Costruzioni in zonasismicaLezione 8

Sistemi a più gradi di liberà:Oscillazioni libere in assenza

di smorzamento

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

N equazioni differenziali omogenee accoppiate tramite lamatrice delle masse, la matrice delle rigidezze oentrambeN è il numero di gradi di libertà dinamici del sistema

È necessario inserire delle condizioni iniziali perattivare il moto

Il moto di ogni massa non è un’armonica sempliceLa configurazione deformata (u1/u2) varia nel tempo

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Risposta del sistema

Modi naturali di vibrazione:Rappresentano delle determinate distribuzioni deglispostamenti tale che, se il sistema viene posto in quellaconfigurazione e lasciato libero di vibrare, il suo moto saràun’armonica semplice che conserva la forma delladeformata.

Entrambi i piani raggiungono lo spostamento massimo allostesso istante e passano per la posizione di equilibrio allostesso istante.

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

In queste condizioni è possibile individuare la pulsazione1, il periodo T1 come nel caso dei sistemi a un grado dilibertà.

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

e la pulsazione 2, il periodo T2 corrispondente all’altromodo di vibrazione.

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Il periodo naturale di vibrazione Tn di un sistema a piùgradi di libertà è il tempo richiesto per compiere un ciclodi un moto armonico semplice attivato da unaconfigurazione deformata iniziale corrispondente a unomodi di vibrazione del sistema.

La corrispondente pulsazione naturale di vibrazione è n ela frequenza è fn, dove:

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Modi naturali corrispondenti alle due frequenze naturali divibrazione

o La più piccola delle due pulsazioni naturali è indicata con1, e la più grande come 2: corrispondono al primo esecondo modo di vibrazione.

o Il più grande dei due periodi naturali di vibrazione èindicato con T1 mentre il più piccolo con T2

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Le vibrazioni libere di un sistema non smorzato possono essere descritte matematicamente dalla seguente relazione:

La forma della configurazione deformata non varia nel tempo

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

La variazione nel tempo degli spostamenti è descritta da una funzione armonica:

Le costanti di integrazione dipendono dalle condizioni iniziali

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

conseguentemente:

Incognite del problema

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Considerando le equazioni del moto:

Questa equazione può essere soddisfatta in due modi:qn(t)=0 → u(t)=0 assenza di moto (soluzione banale)

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Oppure che n and n soddisfino la seguente equazione algebrica:

Problema agli autovalori

per determinare le quantità scalari n2 e n

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Riscrivendo il problema agli autovalori nella seguente forma:

Questo sistema non ammette soluzione banale se:

Si ha un set di N equazioni algebriche omogenee per gli N elementi

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

sviluppando il determinante si ottiene un polinomio diordine N in n

2 :EQUAZIONE CARATTERISTICA.

Dalla quale si ottengono N radici reali e positive di n2,

poiché m and k simmetriche e definite positive.

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Il fatto che k sia definita positiva deriva dal fatto chesi considera che le condizioni di vincolo non consentanomoti rigidi.

Il fatto che m sia definita positiva deriva dal fatto chenon si hanno masse nulle per I gradi di libertàconsiderati proprio in seguito all’operazione dicondensazione statica.

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Le N radici determinano le N frequenze naturali divibrazione: autovalori

Per ogni frequenza naturale, il corrispondente vettoren può essere derivato a meno di una costantemoltiplicativa:

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Il problema agli autovalori non fornisce l’ampiezza di nma solo la sua forma

Ci sono N vettori indipendenti n noti come modinaturali di vibrazione, o forme modali (sono anche noticome autovettori)

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Un sistema con N GdL possiede N frequenze naturali divibrazione spesso raggruppate in un vettore dalla piùpiccola alla più grande, con i corrispondenti periodi emodi naturali di vibrazione

Il termine naturale è utilizzato per enfatizzare cheessi dipendono solo dalla massa e dalla rigidezza delsistema

Il primo modo viene spesso chiamato modofondamentale

Frequenze naturali di vibrazione e modi di vibrare

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Matrici modali e spettrali

gli N modi naturali e le N frequenze naturali possono essereassemblate in modo compatto tramite matrici.

Matrice modale

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Matrice spettrale

Matrici modali e spettrali

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Una rappresentazione in forma compatta delle equazionirelative a tutti gli autovalori ed autovettori è la seguente:

Matrici modali e spettrali

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Ortogonalità dei modi

I modi naturali corrispondenti a differenti frequenze naturali,soddisfano le seguenti condizioni di ortogonalità:

queste matrici quadrate sono diagonali e definite positive

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Normalizzazione dei modi

se n è un modo naturale, ogni vettore proporzionale a n ècomunque lo stesso modo naturale.Normalizzazione: consiste nello scalare le ampiezze deimodi naturali tramite un fattore in maniera da poterconfrontare direttamente I modi di vibrazione.

Generalmente è conveniente normalizzare ogni modo taleche la sua componente maggiore sia pari ad uno.

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Normalizzazione dei modi

Un’altra maniera per normalizzare i modi viene fatta affinchési abbia:

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

T M I

1*11

2*22

1

1M

M

si ottiene:

* TM M dove:

Normalizzazione dei modi

Ciò comporta che se:

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

T M I

segue: 2T K

esempi

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

esempi

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

Con riferimento al telaio shear-type riportato in figura, si determinino:- Le pulsazioni naturali- I modi di vibrazione normalizzati rispetto la matrice

delle masse- La risposta della struttura soggetta a vibrazioni

libere con spostamenti iniziali sia diversi dai modi e sia uguali ai modi di vibrazione

0.70711.4142

1

2

0.4082 0.57740.8165 -0.5774

esempi

Lezione 8 Oscillazioni libere – assenza di smorzamento

0 5 10 15 20 25 30-0.5

0

0.5condizione iniziale generica

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1condizione iniziale primo modo

0 5 10 15 20 25 30-1

-0.5

0

0.5

1condizione iniziale secondo modo

primo pianosecondo piano

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4