– V t

i+1) + (V

ti+1

sen(β) – a J ti+1

) ∆t = 0


COLPO D’ARIETE


Nodo di valle (otturatore):

t > Tc

V t+1N+1

= 0

h t+1N+1

= h tN

+ ag V

tN

- V tN

sen(β) ∆t - a J tN

t < Tc (nel caso di manovra di chiusura non istantanea)

V t+1N+1

V 0N+1

= At+1

ott (ht+1

ott - z)

A 0ott

(h 0ott

- z)

η = Tc-tTc =

At+1ott

A 0ott

12g C2

c η(t)2 V

t+1N+1

V t+1

N+1 +

ag V

t+1 --

agV

tN

- h tN

+ V tN

sen(β) ∆t + a J tN

∆t = 0

h t+1N+1

= 1

2g C2c η(t)2

V t+1

N+1V

t+1N+1

h t+1

i – h

ti-1

+ ag(V

t+1i

– V t

i-1) + (V

ti-1

sen(β) + a J ti-1

) ∆t = 0

h t+1

i – h

ti+1

– ag(V

t+1i

– V t

i+1) + (V

ti+1

sen(β) – a J ti+1

) ∆t = 0

Vt+1

N+1 = μ

Σt+1

A 2g ⎝⎛

⎠⎞h

t+1

N+1 − h

v

Quota piezometrica nel baricentro della sezione contratta

Schematizzando l’ugello come una luce a battente di area variabile si può esprimere la portata defluente, istante per istante, nella forma valida in condizioni di moto permanente ottenendo un vincolo tra velocità e carico piezometrico.

V

t+1N+1

V

0N+1

= η h t+1

N+1– hv

h 0N+1

– hv


COLPO D’ARIETE

31 marzo 2014 12 Moto vario nelle condotte in pressione – Colpo d’ariete

Considereremo una condotta semplice alimentata da un serbatoio a quota piezometrica costante. Immediatamente prima dello sbocco è inserita una valvola di regolazione della portata. Il dislivello tra il serbatoio di alimentazione e quello di valle è pari a 100 m, mentre la condotta da diametro D=0.6 m, lunghezza L=15000 m, spessore s=0.004m, scabrezza assoluta ε=0.002 m, modulo di elasticità E=2 1011 N/m2.

Manovra di chiusura totale istantanea della valvola Tc = 0. All’istante iniziale la quota piezometrica raggiunge il valore 155.5, di poco superiore al termine cV0/g = 153 m. Nel successivo intervallo si ha una crescita lineare della quota piezometrica, che raggiunge il valore di 243 m. Successivamente la quota piezometrica subisce una repentina riduzione, raggiungendo il valore di 64.7 m (si determina una depressione d i va lo re p ros s imo a que l lo de l l a sovrapressione), continuando poi a scendere nel successivo intervallo fino a raggiungere il valore -0.08 m. Il fenomeno poi continua a svilupparsi in modo oscillatorio, con uno smorzamento dovuto alle perdite di carico


COLPO D’ARIETE


Considereremo una condotta semplice alimentata da un serbatoio a quota piezometrica costante. Immediatamente prima dello sbocco è inserita una valvola di regolazione della portata. Il dislivello tra il serbatoio di alimentazione e la quota geodetica della sezione di sbocco è pari a 100 m, mentre la condotta da diametro D=0.6 m, lunghezza L=15000 m, spessore s=0.004m, scabrezza assoluta ε=0.002 m, modulo di elasticità E=2 1011 N/m2.

Manovra di chiusura totale lenta della valvola Tc = 5 L/c.

La massima quota piezometrica viene raggiunta al termine della manovra di chiusura e la massima sovrapressione risulta inferiore a quella verificatasi nella manovra istantanea. La sovrapressione di colpo d’ariete fornita dalla formula di Allievi-Michaud risulta pari a ∆h = 2L/gTV0 = 31 m, cui corrispondono valori massimi della quota piezometrica di 131, alquanto diversi da quelli ottenuti con il metodo delle caratteristiche.


COLPO D’ARIETE



COLPO D’ARIETE



COLPO D’ARIETE



CASSA D’ARIA


Lg

dVdt – Δ +

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞λ L

2 g D + β V |V| = 0

Dislivello piezometrico tra la sezione iniziale della condotta di mandata

all’attacco della cassa d’aria e quella allo sbocco nel serbatoio di valle

Perdite di carico indotte dalla presenza di una strozzatura nel

tratto di collegamento tra la cassa d’aria e la condotta

dWdt = V A

W = Ws ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Ys

Ys + Δ1/n

Equazione di continuità (la variazione nell’unità di tempo del volume d’aria contenuto nella cassa

d’aria è pari al volume che attraversa una qualunque sezione della condotta nell’unità di tempo)

Altezza piezometrica assoluta alla base della cassa al termine

del transitorio quando si raggiunge la condizione

idrostatica.

Volume d’aria in condizioni

idrostatiche

Equazione di stato (trascurando la differenza di pressione tra l’aria

contenuta nella cassa e l’acqua alla base della stessa)

Equazione differenziale del moto


CASSA D’ARIA


A parità di volume della cassa d’aria e di massima depressione in condotta, l’inserimento di una strozzatura determina una riduzione della massima sovrapressione, mentre per fissata sovrapressione massima la presenza di una

strozzatura permette di ridurre il volume della cassa d’aria

Nel caso in cui la cassa d’aria sia munita di strozzatura nel tronchetto di collegamento con la condotta, dovrà distinguersi tra la pressione all’interno della cassa d’aria e quella in condotta (la differenza tra i due valori è pari alla perdita di carico localizzata indotta dalla strozzatura che interviene soltanto in sede di moto vario). Le perdite di carico hanno un effetto positivo sul fenomeno di smorzamento delle oscillazioni di massa, ragion per cui viene inserire la strozzatura. All’istante t = 0 l’intera portata Q0 defluisce dalla cassa d’aria attraverso la strozzatura e la perdita di carico nella strozzatura vale βQ0

2 . Il livello nella cassa d’aria non ha ancora mutato la sua posizione ∆0 mentre il carico in condotta (immediatamente a valle della strozzatura) assume il valore ∆0 – βQ0

2. Se la strozzatura è piccola può risultare ∆0 – βQ02 < –∆ min

In questo caso la galleria è sottoposta ad una depressione inferiore in modulo a quella corrispondente al minimo livello registrabile nella cassa d’aria. Affinché l’altezza piezometrica nella sezione della condotta collegata con la cassa d’aria non risulti inferiore a quello che si sarebbe avuto in assenza di strozzatura (nel qual caso la strozzatura non avrebbe un effetto positivo ma negativo sul sistema dovrà essere:

Λ0 ≤ Δ0 + |Δmin|

La STROZZATURA OTTIMA determina il più veloce smorzamento del fenomeno compatibile con il mantenimento della stessa depressione massima

(in valore assoluto) che si sarebbe raggiunta, in condotta, in assenza di strozzatura


CASSA D’ARIA


Lg

dVdt – Δ +

⎝⎜⎛

⎠⎟⎞λ L

2 g D + β V |V| = 0

dWdt = V A

W = Ws ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Ys

Ys + Δ1/n

Discretizzazione esplicita alle differenze finite

Wr − Wr −1

Δt = Vr −1 A

Wr = Ws ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Ys

Ys + Δr

1/n

Lg

Vr − Vr −1

Δt – Δr + λD

Vr − 1 |V r − 1|2g L = 0

Condizioni iniziali

Δ0 = J0 L

W0 = Ws ⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Ys

Ys + Δ0

1/n


CASSA D’ARIA - Progetto

20 Moto vario nelle condotte in pressione -‐ Oscillazioni di massa

Ai fini del dimensionamento della cassa d’aria a valle di un impianto di sollevamento si procede fissando il massimo salto di pressione ammissibile tra la fase di esercizio e la minima pressione registrabile durante il moto vario, in altri termini si fissa ∆min. Il massimo salto di pressione ammissibile si assume generalmente pari al 50% della pressione nominale della condotta, che per l’acciaio è pari a 20 atm. Nell’applicare tale criterio di dimensionamento della cassa d’aria bisogna tuttavia rispettare opportuni limiti riguardanti la minima pressione tollerabile in condotta, la quale è opportuno che non scenda mai al di sotto di 1 atm. Il più restrittivo tra i due criteri permette di definire ∆min.

D= 0.3 m; l = 1000 m; ε = 0.001; Hs = 25 + 10.33 m Q = 0.10 m3/s λ = 0.027; J = 0.0092; Δ0 = J⋅ l = 9.16 m; h0 = Δ0/Hs = 0.259 Pmin = 1 atm |zmin| = 1 − ΔP/(γ Ηs) = 0.43

σ = 0.4 σ = AL

YsWs V02

2g

0.764 Wmax = Ws⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Hs

(Hs −|zmin|)

11.41 = 2.04 m3

0.510

Strozzatura ottima


CASSA D’ARIA - Progetto


Ai fini del dimensionamento della cassa d’aria a valle di un impianto di sollevamento si procede fissando il massimo salto di pressione ammissibile tra la fase di esercizio e la minima pressione registrabile durante il moto vario, in altri termini si fissa ∆min. Il massimo salto di pressione ammissibile si assume generalmente pari al 50% della pressione nominale della condotta, che per l’acciaio è pari a 20 atm. Nell’applicare tale criterio di dimensionamento della cassa d’aria bisogna tuttavia rispettare opportuni limiti riguardanti la minima pressione tollerabile in condotta, la quale è opportuno che non scenda mai al di sotto di 1 atm. Il più restrittivo tra i due criteri permette di definire ∆min.

D= 0.3 m; l = 1000 m; ε = 0.001; Hs = 25 + 10.33 m Q = 0.10 m3/s λ = 0.027; J = 0.0092; Δ0 = J⋅ l = 9.16 m; h0 = Δ0/Hs = 0.259 Pmin = 1 atm |zmin| = 1 − ΔP/(γ Ηs) = 0.43 σ = 0.25 σ =

ALYsWs

V02

2g

1.422 Wmax = Ws⎝⎜⎛

⎠⎟⎞Hs

(Hs −|zmin|)

11.41 = 2.04 m3

0.95

Senza strozzatura


CASSA D’ARIA - Verifica


Senza strozzatura W = 1.42 m3 Strozzatura ottima W = 0.76 m3




Senza strozzatura W = 1.42 m3 Strozzatura ottima W = 0.76 m3 Variazione temporale del dislivello piezometrico tra la cassa d’aria e il serbatoio di valle.






10 marzo 2014



10 marzo 2014



10 marzo 2014

Complementi di Idraulica Ambientale Prof. Mauro De Marchis 26/03/2014

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