Costruzioni in acciaio carico di punta aste composte

8/18/2019 Costruzioni in acciaio carico di punta aste composte

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1

IL CARICO DI PUNTA NELLE ASTE COMPOSTE A TRALICCIO O A CALASTRELLI

(Caironi-Instabilità dei telai piani §3.9)

(Revisione 5-3-2010)

TIPOLOGIETralicciate Calastrellate Abbottonate (Imbottite)

Fig. 9.57 (Ballio)


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2

Influenza del taglio sul valore del carico critico

Nella trattazione del carico critico si è finora trascurata l’influenza della forza di taglio sulla

deformazione dell’asta, avendo usato l’equazione della linea elastica che tiene conto solo del

momento flettente.

Con riferimento alla figura 1 si ha:

x

V+dV

y dx

V γ

dy

y

+ ϕ

V

N

x

Fig. 1

VGA/GA

V

dx

dy χ=

χ=γ=

curvatura dovuta al taglio:dx

dV

GAr

1costantesezione per V

GAdx

d

dx

yd

r

1

V

2

2

V

χ=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ χ==

curvatura totale:dx

dy Ntan Nsen NV;y NM

dx

dV

GAEI

M

dx

yd

r

12

2

≅ϕ≅ϕ==→χ

+−==

yEI

N

dx

yd

GA

N1

dx

yd

GA

Ny

EI

N

dx

yd2

2

2

2

2

2

−=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ χ−→χ

+−=

ydx

ydy

NGA

1EI

N

dx

yd 2V2

2

2

2

α−=→⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ χ−−=

Formalmente identica all’equazione differenziale che prescinde dal taglio. Il carico critico, che

indicheremo con Ncr,V, si ottiene quindi per valori di αV uguali a quelli assunti dalla costante

EI/ N=α nei diversi casi di Eulero. Si ha pertanto:

EI

N

NGA

1EI

Ncr 2

V,cr

V,cr 2

V =α=

⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ χ−=α

da cui, risolvendo rispetto a Ncr,V, si ottiene:


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3

VGA:con

NGA

1

N N

cr

cr V,cr

γ=

χχ

+=

L’espressione della tensione critica diviene:

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

λπχ

+λ

π=

χ+

σ=σ

AE

GA1

E

NGA

12

22

2

cr

cr V,cr

2

eq

2

22

2

V,cr

E

GAEA

E

λπ

=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ χπ+λ

π=σ

Il terminecr

N

GA

χ è trascurabile rispetto all’unità nelle aste a parete piena, mentre in quelle

composte può far diminuire notevolmente il carico critico.

Aste composte con correnti distanziati (Ballio §9.2.3.1)

La CNR 10011 fornisce le espressioni di λeq per le varie tipologie di aste composte.


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4

Esempio: collegamento a calastrelli

Se si considera il calastrello infinitamente rigido rispetto ai correnti si ha:

L /20

V/2

I1y

V/2

η/2

=

correntesingolodelsnellezzai

Lcon

EA12GA

correnti)duediareaA(i2

AI;

EI24

L

V

L/

VGA

V

EI24

L

EI3

)2/L(

2

V

2

y1

01

2

1

2

y1y1

y1

2

00

y1

3

0

y1

3

0

==λλ

=χ

===η

=γ

=χ

=η→=η

2

1

22

1

22222

eq12GA

EA λ+λ≅λπ

+λ=χ

π+λ=λ

N.B. λ1 va calcolata rispetto all’asse di minima inerzia e deve essere < 50. Verificare con ω curva c.


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5

Verifica calastrelli

I calastrelli sono soggetti a flessione e taglio:

d

LVVL

2

V

2

dV 0c0c =→=

Il taglio V è teoricamente nullo se il carico è puramente assiale. Si assume un valore, detto taglio

fittizio:

)10011CNR (100

NV

ω=


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6

Aste composte con elementi ravvicinati (Ballio §9.2.3.2)

Si dicono ravvicinati se la distanza d fra i

baricentri dei correnti è piccola rispetto al

raggio giratorio i1y del singolo corrente,

più precisamente secondo alcune

normative:

d < 3 i1y

Si ricorda che il raggio giratorio

dell’intera sezione composta vale:

iy2 = i1y

2 + (d/2)2

Spesso le aste di parete ed i correnti delle

travi reticolari sono realizzati con due

angolari a lati uguali. Poiché le lunghezze

di libera inflessione nel piano della trave e

nel piano perpendicolare sono uguali, non

ha interesse avere momenti d’inerzia

diversi, interessa solo impedire

l’inflessione del singolo angolare intorno

all’asse di minima inerzia. In questo casoil collegamento non deve assorbire forze di scorrimento e ha solo la funzione cinematica illustrata


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7

in figura. Ciascuno dei due angolari verrà verificato come asta semplice soggetta a N/2 con i = i 1y =

i1z

Il collegamento può essere realizzato con imbottitura (anche una semplice rondella) ed un solo

bullone.

Se invece si vuole sfruttare l’aumento di momento d’inerzia ΔΙy = A1 d2/2 della sezione composta, il

collegamento deve essere più efficiente (v. figura) sia per l’imbottitura che per i calastrelli. Sarà un

collegamento saldato o con almeno due bulloni in fori calibrati o con bulloni ad attrito.

L’EC3 al #5.9.4 permette di considerare l’asta composta come un’asta a parete piena se l’interasse

dei collegamenti è inferiore a 15 imin. I collegamenti vanno verificati a taglio. Il taglio longitudinale

VS può essere per semplicità assunto pari a 2.5%N, il che corrisponde a considerare un’eccentricità

del 2° ordine e02 = ℓ/125. Sia ha infatti:

N025.0 N125

e NMV 02SS =

π=π=π=

ll


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8

NTC – D.M. 14-1-2008 (solo Teoria e Progetto)

Le NTC (nel § C4.2.4.1.3.1 delle Istruzioni) e l’eurocodice 3 affrontano il problema in modo

sostanzialmente diverso: considerano l’asta composta come una struttura (un telaio o una trave

reticolare) da analizzare con la teoria del secondo ordine (o con metodi approssimati) conun’imperfezione geometrica equivalente e0=L0/500 (maggiore della tolleranza che viene considerata

accettabile per un’asta, che è dell’ordine di L0/1000).

Inoltre per le aste tralicciate i correnti sono considerati come aree puntiformi. Viene cioè trascurato

il momento d’inerzia del corrente intorno al suo asse baricentrico e si considera solo il momento di

trasporto (inerzia efficace Ieff = 0.5 h02 Af ).

Più precisamente, per tener conto della deformabilità a taglio, il coefficiente di amplificazione del

momento è: ⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

V

Ed

cr

Ed

S

N

N

N1/1 essendo SV la rigidezza a taglio, cioè l’azione tagliante richiesta per

produrre una deformazione tagliante γ unitaria, ovvero GA/χ della teoria classica.

La sezione quindi, soggetta a flessione, non si conserva piana.

Per le aste calastrellate la conservazione delle sezioni piane è

ammessa solo per snellezze contenute.

Il corrente viene verificato come un’asta, con lunghezza di libera

inflessione pari alla distanza fra i nodi, soggetta all’azione assiale

NEd/2 e all’effetto del momento flettente del 2° ordine:

cr

0Ed

N

N

1

e NM

−

=

che provoca nel corrente un incremento di azione assiale MEd/h0.

Ncr va calcolato con Ieff .


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9

La verifica delle aste di parete che devono assorbire il taglio

longitudinale VEd (forza di scorrimento) conseguente alla

variazione del momento (VEd = dMEd/dx) deve essere eseguita

per tutte le aste in base al taglio massimo:

max,Ed

00x

EdEd M

Ldx

dMV

π=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ==

Infatti:

0max,EdEd L

x

senM)x(M

π

= → 0max,Ed

0

Ed

L

x

cosMLdx

dM ππ

=

Il coefficiente di amplificazione del momento deriva dalle considerazioni seguenti:

- il carico critico che tiene conto della deformabilità a taglio è dato da:

V

cr

cr

cr

cr V,cr

S

N1

N

NGA

1

N N

+=

χ+

=

- il coefficiente di amplificazione del momento si scrive quindi:

V

Ed

cr

Ed

V

cr

cr

Ed

V,cr

Ed

S

N

N

N1

1

S

N1

N

N1

1

N

N1

1

−−=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

=−


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ESEMPIO (solo Teoria e Progetto)

Per le verifiche secondo la CNR 10011 vedi Caironi, Instabilità dei telai piani, pag 196.


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Verifica secondo NTC

I correnti sono costituiti da angolari L 80x80x8 mm aventi le seguenti caratteristiche statiche:

A1 = 12.3 cm2 i1x = i1y = 2.42 cm i1min= 1.56 cm I1x = I1y = 72 cm

4

Le caratteristiche statiche dell’asta composta sono quindi:A = 4 · 12.3 = 49.2 cm2 (4 L 80x80x8)

cm98.12)2/5.25(42.2icm39.20)2/5.40(42.2i 22y22

x =+==+=

Ix = A ix2 = 20455 cm4 Iy = A iy

2 = 8289 cm4

Le lunghezze di libera inflessione e le relative snellezze, considerando l’asta come un’asta

semplice (ad anima piena), valgono:

ℓx = 2 · 700 = 1400 cm ℓy = 1 · 700 = 700 cm

λx = 1400/20.39 = 68.7 λy = 700/12.98 = 53.9

Eseguiamo le verifiche per NEd = 1.5 Padm = 1.5 · 528.3 = 792.5 kN, cioè 198,1 kN su

ciascuno dei 4 correnti.

a) Instabilità per inflessione attorno all’asse x-x (che impegna la tralicciatura)

Inerzia efficace

Ieff = 0.5 h02 AC = 20175 cm

4

con: AC = 2 · 12.3 = 24.6 cm2

(2 L 80x80x8) h0 = 40.5 cm

contro un’inerzia Ix = 20475 calcolata tenendo conto anche dei momenti d’inerzia baricentrici

dei singoli correnti.

Forze nella mezzaria (baricentro) dei correnti

NC,Ed = 0.5 NEd + MEd/h0

MEd = NEd e0 /(1-NEd/Ncr -NEd/SV)

MEd è il momento del 2° ordine dovuto all’imperfezione geometrica equivalente e0=ℓ/500.

ℓ = 2 · 700 = 1400 cm (lunghezza di libera inflessione)

e0 = 1400/500 = 2.8 cm

Ncr = π2 EIeff /ℓ

2 = 2133 kN (E = 210000 MPa)

SV è la rigidezza a taglio della tralicciatura (=GA/χ) ricavabile dalla C4.2.II schema (3) e

coincidente con la formulazione della CNR 10011:


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12

cm9.80dcm5.40hcm70a(L35x35x4)cm67.2AA:con

kN27371

dA

hA1d

ahEA2

S

0

2

Vd

3

V

3

0d3

2

0d

V

=====

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

⋅

=

Si ha pertanto:

13

Vcr

kN10505.027371

1

2133

1

S

1

N

1 −−⋅=+=+


13/18

13

correnti)dicoppiaunasu(kN6.4874.912.396h/M N5.0 N

kNm01.375995.0

19.22

10505.05.7921

028.05.792

S

1

N

1 N1

e NM

0EdEdEd,C

3

Vcr

Ed

0EdEd

=+=+=

==⋅⋅−

⋅=

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−

= −

Il singolo corrente (L 80x80x8) va quindi verificato all’instabilità per il carico assiale N 1,Ed = 243.8

kN. La sua lunghezza di libera inflessione ℓC è di 70 cm e il raggio minimo d’inerzia è i1min=1.56

cm. La verifica va condotta usando la curva c:

N b,Rd = χ AC1 f y /γM1 = 235.4 kN < N1,Ed=243.8

con: f y = 235; γM1=1.05 AC1=12.3 cm2

λ=70/1.56=44.9 λ1=93.9 478.0/ 1 =λλ=λ 8552.0=χ

Il corrente non è verificato (di poco) secondo le NTC.

b) Instabilità per inflessione attorno all’asse y-y (che impegna i calastrelli)


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14

Inerzia efficace

CC

2

0eff J2Ah5,0J ⋅μ⋅+⋅⋅=

μ dipende dalla snellezza λ dell’intera asta composta, considerata come un’asta semplice a parete

piena; quindi:

λ = λy = 53.9 < 75 → μ = 1Per μ = 1 Ieff è il momento d’inerzia calcolato normalmente: Ieff = Iy = 8289 cm

4

La rigidezza a taglio SV si calcola con la formula (tabella C4.2.II schema 4):

kN1218210700

101442100002

a

EI2

S:elimitazionlacon

kN1017010

70

5.25

1152

14421700

1014421000024

a

h

nJ

J21a

EJ24S

3

2

42

2

C

2

V

3

2

4

0

V

C2

CV

=⋅⋅⋅π

=π

≤

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅

+

⋅⋅⋅=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

=

−

−

Si ha pertanto:

cm4.1500

700ekN10384.0

S

1

N

1

kN3506107000

108289210000EJ N

0

13

Vcr

3

2

42

2

eff

2

cr

==⋅=+

=⋅⋅π

=π

=

−−

−

l

Il momento sollecitante del 2° ordine vale quindi:

( )kNm93.15

696.009.11

10384.05.7921014.05.792

S/1 N/1 N1e NM 3

Vcr Ed

0EdEd ==⋅⋅− ⋅=+−= −


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Forza nella mezzaria del corrente:

NC,Ed = 0.5 NEd + 0.5·MEd h0 AC / Jeff = 0.5 ·792.5 + 0.5·15.93 · 0.255 ·24.6 · 10-4/(8289 · 10-8))

NC,Ed = 396.2 + 60.3 = 456.5 kN su una coppia di correnti

N1C,Ed = 456.6/2 = 228.3 kN sul singolo profilo a L

La verifica di stabilità è soddisfatta essendo la resistenza del singolo profilo a L:

N b,Rd = 235.4 kN.

Verifica delle aste di parete

Diagonali

40,5 cm

7 0

8 0 , 9 N

d

V /2S

z

z

v

v

y y

diagonale L 35x35x4

La forza di taglio longitudinale vale:

VEd = π MEd /ℓ = π · 37.01/14 = 8.31 kN

La forza in una diagonale è quindi:

kN30.85.40

9.80

2

V N EdEd ==

La diagonale, costituita da un profilato a L 35x35x4, va verificata a compressione con lunghezza di

libera inflessione 80.9 cm per l’inflessione intorno all’asse v-v di minima inerzia:

v,eff zz,eff

zzyz

vv,eff

vvv

0744.17.05.0

8205.09.93

05.7705.77

05.1

9.80cm05.1ii

2395.17.035.0

2707.19.93

119119

678.0

9.80cm678.0i

λ


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Si verifica quindi la diagonale, soggetta a NEd=8.30 kN, per la snellezza 2707.1=λ con la curva

c. Non si tiene conto dell’eccentricità dell’asse baricentrico rispetto alle connessioni di estremità

perché queste sonno sufficientemente rigide (2 bulloni). Si ha:

χ = 0.4014 N b,Rd = 0.4014 · 267 · 235/1.05 · 10-3

= 24.0 kN >> NEd

La verifica della diagonale è quindi soddisfatta.

Verifica del collegamento bullonato

I bulloni vanno verificati per la risultante R b

delle forze:

T b = NEd /2 = 4.16 kNF b = NEd · 0.6/3.6 = 1.39 kN

kN4.39FTR 2 b2

b b =+=

L’angolare deve essere verificato a rifollamento

e la sua sezione netta deve essere verificata a

trazione.

Verifica della sezione netta (vedi Lezione 7: Angolari collegati ad una sola ala):

012

2M

unet2Rd,u

d36.3 pessendo46.0conf A

N ===βγ

β=


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Calastrelli

Forza longitudinale di taglio (sull’intera asta di 4

correnti):

VSd = π MEd / ℓ = 7.15 kN

con: MEd = 15.93 kNm; ℓ=700 cm

V1Ed = 7.15/4 = 1,79 kN (sul singolo corrente)

Su ciascun calastrello agisce il taglio:

kN81.95.25

7015.7

2

1

h

aV

2

1V

0

Edc1 ===

Nella sezione A-A il calastrello è soggetto al momento

flettente:

MEd = 9.81 · 0.11 = 1.080 kNm

La sezione netta ha modulo di resistenza elastico (si potrebbe usare quello plastico) Wnet = 13.2

cm3.

La sua resistenza è (v. #5.4.5.1 (3)):

Mu,Rd = 0.9 Wnet f u / γM2 = 0.9 · 13.2 · 360/1.25 · 10-3 = 3.42 kNm >> MEd

I bulloni sono soggetti alle forze:

T b = 9.81/2 = 4.90 kN F b = 1.080/0.08 = 13.49 kN

kN36.41FTR 2 b2

b b =+=

a/4V

y

v

z

diagonale L 80x80x8

z

v

y

S

a

Vo

ahS

ho

a/2VS

V /2S V /2S

Il taglio V1Ed=1,79 kN determina nel corrente

il momento:

MEd = V1Ed a/2 = 1,79 · 0.70/2 = 0,63 kNm

che va combinato con l’azione assiale:

NEd = 792.5/4 = 198.1 kN.

Si usa il carico esterno NEd

non amplificato

dall’effetto del 2° ordine perché i calastrelli

più sollecitati sono quelli di estremità dove

l’effetto del 2° ordine è nullo.

Il momento flettente impegna la sezione a L

del corrente intorno all’asse z-z. Si avrebbe

quindi flessione deviata. Poiché però

l’inflessione intorno a y-y è impedita dal

collegamento tralicciato con l’angolare

opposto, la flessione rimane retta.


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Si esegue una semplice verifica di resistenza perché l’instabilità riguarda la mezzeria dei correnti,

dove il momento dovuto al taglio è nullo.

Wz = 12.6 cm3 A = 12.3 cm2

Momento resistente Mc,Rd = 12.6 · 235/1.05 · 10-3 = 2.819 kNm

Azione assiale resistente Nc,Rd = 12.3 · 235/1.05 · 10-1 = 275.2 kN

1943,0224,0720,0819.2

63,0

2.275

1,198

M

M

N

N

Rd,c

Ed

Rd,c

Ed

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