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Cours 1: Introduction 1

Cours 1. Introduction


Plan d’aujourd’hui

— Introduction, fonctionnement du cours, resources, matiere.

— La physique en grande lignes.

— Calcul des variations : les equations de Euler-Lagrange.


Fonctionnement du cours

— Je presenterai huit cours de trois heurs.

— Vous pouvez me couper a n’import quel instant ; lever la

main.

— Vous pouvez m’envoyer un mail avec des questions :

[email protected]

— Vous pouvez trouver les diaporamas sur mon site web :

http://stockage.univ-brest.fr/~scott/ et aussi les

autres documents.

— Livres principales :

Les livres de mathematiques Logan (1977); Rund (1966);

Courant and Hilbert (1989); Arnold (1976) (au niveaux de

deuxieme cycle).

Les livres de physique au niveau de premier cycle Goldstein


(1964) et deuxieme cycle :Basdevant (2010);

Neuenschwander (2011); Hobson et al. (2010).

— Autres resources

(i) Variational Calculus and Optimal Control (Troutman,

1996) : Chapter 6 : The Euler-Lagrange Equations et

Chapter 8 : Variational Principles in Mechanics ; Methods of

Mathematical Physics Volume I, (Courant and Hilbert ,

1989), The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of

variations (Rund , 1966).

(ii) Invariant Variational Principles (Logan, 1977) ; Emmy

Noether’s Wonderful Theorem (Neuenschwander , 2011).

(iii) A Relativist’s Toolkit : The mathematics of black-hole

mechanics (Poisson, 2004) : Chapter 4 : Lagranian and

Hamiltonian formulations of general relativity.

(iv) Le principe de moindre action et les principles

variationnels en physique (Basdevant , 2010).


(v) Histoire du principe de moindre action (Martin-Robine,

2006).


Matiere du cours

Pour reference plus tard, voici la matiere nous allons etudier :

— Le calcul des variations : condition necessaire pour qu’une

fonctionnelle soit minimum, equations d’Euler-Lagrange.

— Le theoreme de Noether, les lois de conservation.

— Un systeme de particules ponctuelles en mecanique classique

(dans l’espace euclidien), la deuxieme lois de Newton, lois de

conservation, les systemes conservatifs, le principe de

Hamilton.

— Le calcul des variations : les fonctionnelles d’integrales de

plusieurs variables, condition necessaire pour que ces

fonctionnelles soit minimum.

— Les equations de Maxwell,

— Les transformations de Legendre et les equations


d’Hamilton, theorie de Hamilton-Jacobie,

— La geometrie differentielle (juste celle necessaire pour

generaliser les resultats aux formulations lagrangiennes et

hamiltoniennes des theories de champ dans un espace-temps

courbe)

— La relativite generale avec les trous noirs.

— L’equation d’une particule quantique relativiste (l’equation

de Klein-Gordon). (Optionnelle.)

La physique en grande lignes 8

Motivation

Pourquoi la matiere de ce cours est importante ?

— Nous utiliserons les exemples de la physique fondamentale

pour faire les notions mathematiques plus concretes et plus

faciles a apprendre. V.I. Arnold a dit :

« La mecanique classique utilise un arsenal tres riche

de methodes mathematiques et de notions : equations

differentielles, flots, applications et varietes

differentiables, groupes et algebres de Lie, geometrie

symplectique et theorie ergodique. Nombre de

theories mathematiques modernes doivent leur

existence a des problemes de mecanique et ce n’est

que par la suite qu’elles ont acquis cette forme

axiomatique et abstraite qui complique tant leur


etude. »(Arnold , 1976)

— On apprend le calcul des variations, les transformations de

Legendre, le methode de Hamilton-Jacobi pour les equations

differentielles, groupes de Lie, le theoreme de Noether, la

geometrie differentielle necessaire.

— On obtien un apercu, une vue d’ensemble sur la physique

theorique, qui est passionante et aussi une source de

nouvelles mathematiques.

— Les mathematiques sont a la base des sciences. J’ai vu

plusieurs fois que les mathematiciens peuvent apprendre

physique plus vite que les physiciens.


Physique fondamentale classique

— La physique fondamentale classique compris tout la physique

fondamentale qui n’est pas la physique quantique. Il s’agit

de la mecanique classique (et statistique, et

themodynamique) et l’electromagnetisme.

— La mecanique classique a pour objet l’etude du mouvement

d’un systeme de point materiels [les « particules

ponctuelles »]. Elle a a la base les trois lois fondamentales de

Newton et les lois d’interaction qui donnent les forces.

— L’electromagnetisme classique a pour objet l’etude des

phenomenes de l’electricite et magnetisme dont les equations

de Maxwell decrivent tous les phenomenes.

— La mecanique classique et l’electromagnetisme decrivent la

plus part des phenomenes autour de nous dans la vie


quotidienne.

— La physique classique est decrit par des theories

deterministiques ; si l’on sa l’etat du systeme de depart, on

peut en principe determiner tout l’avenir du systeme.


Physique fondamentale classique : le

cadre moderne

— La physique Newtonien se deroule dans l’espace euclidien de

dimension 3 avec le temps absolu.

— La physique classique etait la seule physique connue

jusqu’au debut du XXeme siecle. Pendant le XXeme siecle

on a decourvert :

— deux nouvelles interactions [interaction forte nucleaire et

interaction faible nucleaire],

— la relativite restreinte, une generalisation de la geometrie

de l’espace euclidien et du temps absolu de Newton a

l’espace-temps de Minkowski, une sorte d’union de

l’espace euclidien et le temps.

— la relativite generale dans laquelle l’interaction


gravitationnelle est compris en rendant compte que

l’espace-temps est courbe,

— la physique quantique, une sorte de generalisation de la

mecanique classique.

— Nous n’aborderons pas la physique quantique. Nous bornons

ce cours a la physique fondamentale classique dans

l’espace-temps plat et courbe. Il s’agit de la physique

classique non-relativiste, la relativite restreinte et la

relativite generale.


Physique fondamentale classique :

l’unification

— L’histoire de la physique fondamentale est une histoire de

l’unification.

— Les phenomenes du magnetisme et de l’electricite sont unis

dans les lois de l’electromagnetisme de Maxwell.

— La thermodynamique est devenue les resultats de la physique

statistique et ce derniere, au niveau le plus fondamental,

n’est que la mecanique classique et les lois de la probabilite.

— Le but de ce cours est de montrer l’unite de toute la

physique classique au niveau conceptuel. Toute la physique

fondamentale classique decoule d’un principe variationnel, le

principe de Hamilton.

Calcul des variations 15

Le calcul des variations


Le calcul des variations est ne

— Le calcul des variations s’occupe du probleme de trouver un

extrema des fonctionnelles.

— Les fonctionnelles sonts des applications qui associent un

nombre reel a chaque fonction dans une classe donnee.

L’ensemble des fonctions dans la classe donne s’appelle les

fonctions admissibles.

— Soit A un ensemble des fonctions φ1, φ2, . . .. Puis une

fonctionnelle J sur A est l’application J : A→ R1 qui

associe a chaque φi ∈ A un nombre J(φi) ∈ R1.

— Historiquement, et notamment dans la physique

fondamentale, les fonctionnelles sont des integrales de

Riemann simple ou en plusieurs variables. Par exemple on a


souvent la fonctionnelle J definie par

J(φ) =

∫ b

a

F (x, φ(x), φ(x))dx, φ(x) :=dφ(x)

dx, (1)

pour un intervalle [a, b] ⊂ R1 donne, φ ∈ A, ou A = C2 est la

classe des applications φ : [a, b]→ R1 continues avec deux

derivees continues, sur l’intervalle [a, b] et

F : [a, b]×R2 → R1 est une application continue aussi de C2,

i.e. avec derivees partielles d’ordre un et deux continues

pour tous les trois variables (t, φ, φ).

— Les fonctions admissibles φ peut etre les fonctions reels ou

les objets geometriques comme les vecteurs ou les tenseurs.

— Le probleme fondamentale du calcul des variations est : pour

une fonctionnelle J et un ensemble des fonctions admissibles

A donnees, trouver φ ∈ A tel que J(φ) soit un extremum

(soit local soit global).

— Nous nous occupons des conditions necessaires pour un


extremum.


But : extremum relatif de une

fonctionnelle

— Soit J : A→ R1 une fonctionnelle donnee mais arbitraire sur

un ensemble A des fonctions donnees.

— Nous supposons que A ⊆ N , ou N est un espace lineaire

norme. La norme de φ ∈ N est ‖φ‖, avec proprietes :

1. ‖φ‖ ≥ 0 pour tous φ ∈ N , et ‖φ‖ = 0 si et seulement si

φ = 0 ;

2. ‖αφ‖ = |α| ‖φ‖, pour tous φ ∈ N et α ∈ R1 ;

3. ‖φ1 + φ2‖ ≤ ‖φ1‖+ ‖φ2‖, pour tous φ1, φ2 ∈ N .

(inegalite triangulaire).

— Ainsi A herite les proprietes geometriques et topologiques de

N . En particulier, nous pouvons parler de la distance entre


φ1 et φ2 de A :

d(φ1, φ2) = ‖φ1 − φ2‖. (2)

Et donc la notion de fonctionnelles continues sur A a un

sens.

— Remarque : il n’est pas necessaire que A est un espace

lineaire.

— Notion d’un minimum relatif : un φ1 ∈ A est un minimum

relatif de la fonctionnelle J si il existe un δ > 0

J(φ1) ≤ J(φ2), ∀φ2 ∈ A tel que ‖φ2 − φ1‖ < δ. (3)

— Notation : nous cherchons une condition necessaire pour que

φ soit un minimum relatif :

J(φ(x))→ min φ(x) ∈ A. (4)

Donc nous avons besoin de la notion d’une derivee d’une

fonctionnelle.


Variations des fonctionnelles : definition

— La premiere variation (Gateaux variation)

(Logan, 1977)L1.1 Definition : Soit Γ une famille de

fonctions φε ∈ A ⊆ N du parametre ε ∈ R, avec

‖φε − φ‖ < σ pour |ε| < ε0(δ) de l’equation

φε = φ(x) + εη(x), (5)

avec φ ∈ A, η ∈ N , et σ, ε0(δ) > 0.

— La premiere variation δJde J (a φ dans la direction de η)

δJ :=dJ(φ(x) + εη(x))

dε

∣∣∣∣ε=0

= limε→0

J(φ(x) + εη(x))− J(φ)

ε(6)

si la limite existe.


— Il decoule immediatement de cette definition que

L1.1 theoreme : Si φ ∈ A est un minimum relatif pour la

fonctionnelle J : A→ R1, alors

δJ(φ, η) = 0, (7)

∀η ∈ N .

— On peut se demander si la famille φε de la definition

ci-dessus existe. Pour les problemes qui nous interessent, la

famille φε existe toujours. En fait nous pouvons eliminer η

avec le lemme fondamentale du calcul des variations (lemme

L1.2 ci-dessous).

— Si J(φ) soit minimum, puis −J(φ) soit maximum. Donc, il

est assez general pour nous de chercher les conditions

necessaire pour que J(φ) soit mimimum.


L’integrale d’Action

— Nous nous interessons maintenant aux fonctionnelles d’une

integrale simple sur un espace des fonctions admissibles.

— Soit C2[a, b] l’espace lineaire des fonctions reelles et continues

avec deux derivees continues sur un intervalle reel [a, b].

— Soit N = C2n[a, b] l’espace lineaire des fonctions vectorielles φ

avec composantes φi ∈ C2[a, b], pour i = 1, 2, . . . , n.

— De plus, on definit

1.2 Definition : la norme faible

‖φ(x)‖ := maxi,x∈[a,b]

{|φi(x)|}+ c maxi,x∈[a,b]

{|φi(x)|}, i = 1, 2, . . . , n,

(8)


ou c est un parametre positif avec les memes unites que x, et

donc N est un espace lineaire et norme.

— Remarque : Normalement on n’a pas le parametre c et on

suppose, pour l’addition dans Eq. (8) d’avoir un sens, que la

variable x est sans unites.

— Pour les fonctions admissibles φ ∈ A2n[a, b], on precise les

conditions aux bornes a et b

A2n[a, b] = {φ ∈ N | φ(a) = α, φ(b) = β et α, β ∈ Rn}, (9)

ou φ(a) = α est une notation concise pour φi(a) = αi pour

i = 1, 2, . . . , n.

1.3 Definition : Le lagrangien est une fonction scalaire

reelle L : R1 × Rn × Rn → R1 qui est C2 (continue avec

toutes derivees partielles continues jusqu’a l’ordre deux dans

tous les 2n+ 1 arguments).


1.4 Definition : L’action integrale, l’integrale

fondamentale du calcul des variations, est une fonctionelle

J : A2n[a, b]→ R1 definie par

J(φ(x)) :=

∫ b

a

L(x, φ(x), φ(x)) dx (10)


—— Equations d’Euler-Lagrange

— On cherche les extrema relatifs de J sur A2n[a, b] :

J(φ(x))→ min, φ(x) ∈ A2n[a, b]. (11)

— D’apres le theoreme L1.1, on a une condition necessaire

δJ = 0. (12)

— On suppose qu’un extremum φ existe et on le plonge dans

une famille d’un parametre ε ∈ R1 :

φiε = φi(x) + εηi(x), ηi ∈ C2[a, b], i = 1, . . . , n. (13)

Avec ηi(a) = 0 = ηi(b) on a φiε ∈ A2[a, b].


Lemme L1.1 : Une condition necessaire pour que φ soit

un extremum est que

n∑i=1

∫ b

a

(∂L

∂φi− d

dx

∂L

∂φi

)ηi dx = 0. (14)

[Convention d’Einstein]

Demonstration :

Par theoreme L1.1 on a δJ = 0 et donc

d

dε

∫ b

a

L(x, φi + εηi, φi + εηi) dx

∣∣∣∣∣ε=0

= 0. (15)

Parce qu’on a precise de conditions de regularites pour le


lagrangien, on peut passer la derivee dans l’integrale∫ b

a

d

dεL(x, φi + εηi, φi + εηi)

∣∣∣∣∣ε=0

dx = 0,

∫ b

a

(∂L

∂φiηi +

∂L

∂φiηi)

ε=0

dx = 0 (16)

[Convention d’Einstein] (La somme sur i est implicite.)

Considerons le seconde terme. On effectue une integration

par parties :∫ b

a

(∂L

∂φiηi)

ε=0

dx =

[∂L

∂φiη

]ba

−∫ b

a

d

dx

∂L

∂φi

∣∣∣∣ε=0

ηi dx (17)

Le premier terme s’annule ; η(a) = η(b) = 0.

On peut maintenant facturer le ηi :∫ b

a

(∂L

∂φi− d

dx

∂L

∂φi

)ε=0

ηi dx = 0 (18)


C’est le lemme L1.1. �


— Lemme L1.2 : lemme fondamental du

calcul des variations

— Soit φ : [a, b]→ R1 une fonction continue a valeurs reelles,

φ ∈ C0[a, b]. Si, quelle que soit la fonction η ∈ C2[a, b] nulle

en a et b, l’integrale ∫ b

a

φ(x)η(x) dx = 0, (19)

alors φ(x) est identiquement nulle.

Demonstration :

Si φ(x) n’etait pas nulle en un point x′ ∈ (a, b), il existerait

un intervalle I de centre x′ dans lequel φ(x) serait par

exemple positive. Choissisons pour η(x) une fonction nulle

en dehors de I, continue et positive sur I. Pour ce choix de


η, l’integrale ne serait pas nulle, ce qui est contraire a

l’hypothese. Donc φ(x) droit etre nulle en tout point

x′ ∈ (a, b). De plus, la continuite de φ assure que

φ(a) = 0 = φ(b). Finalement on a φ(x) = 0 pour chaque

x ∈ [a, b]. �


Theoreme L1.2 : conditions necessaires

pour un extremum

— Une condition necessaire pour que φ(x) ∈ A2n[a, b] soit un

extremum de l’integrale de l’action (10) est que

∂L

∂φi− d

dx

∂L

∂φi= 0, i = 1 . . . n. (20)

Demonstration :

Par le lemme L1.1, on la condition necessaire :∫ b

a

(∂L

∂φi− d

dx

∂L

∂φi

)ηi dx = 0 (21)

pour chaque η ∈ N avec η(a) = η(b) = 0. On peut choisir

η = 0 pour tous les composantes sauf une composante


arbitraire, disons ηk. Le lemme L1.2 dans ce cas donne∫ b

a

(∂L

∂φk− d

dx

∂L

∂φk

)ηk dx = 0, pour k fixe (22)

(aucune somme sur k). Les conditions de regularite sur le

lagrangien implique que le terme entre parentheses dans (22)

est continue. Et donc par le lemme L1.2 on a

∂L

∂φk− d

dx

∂L

∂φk= 0, partout dans l’intervalle [a, b]. (23)

Parce que k est arbitraire, on a (20). �


Remarques sur les equations

d’Euler-Lagrange

— Les equations (20) sont un systeme de n equations

differentielles de seconde ordre pour les n composantes de

φ(x). Elles peuvent etre non-lineaires.

— Les equations (20) sont appelees « equations d’Euler » par

les mathematiciens, « equations de Lagrange » par les

physiciens et les « equations d’Euler-Lagrange, EEL » par

les diplomates. [Je propose que nous sommes diplomatiques.]

— Les EEL (20) sont les conditions necessaires, mais elles ne

sont pas suffisantes. La situation est analogue de celle

d’extremum d’une fonction f(x) ∈ R1 d’une seule variable

sur un intervalle ouvert, x ∈ (a, b). La condition necessaire


pour un extremum en x0 est que

df

dx

∣∣∣∣x=x0

= 0 (24)

mais elle n’est pas une condition suffisante. [Par exemple, le

point x0 peut est un point d’inflexion.] La seconde variation

en calcul des variations joue le role analogue de la seconde

derivee pour verifier la nature de l’extremum. Mais ca ne

joue pas un role important pour nous ici [nous nous

interessons a demontrer que tous les equations dynamiques

de la physique decoulent d’un principe variational et aussi

aux proprietes invariantes de l’integrale d’action afin de

trouver les lois de conservation].

L1.5 Definition SEEL. Une solution des EEL (20) sont

appelees « an extremal » dans la literature anglosaxon

(Courant and Hilbert , 1989; Rund , 1966; Logan, 1977, par


exemple) meme si ils ne sont pas forcement un extremum. Je

vais utiliser SEEL = Solution des Equations

d’Euler-Lagrange. Elles rendent l’integrale d’action

stationaire.


Trois cas d’equations d’Euler-Lagrange

1. Le lagrangien ne depend pas explicitement de φ ;

L = L(x, φ). Et donc les EEL simplifient

��7

0∂L

∂φi− d

dx

∂L

∂φi= 0, i = 1 . . . n,

∂L

∂φi= ci, (25)

ou ci sont des constantes, i.e. independantes de x. Alors il y

a des fonctions fi = fi(x, φ, φ) qui sont constantes le long

des SEEL, fi(x, φ(x), φ(x)) = ci. Nous disons que nous avons

une « premiere integrale » dans ce cas.

2. Le lagrangien ne depend pas explicitement de x ;


L = L(φ, φ). Dans ce cas

d

dx

(L− φk ∂L

∂φk

)= φk

(∂L

∂φk− d

dx

∂L

∂φk

),

= 0. utilise les EEL

(26)

Et donc encore nous avons une fonction f tel que,

f(φ, φ) :=

(L− φk ∂L

∂φk

)= constante par rapport au x.

(27)

Nous disons que nous avons une « premiere integrale » dans

ce cas aussi.

3. Le lagrangien ne depend pas explicitement de φ ;


L = L(x, φ). Dans ce cas les EEL deviennent

∂L

∂φk− d

dx��7

0∂L

∂φk= 0,

∂L

∂φk= 0, k = 1 . . . n. (28)

Il s’agit des equations algebriques pour les φk(x).


Ex. 1 : Exemple d’equations

d’Euler-Lagrange

Surface minimale

— De tous les courbes de classe C2[x1, x2] qui joignent deux

points donnes (x1, φ1) et (x2, φ2) dans le plan x-φ, trouver la

seule qui fait la surface minimum quand elle se tourne

autour de l’axe des x.

Solution :

Le catenaire

φ(x) = C1 cosh

(x+ C2

C1

). (29)


Ex. 2 : Exemple d’equations

d’Euler-Lagrange

Oscillateur libre

— On a un corps de masse m kg suspendu par un ressort de

constante k [N/m]. Soit X = φ la hauteur du corps au

dessus de sa position d’equilibria, t = x le temps et φ := dXdt

la vitesse du corps. Le lagrangien dans ce cas est

L =1

2m

(dX

dt

)2

− 1

2kX2. (30)

Verifier la deuxieme loi de Newton (cf. ci-dessous) applique

pour ce systeme. Trouvez l’equation de motion generale.


Ex. 2, Oscillateur libre : remarques

— Cet exemple vient de la mecanique classique non-relativiste.

Nous allons apprendre sur quels systemes un principe

variationnel s’applique et nous allons etudier la methode

pour trouver le lagrangien pour ces systemes. Il s’agit de la

mecanique analytique qui s’etend au l’electromagnetisme.

— Nous allons aussi apprendre les lois de conservation de la

mecanique classique. La mecanique analytique nous permet

de voir le lien entre les lois de conservation et la symetrie du

lagrangien.

— Ensuite nous revenons au calcul des variations pour les

fonctionnelles de pleusieurs variables ce qui nous permet

d’etudier le principe variational pour les champs physiques.

Par exemple les equations de Maxwell decrivent les champs


electrique et magnetique et sont des EEL pour une integrale

d’action sur un volume d’espace-temps.


Limitations de notre introduction sur les

equations d’Euler-Lagrange

— Notre introduction au calcul variationnel n’est pas tres

generale. Mais c’est assez general pour nous maintenant

d’explorer les proprietes invariantes de l’integrale d’action et

de trouver les lois de la physique fondamentale.

— Nos criteres sur le lagranien et les fonctions admissibles sont

tres stricts. L’analyse variationnel abord les cas mois stricts.

— Nous considererons plus tard des contraintes.


Interpretation geometrique des equations

d’Euler-Lagrange

— Considerons les variables x et φk comme les (n+ 1)

coordonnees dans un espace de configuration de dimension

(n+ 1). [Attention : literature de physique decrit ceci comme

un espace de configuration de dimension n.] Alors les SEEL

φk = φk(x), (k = 1, . . . , n x ∈ [a, b]) (31)

sont les coordonnees d’une courbe parametree qui joint les

deux points donnes (a, φk(a)) et (b, φk(b)).

— On definit les expressions d’Euler-Lagrange

Ek :=∂L

∂φk− d

dx

∂L

∂φk. (32)


Les Ek doivent s’annule pour que cette courbe soit un SEEL.


References

Arnold, V. I. (1976), Methodes mathematiques de la mecanique

classique, MIR - MOSCOU.

Basdevant, J.-L. (2010), Le principe de moindre action et les

principles variationnels en physique, 192 pp., Vuibert, Paris,

France.

Courant, R., and D. Hilbert (1989), Methods of Mathematical

Physics Volume I, John Wiley and Sons, 560 pp.

Davis, H. F., and A. D. Snider (1979), Introduction to vector

analysis, 4th edition, Allyn and Bacon.

Goldstein, H. (1964), mecanique classique, 399 + xii pp pp., Presses

Universitaires de France, Paris.


Hobson, M., G. Efstathiou, and A. Lasenby (2010), Relativite

Generale, de boeck, Bruxelles.

Logan, J. D. (1977), Invariant Variational Principles, 172+xv pp.,

Academic Press, New York, N.Y.

Martin-Robine, F. (2006), Histoire du principe de moindre action :

trois siecles de principles variationnels de Fermat a Feynman,

Vuibert, Paris, France, 226 + iv pp.

Neuenschwander, D. E. (2011), Emmy Noether’s Wonderful

Theorem, 243 pp., Johns Hopkins University Press, Baltimore

U.S.A, 243 + xviii pp.

Poisson, E. (2004), A Relativist’s Toolkit : The mathematics of

black-hole mechanics, 252 pp., Cambridge University Press,

Cambridge, U.K., 252 + xvi pp.


Rund, H. (1966), The Hamilton-Jacobi theory in the calculus of

variations, 404 pp., D. Van Nostrand Company Ltd., London,

U.K., 404 + xi pp.

Taillet, R., V. Villain, and P. Febvre (2009), Dictionnaire de

physique, de boeck, Bruxelles.

Troutman, J. L. (1996), Variational Calculus and Optimal Control,

Springer, New York, N.Y., 461 + xv pp.

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