Cours d'algorithmique 3 - Intranet 1 13 novembre 2006 Cours dAlgorithmique Parcours darbres. Induction sur la structure. Back-track.Minimax

Cours d'algorithmique 3 - IntranetCours d'algorithmique 3 - Intranet 1113 novembre 200613 novembre 2006

Cours d’AlgorithmiqueCours d’Algorithmique

Parcours d’arbres.Parcours d’arbres.

Induction sur la structure.Induction sur la structure.

Back-track.Back-track.

Minimax.Minimax.

13 novembre 200613 novembre 2006 Cours d'algorithmique 3 - IntranetCours d'algorithmique 3 - Intranet 22

• Trier et chercherTrier et chercher• Listes etListes et arbres arbres• Le back-trackLe back-track• Arbres équilibrésArbres équilibrés• Récursivité etRécursivité et induction sur la structureinduction sur la structure• Divide and conquerDivide and conquer• MinimaxMinimax• DérécursionDérécursion• NP-complétudeNP-complétude• Logique de HoareLogique de Hoare• Programmation dynamiqueProgrammation dynamique• Complexité et calculabilitéComplexité et calculabilité

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours


Fibonnacci et les arbresFibonnacci et les arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

int fibonnacci (int n)

{if ( n == 0 )

return(0);

else

if ( n == 1 )

return(1);

else

return( fibonnacci(n-1) + fibonnacci(n-2) ); }

Fibonnacci est une fonction qui comporte deux appels récursifs.Fibonnacci est une fonction qui comporte deux appels récursifs.

Tout appel construit donc deux autres appels.Tout appel construit donc deux autres appels.

Construisons cet arbre.Construisons cet arbre.



int fibonnacci (int n)

{if ( n == 0 )

return(0);

else

if ( n == 1 )

return(1);

else

return( fibonnacci(n-1) + fibonnacci(n-2) ); }

Fibonnacci est une fonction qui comporte deux appels récursifs.Fibonnacci est une fonction qui comporte deux appels récursifs.

Tout appel construit donc deux autres appels.Tout appel construit donc deux autres appels.

Construisons cet arbre.Construisons cet arbre.

Les cas d’arrêt.Les cas d’arrêt.

Les appels récursifs.Les appels récursifs.



ptr_arbre arbre_fibo (int n)

{if ( n == 0 )

return( cree_feuille(0) );

else

if ( n == 1 )

return( cree_feuille(1) );

else

return( cree_noeud( arbre_fibo(n-1),

arbre_fibo(n-2) ) ) ; }



1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33

55arbre_fibo(5)arbre_fibo(5)



1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33


On observe que de nombreux calculs sont répétés !On observe que de nombreux calculs sont répétés !


Calcul de la somme des feuillesCalcul de la somme des feuilles----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

int somme_arbre_fibo (ptr_arbre arbre)

{if ( est_feuille(arbre) )

return( valeur_feuille(arbre) );

else

return( somme_arbre_fibo(fils_gauche(arbre))

+ somme_arbre_fibo(fils_droit(arbre)) ) ; }


Calcul de la somme des feuillesCalcul de la somme des feuilles----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33


11 00

11



------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33


11 00

1111

22



------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33

55

11 00

1111

22 11

arbre_fibo(5)arbre_fibo(5)



------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33

55somme_somme_arbre_fibo(5) arbre_fibo(5) = 5= 5

11 00

1111

22 11

33

11

22

55


Calcul de la somme des feuillesCalcul de la somme des feuilles----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

int somme_arbre_fibo (ptr_arbre arbre)

{return( somme_acc(arbre , 0) ) ; }

int somme_acc(ptr_arbre arbre , int accumule)


return( accumule + valeur_feuille(arbre) );

else

return( somme_acc(fils_droit(arbre) ,

somme_acc(fils_gauche(arbre) ,

accumule)) ) ; }



------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33


11

accumule = 0accumule = 0



------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33


11


11



------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33


11


11

22


somme_somme_arbre_fibo(5) arbre_fibo(5) = 5= 5


------

1 0

22

1 0

22 1

33

44

1 0

22 1

33

55

11


11

22 . . .. . .



L E SL E ST Y P E ST Y P E S

D ED EP A R C O U R SP A R C O U R S

Types de parcoursTypes de parcours----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------



------

Parcours préfixeParcours préfixe

res_fg = appel ( fg(a) );res_fg = appel ( fg(a) );

res_fd = appel ( fd(a) );res_fd = appel ( fd(a) );

return( ... res_fg ... res_fd ... );return( ... res_fg ... res_fd ... );



------


res_fg = res_fg = appel ( fg(a) );appel ( fg(a) );





------


res_fg =res_fg = appel ( fg(a) );appel ( fg(a) );





------



res_fd = res_fd = appel ( fd(a) );appel ( fd(a) );




------



res_fd =res_fd = appel ( fd(a) );appel ( fd(a) );




------



res_fd =res_fd = appel ( fd(a) );appel ( fd(a) );


Ou encore :Ou encore : ... appel ( fg(a) ) / appel ( fd(a) ) ...... appel ( fg(a) ) / appel ( fd(a) ) ...



------

Parcours suffixe ou postfixeParcours suffixe ou postfixe

res_fg = appel (res_fg = appel ( fd fd(a) );(a) );

res_fd = appel (res_fd = appel ( fg fg(a) );(a) );




------

Parcours suffixe ou postfixeParcours suffixe ou postfixe

res_fg = appel (res_fg = appel ( fd fd(a) );(a) );

res_fd = appel (res_fd = appel ( fg fg(a) );(a) );


Ou encore :Ou encore : ... appel (... appel ( fd fd(a) ) / appel ( (a) ) / appel ( fgfg(a) ) ...(a) ) ...



------

Parcours avec opérateur commutatif : Parcours avec opérateur commutatif : l’ordre de parcours estl’ordre de parcours estsans importance !sans importance !

... oper_commute ( ... oper_commute ( fgfg(a) , (a) , fdfd(a) ) ...(a) ) ...

... oper_commute ( ... oper_commute ( fdfd(a) , (a) , fgfg(a) ) ...(a) ) ...

Exemple : notre calcul de la somme de Fibonnacci.Exemple : notre calcul de la somme de Fibonnacci.


Types de parcours avec étiquettesTypes de parcours avec étiquettes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------Traitement de l’étiquette, soit avant, soit après, soit pendant !Traitement de l’étiquette, soit avant, soit après, soit pendant !

1 5

++ 3

**



------Traitement de l’étiquette, soit Traitement de l’étiquette, soit avantavant, soit après, soit pendant !, soit après, soit pendant !

1 5

++ 3

• Impression préfixe de l’arbre :Impression préfixe de l’arbre :

** + + 1 1 5 5 33**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33**



------Traitement de l’étiquette, soit Traitement de l’étiquette, soit avantavant, soit , soit aprèsaprès, soit pendant !, soit pendant !

1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33

• Impression postfixe de Impression postfixe de l’arbre :l’arbre :

1 1 5 5 + + 3 3 **

**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33


1 1 5 5 + + 3 3 **

**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33


1 1 5 5 + + 3 3 **

**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33


1 1 5 5 + + 3 3 **

**



------Traitement de l’étiquette, soit Traitement de l’étiquette, soit avantavant, soit , soit aprèsaprès, soit , soit pendantpendant ! !

1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33

• Impression postfixe de l’arbre :Impression postfixe de l’arbre :

1 1 5 5 + + 3 3 **

• Impression infixe parenthésée :Impression infixe parenthésée :

( ( ( ( 1 1 + + 5 5 ) ) * * 3 3 ))

**(( ))

))((




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33


1 1 5 5 + + 3 3 **


( ( ( ( 1 1 + + 5 5 ) ) * * 3 3 ))

**




1 5

++ 3


** + + 1 1 5 5 33


1 1 5 5 + + 3 3 **


( ( ( ( 1 1 + + 5 5 ) ) * * 3 3 ))

**


M O D I F I C A T I O M O D I F I C A T I O NN

D ‘ U ND ‘ U NA R B R EA R B R E


------


Modification d’un arbreModification d’un arbre----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------• Nous savons créer un arbre, nous savons parcourir un arbre !Nous savons créer un arbre, nous savons parcourir un arbre !

• Pouvons-nous modifier un arbre ?Pouvons-nous modifier un arbre ?

• OUIOUI– soit, en le reconstruisant,soit, en le reconstruisant,– soit, en le modifiantsoit, en le modifiant

physiquement.physiquement.



------• Nous savons créer un arbre, nous savons parcourir un arbre !Nous savons créer un arbre, nous savons parcourir un arbre !

• Pouvons-nous modifier un arbre ?Pouvons-nous modifier un arbre ?

• OUIOUI– soit, en le reconstruisant,soit, en le reconstruisant,– soit, en le modifiantsoit, en le modifiant

physiquement.physiquement.

33 55 77

2211

11RemplacerRemplacer

parpar dansdans

44 66



------• En reconstruisant :En reconstruisant :

33 55 77

22

44 66

Partie qui doit êtrePartie qui doit êtrereconstruite.reconstruite.




33 55 77

22

44 66


cree_noeud(cree_noeud( fg(arbre) fg(arbre) ,, cree_noeud(cree_noeud( fg(fd(arbre))fg(fd(arbre)) ,, cree_noeud(cree_noeud( cree_noeud(cree_feuille(4) ,cree_noeud(cree_feuille(4) , cree_feuille(6))cree_feuille(6)) ,, fd(fd(fd(arbre))) fd(fd(fd(arbre))) ) ) ) ;) ) ) ;




33 55 77

22

44 66


cree_noeud(cree_noeud( fg(arbre)fg(arbre) ,, cree_noeud(cree_noeud( fg(fd(arbre))fg(fd(arbre)) ,, cree_noeud(cree_noeud( cree_noeud(cree_feuille(4) ,cree_noeud(cree_feuille(4) , cree_feuille(6))cree_feuille(6)) ,, fd(fd(fd(arbre)))fd(fd(fd(arbre))) ) ) ) ;) ) ) ;



------• En modifiant :En modifiant :

33 55 77

22

44 66

Pointeur qui estPointeur qui estmodifié.modifié.



------• En modifiant :En modifiant :

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22

44 66

Pointeur qui estPointeur qui estmodifié.modifié.

modifie_fg_noeud(modifie_fg_noeud( fd(fd(arbre))fd(fd(arbre)) ,, cree_noeud( cree_feuille(4) ,cree_noeud( cree_feuille(4) , cree_feuille(6) )cree_feuille(6) ) ) ;) ;



------Attention aux Attention aux partages de structurepartages de structure

avec avec modifications physiques !modifications physiques !

sous_arbre = cree_noeud( cree_feuille(3) , cree_feuille(5) );sous_arbre = cree_noeud( cree_feuille(3) , cree_feuille(5) );arbre = cree_noeud( sous_arbre , sous_arbre );arbre = cree_noeud( sous_arbre , sous_arbre );

33 55

ReprésentationReprésentationphysique !physique !





33 55


33 55


33 55

L’arbre logique ! ! !L’arbre logique ! ! !





33 55


99 55


99 55


ReconstructionReconstructiond’arbre.d’arbre.

ModificationModificationphysique.physique.





33 55


99 55


99 55








33 55


99 55


99 55





I N D U C T I O NI N D U C T I O NS U RS U RL E SL E S

S T R U C T U R E SS T R U C T U R E S

Induction sur les structuresInduction sur les structures----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



• Induction simple sur les entiers naturels :Induction simple sur les entiers naturels :

– On démontre la propriété pour 0, le premier entier naturel.On démontre la propriété pour 0, le premier entier naturel.





– On démontre que la propriété reste vraie pour i+1, si elle On démontre que la propriété reste vraie pour i+1, si elle est vraie pour i . est vraie pour i . C’est le pas d’induction !C’est le pas d’induction !






– Donc, elle est vraie pour tout entier naturel.Donc, elle est vraie pour tout entier naturel.







• Induction Induction totaletotale sur les entiers naturels : sur les entiers naturels :


– On démontre que la propriété reste vraie pour i+1, si elle On démontre que la propriété reste vraie pour i+1, si elle est vraie pour est vraie pour tous les entiers de 0 àtous les entiers de 0 à i . C’est le pas i . C’est le pas d’induction !d’induction !




L I S T E SL I S T E S



Induction sur les listesInduction sur les listes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Induction sur les Induction sur les listeslistes : :

– On démontre la propriété pour On démontre la propriété pour la liste videla liste vide (ceci ne (ceci ne marche donc pas pour les listes circulaires !).marche donc pas pour les listes circulaires !).





– On suppose la propriété vraie pour On suppose la propriété vraie pour une liste de longueur iune liste de longueur i






– et on démontre qu’elle reste vraie pour la liste de et on démontre qu’elle reste vraie pour la liste de longueur i+1 que l’on obtient longueur i+1 que l’on obtient en ajoutant un élément en ajoutant un élément (bien choisi) en tête(bien choisi) en tête de liste. de liste.






– et on démontre qu’elle reste vraie pour la liste de et on démontre qu’elle reste vraie pour la liste de longueur i+1 que l’on obtient longueur i+1 que l’on obtient en ajoutant un élément en ajoutant un élément (bien choisi) en tête(bien choisi) en tête de liste. de liste.

– Variantes : éventuellement, une propriété n’est vraie que Variantes : éventuellement, une propriété n’est vraie que pour une liste de longueur au moins k :pour une liste de longueur au moins k :

• On démontre pour kOn démontre pour k

• et on démontre qu’elle reste vraie pour les listes plus longues.et on démontre qu’elle reste vraie pour les listes plus longues.



A R B R E SA R B R E S



Induction sur les arbresInduction sur les arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Induction sur les Induction sur les arbresarbres : :

– On démontre la propriété pour On démontre la propriété pour une feuille quelconqueune feuille quelconque..





– On suppose la propriété vraie pour On suppose la propriété vraie pour les sous-arbresles sous-arbres






– et on démontre qu’elle reste vraie pour l’arbre que l’on et on démontre qu’elle reste vraie pour l’arbre que l’on obtient obtient en ajoutant un nœud père au-dessus des différents en ajoutant un nœud père au-dessus des différents sous-arbres (bien choisis)sous-arbres (bien choisis)..






– et on démontre qu’elle reste vraie pour l’arbre que l’on et on démontre qu’elle reste vraie pour l’arbre que l’on obtient obtient en ajoutant un nœud père au-dessus des différents en ajoutant un nœud père au-dessus des différents sous-arbres (bien choisis)sous-arbres (bien choisis)..

– Remarque :Remarque :

• Le raisonnement de correction d’une fonction récursive Le raisonnement de correction d’une fonction récursive sur arbres, listes, etc, se fait de la même manière :sur arbres, listes, etc, se fait de la même manière :

– On démontre la correction du cas de base,On démontre la correction du cas de base,– on suppose les appels récursifs correctson suppose les appels récursifs corrects– et on démontre la correction de l’appel courant.et on démontre la correction de l’appel courant.


Correction d’une fonction récursiveCorrection d’une fonction récursive----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• La fonction ci-dessous calcule la profondeur d’un arbre !La fonction ci-dessous calcule la profondeur d’un arbre !

– La profondeur d’un nœud ou d’une feuille dans un arbre correspond au La profondeur d’un nœud ou d’une feuille dans un arbre correspond au nombre de fois où l’on doit « descendre » vers un fils avant d’atteindre nombre de fois où l’on doit « descendre » vers un fils avant d’atteindre le nœud ou la feuille en question.le nœud ou la feuille en question.

– La profondeur d’un arbre est la profondeur de la feuille la plus La profondeur d’un arbre est la profondeur de la feuille la plus profonde.profonde.






int profond (ptr_arbre arbre)


return( 0 );

else

return( 1 + max( profond(fg(arbre)), profond(fd(arbre)) )); }








return( 0 );

else


Le cas d’arrêt est trivialement correct !Le cas d’arrêt est trivialement correct !








return( 0 );

else


Les appels récursifs sont corrects par hypothèse !Les appels récursifs sont corrects par hypothèse !








return( 0 );

else



La plus grande des profondeurs.La plus grande des profondeurs.








return( 0 );

else




La profondeur de notre arbre ! ! !La profondeur de notre arbre ! ! !








return( 0 );

else




La profondeur de notre arbre ! ! !La profondeur de notre arbre ! ! !


Preuves par induction sur les arbresPreuves par induction sur les arbres----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Soient Soient F F ( A ) le nombre de feuilles et ( A ) le nombre de feuilles et N N ( A ) le ( A ) le nombre de nœuds internes d’un arbre A.nombre de nœuds internes d’un arbre A.

• Si A est binaire, alors : Si A est binaire, alors : F F ( A ) = ( A ) = NN ( A ) + 1 ( A ) + 1





• Preuve :Preuve :– A est une feuille : A est une feuille : FF ( A ) = 1 = 0 + 1 = ( A ) = 1 = 0 + 1 = NN ( A ) + 1 ! ( A ) + 1 !





• Preuve :Preuve :– A est une feuille : A est une feuille : FF ( A ) = 1 = 0 + 1 = ( A ) = 1 = 0 + 1 = NN ( A ) + 1 ! ( A ) + 1 !– A est un nœud interne ayant les deux fils B et C :A est un nœud interne ayant les deux fils B et C :

• Hypothèse sur B : Hypothèse sur B : FF ( B ) = ( B ) = NN ( B ) + 1 ! ( B ) + 1 !

• Hypothèse sur C : Hypothèse sur C : FF ( C ) = ( C ) = NN ( C ) + 1 ! ( C ) + 1 !





• Preuve :Preuve :– A est une feuille : A est une feuille : FF ( A ) = 1 = 0 + 1 = ( A ) = 1 = 0 + 1 = NN ( A ) + 1 ! ( A ) + 1 !– A est un nœud interne ayant les deux fils B et C :A est un nœud interne ayant les deux fils B et C :



– Donc, pour A :Donc, pour A :

FF ( A ) = ( A ) = F F ( B ) + ( B ) + FF ( C ) = ( C ) = NN ( B ) + ( B ) + NN ( C ) + 1 + 1 ( C ) + 1 + 1





• Preuve :Preuve :– A est une feuille : A est une feuille : FF ( A ) = 1 = 0 + 1 = ( A ) = 1 = 0 + 1 = NN ( A ) + 1 ! ( A ) + 1 !– A est A est un nœud interneun nœud interne ayant les deux fils B et C : ayant les deux fils B et C :



– Donc, pour A :Donc, pour A :

FF ( A ) = ( A ) = F F ( B ) + ( B ) + FF ( C ) = ( C ) = NN ( B ) + ( B ) + NN ( C ) + 1 ( C ) + 1 + 1 + 1

= = NN ( A ) + 1 ! ! ! ( A ) + 1 ! ! !

NN ( A ) ( A )



• On considère un arbre A qui vérifie pour tous ses nœuds On considère un arbre A qui vérifie pour tous ses nœuds internes la propriété qui dit que :internes la propriété qui dit que :

• soit, les deux sous-arbres sont de profondeur 0,soit, les deux sous-arbres sont de profondeur 0,

• soit, la profondeur du fils droit dépasse la profondeur soit, la profondeur du fils droit dépasse la profondeur du fils gauche d’une unité.du fils gauche d’une unité.






• Montrer que, pour une profondeur p fixée, l’arbre A est Montrer que, pour une profondeur p fixée, l’arbre A est unique !unique !







• Preuve :Preuve :– p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des

feuilles !feuilles !







• Preuve :Preuve :– p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des

feuilles !feuilles !– p > 1 : Le fils droit C doit être de profondeur p-1 et le p > 1 : Le fils droit C doit être de profondeur p-1 et le

filsfils

gauche B doit être de profondeur p-2 :gauche B doit être de profondeur p-2 :





• soit, la profondeur du fils droit dépasse la profondeur du soit, la profondeur du fils droit dépasse la profondeur du fils gauche d’une unité.fils gauche d’une unité.


• Preuve :Preuve :– p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des feuilles !p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des feuilles !– p > 1 : Le fils droit C doit être de profondeur p-1 et le filsp > 1 : Le fils droit C doit être de profondeur p-1 et le fils


• Hypothèse sur B : B est unique !Hypothèse sur B : B est unique !

• Hypothèse sur C : C est unique !Hypothèse sur C : C est unique !





• soit, la profondeur du fils droit dépasse la profondeur du soit, la profondeur du fils droit dépasse la profondeur du fils gauche d’une unité.fils gauche d’une unité.


• Preuve :Preuve :– p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des feuilles !p = 1 : L’arbre est unique, car les deux fils sont des feuilles !– p > 1 : Le fils droit C doit être de profondeur p-1 et le filsp > 1 : Le fils droit C doit être de profondeur p-1 et le fils


• Hypothèse sur B : B est unique !Hypothèse sur B : B est unique !

• Hypothèse sur C : C est unique !Hypothèse sur C : C est unique !

Donc, A sera unique !Donc, A sera unique !



Les voici :Les voici :







Le prochain.Le prochain.


Back-trackBack-track----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C h a n g e o n s d e s u j C h a n g e o n s d e s u j e t !e t !

E x p l o r a t i o n p a rE x p l o r a t i o n p a rs u c c è s - é c h e cs u c c è s - é c h e c

B A C K - T R A C KB A C K - T R A C K



• Un exemple archi-classique :Un exemple archi-classique :

– Soient des variables v , … , v logiques,Soient des variables v , … , v logiques,11 nn




– Soient des variables v , … , v logiques,Soient des variables v , … , v logiques,

– soit une formule soit une formule F F construite à partir de ces variables construite à partir de ces variables et des connectives et des connectives et , ou et , ou et et not ,not ,

11 nn





– soit une formule soit une formule F F construite à partir de ces variables construite à partir de ces variables et des connectives et des connectives et , ou et , ou et et not ,not ,

– trouver un n-uplet de valeurs pour les v de façon à trouver un n-uplet de valeurs pour les v de façon à rendre vraie la formule rendre vraie la formule F .F .

11 nn

ii





– soit une formule soit une formule F F construite à partir de ces variables et construite à partir de ces variables et des connectives des connectives et , ou et , ou et et not ,not ,

– trouver un n-uplet de valeurs pour les v de façon à rendre trouver un n-uplet de valeurs pour les v de façon à rendre vraie la formule vraie la formule F .F .

• Solution :Solution :

– Nous construisons la table de vérité ! C’est simple ! ! !Nous construisons la table de vérité ! C’est simple ! ! !

– Mais, c’est très coûteux ! Jusqu’à 2 cas à Mais, c’est très coûteux ! Jusqu’à 2 cas à inspecter ! ! !inspecter ! ! !

– Pouvons-nous faire mieux ? Probablement non ! ! !Pouvons-nous faire mieux ? Probablement non ! ! !

11 nn

ii

nn



• F F = x = x et not(et not(y) y) et et zz

x y z x y z FF

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 01 1 0

1 1 11 1 1




x y z x y z FF

0 0 0 0 0 0 00

0 0 1 0 0 1

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 01 1 0

1 1 11 1 1




x y z x y z FF

0 0 0 0 0 0 00

0 0 1 0 0 1 00

0 1 0 0 1 0

0 1 1 0 1 1

1 0 0 1 0 0

1 0 1 1 0 1

1 1 01 1 0

1 1 11 1 1




x y z x y z FF

0 0 0 0 0 0 00

0 0 1 0 0 1 00

0 1 0 0 1 0 00

0 1 1 0 1 1 00

1 0 0 1 0 0 00

1 0 1 1 0 1 1 1

1 1 01 1 0

1 1 11 1 1

• Au pire, nous parcourons tout le tableau avant de Au pire, nous parcourons tout le tableau avant de constater qu’il n’y a aucune solution.constater qu’il n’y a aucune solution.

• Parfois, nous avons une idée où chercher la solution, Parfois, nous avons une idée où chercher la solution, mais ce n’est pas toujours le cas.mais ce n’est pas toujours le cas.

Nous pouvons nous arrêter !Nous pouvons nous arrêter !



x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

La même table horizontalement.La même table horizontalement.



x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

Quelle valeur pour x ?Quelle valeur pour x ?



x x 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11


FauxFaux VraiVrai



x x 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11


FauxFaux VraiVrai

D’abord et toujours !D’abord et toujours ! Ensuite, si besoin est !Ensuite, si besoin est !



x x 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

Sous-arbreSous-arbre en attente!en attente!


FauxFaux VraiVrai

Choix concernant y !Choix concernant y !



x x 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1

y y 0 00 0 1 11 1 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

Sous-arbresSous-arbres en attente!en attente!


FauxFaux VraiVrai

VraiVraiFauxFaux

Quelle valeur pour y ?Quelle valeur pour y ?



x x 0 0 0 00 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1

y y 0 00 0 1 11 1 0 0 1 1 0 0 1 1

z z 00 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11



FauxFaux VraiVrai

VraiVrai

VraiVrai

FauxFaux

FauxFaux

Quelle valeur pour y ?Quelle valeur pour y ?

Quelle valeur pour z ?Quelle valeur pour z ?



x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

CheminCheminactuel.actuel.




x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11





x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11





x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

Exploré sansExploré sanssuccès !succès !





x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11






x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11






x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11

Explorés sansExplorés sanssuccès !succès !





x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11




Un peuUn peuplus tard …plus tard …



x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11






x 0 0 0 0 1 1 1 1x 0 0 0 0 1 1 1 1

y 0 0 1 1 0 0 1 1y 0 0 1 1 0 0 1 1

z 0 1 0 1 0 1 0 1z 0 1 0 1 0 1 0 1

FF 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11





Situation générale du Back-trackSituation générale du Back-track----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





Sous-arbresSous-arbresexplorés sans succès.explorés sans succès.





Sous-arbres enSous-arbres enattente de traitement.attente de traitement.






Dynamique :Dynamique :







Nous abandonnonsNous abandonnonsles points deles points deback-track !back-track !




















Situation générale du Back-track, échec finalSituation générale du Back-track, échec final----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Dynamique :Dynamique :CheminCheminactuel.actuel.










L EL EC O D EC O D E

D UD UB A C K - T R A C KB A C K - T R A C K

Back-track, code génériqueBack-track, code générique----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



int back_track (un_type situation)

{ ...

}

Pour simplifier nous supposons rendrePour simplifier nous supposons rendreun booléen, mais le résultat pourrait, parun booléen, mais le résultat pourrait, parexemple, être le n-uplet solution, etc …exemple, être le n-uplet solution, etc …




{if ( decidable(situation) )

return( ca_vaut_tant(situation) );

else

...

}






else

{dabord = back_track( premiere_alternative(situation) );

...

}

}






else


if ( suffisant(dabord) )

return( dabord ); /* les points de back-track

sont abandonnés */

else

...

}

}






else




sont abandonnés */

else

return( seconde_alternative(situation) );

}

}






else




sont abandonnés */

else

return( seconde_alternative(situation) );

}

}Comme pour Fibonnacci, nous parcourons un arbreComme pour Fibonnacci, nous parcourons un arbre

imaginaire, qui ne sera jamais construit en tant que tel !imaginaire, qui ne sera jamais construit en tant que tel !


Back-track, toutes les solutionsBack-track, toutes les solutions----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Un échec est un ensemble vide de succès.Un échec est un ensemble vide de succès.

• Nous explorons toutes les alternatives.Nous explorons toutes les alternatives.

• Nous construisons l’union de toutes les Nous construisons l’union de toutes les solutions.solutions.



set_un_type back_track_toutes (un_type situation)

{ ...

}





...

else

...

}





if ( est_satisfaisant(situation) )

return( { situation } );

else

return( {} );

else

...

}





if ( est_satisfaisant(situation) )

return( { situation } );

else

return( {} );

else

return( back_track_toutes(premiere_alternative(situation))

union

back_track_toutes(seconde_alternative(situation)) );

}


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C h a n g e o n s d e s u j C h a n g e o n s d e s u j e t !e t !

A r b r e s d e j e u xA r b r e s d e j e u x

M I N I M A XM I N I M A X


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Considérons un arbre dont :Considérons un arbre dont :

– les feuilles valent les feuilles valent VVrai ou rai ou FFauxaux– et les nœuds internes portent alternativement (depuis et les nœuds internes portent alternativement (depuis

la racine vers les feuilles) les connectives la racine vers les feuilles) les connectives etet et et ouou..


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


– les feuilles valent les feuilles valent VVrai ou rai ou FFauxaux– et les nœuds internes portent alternativement (depuis la et les nœuds internes portent alternativement (depuis la

racine vers les feuilles) les connectives racine vers les feuilles) les connectives etet et et ouou..

• Par réduction nous calculons une valeur pour la racine :Par réduction nous calculons une valeur pour la racine :

etet

ouou

etet

VV

FF etet

VV VVFF VV


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





etet

ouou

etet

VV

FF etet

VV VVFF VV

FF VV


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





etet

ouou

etet

VV

FF etet

VV VVFF VV

FF VV

VV


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





etet

ouou

etet

VV

FF etet

VV VVFF VV

FF VV

VV

VV


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Nous n’avons pas toujours besoin de parcourir tout l’arbre.Nous n’avons pas toujours besoin de parcourir tout l’arbre.

etet

ouou

etet

VV

FF etet

VV VVFF VV

FF VV

VV

VV


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


etet

ououVV

etet

VVVV

VV

VV

VV

?????? ??????


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


etet

ououVV

etet

VVVV

VV

VV

VV

?????? ??????

Ces sous-arbres n’ont aucuneCes sous-arbres n’ont aucuneincidence sur le résultat ! ! !incidence sur le résultat ! ! !


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Règles pour le Règles pour le et et : :

etet

??FFVV

etet

??


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


etet

??FFVV

etet

??

donnedonne ?? donnedonneFF


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


etet

??FFVV

etet

??


• Règles pour le Règles pour le ou ou : :

ouou

??FFVV

ouou

??


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


etet

??FFVV

etet

??



ouou

??FFVV

ouou

??

donnedonne VV donnedonne??


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


etet

??FFVV

etet

??



ouou

??FFVV

ouou

??

donnedonne VV donnedonne??

On dit que l’onOn dit que l’on fait des coupes dans l’arbre. fait des coupes dans l’arbre.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• On peut faire la substitution suivante, sans rien On peut faire la substitution suivante, sans rien changer aux comportements :changer aux comportements :

– V V devient devient 11

– F F devient devient 0 0

– et et devient devient min min

– ou ou devient devient max max

Les deux formulationsLes deux formulationssont isomorphes ! ! !sont isomorphes ! ! !


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Règles pour le Règles pour le min min : :

minmin

??0011

minmin

??

donnedonne ?? donnedonne 00

• Règles pour le Règles pour le max max : :

maxmax

??0011

maxmax

??

donnedonne 11 donnedonne??


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Définition générale d’un arbre Minimax :Définition générale d’un arbre Minimax :

– les feuilles ont des valeurs entières (ou réelles)les feuilles ont des valeurs entières (ou réelles)– et les nœuds internes portent alternativement (depuis la et les nœuds internes portent alternativement (depuis la

racine vers les feuilles) les connectives racine vers les feuilles) les connectives maxmax et et minmin..


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




• La valeur Minimax d’un arbre A vaut :La valeur Minimax d’un arbre A vaut :

– si A est une feuille, alors la valeur de cette feuille,si A est une feuille, alors la valeur de cette feuille,


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






– si A est un nœud interne de type si A est un nœud interne de type maxmax ayant des fils B ayant des fils B et C,et C,

alors le maximum des valeurs minimax de B et C,alors le maximum des valeurs minimax de B et C,


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






– si A est un nœud interne de type si A est un nœud interne de type maxmax ayant des fils B et ayant des fils B et C,C,

alors le maximum des valeurs minimax de B et C,alors le maximum des valeurs minimax de B et C,

– si A est un nœud interne de type si A est un nœud interne de type minmin ayant des fils B et ayant des fils B et C,C,

alors le minimum des valeurs minimax de B et C.alors le minimum des valeurs minimax de B et C.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

int mini_max (un_type situation , int max_ou_pas )

{if ( feuille(situation) )

return( valeur(situation) );

else

if ( max_ou_pas )

return( max( minimax( genere_fils_gauche(situation) ,

not(max_ou_pas) ) ,

minimax( genere_fils_droit(situation) ,

not(max_ou_pas) ) ) ) ;

else

return( min( minimax( genere_fils_gauche(situation) ,

not(max_ou_pas) ) ,


not(max_ou_pas) ) ) ) ; }


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




else

if ( max_ou_pas )


not(max_ou_pas) ) ,



else


not(max_ou_pas) ) ,



Le cas d’arrêt est trivial !Le cas d’arrêt est trivial !


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




else

if ( max_ou_pas )


not(max_ou_pas) ) ,



else


not(max_ou_pas) ) ,



C’est assez logique !C’est assez logique !


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




else

if ( max_ou_pas )


not(max_ou_pas) ) ,



else


not(max_ou_pas) ) ,





MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




else

if ( max_ou_pas )


not(max_ou_pas) ) ,



else


not(max_ou_pas) ) ,




CasCassymétrique !symétrique !


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Les arbres Minimax servent dans les jeux :Les arbres Minimax servent dans les jeux :

– Je suis Je suis MAXMAX et je veux maximiser mon bénéfice ! et je veux maximiser mon bénéfice !

– Mon adversaire est Mon adversaire est MINMIN et veut minimiser mon et veut minimiser mon bénéfice !bénéfice !

maxmax

minmin

55

minmin

33 1177


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




maxmax

minmin

55

minmin

33 1177

33 11

33


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




maxmax

minmin

55

minmin

33 1177

33 11

33Donc, Donc, MAX MAX joue sonjoue sonmeilleur choix.meilleur choix.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




maxmax

minmin

55

minmin

33 1177

33 11

33Donc, Donc, MAX MAX joue sonjoue sonmeilleur choix.meilleur choix.

Et Et MIN MIN joue sajoue sameilleure réplique.meilleure réplique.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




maxmax

minmin

55

minmin

33 1177

Ce choix pourrait êtreCe choix pourrait êtretentant pour tentant pour MAX MAX quiqui

espère obtenir 7 !espère obtenir 7 !


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




maxmax

minmin

55

minmin

33 1177

Ce choix pourrait êtreCe choix pourrait êtretentant pour tentant pour MAX MAX quiqui

espère obtenir 7 !espère obtenir 7 !

MIN MIN est très fort etest très fort etne concède que le minimum !ne concède que le minimum !


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------




maxmax

minmin

55

minmin

33 1177

33 11

33

Le chemin du minimax correspond à la fois à :Le chemin du minimax correspond à la fois à :

- la meilleure attaque de - la meilleure attaque de MAXMAX

- et à la meilleure riposte de - et à la meilleure riposte de MIN.MIN.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pourquoi construire un arbre minimax plutôt que Pourquoi construire un arbre minimax plutôt que d’évaluer tout de suite une position ?d’évaluer tout de suite une position ?

– Les fonctions d’évaluation sont peu précises !Les fonctions d’évaluation sont peu précises !– Minimax stabilise les résultats !Minimax stabilise les résultats !

4??4??


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Pourquoi construire un arbre minimax plutôt que Pourquoi construire un arbre minimax plutôt que d’évaluer tout de suite une position ?d’évaluer tout de suite une position ?

– Les fonctions d’évaluation sont peu précises !Les fonctions d’évaluation sont peu précises !– Minimax stabilise les résultats !Minimax stabilise les résultats !

maxmax

minmin

55

minmin

33 1177

33 11

33

- A gauche, assez stable entre 3 et 5.- A gauche, assez stable entre 3 et 5.

- A droite, beaucoup plus instable.- A droite, beaucoup plus instable.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Minimax s’applique aux jeux :Minimax s’applique aux jeux :

– de somme nulle,de somme nulle,

– déterministes,déterministes,

– et d’information parfaite.et d’information parfaite.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------





Mon avantage est un inconvénientMon avantage est un inconvénientpour mon adversaire, et vice-versa.pour mon adversaire, et vice-versa.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






Pas d’élément de chance commePas d’élément de chance commele résultat d’un lancer de dé.le résultat d’un lancer de dé.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






Pas d’élément de chance commePas d’élément de chance commele résultat d’un lancer de dé.le résultat d’un lancer de dé.

Tous voient toute l’information,Tous voient toute l’information,contrairement aux jeux de cartescontrairement aux jeux de cartesoù la main est cachée.où la main est cachée.


MinimaxMinimax----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






Pas d’élément de chance pourPas d’élément de chance pourle résultat d’un lancer de dé.le résultat d’un lancer de dé.

Tous voient toute l’information,Tous voient toute l’information,contrairement aux jeux de cartecontrairement aux jeux de carteoù la main est cachée.où la main est cachée.

Exemples : les échecs, les dames, le go, …Exemples : les échecs, les dames, le go, …


SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Parcours d’arbres.Parcours d’arbres.

• Modification d’arbres.Modification d’arbres.

• Induction sur la structure.Induction sur la structure.

• Back-Track.Back-Track.

• Minimax.Minimax.


m E r C i e Tm E r C i e Tb O n N e J o U r N é b O n N e J o U r N é

E ! ! !E ! ! !

n ‘ O u B l I e Z p A s D en ‘ O u B l I e Z p A s D ep R é P a R e R v O sp R é P a R e R v O s

T D ! ! !T D ! ! !

Documents

Cours d'algorithmique 3 - Intranet 1 13 novembre 2006 Cours dAlgorithmique Parcours darbres. Induction sur la structure. Back-track.Minimax