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Cours de gestion financière (M1) Séance du 19 septembre 2014 Rentabilité, diversification du risque 1 CAC 40 GR (gross return / dividendes réinvestis https://indices.nyx.com/fr/products/indices/QS0011131834XPAR/quotes Variance du taux de rentabilité d’un portefeuille de deux titres ,

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Cours de gestion financière (M1)

Séance du 19 septembre 2014Rentabilité, diversification du risque

1CAC 40 GR (gross return / dividendes réinvestishttps://indices.nyx.com/fr/products/indices/QS0011131834‐XPAR/quotes

Variance du taux de rentabilité d’un portefeuille de deux titres

,

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Séance du 19 septembre 2014 (1)

Plan (Taux de) rentabilité Rentabilité moyenne Rentabilité espérée Variance, écart-type, volatilité Rentabilité d’un portefeuille Espérance du taux de rentabilité d’un portefeuille Variance, écart-type du taux de rentabilité d’un

portefeuille Coefficient de corrélation linéaire Actifs risqués parfaitement corrélés Diversification du risque

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La rentabilité d’un titre

Correspond au chapitre 2 du livre Ce chapitre a pour objet la constitution de

portefeuilles de titres de manière efficace Il est très utile au préalable d’avoir une bonne

compréhension des actifs et des titres Droits de propriété attachés aux actions et aux

obligations Principalement des actions et des obligations

négociés sur des marchés organisés Modalités d’achat et de vente Revenus (dividendes ou coupons) issus de la

détention de ces titres Plus ou moins values : différence entre prix de vente

et d’achat Rentabilité : effet combiné des revenus et des plus

ou moins values 3

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La rentabilité d’un titre

Un investisseur peut être intéressé par ce qui peut s’acheter, se vendre, se louer Immobilier locatif (bureaux, logements) Résidence principale Terrains agricoles ou à bâtir Matières premières

Or Matières premières agricoles

Objets d’art Titres financiers

Actions émises par les sociétés anonymes Obligations émises par les entreprises, les

États Liste non limitative …

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La rentabilité d’un titre

Classification des actifs Matériels, immatériels Parmi les actifs immatériels

Incorporels, intangibles Une hypothèse importante et implicite faite

dans le cours est que les marchés sont « sans frictions » On évoquera cependant dans la partie

consacrée au financement des investissements les conflits d’agence

Prix des actifs et des passifs parfaitement observables

Ne changeant pas au cours du processus de négociation

Indépendants des quantités achetées ou vendues…

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6

La rentabilité d’un titre Notion de « titre » Premières sociétés de capitaux : Rome antique

Faciliter le financement des grands travaux Aqueducs, voies romaines

Division de la propriété En parts ou « titres » Par exemple, s’il y a 1000 parts, chaque part

représente 1/1000 des actifs (et donc des revenus) de la « société »

Même système pour les parties communes d’un immeuble en copropriété

Parts cessibles Un détenteur de titre peut les revendre à des

tiers différence avec les « propriétés en

indivision » Titres nominatifs et non pas « titres au

porteur » Intermédiaires pour rapprocher acheteurs

et vendeurs Aujourd’hui : courtiers en Bourse, agences

immobilières

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La rentabilité d’un titre

On s’intéressera par la suite à la décision d’investissement et à leur financement par les entreprises.

Nous parlerons donc essentiellement des actions et des obligations émises par les entreprises

L’acheteur d’une action paye le prix d’achat à un vendeur à la date d’achat

Cette transaction peut être réalisée sur une « Bourse » Un marché organisé où se rencontrent acheteurs et vendeurs comme

Euronext Paris Ou sur un marché de « gré à gré »

Il peut revendre cette action à une future date au cours qui prévaut à ce moment sur le marché boursier, représente la plus-value réalisée par l’investisseur

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La rentabilité d’un titre

À la date , juste avant la revente du titre, le détenteur d’une action peut percevoir un dividende versé par l’entreprise, soit Ce dividende est l’analogue d’un loyer ou d’un revenu lié à

la détention de l’action Il est en général versé une fois par an

Le montant encaissé par l’investisseur à la date est la somme du prix de vente et du dividende Le gain net total lié à l’achat de l’action en et à sa revente

en est Le taux de rentabilité lié à l’opération financière précédente

est le gain net rapporté à l’investissement initial

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La rentabilité d’un titre

Le taux de rentabilité correspond au taux d’accroissement de la richesse de l’actionnaire entre les dates et Pour l’opération financière consistant en l’achat d’une action en

, revendue en Si l’écart entre et est d’une journée, on parle de taux de

rentabilité quotidien, si l’écart est d’une semaine, on parle de taux de rentabilité hebdomadaire

On parle aussi de taux de rentabilité simple C’est un pourcentage (quantité sans dimension)

Le prix d’une action ne pouvant être négatif, le taux de rentabilité est au pire de 100%

Dans le livre de référence, on utilise le terme taux de rendement

est appelé en général taux de rendement9

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Les rentabilités quotidiennes sont en général calculées à partir des cours de clôture

Dernier cours auquel ont lieu des transactions pendant la journée Souvent sur Euronext Paris pour les actions françaises

Il n’y a plus de monopole de la « Bourse de Paris » Euronext « marché réglementé »

Clients particuliers des grandes banques françaises « Système Multilatéral de Négociation »

Site de l’Autorité des Marchés Financiers http://www.amf-france.org/Acteurs-et-produits/Marches-financiers-et-infrastructures/Autres-

lieux-de-negociation/Systemes-multilateraux-de-negociation.html

« Internalisateurs systématiques » http://www.agefi.fr/articles/boursorama-optimise-ses-couts-d-execution-avec-l-appui-de-sg-cib-

1249485.html

Autres plateformes alternatives pour exécuter des ordres de bourse :Blink MTF, BATS Europe Chi-X, Equiduct, Turquoise

Fragmentation des marchés10

La rentabilité d’un titre

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Plates-formes de négociations

Parts de marché en France et en Angleterre

11

Source Agefi17 janvier 2013On constate l’importance de Bats Europe Chi‐X et celle des marchés de gré à gré (OTC « Over The Counter »)

http://www.agefi.fr/articles/marches-boursiers-chi-x-bats-talonne-les-marches-reglementes-1252510.html

Dans le tableau de l’Agefi, les marchés « opaques » incluent les « dark pools, les SI et les marchés OTC

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Plates-formes de négociations

La monté en puissance des nouvelles plates-formes d’échange : BATS en Europe et aux États-Unis

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Plates-formes de négociations Si une action est achetée via la plate-

forme Euronext Paris, la transaction n’est pas pour autant effectuée à Paris Après avoir été installés à été installés à

Aubervilliers Suresnes pour les serveurs de sauvegarde

Les ordinateurs d’Euronext Paris sont installés dans le « liquidity center » de Basildon dans la banlieue de Londres

http://www.youtube.com/watch?v=3b821UX-Xw0

13

Palais Brongniart

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La rentabilité d’un titre

Rentabilités quotidiennes Il n’y pas de raison pour que le

prix d’achat dans la journée soit égal au cours de clôture

Évolution des cours de l’action Peugeot le 19 septembre

Pas de versement de dividende

Rentabilité , ,,

, %

Mais si l’on avait revendu au plus haut, la rentabilité aurait été de , ,

,, %

Différence non négligeable

14

Variation 2.01%

Dernier échange 19/09/13 17:35:42Ouverture 12.740

Clôture 12.690+ Haut 12.760+ Bas 12.525

Clôture veille 12.440

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La rentabilité d’un titre

Notons la rentabilité du « titre » Mettons Peugeot Code ISIN : FR0000121501 ISIN : International Securities

Identification Number Permet d’identifier un titre

négociable sur un marché organisé

Environ 2 millions de titres et de codes ISIN correspondants

Mnémo ou « ticker » : UGpour Peugeot

15

‐15,00%

‐10,00%

‐5,00%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

1 34 67 100

133

166

199

232

265

298

331

364

397

430

463

496

529

562

595

628

661

694

Rentabilités quotidiennesJanvier 2009 – septembre 2011

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La rentabilité d’un titre

Actions Peugeot négociables notamment sur NYSEEuronext NYSE Euronext bourse de

valeurs Entreprise d’investissement

Issue de la fusion en 2007 entre Euronext et le New York Stock Exchange

Environ 3 milliards d’actions échangées quotidiennement sur le compartiment américain de NYSE Euronext

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Le carnet d’ordres indique les ordres d’achat et de vente à cours limité à un moment donné

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La rentabilité d’un titre

La notion de date d’achat et de vente est ambigüe On peut considérer qu’il s’agit du dernier cours traité de la

journée « fixing » de clôture à 17h35 sur Euronext Paris Mais c’est conventionnel

On pourrait choisir plusieurs périodicités : journalière, hebdomadaire, mensuelle, annuelle, « intraday »

On ne peut pas forcément traiter au cours de clôture Ni même à aucun cours réalisé… Problème des jours fériés, des week-ends

Si t-1 correspond au vendredi et t au lundi, doit-on vraiment compter un jour ?

L’heure de la clôture d’Euronext Paris est différente de celle des autres bourses de valeurs

Agrégation temporelle des rentabilités (sans dividende)

17

2 2 1 1 2 1 1, 2 1, 2

1, 1

t t t t t t t t t tt t t t t t

t t tt t

P P P P P P P P P PR R R

P P PP P

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La rentabilité d’un titre Grande variabilité des dates de clôture

Problèmes de calcul de valeurs liquidatives de fonds Les rentabilités ne sont pas directement comparables

18

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Rentabilité d’un titre et coûts de transaction

Analyse succincte de la taxe sur les transactions financières taxe sur l’acquisition d’actions françaises cotées (TTF actions)

Depuis le 1er août 2012 Capitalisation boursière supérieure à un milliard d’euros Environ 109 grandes sociétés « françaises » concernées Pas toutes les valeurs du CAC40 cependant

ArcelorMittal, Airbus (ex EADS), STMicroelectronics, Solvay (?) Il existe aussi une taxe sur le trading haute fréquence et sur les CDS nus

Équivalente à un « droit d’entrée » 0,20% du prix d’achat (initialement 0,1%) Réminiscence de l’impôt de bourse créé en 1893 (taux de 0,3%) Abrogé en 2007 http://fr.wikipedia.org/wiki/Imp%C3%B4t_sur_les_op%C3%A9rations_de_bourse

Impôt similaire aux États-Unis (supprimé en 1966).19

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Rentabilité d’un titre et coûts de transaction

Mode de calcul de la taxe sur les transactions financières http://www.edubourse.com/guide-bourse/taxe-transactions-financieres.php http://bourse.lesechos.fr/infos-conseils-

boursiers/dossier/Le_mode_d_emploi_de_la_nouvelle_taxe_sur_les_transactions_financieres/le-mode-d-emploi-de-la-nouvelle-taxe-sur-les-transactions-financieres-447967.php

Exemple à partir d’un achat au comptant d’actions http://aide.fortuneo.fr/questions/253141-comment-est-calculee-la-taxe-sur-les-transactions-financieres-ttf

Achat de 100 titres Y à 21, Vente de 20 titres Y à 22, Achat de 40 titres Y à 23

Ces opérations sont effectuées sur une même journée de bourse Position nette acheteuse de titres : 100-20 + 40 = 120 Cours d’achat moyen pondéré des titres [(100 x 21)+(40 x 23)]/140

= 21,57 euros TTF (ou TAT) = 120 x 21,57 x 0,20 % = 5,18 euros

Les opérations d’achat-vente dans la journée sont exonérées (seuls les « vrais investisseurs » sont taxés)

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La rentabilité d’un titre

Vie et mort d’une action… Naissance : petite entreprise deviendra

grande Apport personnel du créateur Emprunts bancaires “Business angels”, capital-développement,

fonds d’amorçage, de capital risque, pépinières d’entreprises

Les apporteurs de capitaux externes apportent également une aide en matière de gestion financière

L’entreprise n’est pas en général pas cotée en Bourse

Puis introduction en Bourse Vente d’actions à des actionnaires extérieurs Marché primaire : « marché du neuf »

De nouvelles actions sont créées et vendues aux investisseurs

IPO : « Initial Public Offering »

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La rentabilité d’un titre

Vie et mort d’une action… Augmentation de capital Une entreprise peut vendre de

nouvelles actions… L’argent récupéré lors de la mise

en vente des actions est utilisé pour financer des investissements

Mécanisme le plus courant prix de vente fixé pendant une certaine période

De l’ordre d’un mois Les acheteurs potentiels

déposent des offres de souscription

Michelin

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La rentabilité d’un titre

Introduction en Bourse, augmentation de capital Risques pour l’entreprise

Ne pas vendre suffisamment d’actions

Vendre des actions à un prix trop bas

Placement garanti Un « syndicat de banques » achète

les actions à un cours garanti Il revend les actions au « marché »

Investisseurs institutionnels, particuliers

Le risque de baisse des cours ou de « colle » est supporté par les intermédiaires financiers.

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La rentabilité d’un titre Les actions d’une entreprise

peuvent ne plus être cotées en Bourse Ne peuvent plus être achetées ou

vendues sur un marché organisé « private equity »

L’entreprise peut être rachetée par un groupe d’investisseurs intervenant de manière active dans la gestion

Moins d’obligations de communication financière

Plus de facilité pour que les propriétaires puissent réorganiser l’entreprise

L’entreprise peut ultérieurement être réintroduite en Bourse

Pendant la période intermédiaire, on ne dispose pas de cours boursiers et donc de rentabilités boursières Les fonds spécialisés dans cette activité n’ont 

pas toujours bonne presse

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La rentabilité d’un titre Au cours de sa vie, les

actifs de l’entreprise peuvent changer de nature Cessions ou rachat d’actifs IBM a successivement

fabriqué des imprimantes, des grands ordinateurs, des PC

Aujourd’hui fait du conseil dans le domaine des services informatiques

Les caractéristiques des rentabilités peuvent changer

La variabilité des rentabilités de l’action IBM fluctue au cours du temps Bulle internet

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La rentabilité d’un titre La durée de vie est

indéterminée Mais l’entreprise est mortelle

Faillite et liquidation des actifs L’action de la banque

Washington Mutual avait des niveaux de cours boursiers très stables de 2004 à mi 2007

Avant de s’effondrer au moment de la crise financière

Rachat par une autre entreprise Suite à une “offre publique

d’achat” en Bourse (OPA, OPE) Ou Spin-off

Vivendi26

Effondrement du cours de l’action Washington Mutual

Crise financière aux États‐Unis

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La rentabilité d’un titre On dispose pour les actifs cotés en Bourse

d’historiques de cours boursiers Ces cours boursiers ont souvent un

caractère « aléatoire » D’où l’utilisation d’indicateurs

statistiques et de modèles probabilistes pour mieux appréhender les données passées et futures Espérance du taux de rentabilité Écart-type du taux de rentabilité

On vient de voir que l’analyse financière montre que les caractéristiques des sociétés changent au cours du temps Non stationnarité des taux de rentabilité

Peut-on utiliser des données historiques à des fins prospectives ? Quand on investit, on s’intéresse à sa

richesse future

Cours action NYSE EuronextGraphique chandeliers

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Rentabilité moyenne

Action Peugeot entre novembre 2010 et novembre 2013 Cours : 3,21 € le 16/11/2012, environ 20 euros d’octobre 2010 à juin

2011, 9,15 euros le 20/09/2013

28

Rentabilité simple entre les dates et

,

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Rentabilité moyenne

Les rentabilité simples fluctuent beaucoup selon les périodes retenues

29

0%

+300%

‐85%

‐55%

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Rentabilité moyenne Les rentabilités quotidiennes moyennes , correspondant

aux pentes des droites fluctuent aussi beaucoup selon les périodes de calcul

30

, ‐85%,

Selon que l’on regarde la rentabilité totale ou la rentabilité moyenne, on préfère le rose ou le bleu (ou l’inverse !)

, ‐60%

,

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Analyse des rentabilités et des cours boursiers

Attention aux illusions d’optique et interprétative

31

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Analyse des rentabilités et des cours boursiers

Les deux graphiques précédents représentent l’évolution du cours de l’action Peugeot pour deux sous-périodes entre novembre 2010 et novembre 2013 2011, 9,15 euros le 20/09/2013

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La rentabilité d’un titre

Agrégation temporelle des rentabilités Pour simplifier les choses, on suppose que le titre ne verse

pas de dividende On considère une période élémentaire d’un jour On s’intéresse à la rentabilité d’un titre pour différents

horizons de placement ,

D’où , ,

Plusieurs manières de définir la rentabilité quotidienne moyenne On retiendra en général la seconde approche Les théoriciens utilisent des log-rentabilités pour éviter ce problème

33

2 2 1 1 2 1 1, 2 1, 2

1, 1

t t t t t t t t t tt t t t t t

t t tt t

P P P P P P P P P PR R R

P P PP P

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Finance et probabilitésVariable aléatoire

Exemple du jeu de dés : valeur qui apparaît après le lancer Il y a une valeur prise pour chaque « état de la nature » « état de la nature » : comment retombe le dé peut prendre valeurs, correspondant à six

états possibles que l’on numérotera également de à

Ici, identité entre la numérotation des états de la nature et les valeurs prises par

: variable aléatoire est une fonction dont on ne connait pas les valeurs à

l’avance Remarquons que la notion de variable aléatoire ne fait pas

apparaître de probabilité

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Finance et lois probabilités

Cas d’un dé non pipé Il y a six faces et les probabilités de tomber sur l’une

autre des faces sont égales Équiprobabilités Au bac, cette année on s’est amusé avec des tétraèdres

On tombe toujours sur une face ! La probabilité de tirer une valeur donnée est donc On notera où

est la probabilité de tirer Loi de probabilité : ensemble des valeurs que l’on peut

tirer associé au probabilités d’obtenir ces valeurs

35

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Finance et probabilitésEspérance mathématique

On rappelle que l’on a noté la variable aléatoire représentant la valeur prise par le dé

sont les probabilités associées aux différentes valeurs

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire

La quantité

Soit la moyenne des valeurs prises par pondérée par les probabilités des valeurs prises par les probabilités des valeurs prises par

36

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Finance et probabilitésEspérance mathématique (suite)

De manière plus générale, on considère un ensemble d’« états de la nature » numérotés , , … , Ces états peuvent par exemple correspondre aux différents prix

d’actions ou aux différentes valeurs des rentabilités La valeur précise de n’a pas d’importance

Soit une variable aléatoire prend les valeurs , , … , dans les états , , … ,

On note , , … , les probabilités des différents états ⋯ , , … ,

On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire et on note la quantité ⋯ Il s’agit de la moyenne des valeurs prises par pondérée par

les probabilités 37

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Espérance du taux de rentabilité On parle souvent de « rentabilité espérée »

On rappelle que l’on a défini le taux de rentabilité d’une action entre les dates et comme

, prix en et

Ce taux de rentabilité est connu à la date Au moment de la revente

Mais pas au moment de la date d’achat Car les cours boursiers futurs ne sont pas prévisibles

Sauf pour l’investisseur omniscient (vous saurez vous reconnaître)

On va donc considérer que (vu de la date ), le taux de rentabilité est une variable aléatoire et on va s’intéresser au calcul de son espérance

38

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Finance et probabilités

Illustration On suppose que le prix de l’action Orange aujourd’hui (en

) est de €

Il n’y a pas de dividende payé demain (en )

Le prix demain peut prendre trois valeurs € avec une probabilité , € avec une probabilité et € avec une probabilité

Les rentabilités correspondantes sont de , et

L’espérance de rentabilité est donnée par

39

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Finance et probabilités

Loi de probabilité action Peugeot

Ou « distribution » des rentabilités

Rentabilités quotidiennes entre janvier 2009 et septembre 2011 En abscisse, les différentes

rentabilités en % À partir des cours de clôture

sur Euronext Paris En ordonnées, probabilités

Histogramme fréquences empiriques Que l’on supposera approcher

les probabilités 40

Histogramme des rentabilités action Peugeot

En abscisse les différents valeurs des rentabilités   (arrondies au %)

Rentabilités quotidiennesJanvier 2009 – septembre 2011

‐15,00%

‐10,00%

‐5,00%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

1 37 73 109

145

181

217

253

289

325

361

397

433

469

505

541

577

613

649

685

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Finance et probabilités

Rentabilité quotidienne action Peugeot :

variable aléatoire pouvant prendre des valeurs Ce sont les différentes rentabilités

indiquées en abscisses Avec les probabilités

supposées connues a priori comme dans le jeu de dés

nombre d’« états de la nature » Nombre de valeurs prises par les

rentabilités41

1

( ) ( ) 0,08%K

kE R p k R k

Espérance de

rentabilité quotidienne

Fréquence empirique = nombre de jours où la rentabilité est égale à divisé par le nombre de jours total 

Fréquence empirique 

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Placement sans risque Espérance d’une variable aléatoire constante

La valeur prise par ne dépend pas de l’état de la nature En finance, il s’agira par exemple de la rentabilité d’un placement sans

risque Considérons un placement sans risque de 1 € au taux d’intérêt . Ce placement fait à la date 0 rapporte la somme à la date 1 On aura alors ⋯

En mettant en facteur, on obtient

⋯ Comme ⋯

L’espérance (moyenne) de est égale à l’unique valeur prise par 42

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Placement risqué

Les taux de rentabilité fluctuent beaucoup au cours du temps

La variance ou l’écart-type du taux de rentabilité est une mesure de la dispersion des rentabilités Autour de leur moyenne

C’est une mesure simple et très couramment utilisée du risque lié à un titre Il en existe beaucoup d’autres

mesures de risque, mais l’écart-type ou volatilité reste le mètre étalon (benchmark)

43

‐15,00%

‐10,00%

‐5,00%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

1 35 69 103

137

171

205

239

273

307

341

375

409

443

477

511

545

579

613

647

681

Mètre étalon

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Placement risqué

Périodes de forte et faible volatilité du taux de rentabilité

44

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Placement risqué

VIX : l’indice de la peur

45

Le VIX est un indice mesurant le niveau de la volatilité des 

taux de rentabilité des actions américaines

Plus, il est élevé plus le risque perçu des actions est 

élevéFin 2014, nous sommes 

revenus au niveau de début 2007 ….

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Variance du taux de rentabilité

Variance de la rentabilité Définition la variance de notée Var

est égale à :

Par définition de l’espérance mathématique Var

46

2

1écart à la moyenne

écart quadratique

écart quadratique moyen

Var ( ) ( )K

kR p k R k E R

Variance de la rentabilité 

quotidienne de l’action Peugeot

Var 0,000837964R

‐15,00%

‐10,00%

‐5,00%

0,00%

5,00%

10,00%

15,00%

1 46 91 136

181

226

271

316

361

406

451

496

541

586

631

676

La variance est d’autant plusélevée que la dispersion des

rentabilités autour de la moyenne est élevée

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Finance et probabilités Définition de l’écart-type des

rentabilités

L’écart-type est une mesure de la dispersion des rentabilités autour de la rentabilité moyenne.

même dimension que la rentabilité Écart-type de la rentabilité quotidienne

de l’action Peugeot

47

VarR R

2 Var R

2,89%

Plus la dispersion autour de la moyenne est élevée, plus l’écart-

type est élevé

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Finance et probabilités

48

1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1

Écart-type : illustration numérique On suppose que les 4 dernières rentabilités quotidiennes de

l’action LVMH sont de Les probabilités assignées à chacune de ces quatre journées

sont de L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ %

La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

L’écart-type du taux de rentabilité est égal à la racine carrée de la variance soit

L’écart-type est bien lié à la dispersion des rentabilités

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Finance et probabilités

Remarque sur la détermination des probabilités Dans l’exemple précédent, on a assigné la même probabilité

à chaque journée de calcul des rentabilités Ceci correspond également à l’histogramme des rentabilités déjà

présenté pour Peugeot

Nombre total de jours Nombre de jours où la rentabilité est de Fréquence correspondante On obtient donc la distribution de probabilité suivante

1% avec la probabilité 0,5 1% avec la probabilité 0,5 On peut retrouver que l’espérance est égale à 0% et l’écart-type à 1%

On parle de distribution empirique des rentabilités49

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Finance et probabilités

50

1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1

Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l’action LVMH

sont maintenant de Soit le double des valeurs retenues dans l’exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4⁄

L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ L’écart-type du taux de rentabilité est égal à la racine carrée de la

variance soit 2% L’interprétation intuitive de l’écart-type comme dispersion des

rentabilités reste valide Si on multiplie toutes les rentabilités observées par 2, on multiplie

également l’écart-type par 2

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Finance et probabilités

51

1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1

Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l’action LVMH

sont maintenant de Soit l’opposé des valeurs retenues dans l’exemple précédent Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4⁄

L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄

La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ La variance du taux de rentabilité reste égale à L’écart-type du taux de rentabilité; égal à la racine carrée de la variance,

reste égal à 2% comme dans le transparent précédent Si on multiplie toutes les rentabilités observées par 1, on ne change

pas l’écart-type. C’est logique puisque la dispersion des rentabilités autour de la

moyenne n’a pas changé.

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Finance et probabilités

52

1%, 1%, 1%, 1% 2 2 2 21 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1 4 1 0 1

Écart-type : illustrations numériques (suite) Les 4 dernières rentabilités quotidiennes de l’action LVMH

sont maintenant de On a rajouté 1% à la première suite de valeurs %, %, %, % Les probabilités assignées à chacune de ces 4 journées restent de 1 4⁄

L’espérance du taux de rentabilité de l’action est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ %

La variance du taux de rentabilité est égale à : ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ La variance du taux de rentabilité reste égale à 1. L’écart-type du taux de rentabilité; égal à la racine carrée de la variance,

reste égal à 1% comme dans le premier transparent. Ici, on a décalé toute les rentabilités d’une quantité constante Ceci change la moyenne, mais pas les écarts à la moyenne La dispersion des rentabilités autour de la moyenne n’a pas changé.

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Finance et probabilités Quelques propriétés de la variance :

Ceci résulte directement de la définition

Cas où la rentabilité n’est pas aléatoire : ne dépend pas de l’état de la nature Notons-la cette valeur unique : taux de rentabilité du placement sans risque

Si la rentabilité n’est pas aléatoire, sa variance est nulle

53

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Finance et probabilités Propriétés de la variance et de l’écart-type

Si est un « scalaire », alors

Si ou si Alors n’est pas aléatoire et Un placement dont la rentabilité n’est pas

aléatoire est appelé placement sans risque Ou prêt sans risque risk-free On note sa rentabilité ou Rentabilité ne dépend pas de l’état de la nature

54

2Var VarR R

R R

,F fR R

Scalaire = grandeur 

non aléatoire

Corrigés : voir transparents suivants

fr

( ) , 1, ,F FR k R k K En particulier, pas de risque de défaut

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Finance et probabilités

Corrigé de l’exercice : Revenons à la définition de la variance :

D’après la linéarité de l’espérance D’où, en factorisant par :

Var Var En utilisant la définition de l’écart-type

Où est la valeur absolue de NB : si

55

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Finance et probabilités

Corrigé de l’exercice (suite) ou En revenant à la définition de la variance

Il s’agit de la probabilité de l’état k On en déduit que : Et donc que : Pour tout état k tel que est donc constant et égal à son espérance pour tout état

de la nature de probabilité non nulle Les états de probabilité nulle n’ont pas importance économique Et n’interviennent pas dans les calculs d’espérance ou de variance

56

2

1( ) ( ) 0

K

kp k R k E R

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Finance et probabilités

On rappelle que Autre écriture de la variance Démonstration :

Prenons l’espérance du terme de droite

est un scalaire En utilisant la linéarité de l’espérance :

On peut donc réécrire le terme en rouge comme

57

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Finance et probabilités

Un premier résumé de choses à savoir rentabilité aléatoire, (scalaire)

rentabilités aléatoires,

scalaires 58

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La théorie du portefeuille

La théorie du « portefeuille » Correspond au chapitre 2 du livre

Rentabilité d’un titre Rappels sur la notion de titre De prix d’un titre sur un marché

boursier Chronique de rentabilité Modélisation probabiliste

Portefeuille de titres Rentabilité d’un portefeuille en

fonction de sa composition Espérance de rentabilité Écart-type des rentabilités

59

Bourse de Tokyo

Bourse de Shanghai

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Rentabilité d’un portefeuille

Notations concernant les rentabilités des titres On peut être amené à considérer différents titres et leurs prix

à différentes dates D’où un double indexage.

, prix (cours) de l’action à la date courante On considère donc qu’un investisseur peut choisir des actions dans

un ensemble de titres est de quelques millions pour un investisseur professionnel C’est plus simple au niveau des notations d’utiliser cet indexage que

de reprendre le code ISIN à 12 caractères (ou le code CUSIP)

, dividende versé à la date

,, , ,

,rentabilité du titre entre et

Si la date courante n’a pas d’importance, on utilise la notation 60

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Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille : ensemble d’actifs détenus par une

personne physique ou morale Actifs financiers, valeurs mobilières, titres négociables sur un

marché organisé, biens immobiliers, dépôts à vue, à terme, obligations, stock-options, droits à retraite, objets d’art, meubles, véhicules, bijoux, métaux précieux, etc.

Ce qui peut être vendu à un tiers Capital humain ?

Ce qui constitue le patrimoine de la personne physique ou morale Biens, droits et valeurs Duquel il faut déduire les passifs

Impôts à payer, emprunts contractés pour l’acquisition des actifs

Pour simplifier l’exposé, on se concentrera sur les actions (et les obligations)

61

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Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de deux actions

Mettons Peugeot et Renault Renault : code ISIN FR0000131906 Mnémo : RNO

On notera et les taux de rentabilité respectifs Pour simplifier les notations, on omettra autant que possible la

référence à la date courante 1 : , , ,

Il s’agit de rentabilités ex-ante, donc de variables aléatoires

On rappelle que ,, , ,

,, ,

, , ,

,

L’intervalle de temps entre et 1 n’est pas précisé Il peut s’agir d’un jour, d’une semaine, d’un mois, d’une année

: nombre d’actions Peugeot et Renault acquises en 1 L’investissement initial dans le portefeuille d’actions est donc

, ,62

Rentabilité quotidienne IBM juin 59‐juin60

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Rentabilité d’un portefeuille

Portefeuille de deux actions (suite) L’investissement initial dans le portefeuille d’actions est

donc , ,

La part de la richesse investie dans l’action est notée

,

, ,

La part de la richesse investie dans l’action est notée

,

, ,

Remarquons que Et donc évidemment , et sont connus dès la date et ne sont donc pas

des variables aléatoires, mais des scalaires63

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Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de deux actions (suite)

On va maintenant s’intéresser à la rentabilité du portefeuille constitué des deux actions

Il s’agit de la variation relative de la valeur du portefeuille d’actions entre les dates et

Valeur du portefeuille en : , , Prix d’acquisition des actions

Valeur du portefeuille en Prise en compte de la valeur de revente et des dividendes perçus

, , , ,

La rentabilité du portefeuille s’écrit

, , , , , ,

, ,64

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Rentabilité d’un portefeuille

Portefeuille de deux actions (suite)

, , , , , ,

, ,

Simplifions cette (horrible) expression Au numérateur, on peut factoriser par les nombres de titres détenus

et , ce qui donne , , , , , ,

Que l’on peut réécrire comme

,, , ,

,,

, , ,

,

D’après les définitions des rentabilités , ,

, ,

, ,

,

, ,

,

, ,

65

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66

Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de titres (cas général)

« nombre » de titres détenus , … , ∈ composition du portefeuille , prix du titre à la date , , dividende versé à la date , , … , , vecteur des prix à la date

Valeur du portefeuille en : , , ′ ′ : notation « matricielle » pour transposé de

Attention à la synchronicité

devrait être entier. ‐ Il est plus simple sur le plan 

mathématique de considérer des valeurs réelles

‐ Une quantité négative correspond à une vente à découvert

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Rentabilité d’un portefeuille

Portefeuille de titres (suite) Pour simplifier la présentation, le nombre de titres investis

reste constant au cours du temps Les quantités investies peuvent être des fractions En pratique ce sont des nombres entiers Divisibilité des titres émis par une entreprise

Rentabilité du titre i entre et : ,, , ,

,

Rentabilité du portefeuille :

Propriété ,,

67

Dividende versé usuellement une fois 

par an

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Rentabilité d’un portefeuille Portefeuille de titres

Le nombre de titres investis reste constant au cours du temps Les quantités investies peuvent être des fractions Infinie divisibilité des titres émis par une entreprise quantités investies dans les titres peuvent a priori être négatives Possibilité de vendre à découvert (sinon )

Notation : , ,∑ ,

est la fraction de la richesse investie dans l’actif i

Relation entre rentabilité du portefeuille et rentabilité des

titres le constituant : ,68

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La théorie du portefeuille : exemples Composition d’un portefeuille diversifié comprenant

des actions (stocks) et des obligations (bonds) Small caps : petites capitalisations Real Estate : immobilier

69

Fraction de la richesse Investie dans différentes

Classes d’actifs

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La théorie du portefeuille : exemples

Historique de rentabilités de portefeuille Grande variabilité, une première approche intuitive du

risque

70

En ordon

nées, les re

ntab

ilités a

nnue

lles e

n %

Rentabilités annuelles du portefeuille précédent

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La théorie du portefeuille : exemples

Évolution de la valeur de portefeuilles d’actions Éclatement de la bulle internet au Canada, en France, en Allemagne,

au Japon, au Royaume Uni et aux États-Unis Base 100 en 1993

71

Les indices boursiers représentent des 

portefeuilles d’actions

Quelques succès beaucoup d’échecs

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La théorie du portefeuille : exemples

Évolution de l’indice CAC40 Composition du portefeuille varie au cours du temps Dividendes non réinvestis

72Sur 10 ans, en bleu volumes échangés

Sur deux ans

Crise des dettes souveraines dans la 

zone euro

Crise des subprimes + crise de la liquidité bancaire

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La théorie du portefeuille : exemples

Fidelity Magellan Fund http://en.wikipedia.org/wiki/Magellan_Fund

Fonds géré de manière active La composition du fonds s’écarte de

celle de l’indice boursier de référence AUM : Assets Under Management Montant total des actifs gérés par une

institution financière, fonds commun, société de gestion de fonds

En 2005, le montant des actifs gérés par ce fond était d’environ 50 milliards de dollars

73

Peter LynchAncien gérant

vedette du fonds

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La théorie du portefeuille : exemples

Fidelity Magellan Fund Montant des actifs gérés varie : Valeur liquidative de la part Collecte nette (positive ou négative)

d’épargne Dans les fonds ouverts, le nombre

de parts varie Dans un fonds fermé, on ne peut

vendre ses parts Sauf éventuellement à trouver un

acheteur

74

Évolution d’une part du fondCours en USD

Période  Rentabilité du Fond

Rentabilité d’un portefeuille dupliquant 

l’indice S&P 5002008 (49.66%)  (38.91%)2007 18.84%  3.53%2006 7.22%  15.79%2005 6.42%  4.91%2004 7.49%  10.88%2003 24.82%  26.68%2002 (23.66%)  (22.10%)2001 (11.65%)  (11.89%)2000 (9.29%)  (9.11%)1999 24.05%  21.04%1998 33.63%  28.58%

Rentabilités annuelles comparéesDu fond Fidelity Magellan et de l’indice

Standard & Poors 500

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La théorie du portefeuille : exemples

Pourcentage de la richesse investie dans deux fonds Poids représentés par ordre décroissant pour deux fonds Actions privilégiées par les gérants

75

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La théorie du portefeuille : exemples Pourcentage de la richesse investie dans les fonds

Pourcentages de richesse investie par secteurs d’activité

Le lecteur attentif remarquera au moins une coquille dans le tableau ci-dessous76

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La théorie du portefeuille : exemples

On va s’intéresser aux caractéristiques des rentabilités de portefeuilles de titres

On supposera que la rentabilité d’un titre est une variable aléatoire prenant des valeurs discrètes dont on connait la loi de probabilité

On ne fera pas référence à la date courante et on supposera implicitement que les caractéristiques des rentabilités aléatoires sont stables au cours du temps

Hypothèse de stationnarité

77

Rentabilités quotidiennes de l’indice footsie.Forte augmentation de la volatilité après la 

faillite de Lehman Brothers

Histogramme des rentabilités annuelles de l’indice S&P500http://en.wikipedia.org/wiki/S%26P_500

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La théorie du portefeuille : exemples

Ordre de grandeur de l’écart-type des rentabilités annuelles de portefeuilles d’actions : 20%

78

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La théorie du portefeuille : espérance et écart-type des taux de rentabilité

On s’est intéressé à l’espérance de rentabilité d’un titre et à son écart-type comme une mesure du risque de cet actif

On va maintenant s’intéresser à l’espérance de rentabilité et à l’écart-type de la rentabilité d’un portefeuille de titres Cas de deux titres On omettra la dépendance par rapport au temps

,

Une composition particulière de portefeuille correspond donc au choix de poids alloués à chacune des actions

On va chercher comment et dépendent de

79

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La théorie du portefeuille : espérance du taux de rentabilité

Linéarité de l’espérance mathématique Deux variables aléatoires X et Y et deux réels α et β On a alors : Démonstration :

Par définition

En développant le terme de droite, on obtient

En réarrangeant les termes, la somme précédente peut s’écrire

Le terme de droite est égal à Ce que l’on voulait démontrer

80

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La théorie du portefeuille : espérance du taux de rentabilité

Considérons l’espérance de rentabilité d’un portefeuille , On pourra éventuellement noter comme dans l’ouvrage de

référence On cherche à déterminer

sont connus (scalaires) : variables aléatoires On rappelle la propriété de linéarité de l’espérance et variables aléatoires, scalaires Alors :

81

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La théorie du portefeuille : écart-type du taux de rentabilité

Considérons maintenant la variance de la rentabilité Ou l’écart-type en prenant la racine carrée de la variance

, On pourra noter comme dans le livre

Un résultat classique de probabilités permet d’écrire

est le coefficient de corrélation linéaire entre et

dépend de qui mesure le degré de liaison entre et

82

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Coefficient de corrélation linéaire entre les rentabilités (aléatoires) et

Au numérateur, covariance entre les rentabilités des titres 1 et 2 : et

Au dénominateur, produit des écart-types des rentabilités, et

Si , les prix des actions et tendent à varier dans le même sens

Si , les prix des actions et tendent à varier dans des sens opposés

Si les prix des actions varient de manière indépendante, alors

83

Corrélation positive 

Corrélation négative 

Définition

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Le coefficient de corrélation linéaire entre et , , est une mesure de la tendance des

rentabilités à varier dans le même sens ou en sens inverse Les propriétés de la covariance , sont rappelées dans

les transparents suivants

On peut aussi écrire le coefficient de corrélation linéaire comme

: rentabilité centrée réduite du titre On rappelle que ,

Le coefficient de corrélation linéaire a une valeur comprise entre et :

84

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Illustrations numériques

On reprend le premier exemple Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées ⁄ On rappelle que %, %

Ici

On introduit un titre Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Probabilités assignées à chacune de ces quatre journées ⁄ On remarque que

85

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, %

Les rentabilités du titre sont maintenant égales à :

On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction

sont :

Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent

Le calcul du coefficient de corrélation est identique

86

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Illustrations numériques Rentabilité du titre les 4 dernier jours : %, %, %, %

Les rentabilités du titre sont maintenant égales à :

On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction

sont :

Ces valeurs normalisées sont identiques à celle du titre 2 dans le transparent précédent

Le calcul du coefficient de corrélation est identique

87

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On sait que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction

sont :

Le calcul du coefficient de corrélation donne :

88

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Illustrations numériques Rentabilités du titre les 4 dernier jours : %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction

sont :

Le calcul du coefficient de corrélation donne

89

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La théorie du portefeuille : coefficient de corrélation linéaire

Dernier exemple Rentabilités du titre les 6 dernier jours : %, %, %, %, %, % Les rentabilités du titre sont maintenant égales à : %, %, %, %, %, % On vérifie que %, % Les valeurs des rentabilités du titre 2 après centrage et réduction sont :

Le calcul du coefficient de corrélation donne ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ,

Ici, les rentabilités des titres 1 et 2 sont identiques 4 jours sur 6, et opposées les deux autres jours.

90

On peut obtenir différentes valeurs du coefficient de 

corrélation   alors même que , , , sont identiques

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coefficient de corrélation linéaire

Prix non synchrones : perturbations dans les calculs Ajustements statistiques à prévoir pour estimations non biaisées

91

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La théorie du portefeuille : compléments mathématiques

Il peut à nouveau être utile de faire quelques rappels de probabilités

Définition de la covariance entre et

Dans le livre, est notée ,

Définition équivalente :

Cette équivalence peut être démontrée à titre d’exercice et résulte de la linéarité de l’espérance

Remarques :

(symétrie)92

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La théorie du portefeuille : compléments mathématiques

Vérifiez à titre d’exercice que :

En utilisant la définition de la covariance et la linéarité de l’espérance

2 2

2 En soustrayant les termes en vert à ceux en bleu

2 Var 2Cov , Var

93

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La théorie du portefeuille : compléments mathématiques

Covariance entre une variable aléatoire et une (variable aléatoire) constante Cov

En utilisant la linéarité de la variance

Nous avons déjà vu que si est une constante

On obtient donc :

Nous avons vu que, par définition, la rentabilité d’un placement sans risque est constante

Pour toute rentabilité (aléatoire) d’une action ou d’un portefeuille, on a donc Cov

94

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La théorie du portefeuille : compléments mathématiques

(Bi)linéarité de la covariance Si sont deux scalaires, une rentabilité aléatoire :

Cov Cov Cov Démonstration pénible à écrire, sans difficulté, à lire tranquillement

D’après la définition de la covariance : Cov , En utilisant la linéarité de l’espérance :

En reportant les expressions en couleur et en factorisant par et Cov ,

Cov , Cov , Cov ,95

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La théorie du portefeuille : compléments mathématiques

Application à la gestion de portefeuille (suite)

fractions de la richesse investie dans les titres et

D’après les propriétés de la variance :

D’où le résultat en utilisant : ,

On peut calculer la variance de la rentabilité des portefeuilles constitués du titre et du titre en fonction de

96

1 1 2 2PR X R X R

1 2 2 11 1 XX XX

22 2 21 1 12 1 1 1 2 1 2Var 2 1 1PR X X X X

1 1 2 2

1 1 1 1 2 2 2 22 2

1 1 1 2 1 2 2 2

Var VarVar 2Cov , Var

Var 2 Cov , Var

PR X R X RX R X R X R X R

X R X X R R X R

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La théorie du portefeuille : évolution de l’espérance et de l’écart type

Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans un plan : où l’écart-type de la rentabilité du portefeuille est en abscisse

« Mesure de risque »

et l’espérance de rentabilité en ordonnée

Composition de portefeuille : valeur de Chaque portefeuille est représenté par un point dans le plan

(écart-type des rentabilités, espérance des rentabilités) L’ensemble de ces points forme une « courbe paramétrée » par

(composition du portefeuille)

97

1 2 1 1 2P PE R E X E R X E R E R

22 2 21 1 1 12 1 1 1 2 1 2Var 2 1 1P PX R X X X X

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La théorie du portefeuille : évolution de l’espérance et de l’écart type

Représentation des portefeuilles constitués des titres 1 et 2 dans le plan espérance – écart-type En abscisse l’écart-type du taux

de rentabilité du portefeuille

Écart-type : standard deviation

En ordonnée l’espérance du taux de rentabilité du portefeuille

« Expected return »

À chaque point bleu correspond une valeur particulière de

98

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La théorie du portefeuille

99

Cas où Cas particulier où le coefficient de corrélation

linéaire entre les deux rentabilités est égal à

On rappelle que : ,

correspond à la situation où la liaison statistique entre les deux rentabilités est la plus forte Si , alors ,

En effet, le numérateur est Le dénominateur est

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Pourquoi s’intéresser à ce cas particulier ? On considèrera en outre que ,

, Quantités investies dans les deux titres positives Les calculs d’écart-type des portefeuilles sont plus simples

que dans le cas général Écart-type fonction affine de la composition du portefeuille Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type –

espérance des rentabilités Il s’agit d’un segment de droite

Comparaisons utiles avec le cas général Concavité de la frontière efficiente

Facilite l’analyse de la Capital Market Line (CML) Les portefeuilles sur la CML sont parfaitement corrélés

Permet une introduction à la notion d’arbitrage100

La théorie du portefeuille , ,

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La théorie du portefeuille

Le cas correspond à une situation extrême de liaison parfaite entre les rentabilités et On peut démontrer que Si et seulement si avec

Relation affine entre les deux rentabilités Pas de terme de bruit comme dans une régression linéaire Pas de « diversification du risque » Représentation simple des portefeuilles dans le plan écart-type –

espérance des rentabilités S’il existe un actif sans risque, on peut en outre montrer que le

titre 2 est un portefeuille composé du titre 1 et de l’actif sans risque (et vice versa) En l’absence d’« opportunité d’arbitrage » (voir la suite des transparents)

101

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La théorie du portefeuille

Évaluation de l ’écart-type du portefeuille quand On part de la formule générale

Qui devient

(« carré parfait »)

: valeur absolue de , si , si

102

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La théorie du portefeuille

103

1 1 1 21pE X E R X E R

1 1 1 21P X X

10 1X

Le segment de droite reliant les points A et B représente l’ensemble des 

portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation égal à 1

Espérance de rentabilité

Écart‐type de la rentabilité

proportion de la richesse investie dans le titre 1

2 2E E R

1 1E E R

1et 0 1X

Segment de droite

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La théorie du portefeuille

Corrélation Segment de droite ?

104

1 1 1 21pE X E R X E R

1 1 1 21P X X

Le segment de droite reliant les points A et B représente l’ensemble des 

portefeuilles combinant les titres 1 et 2, en quantités positives, pour un niveau de 

corrélation égal à 1

Espérance de rentabilité

Écart‐type de la rentabilité

1 1X

1 0X

2 1 1 2pE E X E E

2 2E E R 2 1 1 2P X

1 22 2

1 2p P

E EEE

Relation affine entre espérance de rentabilité et écart‐type des rentabilités

10 1X

1 1E E R

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La théorie du portefeuille

Le cas correspond à une situation extrême de liaison parfaite entre les rentabilités et

Cas général Variance et espérance de rentabilité pour donné variance de la rentabilité du portefeuille

Fonction affine du coefficient de corrélation la variance de taux de rentabilité du portefeuille est d’autant plus

faible que le coefficient de corrélation est faible

espérance de rentabilité du portefeuille L’espérance de rentabilité ne dépend pas du coefficient de

corrélation 105

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La théorie du portefeuille

106

proportion de la richesse 

investie dans le titre 1

proportion de la richesse investie dans le 

titre 2

10 1X

Chaque courbe représente l’ensemble des portefeuilles combinant les titres 1 et 2 pour un niveau de corrélation  , donné

,

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La théorie du portefeuille

107

Une diminution du coefficient de corrélation , fait diminuer l’écart‐type de la rentabilité sans  en changer l’espérance (flèche rouge)

proportion de la richesse 

investie dans le titre 1

proportion de la richesse investie dans le 

titre 2

Seul , varie,

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La théorie du portefeuille

108

proportion de la richesse 

investie dans le titre 1

Pour ce portefeuille, le risque est plus faible que pour chacun des 

titres pris isolément

proportion de la richesse investie dans le 

titre 2

10 1X

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Le concept de diversification

Actions Michelin (1), Carrefour (2)

Coefficient de corrélation :

, le risque d’un portefeuille équipondéré n’est que de

109

1 235%, 42%

12 0,32 1 2 50%X X

30%P

P

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Le concept de diversification

Rappel

Titres symétriques

Portefeuille équipondéré Comme

110

2 2 2

1 1 1,

I I I

P i i ij i j i ji i j j i

X X X

I: Nombre de titres

, 1, ,i i I , , 1, ,ij i j n

2 2 22 2

2 21 1 1,

1

( 1)

11 1 1I I I

Pi i j j i

I I

I I

I I I I

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La théorie du portefeuille : diversification

Le concept de diversification Variance du portefeuille décroit en fonction du nombre de titres La variance tend vers une limite égale à

Risque incompressible

111

22 2 11P I I

Risque incompressible

PRisque pouvant être éliminé 

par la diversificationEn pratique 

réduction assez rapide du risque en fonction du nombre de titres

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112

Théorie du portefeuille et diversificationNe pas mettre tous ses œufs dans le même panier

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113

Théorie du portefeuille : diversification Risques non diversifiables ?

À droite une mauvaise diversification des risques

Même cause affectant tous les ouvriers

Facteurs économiques communs Sources de risque affectant

simultanément tous les secteurs de l’économie

Phénomènes de contagion Propagation d’une difficulté

locale à l’ensemble de l’économie

Sauf cas de dépendance négative

Lyxor ETF CAC 40 Daily Double Short

Rentabilité rentabilité CAC 40

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114

Théorie du portefeuille : diversification Risques non « diversifiables » ? Le tableau ci-contre montre

qu’une « mauvaise année » Comme 2008

Les performances des actifs risqués peuvent être fortement négatives Uniformément négative Par taille Par zone géographique Par secteur d’activité

Ceci ne remet pas en cause le principe de diversification

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Théorie du portefeuille : diversification

La diversification du risque n’élimine pas tous les risques

Elle réduit néanmoins le risque Et ceci se fait sans diminution de

l’espérance de rentabilité La tendance à la diversification

internationale et l’interconnexion des économies rendent les krachs financiers globaux Endettement des collectivités locales

en devises … Trésorerie d’entreprises ayant acheté

des CDO de subprimes …115

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Théorie du portefeuille : diversification, illustration numérique

Reprenons un de nos exemples précédents avec deux titres Rentabilités du titre les 4 dernier jours égales à : %, %, %, %, %, % Rentabilités du titre les 4 dernier jours égales à : %, %, %, %, %, %

Considérons un portefeuille équipondéré Les rentabilités sont données par %, %, %, % L’espérance de rentabilité est % La variance du taux de rentabilité est égale à ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄ L’écart-type est égal à ⁄ , % Diminution du risque sans diminution de l’espérance de rentabilité Cette diminution du risque n’est effective que les 2 dernières journées

116