- 1. Niveau : Licence ptrochimie troisime semestre Universit du
20 aout 55 Skikda
2. Calcul vectoriel et matriciel 2.1. Introduction. 2.2. Les
vecteurs : dclaration, accs a un lment, calculs vectoriels. 2.3. La
fonction linspace. 2.4. Les matrices : dclaration, accs un lment.
2.5. Instructions pour la gnration automatique de matrices
spcifiques. 2.6. Les oprations de base sur les matrices. 2.7.
Quelques fonctions pour le traitement des matrices. 2.8. Rsolution
d'un systme d'quations linaires. 3. 2-1-Introduction : Matlab tait
conu lorigine pour permettre aux mathmaticiens, scientifiques et
ingnieurs dutiliser facilement les mcanismes de lalgbre linaire.
Par consquent, lutilisation des vecteurs et des matrices est trs
intuitif et commode en Matlab.Cours 2 : calcul vectoriel et
matriciel 4. 2-2-Vecteur: Un vecteur est une liste ordonne dlments.
Si les lments sont arrangs horizontalement on dit que le vecteur
est un vecteur ligne, par contre si les lments sont arrangs
verticalement on dit que cest un vecteur colonne.Cours 2 : calcul
vectoriel et matriciel 5. 2-2-Vecteur: Pour crer un vecteur ligne
il suffit dcrire la liste de ses composants entre crochets [ ] et
de les spars par des espaces ou des virgules comme suit : >>
V = [ 5 , 2 , 13 , -6 ]% Cration dun vecteur ligne VV= 5 >> U
= [ 4 -2 1 ]213-6% Cration dun vecteur ligne UU= 4-21Cours 2 :
calcul vectoriel et matriciel 6. 2-2-Vecteur: Pour crer un vecteur
colonne il est possible dutiliser une des mthodes suivantes : crire
les composants du vecteur entre crochets [ ] et de les spars par
des points-virgules (;) comme suit : >> U = [ 4 ; -2 ; 1 ]%
Cration dun vecteur colonne UU= 4-2 1Cours 2 : calcul vectoriel et
matriciel 7. 2-2-Vecteur: crire verticalement le vecteur : >>
U = [ 4 -2 1] U= 4 -2 1Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 8.
2-2-Vecteur: calculer le transpos dun vecteur ligne : >> U =
[ 4 -2 1 ]'% Cration dun vecteur colonne UU= 4 -21Donc, le transpos
dun vecteur colonne est de quelle dimension? >> U = [ 4 ; -2
; 1 ]Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 9. 2-2-Vecteur -
calcul vectoriels : Dfinition automatique dun vecteur: Si les
composants dun vecteur X sont ordonns avec des valeurs conscutives
avec un pas (dincrmentation/dcrmentation), nous pouvons spcifier le
pas avec la notation : X = [premier_lment : le_pas : dernier_lment]
Le pas est facultatif: si il est gal et matriciel 1. Cours 2 calcul
vectoriel 10. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Dfinition
automatique dun vecteur: >> X = [0:2:10] % Les nombres pairs
< 12 A = [1 2 3]; >> >> B = [A, 4, 5, 6] X= B= 0 2 4
6 8 10 1 >> V = [ 1:2:5 , -2:-3:-10 ] >> B = [A ; 4, 5,
6] V= B=? 1 3 5 -2 -5 -8 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel234
5 6 11. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Rfrencement vecteur
:etaccsauxlmentsdunnom_vecteur ( positions )Les parenthses (et)
sont utilises ici (pour la consultation). Les crochets [et] sont
utiliss uniquement pendant la cration.positions : peut tre un
simple numro, ou une liste de numro (un vecteur de positions)Cours
2 : calcul vectoriel et matriciel 12. 2-2-Vecteur - calcul
vectoriels : Rfrencement vecteur :etaccsauxlmentsdun>> V(2:4)
% de la 2me position jusqu'au 4me >> V = [5, -1, 13, -6, 7]
ans = V= -1 13 -6 5 -1 13 -6 7 V(4:-2:1) % de la 4eme pos >>
>> V(3) % la 3eme position jusquau1ere avec pas-2 ans = ans =
-6 -1 13 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 13. 2-2-Vecteur -
calcul vectoriels : Rfrencement vecteur :etaccsauxlmentsdun>>
V(9) = 5 % ajouter un 9me lment >> V(3:end) % de la 3eme
position 8 -1 13 -6 7 -3 0 0 ans = 5 13 -6 7 >> V(2) = [ ] %
Supprimer le deuxime >> V(1) = 8 % donner la valeur 8lment au
1er V= V= 8 13 -6 7 -3 0 0 8 -1 13 -6 7 5 Cours 2 : calcul
vectoriel et matriciel eme 14. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels :
Les oprations sur les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est
possible de raliser des calcules lment par lment en utilisant les
oprations suivantes : >> u = [-2, 6, 1] ; >> u+v ans =
>> v = [ 3, -1, 4] ; 1 5 5 >> u+2 >> v(4) = 2;
ans = >> u+v ??! 0 8 3 Cours 2 : calcul vectoriel et
matriciel 15. 2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Les oprations sur
les vecteurs : Avec deux vecteurs et, il est possible de raliser
des calcules lment par lment en utilisant les oprations suivantes :
>> u = [-2, 6, 1] ; >> u-v ans = >> v = [ 3, -1,
4] ; -5 7 -3 >> u-2 >> v(4) = 2; ans = >> u-v ??!
-4 4 -1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 16. 2-2-Vecteur -
calcul vectoriels : Les oprations sur les vecteurs : Avec deux
vecteurs et, il est possible de raliser des calcules lment par
lment en utilisant les oprations suivantes : >> u = [-2, 6,
1] ; >> u.*v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -6 -6 4
>> u * 2 >> u * v ??! ans = >> u * v ??! % le
transpos -4 12 2 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 17.
2-2-Vecteur - calcul vectoriels : Les oprations sur les vecteurs :
Avec deux vecteurs et, il est possible de raliser des calcules
lment par lment en utilisant les oprations suivantes : >>
u./v >> u = [-2, 6, 1] ; ans = >> v = [ 3, -1, 4] ;
-0.6667 -6.0000 0.2500 >> u/2 >> u. v ??! ans =
>> u /v ??! -1.0000 3.0000 0.5000 u /v ??! >> Cours 2 :
calcul vectoriel et matriciel >> u * v^-1 ??! 18. 2-2-Vecteur
- calcul vectoriels : Les oprations sur les vecteurs : Avec deux
vecteurs et, il est possible de raliser des calcules lment par
lment en utilisant les oprations suivantes : >> u = [-2, 6,
1] ; >> u.^v ans = >> v = [ 3, -1, 4] ; -8.0000 0.1667
>> u.^2 1.0000 >> u ^ v ??! ans = >> u ^ v ??! 4
36 1 Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 19. 2- 3- La fonction
Linspace : La fonction Linspace : La cration dun vecteur dont les
composants sont ordonns par intervalle rgulier et avec un nombre
dlments bien dtermin peut se raliser avec la fonction : Linspace
(dbut, fin, nombre dlments). Le pas dincrmentation est calcul
automatiquement par Matlab selon la formule : Cours 2 : calcul
vectoriel et matriciel 20. 2- 3- La fonction Linspace : La fonction
Linspace : >> X = linspace(1,10,4)% un vecteur de quatre
lment de 1 10X= 14>> Y = linspace(13,40,4)710 % un vecteur de
quatre lment de 13 40Y= 13223140La taille dun vecteur (le nombre de
ses composants) peut tre obtenue avec la fonction length comme suit
: >> length(X)% la taille du vecteur Xans =Cours 2 : calcul
vectoriel et matriciel 4 21. 2-4- Matrice : Dfinition dune matrice
: Une matrice est un tableau rectangulaire dlments
(bidimensionnels), pour crer une matrice, il faut respecter les
rgles suivantes : Les lments doivent tre mises entre des crochets [
] Les espaces ou les virgules sont utiliss pour sparer les
lmentsdans la mme ligne Un point virgule (ou la touche entrer) est
utilis pour sparer les lignes Cours 2 : calcul vectoriel et
matriciel 22. 2-4- Matrice : Dfinition dune matrice : Pour
illustrer, considrant la matrice suivante : On peu crire: >>
A = [1,2,3,4 ; 5,6,7,8 ; 9,10,11,12] ; >> A = [1 2 3 4 ; 5 6
7 8 ; 9 10 11 12] ; >> A=[[1;5;9] , [2;6;10] , [3;7;11] ,
[4;8;12]] ; Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 23. 2-4-
Matrice : Rfrencement et accs aux lments dune matrice : nom_matrice
( numro de ligne, numro de colonne ) Numro : peut tre un simple
numro, ou une liste de numro (un vecteur de positions)Cours 2 :
calcul vectoriel et matriciel 24. 2-4- Matrice : Rfrencement
vecteur :etaccsauxlmentsdunLaccs un lment de la ligne i et la
colonne j se fait par : A(i , j) Laccs toute la ligne numro i se
fait par : A(i , :) Laccs toute la colonne numro j se fait par :
A(: , j) Laccs une sous-matrice se fait par A(i1:i2 , j1:j2)Cours 2
: calcul vectoriel et matriciel 25. 2-4- Matrice : Rfrencement
vecteur : >> A(2,3) >> A(1,:) >> A(:,2) >>
A(2:3,:) >> A(1:2,3:4)etaccsauxlments% llment sur la 2me
ligne la 3me colonne % tous les lments de la 1re ligne % tous les
lments de la 2me colonne % tous les lments de la 2me et la 3me
ligne % La sous matrice suprieure droite Cours 2 : calcul vectoriel
et matricieldun 26. 2-4- Matrice : Rfrencement et accs aux lments
dune matrice : >> A([1,3],[2,4]) >> A(:,3) = []
>> A(2,:) = [] >> A = [A , [0;0]] >> A = [A ;
[1,1,1,1]]% la sous matrice : lignes(1,3) et colonnes (2,4) %
Supprimer la troisime colonne % Supprimer la deuxime ligne %
Ajouter une nouvelle colonne {ou A(:,4)=[0;0]} % Ajouter une
nouvelle ligne {ou A(3,:)=[1,1,1,1]}Cours 2 : calcul vectoriel et
matriciel 27. 2-5- Instructions pour la gnration automatique de
matrices spcifiques : Dfinition automatique dune matrice : >>
A = [1 : 2 : 5; 6 : 8; ] ; zeros(n) % Gnre une matrice n n avec
tous les lments = 0 zeros(m,n) % Gnre une matrice m n avec tous les
lments = 0 ones(n) % Gnre une matrice n n avec tous les lments = 1
ones(m,n) % Gnre une matrice m n avec tous les lments = 1 eye(n) %
Gnre une matrice identit de dimension n n magic(n) % Gnre une
matrice magique de dimension n n rand(m,n) %Cours 2 :une matrice de
dimension m n de valeurs Gnre calcul vectoriel et matriciel
alatoires 28. 2-6- Les oprations de base sur les matrices : Les
oprations sur les matrices : Entre deux matrice, il est possible de
raliser les Cest quoi les oprations suivantes: conditions????. La
division inverse lment par Le transpos lment + Laddition .^ La
puissance lment par lment - La soustraction * La .* La
multiplication lment par lment multiplication matricielle / La ./
La division lment par 2 : calcul vectoriel division matricielle
(A/B) = lment Cours et (A*inv(B)) matriciel 29. 2-6- Les oprations
de base sur les matrices : Les oprations sur les matrices :Cours 2
: calcul vectoriel et matriciel 30. 2-6- Les oprations de base sur
les matrices : Les oprations sur les matrices :Le produit matriciel
est : associatif : ABC = (AB)C = A(BC) distributif par rapport
l'addition : A(B + C) = AB + AC non commutatif : AB n'est pas gal
BA en gnral. Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 31. 2-6- Les
oprations de base sur les matrices : Les oprations sur les matrices
: Linverse dune matrice carre:Le nombre ad - bc est appel
dterminant de la matrice A, not :La matrice inverse A-1 n'existe
donc que si det A est diffrent de zro. Cours 2 : calcul vectoriel
et matriciel 32. 2-6- Les oprations de base sur les matrices : Les
oprations sur les matrices : >> A=ones(2,3); >>
B=zeros(3,2) >> B=B+3 >> A*B >> B=[B , [3 3
3]']>> B=B(1:2,:) >> A=A*2 >> A.*B >>
A*eye(3)% ou bien B(3,:)=[]% ou bien B(:,3)=[3 3 3]Cours 2 : calcul
vectoriel et matriciel 33. 2-6- Les oprations de base sur les
matrices : Les oprations sur les matrices : Concatnation de
matrices: >> A = [1,2,3,4 ; 5,6,7,8 ; 9,10,11,12] ; >>
B = [-1 -2 -3 -4 ; -5 -6 -7 -8] ;>> C = [-1 -2 -3 ; -5 -6 -8
; -9 -11 -12] ; Cest quoi >> D = [A,B] ; conditions????
>> D = [A;B] ;les>> D = [A,C] ;>> D = [A;C]
;Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 34. 2-6- Les oprations de
base sur les matrices : Les conditions des oprations sur les
matrices : Le transpos : aucune condition. + : A et B doivent tre
identique. - : A et B doivent tre identique..* , ./ , . , .^ : A et
B doivent tre identique. , /: il faut que les dimension de A(n,m)
et B(m,f) (donc nombre de colonnes de A = nombre de linges de B). D
= [A,B] : il faut que les dimension de A(n,m) et B(n,f). D = [A;B]
: il faut que les dimension de A(n,m) et B(f,m).Cours 2 : calcul
vectoriel et matriciel 35. 2-7- Quelques fonctions pour le
traitement des matrices : Voici quelques fonctions pour le
traitement de Size % La taille dune matrice matrices : Inv%
Dterminant dune matrice Cross Diag % Linverse dune matriceRank%
Rang dune matriceTrace% Trace dune matriceEig% Valeurs
propresDetDotNorm% Produit vectoriel de 2 vecteurs % Diagonal dune
matricediag(V) % Cre une matrice ayant le vecteur V dans le
diagonal et 0 ailleurs.Tril% La partie triangulaire inferieureTriu
% La partie % Produit scalaire de 2 vecteurs suprieure % Norme dun
vecteur calcul vectoriel et matriciel Cours 2 :triangulaire 36.
2-8- Rsolution dun systmes linaires : Tout systme linaire peut tre
reprsent sous forme matricielle. La rsolution d'un tel systme fait
appel la notion d'inverse d'une matrice. Considrons le systme
d'quations suivant: Ce systme peut tre crit sous une forme
matricielle: AX = B, avec:Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel
37. 2-8- Rsolution dun systmes linaires : Rsoudre ce systme
d'quations, c'est trouver X tel que: AX = B X = inv(A)*B ou X = AB
La rsolution du systme prcdent: >> A = [3 2 -1;-1 3 2;1 -1
-1]; >> B = [10 ;5 ;-1]; >> X = inv(A)*B >> X =
AB Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel 38. 2-8- Rsolution dun
systmes linaires : Soit le systme d'quations paramtriques :On
cherche exprimer x1, x2 et x3 en fonction de b1, b2 et b3 :
>> A = [ -1 2 1 ; -1 1 2 ; 1 -2 1 ] >> format rational
Cours 2 : calcul vectoriel et matriciel >> inv(A) 39. 2-8-
Rsolution dun systmes linaires : Soit le systme de 2 quations 2
inconnues : 2x1 + 3x2 = 9 x1 - x2 = 2Soit : x1 = 3, x2 = 1. Cours 2
: calcul vectoriel et matriciel
