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COSA E' L'ELETTROTECNICA?E' la tecnica dell'energia elettrica, cioè le possibili
applicazioni degli effetti prodotti dalle cariche, ferme o in movimento.
COSA E' UN CAMPO?E' una distribuzione spaziale di una quantità
che può essere o non essere funzione del tempoL'ELETTROMAGNETISMO E' ALLA BASE DI UNA GRANDE QUANTITA' DI FENOMENI FISICI
• conversione elettromeccanica dell'energia• comunicazione in fibra ottica• dispositivi a micro-onde• ricezione televisiva• comunicazione via satellite• radar• oscilloscopi• etc…
IPOTESI SU CUI SI BASA LA TEORIA DEI CIRCUITI
Quando la sorgente è di frequenza tanto bassa che le dimensioni della rete conduttrice sono molto più piccole della lunghezza d'onda, si ha una situazione "QUASI STATICA", semplifica il problema elettromagnetico in un problema circuitale.
LA TEORIA DEI CIRCUITI RIGUARDA ISISTEMI A PARAMETRI CONCENTRATI
•Grandezze fondamentali: Tensioni e Correnti•Matematica: Equazioni Algebriche o Differenziale Ordinarie
ESEMPI
1) CIRCUITO AUDIO•frequenza più alta ~25 kHz•corrispondente λ = 12 km (c/f )SUPERIORE DI GRAN LUNGA ALLE DIMENSIONI DI UN CIRCUITO DEL GENERE
2) CIRCUITO DI UN CALCOLATORE• f può essere 500 MHz• corrispondente λ = 0,6 mIL MODELLO A PARAMETRI CONCENTRATI PUO'NON ESSERE SUFFICIENTEMENTE ACCURATO
3) CIRCUITO A MICRO ONDE• λλλλ varia tra 10 cm e 1 mmLE LEGGI DI KIRCHHOFF NON VALGONO
COSTRUZIONE DI UNA TEORIA•Definire le quantità base•Specificare le regole di operazione (cioè la MATEMATICA)•Postulare le relazioni fondamentali
TEORIA DEI CIRCUITI• Modello basato su sorgenti ideali, resistenze, induttanze,
capacità, …, PURE.• Quantità basilari: TENSIONI, CORRENTI, R, L, C, …• Regole Operative: Algebra, Equazioni Differenziali Ordinarie,
Trasformate di Laplace• Postulati Fondamentali: LEGGI DI KIRCHHOFF
TEORIA DEI CAMPI• Quantità basilari: SORGENTI, CAMPI
(La sorgente di un campo elettromagnetico è invariabilmente una carica elettrica, a riposo o in moto)
• Regole Operative: Calcolo Vettoriale• Postulati Fondamentali: EQUAZIONI DI MAXWELL
CARICA ELETTRICA (q , Q)
•E' una proprietà fondamentale della materia•Esiste solo sotto forma di multipli positivi e negativi dell'elettrone
e = 1,60 x 10-19 C
•PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA:"Una carica non può essere creata né distrutta"
E' una legge della natura
•DENSITA' DI CARICA (dipendono dalle coordinate spaziali)
LineareSuperficialeVolumica
∆∆=
→∆ 3mC
vq
v 0limρ
∆∆=
→∆ 2mC
sq
s 0limρ
∆∆=
→∆ 3mC
lq
l 0limρ
CORRENTE ELETTRICA
In elettromagnetismo si definisce la densità di corrente J che misura la quantità di corrente che fluisce attraverso l'unità di superficie normale alla direzione del flusso di corrente.
Esistono, inoltre, quattro quantità fondamentali, vettoriali, del tipo "campi": E: intensità di campo elettrico D: densità di flusso elettricoB: densità di flusso magnetico H: intensità di campo magnetico
⋅= AsC
dtdqI
QUANTITA' BASILARI NELLO STUDIO DEI CAMPI
A/mHintensità di campo magneticoT=V s/m2Bdensità di flusso magnetico
MAGNETICO
C/m2Ddensità di flusso elettrico
V/mEintensità di campo elettricoELETTRICO
unitàsimboloquantitàcampo
E: è l'unico vettore necesario per lo studio del campo stazionario nel vuoto
D: è utile nello studio del campo elettrico in mezzi materialiB: è l'unico vettore necessario per lo studio della magnetostatica
nel vuotoH: è utile nello studio dei campi magnetici nei mezzi materiali
SE NON VI SONO VARIAZIONI TEMPORALI SI HA IL CASO STATICO O STAZIONARIO
E, B, D, H sono quantità "puntuali"Le proprietà del mezzo determinano le relazioni fra Ee D e fra B e H. Tali relazioni sono chiamate:
RELAZIONI COSTITUTIVE DEL MEZZOεεεεo è la costante di proporzionalità fra la densità di flusso elettrico De l'intensità di campo elettrico E nel vuoto:
ED ⋅= 0ε
µµµµ0000 è la costante di proporzionalità fra la densità di flusso magneticoB è l'intensità di campo magnetico H nel vuoto
BH ⋅=0
1µ
F/mε0permettività del vuoto
H/m4π × 10-7µ0permeabilità del vuoto
m/s3 × 108cvelocità della luce nel vuoto
unitàvaloresimbolocostanti universali
91036
1 −×π
COSTANTI UNIVERSALI
SISTEMA INTERNAZIONALE
AAmpéreIntensità di Corrente
ssecondoTempo
kgkilogrammoMassa
mmetroLunghezza
SIMBOLOUNITA'QUANTITA'
Definizioni:
metro: la definizione deriva da quella del secondo e dalla velocità della luce nel vuoto.
c = 299 792 450 m/ssecondo: 9 192 631 770 periodi della radiaizone emessa da una particolare transizione di un atomo di cesiokilogrammo: massa di un provino di platino-iridio conservato al International Bereau of Weights and Measurements di SevresAmpére: la corrente costante che, se mantenuta in due conduttori rettilinei paralleli di lunghezza infinita e di sezione circolare trascurabile, messi ad 1 metro di distanza, nel vuoto, producono fra i due conduttori una forza pari a
2 × 10-7 N/m
Costanti Universalic velocità delle onde elettromagnetiche nel
vuoto ≈ 3 × 108 m/sµ0 permeabilità del vuoto 4π × 10-7 H/mε0 permettività del vuoto 8,854 × 10-12 F/m
TUTTE LE GRANDEZZE ELETRICHE SONO ESPRIMIBILI IN TERMINI DI GRANDEZZE FONDAMENTALI
• CARICA ELETTRICA q [C]
• INTENSITA' DI CAMPO ELETTRICO E [V/m]
poiché
da cui si ricava anche
• INDUZIONE MAGNETICA B [T]
poiché
sAC ⋅=→=dtdqI
32 sAmkg
sAsmkg
mV
⋅⋅=
⋅⋅⋅=→=
qFE
2sAmkgV⋅⋅=
223
2
2 sAkg
msAsmkg
msV
⋅=
⋅⋅⋅⋅=⋅=Φ=
SB [ ]( )sV ⋅⇒⋅=Φ ∫ dte
Es:
GRANDEZZE ELETTRICHE
F/mFarad/metroεPERMETTIVITA' ELETTRICA
Wb/AWeber/AmpérePPERMEANZA
H/mHenry/metroµPERMEABILITA' MAGNETICA
HHenryMMUTUA INDUTTANZA
TTeslaBINDUZIONE MAGNETICA
HHenryLINDUTTANZA
ΩΩΩΩOhmZIMPEDENZA
HzHertzfFREQUENZA
A , AsAmpére-spireFmmFORZA MAGNETOMOTRICE
VVolte , EFORZA ELETTROMOTRICE
NNewtonFFORZA
WbWeberΦFLUSSO MAGNTICO
JJouleWENERGIA
C/m3Coulomb/metro cuboδ , ρDENSITA' VOLUMICA DI CARICA
A/m2Ampére/metro quadroJDENSITA' DI CORRENTE
AAmpéreI , iCORRENTE
SSiemensGCONDUTTANZA
CCoulombQ , qCARICA
S/mSiemens/metroγCONDUCIBILITA'
FFaradCCAPACITA' ELETTRICA
A/mAmpére/metroHCAMPO MAGNETICO
V/mVolt/metroECAMPO ELETTRICO
SSiemensYAMMETTENZA
SIMBOLOUNITA' DI MISURASIMBOLOGRANDEZZA
VVoltV , vTENSIONE
ssecondotTEMPO
SSiemensBSUSCETTANZA
C/m2Coulomb/metro quadratoDSPOSTAMENTO ELETTRICO(DENSITA' DI FLUSSO ELETTRICO)
V/mVolt/metroRDRIGIDITA' DIELETTRICA
ΩΩΩΩ mOhm metroσRESISTIVITA'
ΩΩΩΩOhmRRESISTENZA
ΩΩΩΩOhmXREATTANZA
Wb/mWeber/metroAPOTENZIALE VETTORE
VVoltV , vPOTENZIALE ELETTRICO
VAVolt AmpéreSPOTENZA APPARENTE
VARVoltAmpére reattiviQPOTENZA REATTIVA
WWattPPOTENZA ATTIVA
TTeslaPmPOLARIZZAZIONE MAGNETICA
C/m2Coulomb/metro quadratoPePOLARIZZAZIONE ELETTRICA
SIMBOLOUNITA' DI MISURASIMBOLOGRANDEZZA
STORICAMENTE
OSSERVAZIONIMISURE
ELAB. MATEMATICHE
RELAZIONICIRCUITALI
INQUADRABILINELLA TEORIADEI CIRCUITI
TEORIADEI
CAMPI
CONSEGUENTEMENTE: Le relazioni circuitali sono solo dei casi particolari delle equazioni dei campi e possono essere dedotte da esseIN PARTICOLARE: la teoria circuitale non è più applicabile per tensioni e correnti con frequenza così elevata che la lunghezza d'onda associata risulti minore delle dimensioni trasversali, non di quelle longitudinali, del circuito.
IN TALI CASI SI DEVE RICORRERE ALLA TEORIA DEI CAMPITEORIA DEI CAMPI
•Mezzi Continui, Omogenei, Isotropi, Lineari•Caratterizzati dalle seguenti proprietà:
γ conducibilità (S/m) ε permettività (F/m) µ permeabilità (H/m)
Valgono le Equazioni Costitutive: Esistono anche relazioni miste tra grandezze scalari e vettoriali. Es:
HBED ⋅=⋅= µε ll dHIdEV BAAB ∫∫ ⋅=⋅=
FORME DIFFERENZIALI ED INTEGRALI
Teorema di Stokes: ( ) ∫∫ ⋅=⋅×∇ l ldASdAS
Teorema della divergenza: ∫∫ ⋅=⋅⋅∇ SV SdAdVA
Equazioni di Maxwell
( )
Gauss di Legge00
Gauss di Legge
Ampére di Legge
Faraday di Legge
neFormulazio AltraaleDifferenzi FormaaleDifferenzi Forma
=⋅=⋅∇
=⋅=⋅∇
⋅∂∂+=⋅
∂∂+=×∇
Φ−=⋅∂∂−=⋅
∂∂−==×∇
∫
∫
∫∫
∫∫
S
S
S
S
SdBB
QSdDD
SdtDJdH
tBJH
dtdSd
tBdE
tBErotE
ρ
l
l
Il contributo fondamentale di Maxwell è stato quello di considerare che anche le correnti di spostamento elettrico producessero gli stessi effetti magnetici delle correnti di conduzione e di convezioneTEORIA DEI CIRCUITI: Molti Autori adottano l'approccio assiomatico, introducono come postulati le leggi fondamentali dei circuiti
CIRCUITO ELETTRICOE' un insieme di elementi elettrici interconnessi in un certo modo
CIRCUITO ELETTRICO
La teoria circuitale ha avuto il suo effettivo inizio nel Marzo del 1800, quando Alessandro Volta annunciò l'invenzione della pila elettrica.da lui deriva il nome dell'unità di misura della forza elettromotrice, il Volt (V)Un circuito è formato da due o più elementi, connessi per mezzo di "conduttori perfetti".I conduttori perfetti sono dei collegamenti che presentano nessuna resisteza e permettono alla corrente di fluire liberamente senza accumulare né carica né energia.Quest'ultima si può considerare residente o "concentrata" in ciascun componente circuitale. E' per questo che tali circuiti si dicono "a par<metri concentrati"
COMPONENTE ⇒ Superficie Limite, Terminale, MorsettoBIPOLI Resistore, Induttore, Capacitore, Generatore idealeTRIPOLI Transistor, Motore Trifase
COLLEGAMENTO
CORRENTE Convenzione, Ampére-metro, Unità di misura
TENSIONE Convenzione, Volt-metro, Unità di misuraAi i
VA B
VAB
RISOLUZIONE DI PROBLEMI CIRCUITALI•Equazioni dei Componenti•Equaizoni Topologiche
COMPONENTE
terminale
morsetto
superficie limite
BIPOLO R L C E A
MONOPOLO
Non vengono inclusi fra i componenti nello studio della Teoria dei Circuiti
COLLEGAMENTODue o più componenti si dicono collegati se
hanno uno o più morsetti in comune
M
TRIPOLO Transistor MotoreTrifase
CORRENTE TENSIONE
i
i’i = i( t )i = -i’
UNITA’ DI MISURA: Ampére (A)STRUMENTO DI MISURA: Ampéremetro
Ai i
Vi piccolissima → ideale ri = 0
Viinserzione
v v’
A
B
v = v( t )v = vAB = -v’ = -vBA
UNITA’ DI MISURA: Volt (V)STRUMENTO DI MISURA: Voltmetro
inserzione
iv piccolissima → ideale rv = ∞
A B
V
VAB
iv
I PRINCIPIO DI KIRCHHOFF
i1
i2
i3
i4
ΣΣΣΣ i = 0
0=JdivSotto le ipotesi fatte, esprime la solenoidaliltà della corrente
04321 =+++ iiii10 ±==⋅∑ r
rrr aia
a)
'0 iii −=⇒=∑
i -i'i i = 0
b)
cost=⇒=⇒=⇒== ∑∑ ∑ ∑ qqdtd
dtdqi
dtdqi 000
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLA CARICA
c)
d) Le superfici chiuse non devono tagliare né morsetti né superficilimite dei componenti
4
5
II PRINCIPIO DI KIRCHHOFF
1
2
3v51
v21 v32 v43
v21+ v32+ v43+ v54+ v15 = 0
Sotto le ipotesi fatte, stabilisce l’irrotazionalità del Campo Elettrico
∫ =•C dlE 010 ±==⋅∑ r
rrr ava
La somma delle tensioni lungo una linea chiusa è nulla
⇒=•∫C dlE 0 Irrotazionalità del Campo Elettrico
A B
vAB
vBA vAB + vBA = 0 ⇒ vAB = -vBAAllora, per esempio:v21-v23+v43-v45+v15 = 0
Questo principio è valido in assenza di campi magnetici o quando sono lentamente variabili. Viceversa dovremmo servirci delle eq.ni di Maxwell. Questo conferma che: La Teoria dei Circuiti è un’approssimazione valida solo quando si può fare l’ipotesi che le dimensioni fisiche dei circuiti siano piccole rispetto alle lunghezze d’onda dei segnali
CONVENZIONI1 2 3
n+1 n4
i1 i2 i3
i4in
in+1
i1 + i2 + i3 + i4 + … + in + in+1 = 0
note n correnti la (n+1)-esima è determinata
1 2 3
n+1 n 4
va vb
vcvx
va + vb + vc + … + vx = 0note n tensioni la (n+1)-esima è determinataLe n tensioni devono essere indipendentifra loroCiascuna tensione deve potersi ottenere dalla misura delle altre n
I requisiti per la scelta delle n tensioni e delle n correnti sono:INDIPENDENZA e COMPLETEZZA
Esiste un metodo sistematico per ricavare i “cosiddetti” SISTEMI FONDAMENTALI di tensioni e di correnti
i’
0
1
23
n
CONVENZIONE DEGLI UTILIZZATORI
i1
i2
i3
in
v1
v2
vn
i1 , i2 , … , in Indipendentev1 , v2 , … , vn Completo
VARIABILI DESCRITTIVE
1
23
nv1
v2 vx
vx- v1 + v2 = 0 ⇒ vx = v1 - v2
v
iA
B
i1 i2
v2v1
21 21
0 0convenzione degli utilizzatoriv’
Le convenzioni sono arbitrarie
ESEMPI:
a)5 A i
-3 A2 A
5 + i - (-3) - 2 = 0
i = -6 A
b)
a
b c
d
10 V
v
16 V
2 V
-15 + v +10 + 2 = 0
v = 3 V
4 A
3 A i1 2 A
4 Ai2 8 A
i
c)trovare i4 - 3 - i1 = 0 ⇒ i1 = 1 A1 + 4 + 2 - i2 = 0 ⇒ i2 = 7 A7 - 8 - i = 0 ⇒ i = -1 A
4 + 4 - 8 - i + 2 - 3 = 0 ⇒ i = -1 A
COMPONENTI ELEMENTARI
• RESISTORE v = R • i …………………………………………………… utilizzatori
• CONDENSATORE i = C • dv /dt ( q = C • v) ………………………... utilizzatori
• INDUTTORE v = L • di /dt ( φ = L • i) ……………………………… utilizzatori
• GENERATORE IDEALE DI TENSIONE v = e ………………………… generatori
• GENERATORE IDEALE DI CORRENTE i = a ………………………… generatori
• CORTO CIRCUITO v = 0 resistore degenere o gen. di tensione con e(t) = 0
• CIRCUITO APERTO i = 0 resistore degenere o gen. di corrente con i(t) = 0
• GENERATORI PILOTATI (o CONTROLLATI)
• TRASFORMATORE IDEALE
• NULLORE
• MUTUA INDUTTANZA
• GIRATORE
convenzione
⋅=
⋅=
21
211 in
i
vnv ……………………ingresso: utilizzatori……………………uscita: generatori
tica)caratteris (equazione :ma
tica)caratteris (equazione :ma
iLdtdv
dtdiLv
vCqdtdqi
dtdvCi
⋅=⇒=⋅=
⋅=⇒=⋅=
φφ*
RESISTOREv
i vGvR
iiRv ⋅=⋅=⋅= 1
per un conduttore di lunghezza l e sezione A:Al
AlR ⋅=⋅=
γρ 1
2 300silicio
6,52 × 10−8tungsteno
2,83 × 10−8alluminio
2,44 × 10−8oro
1,72 × 10−8rame
1,63 × 10−8argento
ρ (Ω × m)MATERIALE
±20%-NERO o null
±10%10-2ARGENTO
±5%10-1ORO
-9BIANCO
1088GRIGIO
1077VIOLA
1066BLU
1055VERDE
1044GIALLO
1033ARANCIO
1022ROSSO
1011MARRON
1000NERO
TOLL.ZA
MU
LTIPLO
CIFR
A
CO
LOR
E
1018Ppeta
1015Eexa
1012Ttera
109Ggiga
106Mmega
103kkilo
102hetto
101dadeca
10-1ddeci
10-2ccenti
10-3mmilli
10-6µmicro
10-9nnano
10-12ppico
10-15ffemto
10-18aatto
significatosimboloprefisso
CAPACITORE - INDUTTORE
+++ + +
+ +
++
+ ++
+
- - - ------
v
i
i
ddtdvC
dtdq ⋅=
vCq ⋅=
idtdq =
dtdvCi ⋅=
rdAc εεεε ⋅=⋅= 0
1aria
78,20acqua distillata
2,99carta
5,40 - 9,0mica
3,20silicone
6,46neoprene
εrMATERIALE
INDUTTORE
i
i
dtdiLv
dtdviL ⋅==⋅= φφ
GENERATORI IDEALI
i(t)Generatore ideale di tensione
v(t) e(t) v(t) = e(t)i(t)
Generatore ideale di corrente
v(t) a(t) i(t) = a(t)
i(t)Corto Circuito
v(t) v(t) = 0
Caso degenere del generaore di tensione o del resistore di resistenza nulla
i(t)Circuito Aperto
v(t) i(t) = 0
Caso degenere del generatore di corrente o del resistore di resistenza infinita o conduttanza nulla
GENERATORI PILOTATI
v1 v=β v1
β : parametro di controllo a-dimensionale
i1 v=R i1
R : parametro di controllo dimensionalmente è una resistenza
v1 i=g v1
g : parametro di controllo dimensionalmente è una conduttanza
i1 i=α i1
α : parametro di controllo a-dimensionale
i1
R1
R2
ag0,5 i1
esempio:
I generatori dipendenti o pilotati sono componenti essenziali nei circuiti amplificatori, in cui l'ampiezza dell'uscita è maggiore di quella dell'ingresso.Inoltre servono ad isolare una porzione di circuito o a fornire una resistenza negativa
BASE DI DEFINIZIONEUN COMPONENTE SI DICE DEFINITO SU BASE TENSIONE SE, IMPONENDO LE TENSIONI, LE CORRENTI SONO NOTE UNIVOCAMENTE ATTRAVERSO LE CARATTERISTICHE O LE EQUAZIONI DEL COMPONENTE.VICEVERSA, E' DEFINITO SU BASE CORRENTE SE, IMPONENDO LE CORRENTI, SI TROVANO UNIVOCAMENTE LE TENSIONI. Esempi:
Ri
e Rei =
base corrente
0=v
base correnteR
ia aRiRv ⋅=⋅=
base tensione
ie
ia
assurdi fisici
v
i i
v
DIODOentrambe le basi
DIODO TUNNELbase tensione
i
vv
i
v2
i221
0v1
i1
=
=
0
0
2
1
v
i
[ ]21, iv BASE MISTA
v2
i221
0
v1
i1R1 R2
∞≠∞≠
;0;0
2
1
RR
BASE TENSIONE, CORRENTE E MISTA
=
=
22
11
ev
evfissati: trovati:
==
==
2
2
2
22
1
1
1
11
Re
Rvi
Re
Rvia) base tensione
a) base corrente
v2
i2
v1
i1
R1 R2e1 e2
v2
i2
v1
i1
R1 R2a1 a2
=
=
22
11
ai
aifissati: trovati:
⋅=⋅=
⋅=⋅=
22222
11111
aRiRv
aRiRv
PROPRIETA' GENERALI
• Linearità: un componente si dice lineare se l'effetto dovuto ad una qualsiasi causa è proporzionale alla stessa
• Tempo invarianza o Permanenza: un componente si dice tempo-invariante se l'effetto non dipende dall'istante di applicazione della causa
• Reciprocità• Passività: un componente si dice passivo se:
• Causalità: un componente si dice causale se, in un qualunque istante t0, l'effetto dipende solo dalla causa per t ≤ t0
( ) tdpt ∀≥⋅∫ ∞− 0ττ
elementi di capacità infinita, come i generatori ideali, che possono assorbire o cedere una quantità infinita di energia senza che mutino le sue caratteristiche. NON E' DEFINIBILE UN LIVELLO ZERO.Si tratta di energia scambiata all'interno della superficie limite, con accumulatori di capacità infinita (scambiatori).
PROPRIETA' ENERGETICHE• Potenza Assorbita da un Bipolo: p(t) = v(t) · i(t) (convenzione
normale) è la potenza che entra nella superficie limite del bipolo. Con la convenzione normale si parla di potenza assorbita. Unità di misura Watt [W]
• Potenza Elettrica assorbita in un intervallo δt: δω = v(t) · i(t) · δ
⇒≤≤⇒∀>
000
δωδδω
b) a) t elemento puramente dissipativo
energia accumulata in bipoli di tipo L e C: 22
22 vCEiLE ⋅=⋅=
•in tali casi è possibile definire un livello zero, cioè gli elementi possono essere SCARICHI (STATO ZERO)
⇒>< 00 δω c)
I COMPONENTI ELEMENTARI SONO TALI PERCHE' INVESTONO IN UN SOLO TIPO DI ENERGIA
GENERATORI IDEALI
di TENSIONE v(t) = e(t) di CORRENTE i(t) = a(t) ES: e(t) = E ≡ cost ; i(t) = A ≡ cost
AE ( ) ( )( ) ( )0
0
0
0
' ttAEdttp
ttAEdttptt
tt
−⋅⋅−=⋅=∆
−⋅⋅=⋅=∆
∫
∫
ω
ω nel generatore di tensionenel generatore di corrente
La potenza assorbita dall'uno non è altro che quella generata dall'altro, e non si riesce a stabilire un LIVELLO ZERO di energia, cioè non esiste lo STATO ZERO
CORTO CIRCUITOCIRCUITO APERTO CASI LIMITE
BIPOLI PASSIVI
RESISTORE v(t) = R · i(t)
p(t) = v · i = R · i2(t) R · i2(t) > 0 sempre
( ) 000
2 >⋅⋅=⋅=∆ ∫∫ τττω diRdp tt
tt
sempre
CONDENSATORE
( ) ( ) ( )[ ] 021 22 >=<−⋅=⋅=∆ ∫ ab
tt tvtvCdpb
a
ττω variabile di stato: TENSIONE
( )dtdvCti ⋅=
( )
= 2
21 Cv
dtdtp
INDUTTORE
( ) ( ) ( )[ ] 021 22 >=<−⋅=⋅=∆ ∫ ab
tt titiLdpb
a
ττω variabile di stato: CORRENTE
( )dtdiLtv ⋅=
( )
= 2
21 Li
dtdtp
MULTIPOLI
1
2
3
0
v1 v3
v2i2
i3i1
Hp: base di definizione [ v1 ; v2 ; i3 ]
e1=v1
e2=v2
a3=i3
Principio di Conservazione dell'Energia
0=+++ δωδωδωδω cba
( )( )( )
⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=⋅−⋅=
tptivtivtiv
c
b
a
δδωδδωδδωδδω
33
22
11
( ) 332211 ivivivtp ⋅+⋅+⋅=
LA POTENZA ASSORBITA DA UN COMPONENTE E' LA SOMMA DEI PRODOTTI TENSIONE-CORRENTE DELLE SUE VARIABILI DESCRITTIVE (CONVENZIONE NORMALE)
GENERATORI PILOTATI
i1 k·i1 R
i2
v1A v2
⋅==
12
1
ikvAi
( ) 2211 ivivtp +=
⋅−=−=
⋅=⋅===
RAk
Rvi
AkikvAi
v
22
12
1
1 0
( ) ( )RAk
RAkAktp
2⋅−=
⋅−⋅⋅=
La condizione di passività non vale poiché l'integrando è negativo( ) 00
≥⋅∫ dttptt
COMPONENTE ATTIVO
I generatori pilotati sono componenti attivi
TRASFORMATORE IDEALE
i2i1 nv2v1
⋅−=
⋅=
21
21
1 in
i
vnv base di definizione mista:[ v1 ; i2] o [v2 ; i1]
( ) ( ) 011
112211 =⋅−+=+= innvivivivtp
Il trasformatore ideale è trasparente alle potenze
E' un componente PASSIVO non dissipativo
Non è dotato di stato
VERIFICA DELLA PASSIVITA'
( ) tdivdp t n
iii
t ∀≥⋅=⋅ ∫ ∑∫ ∞−
−
=∞− 0
1
1τττ
RESISTOREivE R R
EpREi
iRivp2
2
=⇒=
⋅=⋅= La funzione integranda è sempre ≥ 0
( ) 02
≥⋅=⋅ ∫∫ ∞−∞− τττ dR
Edp tt
vi
C
CONDENSATORE
( )
=⇒=
⋅=⋅=
2
21 Cv
dtdptev
dtdvCvivp
( ) 021 2 ≥
=⋅ ∫∫ ∞−∞−tt dCvdp τττ
per t = -∞ il condensatore è scarico
analogamente per l'INDUTTORE
Sono componenti che hanno lo STATO ZERO[ ]
( )∫ ≤≥=∆ 2
121
0,
tttt
dpW ττ
MULTIPOLI
0
n -1 n - 2
n - polo
=
=
−− 1
1
1
1
nn v
vv
i
ii
( ) ∫ ∞−
−−
⋅⋅=
⋅=++=t T
Tnn
divt
ivivivp
τω1111
Se il multipolo si dice PASSIVO
Equazione Costituitiva: (lineari, tempo invarianti)
( ) tt ∀≥ 0ω
[ ] [ ] 0=+⋅+⋅ CiBvA
MULTI-PORTAUn multiporta è un particolare multipolo con un numero pari di morsetti organizzati in coppie, in modo tale che, per ogni coppia, la corrente entrante in un morsetto è uguale a quella uscente dal secondo morsetto della coppia. Ogni coppia è detta PORTA.
l1
nn'
1'
vn
v1
in
ini1
i1
=
=
nn v
vv
i
ii ll
11
( ) ∫ ∞− ⋅⋅=
⋅=++=t T
Tnn
divt
ivivivp
τω
h11
[ ] [ ] 0=+⋅+⋅ CiBvA (lineari, tempo invarianti)
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE
L’Amplificatore Operazionale (Operational Amplifier - OP) è un dipositivo elettronico che si comporta come un generatore di tensione controllsto in tensione
CONFIGURAZIONE DEI PIN
1234
8765
BILANCIAMENTOING. INVERTENTEING. NON INVERT.
V-
SCOLLEGATOV+
USCITABILANCIAMENTO
1 54
2
3
7
6ING. INVERTENTE
V-
V+
_
+ING. NON INVERT.
AZZERAMENTOOFFSET
USCITA
SIMBOLO CIRCUITALE
LE ALIMENTAZIONI VENGONO SPESSO OMESSE NEGLI SCHEMI CIRCUITALI, MA L’OP DEVE SEMPRE ESSERE ALIMENTATO
MODELLO CIRCUITALE
v1
v2
vd A·vd
RiRo vo
Generatore di tensionecontrollato in tensione
( )12
12
vvAvAvvvv
do
d
−⋅=⋅=−=
A: guadagno di tensione ad anello apertovalori tipiciA 105÷108
Ri 106÷1013 ΩΩΩΩRo 10÷100 ΩΩΩΩVcc 5 ÷24 V tensione di
alimentazione
Vcc
-Vcc
saturazione positiva
saturazione negativa
vo
vd
AMPLIFICATORE OPERAZIONALE IDEALE
12
12
2
1
000
0vv
vvvii
RRA
do
i
==−=
==
⇒
=∞=∞=
NELLA MAGGIOR PARTE DELLE APPLICAZIONI SI CONSIDERANO OP IDEALI NELLA REGIONE LINEARE DI FUNZIONAMENTO
NULLORE
0 ∞
i0
v0
i∞v ∞
=
=
∞
∞
qualsiasi
qualsiasi
i
v
i
v
0
0
0
0
v1
v2 = v1
vo
vd
_
+
i1 = 0
i2 = 0
INSEGUITORE DI TENSIONE
vs vo
Un generatore di tensione è collegato al morsetto non invertente dell'operazionale, mentre il morsetto invertente è collegato direttamente all'uscita. Determinare la tensione in uscita vo
Ri ed Ro sono in serie. Quindi la corrente i vale:
oi
is
oi
ds
RRiRAv
RRvAvi
+⋅⋅−=
+⋅−=
vd A·vd
RiRo
vovs
i
1
per l'equilibrio delle tensioni alla maglia 1:( ) iRARiRAiRvAiRv ioiodoo ⋅⋅+=⋅⋅+⋅=⋅+⋅=
da cui, sostituendo:
ssioi
ioo
oi
s
oi
ioi
io
o
io
o
oi
i
oi
s
io
o
vvRARR
RARv
RRv
RRRARR
RARv
RARv
RRRA
RRv
RARv
≈⋅⋅++
⋅+=
⇒
+=
+⋅++⋅
⋅+
⇒
⋅+⋅
+⋅−
+=
⋅+
INSEGUITORE CON CARICO
vs vo RL
iL
i- = 0
ioin
Determinare il valore della corrente iL che attraversa il carico RL
I due morsetti in ingresso all'operazionale hanno lo stesso potenziale. Il corto circuitoriporta lo stesso potenziale al morsetto di uscita, quindi vo = vs .
LA TENSIONE IN USCITA NON DIPENDE DAL CARICO
Per il calcolo della corrente:
L
s
L
oL R
vRvi ==
AMPLIFICATORE INVERTENTE
vs vo RL
i2
ioin
R1
R2i1
Determinare il valore della tensione vo
2
22
11
21
Rvvi
Rvvi
ii
o
s
−
−
−=
−=
−=1
equilibrio al nodo 1
equazione del componente R1
equazione del componente R2
ma, per l'idealità dell'operazionale:da cui:
01 === +− vvv
21 Rv
Rv os −= e infine: so v
RRv ⋅−=
1
2
Questa configurazione di operazionale amplifica l'ingresso in ragione del rapporto R1/R2 e ne inverte il segno.
t
vo
vs
AMPLIFICATORE NON INVERTENTE
vs vo RL
i2
ioinR1
R2i1
Determinare il valore della tensione vo
22
11
21
Rvvi
Rvi
ii
o −
−
−=
−=
−= equilibrio al nodo 1
equazione del componente R1
equazione del componente R2
ma, per l'idealità dell'operazionale:da cui:
svvv == +−
21 Rvv
Rv sos −−=− e infine: so v
RRv ⋅
+=
1
21
Questa configurazione di operazionale amplifica l'ingresso della quantità 1+R2/R1 e non inverte il segno.
t
vo
vs
AMPLIFICATORE SOMMATORE
Determinare il valore della tensione vo
0
0
3
3
2
2
1
1
321
=−−−−
=+++
Rv
Rv
Rv
Rv
iiii
o
o da cui, riordinando
++−=
3
3
2
2
1
1
Rv
Rv
RvRv oo
L'uscita è proporzionale alla somma pesata delle tensioni. Se R1 = R2 = R3 = R :
( )321 vvvRRv o
o ++−=
Cioè l'uscita è proporzionale alla somma delle tensioni
R1
R2
R3
v1 vo RL
i
ioin
Roi1v2
i2v3
i3
AMPLIFICATORE DIFFERENZIALE
RLv2
vo
R1R2
v1
R1
R2
Determinare il valore della tensione vo
021
21
21
2
21
2
21
21
=⋅⋅+−+=−+−
=+
⋅=
−−−
−+
vRRRR
Rv
Rv
Rvv
Rvv
vRR
Rvv
oo
partitore di tensione
equilibrio al nodo 1
1
sostituendo:
( )211
2
21
21
21
21
21
2 0 vvRRv
RRRv
RRRR
Rv
Rv
oo −⋅=⇒=
+⋅⋅
⋅+−+
Cioè l'uscita è proporzionale alla differenza tra le tensioni
vs voRL
vs vo RL
R1
R2 R2
vs vo RLR1
inseguitoredi tensione
R1
R2
R3
v1 voRL
Ro
v2v3
amplificatoreinvertente
amplificatorenon invertente
amplificatoresommatore
amplificatoredifferenziale
so vv = so vRRv ⋅−=
1
2so v
RRv ⋅
+=
1
21
++−=
3
3
2
2
1
1
Rv
Rv
RvRv oo
( )211
2 vvRRvo −⋅=
AMPLIFICATORI ADINAMICI -TABELLA RIASSUNTIVA
RLv2 vo
R1 R2
v1
R1
R2
TEORIA DEI GRAFI•nodi•lati•ordine del nodo•percorso•grafo connesso•maglia•albero•co-albero
GRAFO DEL COMPONENTE
GRAFO DEL CIRCUITO•co-cicli fondamentali•maglie fondamentali
TEOREMA DI TELLEGENper ogni lato di una rete è p(t) = v ·i. Per il principio di conservazione dell’energia : ( )∑ =⋅⋅
kkk tiv 0δ
∑ =⋅k
kk iv 0 per qualsiasi insieme di i compatibile con la I legge di Kirchhofper qualsiasi insieme di v compatibile con la II legge di Kirchhof
v e i sono ORTOGONALI
TEOREMA DI TELLEGEN
12
3
40
au1
b
c
d
e
f
u2
u4
u3
−=−=−=−=−=
=
4
344
32
42
21
1
uvuuvuuvuuvuuv
uv
f
d
c
b
a
Esistono infiniti ui purché compatibili col grafo cioè purché indipendenti.
Consideriamo:
f
e
d
c
b
a
f
e
d
c
b
a
iiiiii
vvvvvv
;
eseguiamo il prodotto vT · i = va · ia + …+ vf · if = = u1·ia + (u1-u2 )·ib + (u2-u4 )·ic + (u2-u3 )·id + (u4-u3 )·ie- u4·if == u1·(ia + ib ) + u2 ·(-ib+ ic + id ) + u3 ·(-id - ie ) + u4 ·(-ic+ ie - if )
Se l’insieme delle correnti è compatibile con il grafo le quantità tra parentesi sono nulle
vT · i = 0Il Principio di Conservazione dell’Energia è un caso particolare del
Teorema di Tellegen
ESEMPI
1
23
4 5
a b
cde
f
g
h Scrivere le equazioni topologiche
u(t)
R1
C R2
Scrivere le equazioni topologiche e dei componenti
a(t) R1 LR2 Scrivere le equazioni topologiche
e dei componenti
a)
b)
c)
Reti in Regime Stazionario
COMPONENTI ELEMENTARI IN REGIME STAZIONARIO
Per circuiti assolutamente stabili, in presenza di eccitazioni costanti nel tempo:•Generatore indipendente di tensione •Generatore indipendente di corrente
•Resistore •Induttore •Condensatore
VI
E cost≡= EV VI
A cost≡= AI
IRViRv⋅=⇒⋅=
viR
cto)(cto −=
⇒=⋅=
0
0
VdtdiLv
vi
L Cvi
aperto) (circuito 0
0
=
⇒=⋅=
IdtdvCi
V=0
IV
I=0
Vedremo in seguito i casi di circuiti con generatori pilotati, nullori e giratori
i2i1 M
L2L1 v2v1
==
⇒
=⋅+⋅=
=⋅+⋅=
00
0
0
2
1
22
12
2111
VV
dtdiL
dtdiMv
dtdiM
dtdiLv
•Mutua Induttanza
Tutti i condensatori si comportano come circuiti aperti,Tutti gli induttori si comportano come corto-circuiti
RETI DI SOLI GENERATORI E RESISTORIEsempio:
E1 R3 AR1
A B
D
R2
C
E2
A B C
D
N = 4 L = 6
N-1 eq KI → 3L-N+1 eq KV → 3
Eq. t
opol
ogic
he
L = 6 eq. componenti
I2I1
V2=0V1=0
RESISTORI IN SERIE
R1
AI I1
V1
I2I2R2
V2
Ri
Vi
In-1 In Rn
Vn B
I Req
VAB BA
VAB
( ) ∑=⇒⋅=⋅++=+++=+++++=======
iieqeqnnnniAB
ni
RRIRIRRIRIRIRVVVVVIIIII
1221121
21
PARALLELO DI RESISTORI
A A A A
B B B B
R1
I1V1 R2
I2V2 Ri
IiVi
Rn
InVn
A
B
I
eqi iiieq
nn
nn
ni
iii
iiiii
RRGG
VRRR
VRVIII
VVVVV
VGRVIIRV
11
11
11
11
21
===
⋅
++=++=++=
=====
===
∑∑
Nel caso di due soli resistori:
2121
21 GGGRR
RRR eqeq +=+
=
PARTITORI
R1 R2 Ri RnI
V Vi
( )
∑
∑
⋅=
=⇒++==
ii
ii
iinii
RRVV
RVIIRRVIRV 1
Nel caso di due soli resistori:
R1
R2
IV1
V
V2
+⋅=
+⋅=
21
22
21
11
RRRVV
RRRVV
R1 R2 Ri Rn
I1 I2 I3 In
I
V
Partitore di Tensione
Partitore di Corrente
( )
∑
∑
⋅=
=⇒+++⋅=+++=
⋅==
ii
ii
ii
nn
ii
i
GGII
GIVGGGVIIII
GVRVI
2121
R2 I2I1R1
I
Nel caso di due soli resistori:
+⋅=
+⋅=
21
12
21
21
RRRII
RRRII
BC
TRASFORMAZIONE STELLA-TRIANGOLO
RBRC
A
BC
0
RABRCA
A
RA
RBC
CABCAB
BCCAC
ABBCB
CAABA
RRRR
RRRR
RRRR
RRRR
++=
=
=
=
0
0
0
0
CBAACCA
CBBC
BAAB
RRRG
GRRRGRRRGRRR
1110
0
0
0
++=
⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=
Nel caso di tre resistenze uguali sarà:3∆= RRY
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI
In una rete lineare, comunque complessa, contenente bipoli lineari, le tensioni e le correnti in ciascun lato possono essere determinate sommando i contributi dovuti ai singoli generatori presenti, agenti uno alla volta.(Passivazione dei generatori)
TEOREMA DI TELLEGEN 0∑ =h
hhIV
PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELLE POTENZE
•TEOREMA DI THEVENIN•TEOREMA DI NORTON
A I
V
A I
VB
Eeq
Req
IREV eqeq +=
A I
VB
Aeq Geq
VGAI eqeq +=
TEOREMA DI THEVENINSE IL CIRCUIRO CONTIENE:• RESISTORI E GENERATORI INDIPENDENTI E PILOTATI (LA
GRANDEZZA PILOTANTE INTERNA ALLA RETE):•ETH: tensione a vuoto fra A e B•Icc: corrente di corto-circuito fra A e B•RTH = ETH/ Icc
• RESISTORI E GENERATORI PILOTATI (NESSUN GENERATORE INDIPENDENTE)
•ETH = 0
COLLEGARE UN GENERATORE DI CORRENTE DA 1 A FRA A E B CALCOLARE VAB RTH = VAB/1
ANALOGAMENTE PER IL CIRCUITO EQUIVALENTE DI NORTON
METODO DELLE CORRENTI DI MAGLIAR1 R2
R4
R3
R5 R6
E1 E2
I2I6
I3E3
I1 E4
I5
I4
J1 J2
J3326
215
314
33
22
11
JJIJJIJJI
JIJIJI
−=−=−=
===
Le equazioni ai nodisono identità
−−=+−+=−++=−
66443343
5566222
44551141
IRIRIREEIRIRIRE
IRIRIREE
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
−−−−=+−−−+=−−+−+=−
3263143343
215326222
3142151141
JJRJJRJREEJJRJJRJRE
JJRJJRJREE ( )( )
( )
+++−−=+−+++−=−−−++=−
3643261443
362652152
3425145141
JRRRJRJREEJRJRRRJREJRJRJRRREE
=
MMMMMM
M
E
E
J
J
RRR
RRR
11
21
11211
Rii : auto-resistenza della maglia i
Rij : mutua resistenza tra la maglia i-esima e la maglia j-esima
+
=
IM
I
VM
V
M E
E
E
E
E
E
111
ESEMPIO4 Ω
2 Ω 3 Ω 2 Ω
1 Ω 12 V6 V
3J
1J 2J
Trovare la potenza fornita dal generatore da 6 V
[ ] EJZ =⋅
=
⋅
−−−−−−
0126
932361213
3
2
1
JJJ
( ) ( )( ) ( ) ( ) A5
123269954369129546930
3612216
1 =+−−−+−
−−−−=∆−
−−−
=J
W30=⋅= IVP
METODO DEI POTENZIALI NODALI
=
nnnnnn
n
A
A
V
V
GGG
GGGll
h
l
h 11
21
11211 n = N -1Gii : conduttanza propria del
nodo i Gij : conduttanza mutua tra i
nodi i e j
+
=
Vn
V
In
I
n A
A
A
A
A
A
111
Noti i potenziali si può risalire a tutte le incognite
TEOREMA DI MILLMANN
E1 E2 E3 Ei En
R1 R2 R3 Ri Rn
A
B
∑
∑=
ii
iii
AB G
EGV
Caso limite di rete con due soli nodi
G1 E1G1 Gn EnGn
∑i
iG ∑i
iiGE
A
B
ESEMPIO1E
R1
21
R5 R6
1E 4E 3E
R4R7 R8R3R2
3
0
Ω=Ω==
Ω=Ω==Ω==
=−===
1 4
2 5 10
V 150 V; 50V 50 V; 100
8
76
5
43
21
43
21
RRR
RRRRR
EEEE
+
+−
=
++−−
−++++−
−−++
3
3
1
1
4
4
2
2
1
1
3
2
1
63161
6876545
15521
11111
1111111
11111
RE
RE
RE
RE
RE
U
U
U
RRRRR
RRRRRRR
RRRRR
V 87,6
V 68,13
V 61,3
0
30
5
55,025,01,0
25,02,25,0
1,05,07,0
3
2
1
3
2
1
=
=
=
−
=
−−
−−
−−
U
U
U
U
U
U
CASO IN CUI SONO PRESENTI GENERATORI PILOTATI
• La matrice dei coefficienti nel metodo delle maglie non è più simmetrica
• Il metodo si destruttura
E1 J1
R2
R3
J2
J3 R4
3V3
IR2
2IR2
Esempio:
( )( ) ( )
( )
=−−++−+−=−
−−=−
032
2
24123452
33313424
3113212
JRJRJRRRJRJJJRJR
JJEJRJR
TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA
RL
a
b
THEVENIN a
bRTH RLETH
i
22
+⋅==
LTH
THLL RR
ERiRp
ppmax
RTH RLSI HA LA MASSIMA POTENZA TRASFERITA AL CARICO QUANDO LA RESISTENZA DEL CARICO E’ UGUALE ALLA RESISTENZA DI THEVENIN VISTA DAL CARICO: RL = RTH
Dimostrazione:( ) ( )
( ) THLLLTHLTH
LTHLLTHTH
LRRRRR
RRRRRRRE
dRdp =⇒=−+⇒=
++−+= 0202
4
22
TH
TH
REp
4
2
max =⇒
maxpp
1
THL RR
1
Rendimento in potenza:
generatore
carico
PP
=η
Se RL = RTH allora:
21
2
42
2
max
=⇒
=
+⋅=⋅=
==η
TH
TH
LTH
THTHTHgeneratore
TH
THcarico
RE
RREEiEP
REpP
IN CONDIZIONI DI MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA SI HA UN RENDIMENTO PARI AL 50%
ESEMPIO
6 Ω
12 V
a
b12 Ω 2 A
3 Ω 2 Ω
RL
Determinare RL affinché si abbia il massimo trasferimento di potenza al carico. Determinare la potenza massima
Risposta:
W44,134
V 22Ω 9
2
max ==
===
L
TH
TH
THL
RVp
VRR
Reti in Regime Sinusoidale
INGRESSO CISOIDALE
yp (t) dipende dall'ingresso u(t)
INGRESSO CISOIDALE: u(t) = U eσt cos(ω t + ϕ)⋅ δ-1(t) U > 0
a) σ = 0; ω = 0 ⇒ u(t) = U cosϕ⋅ δ-1(t) GRADINOb) σ = 0; ⇒ u(t) = U cos (ω t + ϕ)⋅ δ-1(t) SINUSOIDEc) σ < 0; ω = 0 ⇒ u(t) = U eσt cosϕ⋅ δ-1(t) ESPONENZIALE DECRESCENTEd) σ < 0; ω ≠ 0 ⇒ u(t) = U eσt cos(ω t + ϕ)⋅ δ-1(t) OSCILLATORIO SMORZATODALL'INGRESSO CISOIDALE SI POSSONO RICAVARE COME SOTTOCASI ALCUNI TIPI DI INGRESSI COMUNEMENTE UTILIZZATI.Una rappresentazione compatta di u(t) è la seguente:
( ) ( ) U
asabsbAeAety
eUUjseUetu
nn
mmst
p
jst
⋅++++=⋅ℜ=
⋅=+=⋅ℜ=
0
0
ϕωσ
FUNZIONE DI TRASFERIMENTO
0
0
asabsbA n
n
mm
++++=
h
h
DIPENDE DALLE CARATTERISTICHE DELLA RETE E NON DALL'INGRESSORIASSUMENDO:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) st
n
i
tit
st
n
n
n
n
mn
n
n
esUsHeeAty
eUetu
dtyd
y
ubdt
udbyadt
yda
i ⋅⋅ℜ+=
⇒⋅ℜ=
++=++
∑=
>
−
−
+
+
10
01
1
00
0
λ
l
hh
INGR. CISOIDALE
CONDIZIONIINIZIALINOTE
REL. I/O
RISP.LIBERA RISP.FORZATA
∑=
n
iii
i
teA1
λ
λ FREQ. LIBERE DELLA RETE (soluzioni dell'eq. caratteristica)
Rappresenta il modo di evolvere della rete, indipendentemente dall'ingresso
La risposta forzata evolve, nel tempo, come l'ingresso
se RETE ASSOLUTAMENTE STABILEse RETE SEMPLICEMENTE STABILEse RETE INSTABILE
FREQUENZE LIBEREFREQUENZE LIBERE
ℜe(λ)
ℑm(λ)se la risposta libera converge a zero dopo un certo tempo. Per t→∞ RIMANE LA SOLA RISPOSTA FORZATA
ie i ∀<ℜ 0λ
ie i ∀<ℜ 0λ 0=ℜ∋∃ iei λ 0<ℜ∋∃ iei λ
REGIME SINUSOIDALEREGIME SINUSOIDALE
se s = j ω (ingresso sinusoidale), dopo un certo tempo si instaura il regime sinusoidale
( ) UjHA ⋅= ω
Per tempi molto grandi, possiamo prescindere dall'origine dei tempi e pensare di lavorare direttamente nel campo complesso. La riconversione al dominio del tempo è immediata:
( ) ( ) tjtj eUetueAety ωω ⋅ℜ=⋅ℜ= se
SI UTILIZZA IL METODO SIMBOLICO
ESEMPIO
R
iR
vRL
iL
vL
t = 0
a(t)vu
( ) ( )( )
( ) ( )
=
⋅=
⋅=
==
+==
tuta
dtdiLv
iRv
vvv
iitutatu
LL
RR
LRu
LR
comp. eq.
KLV
KLItop. eq.
RELAZIONE I/O( ) LL i
dtdi
RLtu +=
( ) ( )
+
⋅ℜ+⋅
+−ℜ=
+=⋅⋅ℜ=⋅ℜ=
⋅−
111
1 00
RLs
eIee
RLs
Iei
RLs
sHeUsHeeBeistt
LR
Lstst
Lp
Se ( ) ( ) ( )( ) 0
0000
010 0cos
IeIIeIetu
ItteItujst
t
=⋅=⋅ℜ=
→>⋅⋅= −δωσ
Hp: stato nullostato nullo : iL(0-) = 0
a) σ = 0; ω = 0 ingresso a gradino
b) σ = 0; ω ≠ 0 ingresso sinusoidalePER t →∞ LA RISPOSTA TENDE ALLA SOLA RISPOSTA FORZATA!
ℜe(λ)
ℑm(λ)
0I
0I
t
CASI PARTICOLARI
a)a) σσσσ
==== 0;;;; ωωωω
====
0
0Iu(t)
tgradino
−⋅=+⋅−=
−− tLRt
LR
L eIIeIi 1000
iL(t)
t
0I
λ valore negativo → Rete assolutamente stabile
b)b) σσσσ
==== 0;;;; ωωωω
≠≠≠≠ 0 u(t) = I0 cos ω t sinusoidale
( )( )
( )
( )
+⋅+
=
=
+−⋅
ℜ=
+⋅
ℜ=
+−=
+−ℜ=
tRLt
RLI
RLRLjeIe
RLjeIei
RLI
RLjIeA
tjtj
Lp
ωωωω
ωω
ω
ωωωω
sincos1
11
1
11
20
200
200
12
0
+
−
RLI
ω
t
risposta libera
12
0
+
RL
I
ω
t
risposta forzata
t
risposta completa
METODO SIMBOLICOMETODO SIMBOLICO
IN UNA RETE ASSOLUTAMENTE STABILE, IL REGIME SINUSOIDALE VIENE CONSEGUITO DA TUTTE LE VARIABILI
DELLA RETE
AU , sono due fasori
U
A
ψϕ
ℜe
ℑm verso positivoper le fasi(convenzionalmente)
( )ψϕ
ψ
ϕ
+⋅⋅=
⋅=
⋅=
j
j
j
eUHA
eHH
eUU
Le grandezze sono iso-frequenziali, quindi, dopo un certo tempo, l'istante iniziale perda significato ed è superfluo indicare il riferimento degli assi. L'importante è che le diverse grandezze fasoriali stiano in un determinato rapporto di fase tra loro
ANTICIPO → ANGOLO POSITIVORITARDO → ANGOLO NEGATIVO
Nella figura, è in anticipo rispetto a A V
CASI PARTICOLARI:a) ψ = π / 2 i fasori sono in quadraturab) ψ = π i fasori sono in opposizione di fasec) ψ = 0 i fasori sono in fase
PRINCIPI DI KIRCHHOFFPRINCIPI DI KIRCHHOFF
=
=
=
=
∑∑
∑∑
0
0
0
0
IV
iv
Dominio del Tempo Dominio della Frequenza
U
A
ψϕ
ℜe
ℑm
EQUAZIONE DEI COMPONENTIEQUAZIONE DEI COMPONENTI
A(jω)
I(jω)
V(jω)
H(jω) prende il nome di IMPEDENZA ( )ϖjZ
( )IZV
ZjZ⋅=
=
ω
Se esiste l'inversa della funzione di trasferimento:
( ) ( ) YjZ
jY
==ω
ω 1AMMETTENZA
( ) ( ) ( )ωωϖ jIjHjV ⋅=
VALORE EFFICACEVALORE EFFICACE. In elettrotecnica si utilizzano spesso i valori efficaci delle grandezze sinusoidali, soprattutto quando si parla degli aspetti energetici.Il valore efficace è definibile per tutte le grandezze periodiche:
VALORE EFFICACE = ( )∫T dttf
T 021
Nel caso sinusoidale:
( )2
sin10
22 MT
MeffVdttV
TVV =⋅== ∫ ω
VALORE EFFICACE = ( )∫T dttf
T 021
[ ]
221
22
22122cos2sin
221
0cos0sincossin121cos
2cossincoscossincos2
coscossin)cos1(cossin
sincossinsinsincossin
coscoscos
cos1cos1
cos
2
0
2
22
22
2
2
0
22
0
22
MM
T
TM
TM
M
ATAT
A
TTT
TTT
TT
TT
T
TTT)dtt(
xxxxdxdxxxxdx
xdxdxxxdxxxx
xdxxxxdxxxx
xdxx(x)dx
)dtt(AT
)dtt(AT
A
)t(Af(t)
==
==
+=
=−+=+
+=⇒+=
⇒−++=−+
=+=⋅+
=⋅=
+=+=
+=
∫
∫∫∫
∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫
ππ
ππππ
ϖϖϖϖ
ϕϖ
ϕϖϕϖ
ϕϖ
allora
parti) per o(integrand :ma
Se
RESISTORE
V
I z
GR
yRzIRViRv ===⋅=⇒⋅= 1
( )
( )
( ) ( ) tIVIVtIRtp
III
tIRtptt
tIRivtp
eff
ωω
ωωω
ω
2cos2cos1
222
2cos12
2cos1cos
cos
2
max
2max
2
22max
⋅⋅+⋅=+⋅=
⋅=⋅=
+⋅=⇒+=
⋅=⋅=
t
p(t)
2IR ⋅
pulsazione 2ω
NOTA: La potenza assorbita dal resistore è sempre positiva o, al più, nulla, è pulsante di pulsazione doppia rispetto a quella della tensione o della corrente
IL VALORE V·I E' IL VALORE MEDIO DI p(t) NEL PERIODO E VIENE CHIAMATO POTENZA ATTIVAPOTENZA ATTIVA
IVIRP ⋅=⋅= 2
CAPACITORE C
v
i
( )
( ) CjYC
jCj
jZIV
jVCjIdtdvCi
ωωω
ω
ωω
=−===
⋅=⇒=
CC11
2π
I
V
NOTA: SI PUO' PARLARE DI IMPEDENZA DI UN COMPONENTE SOLO SE TALE COMPONENTE E' NELLO STATO ZERO
Cv
iv' V0 ( )
( ) 0'00'
>=
=−
tdtdvCti
v
( ) tVIttVIttC
Iivtp ωωωωωω
2sincossin2cossin2max =⋅=⋅=⋅=
t
p(t)IV ⋅
pulsazione 2ω
La potenza assorbita è sinusoidale di pulsazione doppia rispetto a tensione e corrente ed ha valore medio nullo. LA POTENZA ATTIVA E' NULLA
La quantità Q = V·I pari all'ampiezza massima dell'oscillazione della potenza istantanea è detta POTENZA REATTIVA.La potenza reattiva si misura in VAR
Se ω=0 → jωC = 0 (regime permanente) Il condensatore si comporta da circuito aperto
•PARALLELO DI CAPACITORI•SERIE DI CAPACITORI
INDUTTOREL
v
i( )
( )Lj
YLjjZIV
jILjVdtdiLv
ωωω
ωω
1===
⋅=⇒=
>>
Se lo stato iniziale non è nullo si può ricorrere al circuito equivalente:
ii'
i(0-)
v
( )ωω jILjVdtdiLv '' ⋅=⇒=
2π
I
VRAPPRESENTAZIONE FASORIALE
è in anticipo di π /2 rispetto a IV
( )
tVItLI
ttLI
tLtIivtp
ωωω
ωωω
ωωω
2sin2sin
sincos2
sin2cos2
2
2
−=−=
=−=
=⋅−=⋅=
t
p(t)IV ⋅
pulsazione 2ω
La potenza istantanea è una sinusoide di pulsazione doppia rispetto a tensione e corrente.
LA POTENZA ATTIVA E' NULLAQ = V·I POTENZA REATTIVA
•SERIE DI INDUTTORI•PARALLELO DI INDUTTORI
MEMORIZZAZIONE DELLO STATO INIZIALEMEMORIZZAZIONE DELLO STATO INIZIALESE NON SI E' NELLO STATO ZERO NON SI PUO' PARLARE DIIMPEDENZA DI UN COMPONENTE
C
v
i ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 000
0
011
cost1
VtqC
VdiC
tv
Ctqtvdi
Ctv
t
t
+≥⋅=+=
=+=
−∫
∫
− τ
ττ
C vc
ivc' V0·δ-1(t)
( ) ( )dtdvCtivc
'00' ==−
Lo stato del capacitore può essere "memorizzato" mediante un Lo stato del capacitore può essere "memorizzato" mediante un generatore di tensionegeneratore di tensione
L
v
i ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) 000
0
011
cost1
ItL
IdvL
ti
Lttidv
Lti
t
t
+≥⋅=+=
=+=
−∫
∫
− ϕτ
ϕττ
iL
iL'
I0 ·δ-1(t)
v
( ) ( )dt
diLtvi LL
'00' ==−
Lo stato dell'induttore può essere "memorizzato" mediante un Lo stato dell'induttore può essere "memorizzato" mediante un generatore di correntegeneratore di corrente
MUTUA INDUTTANZA -1
L1 L2
Mi1 i2
v1 v2
+=
+=
dtdiM
dtdiLv
dtdiM
dtdiLv
121
222
212
111
Hp:non dissipativo
passivo 0221
2112
≥−
==
MLL
MMM
21LLM
k = COEFFICIENTE DI ACCOPPIAMENTO ( k ≤ 1)
L1 L2
Mi1 i2
v1 v2
L1 L2
Mi1 i2
v1 v2
L1 L2
Mi1 i2
v1 v2
L1 L2
Mi1 i2
v1 v2
a) M > 0 b) M > 0 c) M < 0 d) M < 0
+=
+=
121222
212111
IMjILjV
IMjILjV
ωω
ωω
I regime sinusoidale: Se inizialmente si è nello stato zero, jωL1 , jωL2 e jωMsono delle impedenze (Ω).
LA MUTUA A 4 TERMINALI HA LE STESSE EQUAZIONI DI QUELLA A 3 TERMINALI
MUTUA INDUTTANZA -2
Hp: PASSIVO NON DISSIPATIVO ( )
dtdiigiiMiLiL
dtdivivtp
gMMMM
122112
222
2112211
12212112
21
21 ⋅+
++=+=
+=⇒≠
i1
i2
A BPer la condizione di NON DISSIPATIVITA':
( ) 0021 =⋅⇒=∆+∆ ∫ dttpωω
∆ω1 e ∆ω2 devono dipendere solo dagli estremi →p(t) deve essere un differenziale esatto →
g = 0 → M12 = M21 = MInfatti: 012 =⋅∫ diig AREA A TRATTEGGIO SEMPLICE
Lungo le l1 e l2 assume valori differenti . Per la condizione di passività:∫ ⋅ 12diig
( ) [ ] 0210
21
210
2
1
2
1
2122221
211 ≥
⇒∀≥++⇒∀≥= ∫ ∞−
i
i
LM
MLiitiLiMiiLtdttptω
FORMA QUADRATICA SEMIDEFINITA POSITIVA → MINORI ≥ 0 →
L1 ≥ 0 L2 ≥ 0 L1 L2 -M2 ≥ 0
l1
l2
TRASFORMATORE IDEALE
Se k = 1 (accoppiamento stretto)
222
11
221
112
2
1
221
111
22
1212
221
111
21
vnvLLv
dtdiLL
dtdiLv
LL
dtdiLL
dtdiLv
dtdiL
dtdiLLv
dtdiLL
dtdiLv
LLM
⋅=⋅=⇒
+=
+=⇒
+=
+=
=
Nel dominio della frequenza:
21221112
2
1
221111
VnVILLjILjV
LL
ILLjILjV⋅=⇒
+=⋅
+=
ωω
ωω
1
2
2
1
12
1 1LL
IV
LjII −=
ω
Per L1 , L2 → ∞ si può trascurare il termine mentre da cui:2
1
1
1IV
Ljω nLL 1
1
2 =
−=
=
21
21
1 In
I
VnVTRASFORMATORE IDEALE
n:1
1V 2V
1I 2I
ESEMPIO
j
j 2j 1E
11I 2I
1V2V
Calcolare e a regime1I 2I
( ) tte ωcos302 ⋅=
( )
( )( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) A
A A
10142222
6,264,2221052510
23530
36530
53
56
521130
52
521
21
210
130
120
130
2
1
11
1112
21
21
221
211
−=+⋅−=+⋅−⋅−=
°−∠=−⋅=−⋅⋅=+⋅⋅=
+⋅=
⋅
+=⋅
−−+=
⋅−−=⋅−⋅−=⋅+−=
⋅++⋅=
⋅+⋅+=⇒
⋅+⋅+⋅=
⋅+⋅+⋅=
jjI
jjjj
I
IjIjj
IjIjjIjjI
IjIj
IjIj
IIjIj
IjIjI
E
1I
2I
ESEMPIO
jω
jω j2ω 3Ω
2Ω1I 2I
1V2V tv 10cos1001 =
trovare la tensione e v2(t)2V
( )
( )
( )( )
( )
( ) ( )V V
A
21,210cos6,257,1266,257,12653,83
7,12653,8674,362,117
107094
1076
2346232
23
20
2
230
2
222
33
2
221
21
1
2
21
211
+−=°∠−=°∠⋅−=⋅−=
°∠=°−∠
=+−
=+−⋅=
=+−++
⋅=+++
⋅=
+−
−+−
+
=
⋅++⋅−=
⋅−⋅+=
ttvIRV
jj
jj
Vj
jjVj
jjVj
jj
jjj
Vj
I
IjIj
IjIjV
ωωω
ωωωωω
ωωωω
ωω
ωωω
ω
ωω
ωω
TEOREMI DI THEVENIN E NORTON
RETE ATTIVA
I
VRete attiva costituita da componenti lineari tempo-invarianti
I
Veqz
eqETHEVENINTHEVENIN eqeq EIZV +=
NORTONNORTON
EQUIVALENTECIRCUITALE
Il duale è il teorema di NortonI
VeqyeqA EQUIVALENTECIRCUITALE eqeq AVYI +⋅=
ESEMPIO
500 Ω
500 Ω-j250 Ω
A
B
°∠010 Trovare gli equivalenti di Thevenin e Norton
THEVENINTHEVENIN
Ω°−∠⋅=−=+⋅+−=°∠=
+⋅= V 452250250250
50050050050025005
50050050010 jjzE eqeq
NORTONNORTON
( )
( )
c.v.d.
eqeqeq
eqcc
CBCB
cc
eqeq
AyE
AI
jj
jj
jj
Vj
VI
zy
=°∠=°∠⋅
=⋅
=°∠=°∠⋅
=°−∠⋅
°−∠=
°−∠=−−⋅°∠=
−−+
−−
⋅°∠=−
=
°∠⋅=Ω°∠⋅
== −
4501414,0452250
5
4501414,045502
1902502
455
452
522
010
250500250500500
250500250500
010250
4510828,2452250
11 3
C
D
A
B
500 Ω
500 Ω-j250 Ω
°∠010
B
C
Icc
PARTITORIPARTITORE DI TENSIONE:
∑∑⋅=⇒
⋅
=
⋅=
ii
ii
ii
ii
zzEV
IzE
IzV
E
I
1z 2z iz nz
iV
1z
2zU
2U
1U
21
22
21
11
zzzUU
zzzUU
+⋅=
+⋅=
1y 2y 1−ny ny A
∑∑⋅=⇒
⋅
=
⋅=
ii
ii
ii
ii
yyAI
VyA
VyI
PARTITORE DI CORRENTE:
V
1y 2y
I
1I 2I
21
1
21
22
21
2
21
11
ZZZI
YYYII
ZZZI
yyYII
+⋅=
+⋅=
+⋅=
+⋅=
n = 2n = 2
valore medio
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) tVItVItp
ttttttVItItVivtp
tVeezIetveIzeIezIzV
ezzeIIeIetIti
tjj
jjj
j
jtj
ωϕωϕωϕωϕωϕω
ωϕωωϕωϕω
ω
ωϕ
ϕϕ
ϕ
ω
2sinsin2cos1cos2sinsin2cos1coscoscos2 :ma
coscos2cos2cos2cos22
2cos2
0
0
⋅−+⋅=−+=+
+=⋅+=⋅=+=⋅⋅ℜ=
⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅=⋅=
⋅=⇒⋅⋅ℜ=⋅⋅=
POTENZE IN REGIME SINUSOIDALEPOTENZE IN REGIME SINUSOIDALEI
V zl
Potenza Attiva istantanea Potenza Reattiva istantanea
]W[ AttivaPotenza cosϕVIP =
valore massimo
]VAR[Rettiva Potenza sinϕVIQ =
( ) [VA] ApparentePotenza Complessa Potenza
VIIVQPSjQPS
=+=+=+=
ϕϕ 222222 sincos
S
ϕcosVI
ϕ
TRIANGOLODELLE POTENZE
VI·si
nϕ
Si dimostra facilmente che:
I
V z>
*IVS ⋅=>
Infatti:
ψϕψϕ
ψ
ϕ
jjjj
j
j
eeVeezIIzVeII
ezjXRz
⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅=
⋅=+=
>
>>
:allora se
Perciò:
SjQPjVIVIeVIeIeVeIV jjjj
=+=⋅+⋅==⋅=⋅⋅=⋅ −
ϕϕ
ϕψψϕ
sincos
*
P rappresenta la potenza dissipataQ rappresenta la potenza scambiata con altri accumulatori di energia
cos ϕϕϕϕ : fattore di potenza del carico
CASI PARTICOLARICASI PARTICOLARI
CAPACITORE ϕ = π/2 anticipo ( ) tVItp ω2sin−=
t
p(t)VI
IV
I
V2π
P = 0Q = -VI
RESISTORE ϕ = 0
IV
( ) ( ) ( )tRItVItp ωω 2cos12cos1 2 +=+=valore medio: P = VI
Q = 0t
p(t)
2RII V
INDUTTORE ϕ = π/2 ritardo ( ) tVItp ω2sin=
t
p(t)VI
I
V2π P = 0
Q = VIIV
TEOREMA DI BOUCHEROTTEOREMA DI BOUCHEROT
Dal teorema di Tellegen: 0''' =⋅∑h
hh iv
In regime sinusoidale:
Applichiamo Tellegen agli insiemi delle *e hh IV
( ) 0* =+=⋅ ∑∑h
hhh
hh jQPIV
Affinché sia verificata deve essere:
0
0
=
=
∑
∑
hh
hh
Q
P
*; hh IV
RIFASAMENTORIFASAMENTOLI
ELI
ϕjezz ⋅= CC
zEI
zEQ
zEP
LC
CC
=
== ϕϕ sin;cos22
ϕsinzECLI
ECjω 'LI E
ϕ
'LI
ELI
zCECjω Per Boucherot:
0=++ zcg QQQ
RIFASARE SIGNIFICA IMPORRE: Qg = 0 CIOE': Qc + Qz = 0
ωϕωπ
ωϕ
zCCE
CEQ
zEQ cz
sin2
sin1
;sin 222
=⇒−=
−==
LA CAPACITÀ DIPENDE SOLO DAL CARICO E DALLA PULSAZIONE
zE
zjCjE
ezCjEI jL
ϕϕϕωω ϕcossincos1' =
−+=
⋅+=
IN FASE CON (GENERALMENTE cos ϕ' ≅ 0,9 )E
( )
( )
( )2
'
''
'tantan
'tantan
'tantancoscos
'tancoscossincos
'tancossin'sinsin
'coscoscos'cos
0
0
VPC
VPCVI
IVVII
IIIII
IIII
QQQ
PP
c
LLc
LLLLc
LLLL
zcg
zg
ωϕϕ
ϕϕω
ϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
−⋅=⇒
−⋅==
−⋅=
−⋅=
⋅−=−=
=⇒=
=++
=+
LI
cI'LI
V
ϕ 'ϕcI
ϕ'ϕ
cQ
'Q
QS
P
'S
TRA I CARICHI CHE OCCORRE RIFASARE:MOTORI ASINCRONILAMPADE A SCARICA CON REATTORE DI STABILIZZAZIONEFORNI AD INDUZIONEetc
Es: Lampada fluorescente da 20 W → C ≅ 5 µµµµFLampata fluorescente da 100 W → C ≅ 18 µµµµF
MASSIMO TORNACONTO PER L'ENTE cos ϕ = 0,95 ÷ 0,97
Norme: Per P ≥ 15 kW
cos ϕ ≥ 0,9 Nessuna Penale
0,7 ≥ cos ϕ ≥ 0,9 Penale: nel periodo di fatturazione
cos ϕ ≤ 0,7 Obbligo di Rifasamento
( )∫∫ PdtQdtf
ESEMPIO: impedenza equivalente
X1
X3
X2RR = 10 ΩΩΩΩX1 = 2 ΩΩΩΩX2 = 5 ΩΩΩΩX3 = 6 ΩΩΩΩ
( )( ) ( )( )
°−∠=−
−=−
−−+−=
=−−
−+=−−+−+=
9,6443,810
802810
2203060
210
65101
32
32
jj
jjjj
jj
jjjXjXjXRjXjXRzeq
ESEMPIO 2 F2 Ω 2 H
1 F1 Ω 1 Ωe(t) v2(t) v2(t) = ?
e(t) = cos(t-π/4)
2 Ω j 2
1 F1 Ω 1 Ω
-j 0,5
°−∠ 451 EI
eqz ( ) ( )
22
2
1
25111
IV
jjjII
zEI eq
⋅=
++−−=
=
1
2
1-jj 1,5
EI
2I
( )( )
( ) ( )°−⋅=°−∠=
°−∠=°∠
°−∠⋅°−∠=+
−⋅°−∠=
°−∠=°−∠
°−∠=
°−∠=°∠°∠=
−+=
−++++−=+
−++−+=
103cos21,010321,0
10321,01406,2
4524431,05,02
14431,0
4431,0124,3
451
124,31406,21367,6
5,025,15,6
5,0245,15,112
15,1115,11
22
2
ttvV
jjI
I
jj
jjjj
jjjjzeq
ESEMPIO
2 H1 Ω
e(t)i(t) C
e(t) = 3 cos t - sin ti(t) = 2 cos t + sin tC = ?
( ) ( )
( ) ( )464,0cos5
322,0cos10
+=
−=
tti
tte
( ) 464,025
322,02
10
∠=
−∠=
ti
E
F 11211
142
21
=⇒=⇒−+=−
−=−∠==
−+=
Cxjxjj
jIEz
jxjz
cc
eq
ceq
π
ESEMPIO (Teorema di Boucherot)1 j
jX R20=E
I 1
0
XI RI10V
La potenza complessa erogata dal generatore è:
Calcolare i valori di R ed X
( )jS −⋅= 1100C
( )( ) ( )( ) ( )
RI
Rj
RVI
XI
Xj
jXj
jXVI
jjjjIjEVjIjjESI
IES
RR
XX
5001020
50020101020
102012152055120145505555201100
10
10
10
*
*
=⇒−==
=⇒+=−==
−=−+−=++−=+−=°∠=+=⇒−=−⋅==
⋅=C
C
Essendo:
XIXISmQ
RIRISeP
X
R
500501100
500501100
22
22
+=⋅+⋅=−=ℑ=
+=⋅+⋅==ℜ=
C
C
−=
Ω=⇒
=−−
=−⇒
310
10
50050100
60050100
X
R
XX
RR
Reattanza Capacitiva
ESEMPIO (Teorema di Boucherot)
XC
R2
XL
R11I 2IIPQ
VAR ; kW
A; A; A
04,2
242020 21
==
===
QP
III
Calcolare R1 , XC e la potenza reattiva assorbita da XC
⋅+⋅=+=
⋅+⋅=+=
222
21121
22
21
IRIRPPP
IXIXQQQ LCLC
(Teorema di Boucherot)
( )( ) ( ) UIjXRIjXR
IIXXIXIXQ
LC
LCLC
=⋅+=⋅+
=−=⇒=⋅+⋅⇒=
2211
2122
21 00
Essendo le correnti uguali in modulo e le reattanze uguali in modulo, ed essendo i due rami in parallelo, sarà: R1 = R2 , da cui:
( ) Ω=⋅===⇒== 340022400222 2121
222
211 IPRRIRIRP inoltre è:
2
221
21
1
21
211
21
21 I
UXRIU
XRIXRU =+⇒=+⇒⋅+= ma:
VAR
V
16004004
4320
10010024
2400
21
22
2212
2
=⋅=⋅=⇒
Ω=−=−====⇒⋅==⇒=+=
IXQ
RI
UXIPUIUPSPjQPS
CC
C
capacitivi
ESEMPIO (Rifasamento)A' A
12C
Si valuti il fattore di potenza complessivo cos ϕt e il valore efficace della corrente totale per i carichi 1 e 2, alimentati con una tensione di 500 V alla frequenza industriale di 50 Hz
Si rifasi eventualmente il carico a cos ϕ't = 0,95 e si valuti l'indicazione dell'ampermetro A' dopo il rifasamento.Dati: P1 = 10 kW , Q1 = 10 kVAR , Q2 = 8 kVAR , cos ϕ2 = 0,5
( ) ( )( ) 63,01461918000arctancosarctancoscos
38,46231891800014619
1800146194619732,1
8000tan
2222
21212
22
===
==⇒=+=+=
=+==+====
ttt
ttttt
tt
PQ
USIQPS
QQQPPPQP
ϕ
ϕ
A VA
VAR W W
occorre rifasare a cos ϕ = 0,95:
A
VA ;VAR
F
78,30500
15389''
15389480514619'4805131951800018000'
16850050232902314619'tantan
222
22
===
=+==−=−=−=
=⋅⋅
⋅=−=
USI
SCUQQQ
,-,U
PC
tt
tCtt
t
ω
µπω
ϕϕ dopo il rifasamento:
(Lettura dell'ampermetro A')
METODO DI ELIMINAZIONE DELLE TENSIONIMETODO DI ELIMINAZIONE DELLE TENSIONI
Rete di bipoli (non vincolante)
I z
Iz ⋅
E
01
01
=++−
=−
∑∑
∑
kkk
k
IzEnl
In
ESEMPIO
B
7 lati5 nodi 7 equazioni
5z
A
B
5zA
5z
eqE2E
4z
=−−
=−−
=−−
−=−
=−−
=+
0
0
0
0
0
55442
23322
22111
54
321
61
IzIzE
EIzIz
IzIzE
AII
III
II
Correnti indispensabili:Le correnti dei generatori si possono eventualmente ricavare in seguito.
7321 ,,, IIII
E' indispensabile conservare le equazioni ai co-cicli dove non compaionole correnti dei generatori. Le 4 equazioni sono:
1E
1z
1I 2I
2z
3z
3I2E
7I
4z
4I 5I
5z A
A
6I
=−−
=−−
=−−
=−−
0
0
0
0
321
55442
23322
22111
III
IzIzE
EIzIz
IzIzE
Discende dalle equazioni di Maxwell →Solenoidalità delle CorrentiSi introducono delle correnti fittizie che siano di per sé solenoidali (base vettoriale su cui si proiettano le correnti reali )I
METODI ABBREVIATI DI ANALISIMETODI ABBREVIATI DI ANALISIMETODO DELLE CORRENTI CICLICHE [ ] EJZ =⋅
[ ]
=
MMMM
M
M
zzz
zzzzzz
Z
21
22221
11211
Es:
1E
1I
2I
2E1z
4z4I 5I
5z
3I3z
6zA
6I
AJBJ
CJ
M = l – (n - 1) jiij zz =
ji
ii
zz
Impedenza propria della maglia iImpedenza mutua tra le maglie i e jdella maglia i
[ ]
=
2
1
1
J
JJ
Correnti ciclicheNelle maglie
[ ]
+
=
iM
i
M
v
E
E
E
EE
1
1
1
• Evi è la somma dei generatori di tensione nella maglia i, prese con segno + se concordi con il verso di Ji e viceversa
• Eii è la somma delle tensioni dovute ai generatori di corrente collegati agli estremi dei lati della maglia i(prodotto della corrente per l'impedenza del ramo a cui è collegato) preso con il segno + se la caduta di tensione provocata in quel ramo dalla sola corrente del generatore è concorde con Ji e viceversa
ESEMPIO
1E
7X
4I1J
4R
5I5X 2J
2E
1X1I 2I 2R
6X
3J
7R
4J
3E
8I3X8X
( )( )( ) ( )
Ω=========
+==
=
36
4cos100cos2200
sin2100
876531
742
3
2
1
XXXXXXΩRRR
ttette
tte
πωω
ω
−−
−=
−−−−
−−
+===
50500200100
33303612063063
0636
5050;200;100
4
3
2
1
321
j
j
JJJJ
jjjjjjj
j
jEEjE
METODO DEI POTENZIALI NODALI
SI BASA SULLA PROPRIETA’ DI IRROTAZIONALITA’ DELLE TENSIONI
1A
3A
E3U
1Y2Y
2U
1U
3Y
4Y 2A
12 3
0=⋅∫ ldE Legge di Kirchhoff delle tensioni
Qualsiasi tensione di lato è esprimibile come somma algebrica dei potenziali di nodo.
LE COSTITUISCONO UNA BASE PER LE TENSIONI
[ ][ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
+
=
=
=
=
−−−−−−−
−
1
1
1
1
1
1
1,12,11,1
1,12,11,1
vN
v
iN
i
NNNNN
N
A
A
A
AA
U
UU
YYY
YYYY
AUY
2U
[ ][ ] [ ]
[ ]
[ ]
[ ]
+
=
=
=
=
vN
v
iN
i
N
NNNN
N
A
A
A
AA
U
UU
YYY
YYYY
AUY
11
1
21
11211
N = n –1 nodi indipendenti
ij
ii
jiij
YY
YY
== ammettenza propria del nodo i
= ammettenza del lato che collega i nodi i e j presa col segno negativo
Potenziali degli n–1 nodi rispetto all’n-esimo
Aij = somma delle correnti dei generatori di corrente che incidono sul nodo i, positivi se entranti
Avi = correnti dovute ai generatori di tensione inseriti in lati convergenti nel nodo i(f.e.m. × ammettenza del lato) positivi se il generatore da solo fa circolare corrente entrante
NOTA: SI PARLA DI NODI CHE SONO CASI PARTICOLARI DI CO-CICLI. IN PRATICA SI CONSIDERANO I CO-CICLI FONDAMENTALI RIFERITI AD UN ALBERO A STELLA
12 ΩΩΩΩ 1/18 F 1/6 F
14cos2t 9 ΩΩΩΩ 3 ΩΩΩΩ 3/2 H
Trovare i(t) con l’analisinodale
14 9 312 -j9
A B
j3-j3
−=
−+−
−++−
0
91214
331
33
3391
9121
j
U
U
jjj
jjj
B
A
i(t)
( ) ttij
UIjj
jj
jj
U BB 2cos5,05,0
35,1
1244,01669,0
03
91214
391
9121
====+
−
−++
−
=
N.B. ho lavorato con i valori massimi
ESEMPIO
METODO DELLE CORRENTI CICLICHE: OSSERVAZIONI
( )
=−+=+−
=−−
0
0
21
2243
111
JAJEJzzV
VJzE
x
x
LA PRESENZA DI GENERATORI DI CORRENTE INTRODUCE UNA DESTRUTTURAZIONE DEL METODO, INTRODUCENDO INCOGNITE MISTE ( V, J ) E TERMINI NOTI MISTI ( E , A ).
ANALOGAMENTE PER IL METODO DEI POTENZIALI NODALI.
E’ IMPORTANTE LA SCELTA OCULATA DELLE MAGLIE E DEI NODI.
1E A2J
1z
xV
3z
4z1J
2E
ESEMPIO:
R
R
R
R
AI I3
1J 2J
3J
+=−−=
=
Ω==
132
122
1
2323
10
JJJJJJ
AJ
RA 1A
=−=
A 10A 10
3
2
JJ
THEVENIN IN PRESENZA DI GENERATORI PILOTATI
R0
R
E
I
iθi VAB
A
B
A
B
R0
ERR0θ−
R0
R
E
I
iθi VAB
A
B
A
B
R0
0iRθ−
N.B.GRANDEZZA PILOTANTE ESTERNA: POSSIAMO PASSIVAREGRANDEZZA PILOTANTE INTERNA: NON POSSIAMO PASSIVARE
ADATTAMENTO ENERGETICOADATTAMENTO ENERGETICO
ReteAttiva
A
BCzC Per il T. di Thevenin
A
B
E CzCVI
gzC
Quali sono le condizioni nelle quali assorbirà la max potenza attiva?Cz
( )
( ) ( ) CCgCg
C
Cg
C
CgCgCg
C
CCCCg
C
Cg
RXXRR
Ezzz
ESeP
zzz
Ezz
Ezz
zEIVjQPS
jXRzzz
zEVzz
EI
⋅+++
=⋅+
=ℜ=
⋅+
=+
⋅+⋅=⋅=+=
+=+⋅=
+=
22
2
2
2
2
2
*
**
;;;
Max P:Poiché XC 0 → XC + Xg = 0 → XC = - Xg
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
*
32
32
4
22
2
2
0
22
gCgCC
Cg
Cg
Cg
CCg
Cg
CgCCg
C
CCg
ZZRRdRdP
RR
RRE
RR
RRRE
RR
RRRRRE
dRdP
RRR
EP
=⇒=⇒=
+
−=
+
−+=
+
+−+=
⇒⋅+
=
TEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZATEOREMA DEL MASSIMO TRASFERIMENTO DI POTENZA
