Tugas Individu Getaran & GelombangOleh Indah Fauziyah / 1306365202Coupled oscilationOsilator harmonikdan model sistemnya memilikiderajatkebebasan. Pada sistem yang lebihrumit biasanya memilikilebih banyak derajatkebebasan, misalnya pada pegas yang di ujungnya diberikan beban kemudian digantung bersama-sama. Dalam kasus tersebut, perilaku masing-masing variabelmempengaruhivariable yanglain. Halini menyebabkan koplingdari osilasimemiliki derajat kebebasan sendiri. Misalnya, dua jam pendulum (dari frekuensi yang sama)dipasang pada dinding akan cenderung untuk melakukan sinkronisasi. Kasus khususnya adalah osilator terkopel dimana energi mengalami dua bentuk osilasi yaitu osilasi vertical dan osilasitorsional. Contoh yang popular adalah pendulum Wilberforce, di mana osilasi terjadi disepanjangpegas vertikal dan beban pada ujung pegas mengalami rotasi.Osilasi terkopel terjadi ketika dua atau lebih sistem osilasi yang terhubung sedemikian rupamengalami resonansi. Osilator terkopel terjadi di alam (misalnya, bulan dan bumi mengorbit satusama lain) atau dapat ditemukan dalam perangkat buatan manusia (seperti dengan alat pacujantung).Osilator terkopel tidak berayun bolak-balik seperti pada pendulum biasa. Osilator ini memiliki massa yang berputar untuk menyesuaikan momen inersia dan untuk 'menyempurnakan' periode getaran torsional. Osilasi vertikal disebabkan oleh kopling antara dua gerakan atau derajat kebebasan, karena geometri pegas. Ketika pegas bergerak ke bawah, pegas memberikan bebantambahan pada benda sehingga benda bergerak untuk mempertahankan momen inersianya.Ketika beban bergerak naik, hal itu menyebabkan pegas memberikan beban lagi pada bendasehingga benda akan bergerak kearah yang berlawanan. Jadi, ketika beban bergerak naik danturun, osilasi masing-masing memberikan impuls agar benda berotasi.Frekuensi alternatif sama dengan perbedaan antara frekuensi osilasi. Semakin dekat frekuensidua getaran, akan semakin mudah terjadi resonansi. Hal ini berlaku sama untuk semua osilatorterkopel, analog dengan fenomena ketukan dalam instrumen musik, di mana dua nada bergabunguntuk menghasilkan 'mengalahkan' nada pada perbedaan antara frekuensi merekaCoupled PendulumUntuk kasus 2 pendulum dimana benda saling terkopel dari X dan Y dimana ketika diberi gaya kearah kanan maka benda 1 bergeser sejauh x dan benda 2 akan bergeser sejauh Y.Asumsikan Dimana

Analisis gaya untuk benda I (bergeser sejauh X) : 2 gaya pegas (saat tertarik sejauh x dan saat tertekan sejauh y) gaya tali (besar nya sama dengan gaya gravitasi) gaya gravitasi terhadap sumbu XSehingga untuk benda I total gaya nya dapat dirumuskan sebagai berikut

Untuk benda II gaya yang mempengaruhi sama dengan benda I, yang membedakan hanyalah arah pada pegas nya.Sehingga persamaan gaya untuk benda II adalah sebagai berikut :

Dengan mensubsitusikan 02 ke persamaan (1) dan (2)0202Untk menyelesaikan kedua persamaan tersebut digunakan 2 koordinat baru (3) (4)Dari hasil penjumlahan equation (1) dan (2) diperoleh persamaan02020202X = 0(5)Dari pengurangan persamaan equation (1) dan (2) diperoleh persamaan :0202020202 (6)Dilihat dari kerdua persamaan (5) dan (6) terlihat bahwa penyelesaian nya terdiri dari 2 koordinat acuan X dan Y dengan bentuk persamaan SHM.Sehingga terdapat dua keadaan untuk kasus coupled pendulumKasus pertamaKeadaan ketika X = 0 maka nilai x=y, yang berarti saat benda I bergeser sejauh x maka nilai y akan sama dengan x . Arah ayunan kedua massa ini sama.02X = 0

Kesimpulan yang diperoleh :1. Frekuensi osilasi akan selalu sama2. Kekakuan kopel tidak berpengaruh3. Kedua massa bergerak dalam fase yang sama (sefase)Kasus keduakeadaan ketika Y=0, maka nilai x=-y. Hal ini mengindikasikan jika benda 1 bergeser sejauh x maka benda 2 akan bergeser sejauh y dengan arah yang berlawanan02

Kesimpulan yang diperoleh :1. Frekuensi osilasi lebih besar (karena selalu out of fase)2. Pegas bergerak antara teregang dan tertekan3. Efek kopel berpengaruh pada gerakKarena persamaan ke (5) dan (6) merupakan persamaan SHM, maka X dan Y dpat dinyatakan dengan :1)2)Untuk keadaan dimana x 0 = y0 = 2a, 1=2=0 diperoleh persamaan :1) =2) = Jumlahkan persamaan (3) dan (4), sehingga diperoleh persamaan perpindahan sejauh x :

(X+Y)Subtitusikan nilai X dan Y

(7)Dari persamaan perpindahan diperoleh persamaan kecepatan

Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan (7) dapat disederhanakan menjadi :

(9)Untuk persamaan perpindahan sejauh y

(X-Y)Subtitusikan nilai X dan Y

(8)Dari persamaan perpindahan diperoleh persamaan kecepatan

Dengan menggunakan identitas trigonometri, persamaan (8) dapat disederhanakan menjadi :

(10)Dari persamaan (9) dan (10) terlihat bahwa keduanya nya adalah persamaan superposisi gelombang. Sehingga untuk keadaan x 0 = y0 = 2a,1=2=0 diperoleh :Perpindahan sejauh x

Perpindahan sejauh y

METODA UMM UNTUK MENEMUKAN FREKUENSI MODE NORMAL, MATRIKS VEKTOR EIGEN, DAN NILAI EIGEN.Misalnya sistem dari sebah pendulum terkopel berislasi hanya pada salah satu frekuensi normalnya maka

(1)dan

(2)Jika pendulu mulai bekerja maka didapat dan Dimana A dan B merupakan amplitudo perpndahan pada x dan y saat frekuensi Kemudian persamaan gerakan nya akan menjadi (3) (4)Lalu kita subtisusikan persamaan (3) an (4) ke persamaan (1)

Subtitusikan persaaan (3) dan (4) ke persamaan (2)

Jika kedua persamaan dijumlahkan maka akan diperoleh

+( (A+B)(A+B)(Dengan , frekuensi normal pertamaJika kedua persamaan dikurang, maka

-( =(A-B)(Maka , merupakan mode frekuensi normal keduaNilai membuat A=B, konsisi demikian menyebabkan pendulum bergerak sefase smentara membuat A=-B kondisi tidak sefase.