非線形安定な重力・スカラー理論

白水 徹也名古屋大学大学院多元数理科学研究科

神戸大学 素粒子宇宙論研究室セミナー 2014年4月30日

Nozawa and Shiromizu, Physical Review D89, 023011(2014)

Content

1. Introduction

2. Positive mass theorem

3. Einstein-scalar system

4. Future issues

1. Introduction

加速膨張と重力

宇宙の加速膨張の発見

一般相対論 ⇒ 宇宙項/ダークエネルギー

或は、重力理論の修正

様々な模型の提案がなされている。

更なる実験・理論からの制限が望まれる。

理論からの制限？

新しい指導原理の可能性

より現実的に、一般相対論をお手本に

一般相対論は非線形レベルでの安定性が保証されている。

Positive mass theorem(PMT)

そもそも線形レベルで安定な理論を構築することは当然要求されることであるが、非線形レベル(full order!)での安定性を見極めることは一般に難しい。しかし、挑戦してみよう。

Positive mass theorem(PMT)

Einstein方程式 + (dominant) energy condition

・漸近的に平坦, 正則な時空の質量は非負(M≧0).

・M=0⇔平坦時空 (時空の剛性)

Schoen&Yau 1981, Witten 1981

r

Mgij

21~

“正則な時空の基底状態は平坦時空”

目標

Positive mass theoremが成り立つ理論の構築を目指す！

参考：Boucher, Townsend, 1994

matterLUXRgxdS )(4

gX2

1

22

)(12)(

8)(

W

d

dWU

漸近的にanti-deSitter時空が主な考察の対象(漸近的に平坦な場合も含む)

deSitter-anti :constant )( ) W例

今回

matterLXKRgxdS ),(24

gX2

1

)(form canonical) UXKcf 　

２つの場合に限られる。(i)

(ii)

22/1 )(12)()(

24

WX

d

dWK

22

)(12)(

8)(

W

d

dWXUXK

action

Nozawa & Shiromizu 2014

宇宙論的な解を含まない

標準形＋”superpotential”

2. Positive mass theorem

Back to Witten 1981

正定値性: essence

方程式Witten-Dirac 0 i

i

i

Si dSM

~

di

i )(

d 22||

dT 2

00

2 ||||~ 0

行列Dirac : spinor, :

0 If 00 T 0 M

剛性

0

0||||~ 2

00

2 dTM

0 R Minkowski時空

04

1],[

ijji R

より正確には

iN :

VGiN 2

0 i

i

duNdSN

2

1

ベクトルの未来向きの単位法線時間一定面 : u

][0 , i

dVGTdSNGM i

0

2 8||22

18 0

iV :

≧0 (dominant energy condition)

Nester tensor

3. Einstein-scalar system

Nozawa & Shiromizu 2014

Model

matterLXKRgxdS 2),(24

gX2

1

action

KgKT X )(

)()( matterTTG

一般にエネルギー条件を満足していない。

変更の余地

0ˆ ,)(ˆ i iA

ˆ

Dirac-Witten方程式 0 i

i

遠方で十分早く減衰し、質量への寄与がなくなるとする。

Nester tensor

)(ˆˆ)(

)(2

ˆˆ2ˆ

AAiAAi

FFi

VGiN

)(2 ][][ AAAF

AA 要請1

符号がコントロールできない

)(2

ˆˆ2ˆ FFi

VGiN

質量の表式

0ˆ ,)(ˆ i iA

RgRG 2

1:

FiS :

)(2: ][][ AAAF

iV

uSVGidGM ˆˆ28

戦略

spinor: 0ˆ ii

i

SidSM

ˆ~

di

i )ˆ(

dSTT matter 0)(

0000

2|ˆ|

KgKT X )(

Einstein方程式

この部分が非負になるようなスカラー場の理論の構成を行う。

FiS :

)(2: ][][ AAAF

Aμの候補

dSTTM matter 0)(

0000

2|ˆ|

)(, T

SAA 2,

Aはスカラー場に依存している筈であるが、スカラー場の微分∂Φは入らないであろう。

AA を満足するものとして

)(WA

dSTTM matter 0)(

0000

2|ˆ|

)(WA

Sμの表式

FiS

d

dWXfXf

)(),(4),(

2

1: 1

KgKT X )(

キャンセルするようなK探す

2124 WVWi

222222 12)(8)(

2

1WWfffVi

要請2

22

22

2

)(12)(

8

W

d

dWfXfK

fKX

0|| 20)(

00 ST

理論の絞り込み

22

22

2

)(12)(

8

W

d

dWfXfK

fKX

2

2

)(128

WK

WKXK

X

X

088

2

22

X

XX

X

XXK

WXK

K

WKXK

0)( XXKi

08

)(2

2

XK

WXii

22

)(12)(

8)(

W

d

dWXUXK

22/1 )(12)()(

24

WX

d

dWK

Case (ii)

22/1 )(12)()(

24

WX

d

dWK

一様等方宇宙に対して

)(t 02/2 X

う。が純虚数になってしま因子 2/1)( X

Case (ii)は宇宙論には用いることができない。

まとめ

matterLXKRgxdS ),(24

gX2

1

(i)

(ii)

22/1 )(12)()(

24

WX

d

dWK

22

)(12)(

8)(

W

d

dWXUXK

actionNozawa & Shiromizu 2014

No cosmological solution

Canonical form with “superpotential”

4. Future issues and others

Future issues

・より一般の系に対しては?

・修正重力理論？Non-linear massive gravity,…

・spinorを用いた手法は超重力理論へのバイアスが働いている可能性がある。Positive energy theoremに対するSchoen-Yauによる別証明を採用すると議論はどう変わるのか？同じ結果が出れば嬉しい。

AA

)(WA 最善の選択か？

R+R2

2

2

4

2

1RRgxdS

Strominger 1994

2R を満たす漸近的に平坦な時空の質量は非負。

)1ln(: ,)1(~ 22 RgRg

)()

~(

2

3~~~ 24 VRgxdS2

2

)1(2

)( eV

Dominant energy conditionを満足しているEinstein理論と等価。

証明： )(V

Non-linear massive gravity

非線形レベルでの安定性の全貌は明らかでない。

球対称の場合 Volkov 1404.2291

・漸近的に平坦で正則で質量は非負な場合がある。・質量に下限がない場合もある（非線形レベルではghostがある）。・正質量セクターと負質量セクター間の遷移はない。

球対称性を外すと結論がどうなるか依然不明。

基礎1：一般相対論と加速膨張

一般相対論

GTRgR 82

1

時空の曲がり具合（幾何学） 物質のエネルギー（質量）

アインシュタイン方程式

・ブラックホール

・膨張宇宙

物質と減速膨張宇宙

)3(3

4P

G

a

a

))(( 2222222 dzdydxtadtcds 一様等方宇宙

圧力

エネルギー密度

:

:

P

0 0,0 aP

加速膨張の意味すること

08

定数G

P

03 0 Pa

観測的には、宇宙定数

が優勢であることが示唆されている。

023 P

基礎2：Positive mass theorem

共変微分

ˆˆ

ˆˆ

4

1

ˆˆ

ˆˆ

4

1 ,

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

4

1)(

局所Lorentz変換 ˆˆ

ˆˆˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

ˆ

ˆ

ˆˆ

0:ˆ

ˆˆˆˆ

ˆ

ˆˆˆˆ

eeeeeeD

0 gD

Witten spinor

0 i

iD

],[)()(8

1 ,)( ˆˆ

ˆˆ)1()1(

klj

l

i

jk

i

n

i

n

ii eDeD

ji

l

j

k

ikl eeg ˆ̂ˆˆ )()(

S

cehypersurfa spacelike dim.-1)-(n :),( q

(Dirac-Witten equation)

0 r

We have solutions which are asymptotically

approaches a constant spinor

Proof

2)1(22 ||4

1||||

2

1 RDDD n

i

i

2)1(22

0 ||4

1||.).(

2

1||8 RDccDdSM ni

iADM

0 0)1(

ADM

n MR

0],[ ],[ 0 0 )1( lk

ijkl

n

jiiADM RDDDM

∑ is flat space

Surface integral

00

00

)1(

11

)1(

0

11

1

)(4

1

)(.).(2

1

j

ji

j

ij

i

A

A

i

i

j

njn

hhdS

dSdSccDdS

01

)1(

0101 nD

0

)1(

101010

0

)1(

10

0

)1(

0)(

0)( 0

i

ni

A

A

i

n

i

i

i

n

i

i

i

iD

1

)1( 1],)[(

16

1njk

j

i

kk

i

j

i

n

rOhh

ki

kjj

i

j

i

ijijij eheehg )(2

1)( )( ,

ˆ)0(ˆ(0)ˆ

1

付録1：Horndeski理論

作用

),(2 XKL

5432

4 LLLLgxdS

2

33 ),( XGL

222

444 )()(),( XGRXGL

32232

5

55

)(2))((3)(6

1

),(

XG

GXGL

metricとsingle scalarの２階微分方程式の一般形

付録2：Strominger 1984の拡張

一般化

2

2

4

2

1RRgxdS

)2/1( /2 Rを満たす漸近的に平坦な時空の質量は非負。

)1ln(: ,)1(~ 22 RgRg

)()

~(

2

3~~~ 24 VRgxdS2

2

2

)1(2

1)(

eV

Dominant energy conditionを満足しているEinstein理論と等価。

D次元

2

22

1RRgxdS D

/2R を満たす漸近的に平坦な時空の質量は非負。

2

1

2

2 1 ,ln)2(: ,~

DRDgg

)()

~(

2

1~~~,

2 D

D VD

DRgxdS

2

)2(2

4

)2(2

2

2

,2

1)(

D

D

D

D

D eeV

Dominant energy conditionを満足しているEinstein理論と等価。

)(V