Rseaux de Petri: Vrification des propritscole Nationale dIngnieurs de Sfax

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Graphes des marquagesLide la plus naturelle pour tudier un rseau est de construire son graphe des marquages accessibles.j Graphe fini : Cest la situation la plus favorable

car alors toutes les proprits peuvent tre dduites simplement par inspection de celui-ci.j Graphe infini : Dans ce cas, on construit un autre

graphe appel graphe de couverture permettant de dduire certaines proprits.RdP Vrification des Proprits

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Arbre, graphe fini

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Arbre, graphe infini

RdP Vrification des Proprits

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Arbre et grapheArbre de marquages accessibles

Graphe de marquages

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Le symbolej Ce symbole peut tre considr comme reprsentant

une quantit arbitrairement grande de jetons, autrement IN. dit une infinit. j Proprits de : pour toute constante (entire) n +n= -n= n< j Ce symbole va servir construire larbre de couverture dans le cas dun graphe des marquages infiniRdP Vrification des Proprits

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Lalgorithme de construction de larborescence de couverturej Dfinitions, notations IN est lensemble IN { } IN m est donc un vecteur a m composantes dans IN Pour Q IN m , Q-1( ) = { p P | Q(p) = } j Larborescence de couverture, note AC(N) o

N=(R,M0) est un rseau marqu, est une arborescence (S,X) o les sommets de S sont tiquets par des vecteurs de IN (m=cardinal(P)) les arcs de X sont tiquets par des transitions de TRdP Vrification des Proprits

m

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Lalgorithme(1) La racine r est tiquete par M0 (2) Un sommet s tiquet par Q IN seulement sim

na pas de successeur si et

soit il existe sur le chemin de r s un sommet s tiquet galement par Q soit il nexiste pas de transition t telle que Entree(.,t) Q

(3) Si s tiquet par Q ne vrifie pas les conditions de (2), alors pour toute transition t telle que Entree(.,t) Q, il existe un sommet s successeur de s. Larc (s, s) est tiquet par t, le sommet s est tiquet par Q, o Q est dfini comme suit: Si il existe sur le chemin de r s un sommet s tiquet par Q avec Q Q + C(.,t), alors pour tout p telle que Q(p) < Q(p) + C(p,t) on a Q(p) = . Dans le cas contraire Q(p) = Q(p) + C(p,t).RdP Vrification des Proprits

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ExerciceArbre de couverture du rseau suivant?

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Graphe de couverturej Le graphe de couverture, not GC(N), est obtenu de

larborescence de couverture en fusionnant les sommets tiquets par les mmes lments (vecteurs) et redirigeant les arcs entre les sommets ainsi obtenus.j Proprits Il est toujours possible de construire le graphe de couverture, celui-ci est fini Si s est une squence de franchissement telle que M0 ps M alors il existe un chemin dans GC(N) partant de M0 conduisant un sommet Q tel que p P M(p) Q(p) Q couvre P, do le nom du graphe.

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Arborescence de couverture

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Couverture des marquages

Couverture:M0 = (1, 0, 0, 0)s = t1t1t1t2t3 M0s

Couvert mais pas accessible: M = (0, 5, 1, 7)

M

M = (0, 4, 1, 1) couvert par (0, , 1, )RdP Vrification des Proprits

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Rseau born et graphe de couverturej Un rseau marqu N est non-born si et

seulement si il existe un sommet Q de GC(N) tel que Q-1( ) j Une place p dun rseau marqu N est non-

borne si il existe un sommet Q de GC(N) tel que Q(p) =j Si le rseau marqu N est born, le graphe de

couverture et le graphe des marquages sont identiquesRdP Vrification des Proprits

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Limitation du graphe de couverturej Le symbole

correspond une perte

dinformationj Dune manire gnrale, ce graphe ne permet

pas de rpondre des questions concernant Laccessibilit dun marquage La vivacit du rseau

j Mais dans certains cas oui...

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Perte dinformation dans le graphe de couverture

j Le mot

t1 t2 t2 tiquette bien un chemin du graphe de couverture partant de M0 et pourtant la squence nest pas tirable depuis M0.RdP Vrification des Proprits

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Perte dinformation (suite)Graphes de couverture identiques, mais comportements diffrents

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Accessibilitj Dans le cas dun rseau born un marquage M est

atteignable si et seulement si le graphe des marquages accessibles contient un noeud reprsentant M.j Dans le cas dun rseau non-born, il est impossible de

vrifier laide dun graphe de couverture si M est accessible. On peut seulement vrifier quil existe un marquage M tel que M M.

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Rappelj Composante fortement connexe dun graphe:sous-

graphe tel quil existe un chemin (orient) entre tout point A et tout point B de ce sous-graphe.j Arc sortant dune composante fortement connexe: arc

qui a comme sommet origine un sommet de cette composante et comme extrmit un sommet qui nappartient pas cette composante.

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Rseau born et vivacitj Une transition t dun rdP born est vivante si et seulement si,

partant dun noeud quelconque du graphe des marquages accessibles, il existe un chemin orient contenant un arc marqu t. La transition t est vivante si et seulement si chaque composante fortement connexe et sans arc sortant du graphe contient un arc marqu t.j Un rdP born est vivant si et seulement si chaque composante

fortement connexe du graphe qui na pas darc sortant contient au moins un arc marqu par chaque transition.j Un rdP born est sans blocage si et seulement si chaque n ud

de son graphe est origine dau moins un arc.RdP Vrification des Proprits

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Exercice

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Rseau non-born et vivacitj Une transition t dun rdP non born nest pas vivante si le

graphe de couverture possde une composante fortement connexe sans arc sortant dans laquelle aucun arc nest marqu t.j Un rdP non born nest pas vivant si son graphe de couverture

possde au moins une composante fortement connexe sans arc sortant et dont lunion des transitions attaches aux arcs nest pas lensemble des transitions.j Un rdP non born est avec blocage si son graphe de couverture

contient un noeud qui nest lorigine daucun arc.

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Exercicej RdP non born: que peut-on dire?

(T={t1,t2,t3,t4,t5,t6})

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Rseau born, rversibilit et tat daccueilj Un rdP born est rversible si et seulement si son graphe des

marquages accessibles est fortement connexe.

j Un rdP born accepte un tat daccueil si et seulement si son

graphe des marquages atteignables possde une et une seule composante fortement connexe sans arc sortant. De plus lensemble des marquages figurant dans cette composante donne lensemble des tat daccueil.

j Si un rdP possde un tat daccueil, son graphe de couverture

possde une et une seule composante fortement connexe sans arc sortant. Si de plus il est rversible, il existe un marquage M de cette composante tel que p P (M(p) = M0(p) ou M(p) = )RdP Vrification des Proprits

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Exercicej Rversibilit: construire les graphes de

couverture des rdP suivants, que peut-on dduire?

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