Fórmula integral de Cauchy

Teorema

Sean f analítica en dominio Ω simplemente conexo, C una curva cerrada simple,

orientado positivamente contenida en Ω, z0 es un punto interior a C, entonces

dzzz

zfzif

C

∫ −=

0

0

)()(2π

dzzz

zf

izif

C

∫−

=0

0

)(

2

1)(2

ππ

Demostración

Sea Ω dominio simplemente conexo, C una curva cerrada simple en Ω, z0 es

un punto interior a C, C1 circunferencia de centro z0 de radio conveniente para que está en

la región acotada por C, entonces

=−

∫ dzzz

zf

C 0

)( dz

zz

zf

C

∫−

10

)(

� �(�)� − �� �� =��

� �(�) − �(��) + �(��)� − �� �� = � �(�) − �(��)� − �� �� + �(��) � ��� − ��������

Y izz

dz

C

π20

=−

∫

Entonces,

� �(�)� − �� �� = � �(�) − �(��)� − �� �� + �(��)�������

� �(�)� − �� �� − �(��)��� = � �(�) − �(��)� − �� ��

����

Acotando

�� �( ) ! " #$ − 2&'(($))*+ � = �� �( )!�( ") ! " #$*+ � ≤ � ��( )!�( ") ! " � #$*+

Como es continua en z0 entonces |(($) − (($))| se puede hacer arbitrariamente cercano a

cero siempre que |$ − $)| sea convenientemente cercano a cero, sean ε y δ estas cantidades

arbitrariamente cercanas a cero de modo que |(($) − (($))| < 1

Siempre que, |$ − $)| < 23 < 4, entonces la integral se puede acotar, en efecto

� 5(($) − (($))$ − $) 5 #$*+

= � |(($) − (($))||$ − $)|6+#$ ≤ 742 2&|$ − $)| = 2&7

Esto significa que la integral se puede hacer arbitrariamente cercana a cero tomando el

radio de C1 suficientemente pequeño, esto solo se puede hacer si la integral es cero

Y así

8 � (($)$ − $) #$ − 2&'(($))*+

8 = 0

Por lo cual, se tiene que

� (($)$ − $) #$*+

= 2&'(($))

Ejemplo

Calcular � :!;( :!;<)( !3) #$* , siendo C z(t) = 3eit, t∈[0, 2π] $3 − 1($3 − 16)($ − 2) = $3 − 1($ − 4)($ + 4)($ − 2) = B$ + 4 + C$ − 4 + D$ − 2

Cálculo de A

B = $3 − 1($ − 4)($ − 2)

Para z = - 4

B = 16 − 1(−4 − 4)(−4 − 2) = 516

Cálculo de B

C = $3 − 1($ + 4)($ − 2)

Para z = 4

C = 16 − 1(4 + 4)(4 − 2) = 1516

Cálculo de C

D = $3 − 1($ − 4)($ + 4)

Para z = 2 D = 4 − 1(2 − 4)(2 + 4) = − 14 $3 − 1($3 − 16)($ − 2) = 512($ + 4) + 1516($ − 4) − 14($ − 2)

� $3 − 1($3 − 16)($ − 2) #$*

= � F 512($ + 4) + 1516($ − 4) − 14($ − 2)G| |HI

#$ = 0 + 0 − 2&'4

� $3 − 1($3 − 16)($ − 2) #$*

= − 2&'2

Ejemplos

1. Evaluar de dos formas � :JI !K #$* , C, disco unitario

Forma 1

Se hace la división de los polinomios

:JI !K = $ + 3 − K

� $3 + 3$ − 5$ #$*

= � F$ + 3 − 5$G #$*+

= � ($ + 3)#$*+

− 5 � #$$*+= −10&'

Forma 2

Aplicando la fórmula integral de Cauchy la función (($) = $3 + 3$ − 5 es analítica en en

cualquier disco centrado en el origen. El punto z = 0, está dentro del disco unitario

� $3 + 3$ − 5$ #$*

= 2&'((0) = 2&'(−5) = −10&'

2. Evaluar ( )

( )∫= −2

22 1z

dzz

zsen π

( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 111111

1

1

1

−+

−+

++

+=

+−=

− z

D

z

C

z

B

z

A

zzz

Cálculo de B

( )( )

( )( )1

111

1

122

+

−+

−+++=

−x

z

D

z

CBzA

z

Para z = -1

( )( )

( )( )11

1111

11

122

+−

−+

−+++−=

−− z

D

z

CBA

4

1=⇒ B

Cálculo de D

( ) ( )( ) Dz

z

C

z

B

z

A

z+−

−+

++

+=

+

2

221

1111

1

Para z= 1 4

1=⇒ D

( ) ( ) ( ) ( )222214

1

114

1

111

1

−+

−+

++

+=

+− zz

C

zz

A

zz

Para z = 0

2

1

2

11 =−⇒+−= CACA

Para z =2

6

13

4

1

36

1

39

1−=+⇒+++= CAC

A

3

1,

6

1

6

13

2

1

=−=⇒−=+

=−

AC

CA

CA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222214

1

13

1

14

1

13

1

11

1

−+

−−

++

+=

+− zzzzzz

Luego,

( )

( ) ( )∫∫==

+=

− 22

22 13

)(

1 zz

dzz

zsendz

z

zsen ππ ( )

( )∫= +

+

2

214z

dzz

zsen π ( )

( )∫=

−−

213

z

dzz

zsen π ( )

( )=

−+ ∫

=2

214z

dzz

zsen π

Los números 1 y -1 están dentro del disco de centro 0 y radio 2

Entonces

( )

( )=

−∫=2

22 1z

dzz

zsen πi

isen

iiisen

24cos4

2

3

2)cos(

4

2)(

3

2πππ

ππ

πππ

πππ −=+−−+−

Esta fórmula es importante para demostrar que una función analítica en un punto admite

derivadas de todos los órdenes en ese punto y, todas ellas, analíticas en dicho punto.

Si f es analítica en el interior y sobre los puntos de una curva cerrada simple C. Sea z un

punto interior a C. Denotando por s los puntos de C y usando la fórmula integral de

Cauchy, se tiene que:

dszs

sf

izf

C

∫ −=

)(

2

1)(

π

Derivando en z

(M($) = 12&' � ((N)(N − $)3 #N*

Teorema

Si f es una función analítica en dominio Ω simplemente conexo, C una curva

cerrada simple, orientado positivamente contenida en Ω, z0 es un punto interior a C,

entonces

( ))('

)(

2

102

0

zfdzzz

zf

iC

=−

∫π

( )( ) ,......2,1,0),(

)(

2

!01

0

==−

∫ +nzfdz

zz

zf

i

n n

C

nπ

Ejemplos

1. ∮ P :( !;!Q)* , a) |$| = 1, b) |$ − 1 − '| = 1 ; :( !;!Q), tiene singularidades en z = 0, y en z = 1 + i,

a) z = 1 + i no está en |$| ≤ 1

así, (($) = ; !;!Q es analítica en |$| ≤ 1

R #$$3($ − 1 − ')*= R 1$ − 1 − '$3 #$

*

(M($) = F 1$ − 1 − 'GM = −1($ − 1 − ')3

(M()) = −1(−1 − ')3 = −12'

R #$$3($ − 1 − ')*= R 1$ − 1 − '$3 #$

*= 2&'−2' = −&

b) z = 0, no está en |$ − 1 − '| ≤ 1, así que (($) = ; : es analítica y

((1 + ') = 1(1 + ')3 = 12' R #$$3($ − 1 − ')*

= R 1$3($ − 1 − ') #$*

= 2&'2' = &