Cours de Graphes et Flots

5 mars 20085 mars 2008 Cours de graphes 4 - IntraCours de graphes 4 - Intranetnet

11

Cours de GraphesCours de Graphes

Problèmes de flots.Problèmes de flots.

Théorème du Max-flow – Min-cut.Théorème du Max-flow – Min-cut.

Algos de Ford-Fulkerson et Edmonds-Algos de Ford-Fulkerson et Edmonds-Karp.Karp.

Applications.Applications.


22

Définitions de baseDéfinitions de base ConnexitéConnexité Les plus courts cheminsLes plus courts chemins Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-Floyd-Warshall, Dijkstra et Bellmann-

FordFord ArbresArbres Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux Problèmes de flots, Ford & FulkersonProblèmes de flots, Ford & Fulkerson Coloriage de graphesColoriage de graphes CouplageCouplage Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours


33

I N T R O D U C T I O NI N T R O D U C T I O N


44

Un graphe de flot est :Un graphe de flot est :

un graphe orienté,un graphe orienté,

les arcs portent des capacités (poids positifs),les arcs portent des capacités (poids positifs),

qui possède deux sommets particuliers :qui possède deux sommets particuliers :

• la source s et le puits p .la source s et le puits p .

On a en plus :On a en plus :

Le graphe est quasi-fortement connexe avec s comme unique Le graphe est quasi-fortement connexe avec s comme unique racine !racine !

Si nous inversons tous les arcs, le graphe est quasi-fortement Si nous inversons tous les arcs, le graphe est quasi-fortement connexe avec p comme unique racine !connexe avec p comme unique racine !

Donc, tout sommet u appartient à un chemin simple orienté qui Donc, tout sommet u appartient à un chemin simple orienté qui relie s à p en passant par u !relie s à p en passant par u !

Les graphes de flotsLes graphes de flots------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----


55

1010

Exemple :Exemple :

2020

1010

1010

1515

1717

55

1515

1010

88

2020Source sSource s

Les capacités !Les capacités !

Tous les autres sommetsTous les autres sommetspeuvent être atteints !peuvent être atteints !


----

UniquementUniquementdes arcsdes arcssortants !sortants !


66

1010

Exemple :Exemple :

2020

1010

1010

1515

1717

55

1515

1010

88




----

Puits pPuits p

Depuis tout autre sommetDepuis tout autre sommetnous pouvons atteindre p !nous pouvons atteindre p !

UniquementUniquementdes arcsdes arcs

entrants !entrants !


77

1010

Exemple :Exemple :

2020

1010

1010

1515

1717

55

1515

1010

88




----

Puits pPuits p

Tout sommet u appartient à unTout sommet u appartient à unchemin simple de s vers p !chemin simple de s vers p !

uu


88

L AL A

D Y N A M I Q U ED Y N A M I Q U E


99

La dynamique :La dynamique :

La source produit, elle est la seule à produire !La source produit, elle est la seule à produire !

Le puits consomme, il est le seul à le faire !Le puits consomme, il est le seul à le faire !

Les autres sommets transmettent, sans Les autres sommets transmettent, sans produire, ni consommer, ni stocker !produire, ni consommer, ni stocker !

Un peu de discipline :Un peu de discipline :

Sur chaque arc le flot est compris entre zéro et Sur chaque arc le flot est compris entre zéro et la capacité de l’arc !la capacité de l’arc !

Représentation :Représentation :

flot / capacitéflot / capacité


----


1010

I L L U S T R A T I O NI L L U S T R A T I O N


1111

Exemple :Exemple :

Source sSource s


----

Puits pPuits p1010 / 20 / 20

00 / 10 / 1055 / 10 / 10

77 / 10 / 10

77 / 15 / 15

55 / 17 / 17

44 / 5 / 5

00 / 15 / 15

55 / 10 / 10

88 / 8 / 8

1313 / 20 / 20

flot flot / capacité/ capacité


1212

Exemple :Exemple :

Source sSource s


----


00 / 10 / 1055 / 10 / 10

77 / 10 / 10

77 / 15 / 15

55 / 17 / 17

44 / 5 / 5

00 / 15 / 15

1010 / 10 / 10

88 / 8 / 8

1818 / 20 / 20



1313

Exemple :Exemple :

Source sSource s


----


11 / 10 / 1055 / 10 / 10

77 / 10 / 10

77 / 15 / 15

66 / 17 / 17

55 / 5 / 5

00 / 15 / 15

1010 / 10 / 10

88 / 8 / 8

1818 / 20 / 20



1414

55 / 10 / 10

Exemple :Exemple :

Source sSource s


----


11 / 10 / 10

77 / 10 / 10

77 / 15 / 15

66 / 17 / 17

55 / 5 / 5

00 / 15 / 15

1010 / 10 / 10

88 / 8 / 8

1818 / 20 / 20


En rouge les arcs quiEn rouge les arcs quigardent de la marge !gardent de la marge !

Voici une coupeVoici une coupequi est saturée !qui est saturée !


1515

U N EU N E

A P P L I C A T I O NA P P L I C A T I O N


1616

La SNCF étudie son réseau ferré de la région parisienne :La SNCF étudie son réseau ferré de la région parisienne :

Nous connaissons les capacités des gares de Paris !Nous connaissons les capacités des gares de Paris !

Nous connaissons le réseau et ses capacités !Nous connaissons le réseau et ses capacités !

Nous connaissons les capacités des gares de banlieue !Nous connaissons les capacités des gares de banlieue !

Nous limitons les capacités des trains dans les gares !Nous limitons les capacités des trains dans les gares !

Nous levons cette limitation pour certaines gares !Nous levons cette limitation pour certaines gares !

Nous limitons la capacité globale de tous les trains !Nous limitons la capacité globale de tous les trains !

ApplicationApplication------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----


1717

LyonLyon

AusterlitzAusterlitz

LazareLazare

EstEst

NordNord

VersaillesVersailles

EvryEvry

Marne la ValléeMarne la Vallée

Saint-DenisSaint-Denis

SS

5050

4040

Les capacités d’accueilLes capacités d’accueildes différentes gares !des différentes gares !

PP

2020

2525


1717

2323

Les lignesLes ligneset leurset leurs

capacités !capacités !

2525

Capacités de trains en gares, au départ !Capacités de trains en gares, au départ !

250250

LimitationLimitationglobaleglobaleen en trains !trains !

2323


----

+ +


1818

LyonLyon

AusterlitzAusterlitz

LazareLazare

EstEst

NordNord

VersaillesVersailles

EvryEvry

Marne la ValléeMarne la Vallée

Saint-DenisSaint-Denis

SS

5050

4040


PP

2020

2525


1717

2323

Les lignesLes ligneset leurset leurs

capacités !capacités !

2525

Capacités de trains en gares, au départ !Capacités de trains en gares, au départ !

250250

LimitationLimitationglobaleglobaleen en trains !trains !

2323


----

+ +


1919

L E SL E S

D E F I N I T I O N SD E F I N I T I O N S

D ED E

B A S EB A S E


2020

La représentation :La représentation :

Les capacités : c : V x V Les capacités : c : V x V --> R+> R+

Si ( u , v ) n’existe pas, alors c ( u , v ) = 0 !Si ( u , v ) n’existe pas, alors c ( u , v ) = 0 !

Les flots : Les flots : f : V x V f : V x V --> R ( flots négatifs ! )> R ( flots négatifs ! )

f ( u , v ) >= 0 , si le flot va de u vers v ,f ( u , v ) >= 0 , si le flot va de u vers v , f ( u , v ) <= 0 , si le flot va de v vers u !f ( u , v ) <= 0 , si le flot va de v vers u !

Les contraintes :Les contraintes :

f ( u , v ) <= c ( u , v )f ( u , v ) <= c ( u , v )

f ( u , v ) = f ( u , v ) = -- f ( v , u ) f ( v , u )

f ( u , v ) = 0 , si u est différent de s et de p .f ( u , v ) = 0 , si u est différent de s et de p .

II

II

DéfinitionsDéfinitions------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----

v v V V


2121

F O R D & F U L K E R S O NF O R D & F U L K E R S O N

U NU N

A L G O R I T H M EA L G O R I T H M E

G E N E R I Q U EG E N E R I Q U E


2222

Initialiser le flot à 0Initialiser le flot à 0

Tantqu’il existe Tantqu’il existe un chemin augmentantun chemin augmentant

Augmenter le flot le longAugmenter le flot le long du chemin en question !du chemin en question !

Ford & FulkersonFord & Fulkerson------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----

C’est quoi ?C’est quoi ?

Comment le trouver ?Comment le trouver ?

Lequel choisir ?Lequel choisir ?


2323

L E SL E S

F L O T SF L O T S


2424

Comment changer le flot ?Comment changer le flot ?

D’abord :D’abord :

Donc :Donc :

uu vvf ( u , v )f ( u , v )

c ( u , v )c ( u , v )

c ( v , u )c ( v , u )

f ( u , v ) = f ( u , v ) = -- f ( v , u ) f ( v , u )

f ( u , v ) <= c ( u , v )f ( u , v ) <= c ( u , v )

-- f ( u , v ) = f ( v , u ) <= c ( v , u ) f ( u , v ) = f ( v , u ) <= c ( v , u )

-- c ( v , u ) <= f ( u , v ) <= c ( u , v ) c ( v , u ) <= f ( u , v ) <= c ( u , v )


----

Attention :Attention :

+/- c ( u , v )+/- c ( u , v )==

+/- c ( v , u )+/- c ( v , u )//


2525


Ensuite :Ensuite :

Le flot f ( u , v ) est le flot dans l’arc ( u , v ) Le flot f ( u , v ) est le flot dans l’arc ( u , v ) diminué du flot dans l’arc ( v , u ) !diminué du flot dans l’arc ( v , u ) !

uu vvf ( u , v )f ( u , v )

c ( u , v )c ( u , v )

c ( v , u )c ( v , u )

f ( u , v ) = f ( u , v ) = -- f ( v , u ) f ( v , u )


----

uu vv+ 2+ 2

3 / 53 / 5

1 / 41 / 4uu vv-- 1 1

2 / 52 / 5

3 / 43 / 4


2626

uu vvf ( u , v )f ( u , v )

c ( u , v )c ( u , v )

c ( v , u )c ( v , u )

f ( u , v ) = f ( u , v ) = -- f ( v , u ) f ( v , u )


---- Comment changer le flot ?Comment changer le flot ?

Le flot dans l’arc ( u , v ) est porté au Le flot dans l’arc ( u , v ) est porté au maximum !maximum !

Le flot dans l’arc ( v , u ) est ramené à zéro !Le flot dans l’arc ( v , u ) est ramené à zéro !

uu vv+ 5+ 5

5 / 55 / 5

0 / 40 / 4


2727

uu vvf ( u , v )f ( u , v )

c ( u , v )c ( u , v )

c ( v , u )c ( v , u )

f ( u , v ) = f ( u , v ) = -- f ( v , u ) f ( v , u )


---- Comment changer le flot ?Comment changer le flot ?

Le flot dans l’arc ( v , u ) est porté au maximum !Le flot dans l’arc ( v , u ) est porté au maximum !

Le flot dans l’arc ( u , v ) est ramené à zéro !Le flot dans l’arc ( u , v ) est ramené à zéro !

uu vv-- 4 4

0 / 50 / 5

4 / 44 / 4vv uu++ 4 4

0 / 50 / 5

4 / 44 / 4


2828

L E SL E S

C A P A C I T E SC A P A C I T E S

R E S I D U E L L E SR E S I D U E L L E S


2929


r ( u , v ) = c ( u , v ) r ( u , v ) = c ( u , v ) -- f ( u , v ) f ( u , v )

r ( v , u ) = c ( v , u ) r ( v , u ) = c ( v , u ) -- f ( v , u ) f ( v , u )

r ( u , v ) = +/- r ( v , u )r ( u , v ) = +/- r ( v , u )

uu vvf ( u , v )f ( u , v )

c ( u , v )c ( u , v )

c ( v , u )c ( v , u )

f ( u , v ) = f ( u , v ) = -- f ( v , u ) f ( v , u )


----

//


3030


r ( u , v ) = c ( u , v ) r ( u , v ) = c ( u , v ) -- f ( u , v ) f ( u , v )

uu vvf ( u , v )f ( u , v )

c ( u , v )c ( u , v )

c ( v , u )c ( v , u )

f ( u , v ) = f ( u , v ) = -- f ( v , u ) f ( v , u )

uu vv22

3 / 53 / 5

1 / 41 / 4

r ( u , v ) = 5 – 2 = 3r ( u , v ) = 5 – 2 = 3

r ( v , u ) = 4 – (– 2) = 6r ( v , u ) = 4 – (– 2) = 6

00 X X

44 X X

- 6- 6


----


3131

L EL E

G R A P H EG R A P H E

R E S I D U E LR E S I D U E L


3232

Le graphe résiduel donne pour toute paire de Le graphe résiduel donne pour toute paire de sommets u et v la marge de flot qui est encore sommets u et v la marge de flot qui est encore disponible !disponible !


----

uu vv-- 2 2

3 / 53 / 5

1 / 41 / 4

33

66


3333

Le graphe résiduel donne pour toute paire de sommets u et v la Le graphe résiduel donne pour toute paire de sommets u et v la marge de flot qui est encore disponible !marge de flot qui est encore disponible !

Le graphe résiduel R :Le graphe résiduel R :

Il a les mêmes sommets que le graphe de flot G !Il a les mêmes sommets que le graphe de flot G !

Il possède un arc ( u , v ) si la capacité résiduelle r ( u , v ) Il possède un arc ( u , v ) si la capacité résiduelle r ( u , v ) dans le graphe G est strictement positive !dans le graphe G est strictement positive !

L’arc en question est pondéré par la capacité résiduelle !L’arc en question est pondéré par la capacité résiduelle !

Un chemin augmentant est un chemin de s vers p dans le graphe Un chemin augmentant est un chemin de s vers p dans le graphe résiduel R !résiduel R !

Le poids du chemin augmentant est le poids de l’arc le plus léger Le poids du chemin augmentant est le poids de l’arc le plus léger du chemin augmentant !du chemin augmentant !


----


3434

I L L U S T R A T I O NI L L U S T R A T I O N


3535

Un exemple :Un exemple :

ss pp

uu

vv

Le graphe G !Le graphe G !

1/41/4

2/62/6

2/32/3 1/21/2

3/33/3

0/30/3


----

ss pp

uu

vv

ConstructionConstructiondu graphe R !du graphe R !

33

11

r ( s , u ) =r ( s , u ) =c ( s , u ) c ( s , u ) -- f ( s , u ) f ( s , u )= 4 – 1 = 3= 4 – 1 = 3

r ( u , s ) =r ( u , s ) =c ( u , s ) c ( u , s ) -- f ( u , s ) f ( u , s )= c ( u , s ) + f ( s , u )= c ( u , s ) + f ( s , u )= 0 + 1 = 1= 0 + 1 = 1


3636


ss pp

uu

vv

Le graphe G !Le graphe G !

1/41/4

2/62/6

2/32/3 1/21/2

3/33/3

0/30/3


----

ss pp

uu

vv


4422

r ( s , v ) =r ( s , v ) =c ( s , v ) c ( s , v ) -- f ( s , v ) f ( s , v )= 6 – 2 = 4= 6 – 2 = 4

r ( v , s ) =r ( v , s ) =c ( v , s ) c ( v , s ) -- f ( v , s ) f ( v , s )= c ( v , s ) + f ( s , v )= c ( v , s ) + f ( s , v )= 0 + 2 = 2= 0 + 2 = 2

33

11


3737


Le nouveauLe nouveaugraphe G !graphe G !


----

ss pp

uu

vv

Le grapheLe grapherésiduel R !résiduel R !

33

4422

33

11

33

22 33

Un cheminUn cheminaugmentantaugmentantde poids 3 !de poids 3 !

ss pp

uu

vv

1/41/4

2/62/6

2/32/3 1/21/2

3/33/3

0/30/3

+3+3

+3+3

+1+1--22


3838

Pour changer le flot :Pour changer le flot :

4 / 74 / 7

+2+2devientdevient

6 / 76 / 7

4 / 74 / 7

+2+2devientdevient

2 / 72 / 7

4 / 74 / 7

+2+2

devientdevient

2 / 52 / 5

5 / 75 / 7

1 / 51 / 5

ouou4 / 74 / 7

0 / 50 / 5

ouou . . .. . .


----


3939

Suite . . .Suite . . .


ss pp

uu

vv

1/41/4

5/65/6

0/30/3 2/22/2

3/33/3

3/33/3


ss pp

uu

vv

33

11

331155

55

33


----


4040

Pour calculer plus rapidement . . .Pour calculer plus rapidement . . .

Si le graphe résiduel comporte la situation suivante Si le graphe résiduel comporte la situation suivante ( l’arc ( v , u ) peut être absent si y = 0 ) ,( l’arc ( v , u ) peut être absent si y = 0 ) ,

et que le chemin augmentant passe par l’arc ( u , v ) et que le chemin augmentant passe par l’arc ( u , v ) avec un poids p , avec un poids p ,

alors dans le nouveau graphe nous avons la alors dans le nouveau graphe nous avons la situation suivante ( l’arc ( u , v ) peut être absent si situation suivante ( l’arc ( u , v ) peut être absent si x – p = 0 ) : x – p = 0 ) :


----

xx

yyuu vv

x - px - p

y + py + puu vv


4141

Illustration :Illustration :

L’ancienL’anciengraphe R !graphe R !

Le nouveauLe nouveaugraphe R !graphe R !

ss pp

uu

vv

33

11

331155

55

33


----

ss pp

uu

vv

33

4422

33

11

33

22 33Un cheminUn cheminaugmentantaugmentantde poids 3 !de poids 3 !


4242

Illustration :Illustration :

L’ancienL’anciengraphe R !graphe R !


ss pp

uu

vv

33

11

331155

55

33


----

ss pp

uu

vv

33

4422

33

11

33

22 33Un cheminUn cheminaugmentantaugmentantde poids 3 !de poids 3 !


4343

Suite . . .Suite . . .


ss pp

uu

vv

1/41/4

5/65/6

0/30/3 2/22/2

3/33/3

3/33/3


ss pp

uu

vv

33

11

331155

55

33


----

Les arcs quiLes arcs quigardent unegardent unemarge ! ! !marge ! ! !


4444

L EL ET H E O R E M ET H E O R E M E

D UD UF L O T M A X I M A LF L O T M A X I M A L

E T D EE T D EL A C O U P EL A C O U P EM I N I M A L EM I N I M A L E


4545

Une coupe ( S , P ) ( cut en anglais ) :Une coupe ( S , P ) ( cut en anglais ) :

Nous partitionnons les sommets du graphe pourNous partitionnons les sommets du graphe pour

obtenir une partie S quasi-fortement connexe de racine sobtenir une partie S quasi-fortement connexe de racine s

et une partie P quasi-fortement connexe de racine p , si et une partie P quasi-fortement connexe de racine p , si nous inversons les arcs.nous inversons les arcs.

ss pp. . .. . . . . .. . .

SS PP

Théorème du Max-Flow Min-CutThéorème du Max-Flow Min-Cut------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----


4646

Le flot à travers une coupe ( S , P ) : f ( S , P )Le flot à travers une coupe ( S , P ) : f ( S , P )

f ( S , P ) = f ( S , P ) = f ( u , v ) = f ( u , v ) = 4 + 2 4 + 2 -- 3 3

Dans le sens S vers P , nous comptons en positif !Dans le sens S vers P , nous comptons en positif !

Dans le sens P vers S , nous comptons en négatif !Dans le sens P vers S , nous comptons en négatif !

ss pp. . .. . . . . .. . .

SS PP

u u S Sv v P P

44 / …/ …

22 / …/ …

33 / …/ …


----

S’’S’’ P’’P’’S’S’ P’P’


4747

La capacité d’une coupe ( S , P ) : c ( S , P )La capacité d’une coupe ( S , P ) : c ( S , P )

c ( S , P ) = c ( S , P ) = c ( u , v ) = c ( u , v ) = 4 + 24 + 2

Dans le sens S vers P , nous considérons l’arc !Dans le sens S vers P , nous considérons l’arc !

Dans le sens P vers S , nous ignorons l’arc !Dans le sens P vers S , nous ignorons l’arc !

ss pp. . .. . . . . .. . .

SS PP

u u S Sv v P P

… … // 44

… … // 22

… … // 33


----


4848

Pour toute coupe ( S , P ) , nous avons :Pour toute coupe ( S , P ) , nous avons :

f ( S , P ) <= c ( S , P )f ( S , P ) <= c ( S , P )

f ( S , P ) = f ( S , P ) = 4 + 2 4 + 2 – 3 – 3 <= <= 4 + 2 4 + 2 <= <= 7 + 57 + 5 = c ( S , P )= c ( S , P )

f ( S , P ) = f ( S , P ) = f ( u , v ) f ( u , v ) <= <= f ( u , v ) f ( u , v ) <= <= c ( u , v ) c ( u , v ) = c ( S , P ) = c ( S , P ) u u S , v S , v PP u u S , v S , v PP u u S , v S , v PP f ( u , v ) >= 0f ( u , v ) >= 0

ss pp. . .. . . . . .. . .

SS PP

4 / 4 / 77

2 / 2 / 55

3 / 43 / 4


----


4949

Pour le flot f à travers un graphe G, nous avons :Pour le flot f à travers un graphe G, nous avons :

f = f ( S , P ) , quelque soit la coupe ( S , P ) !f = f ( S , P ) , quelque soit la coupe ( S , P ) !

Pour toute coupe ( S , P ) , on a f ( S , P ) <= c ( S , Pour toute coupe ( S , P ) , on a f ( S , P ) <= c ( S , P ) !P ) !

Donc, 0 <= f <= min c ( S , P )Donc, 0 <= f <= min c ( S , P ) coupes ( S , P )coupes ( S , P )

ss pp

……/7/7

……/3/3

……/7/7

……/5/5

……/1/1

……/8/8


----

f <= 10f <= 10f <= 6f <= 6


5050

L EL E

T H E O R E M ET H E O R E M E

M A X - F L O WM A X - F L O W

M I N - C U TM I N - C U T


5151

Les trois conditions suivantes sont équivalentes :Les trois conditions suivantes sont équivalentes :

( 1 ) Le flot f est maximal !( 1 ) Le flot f est maximal !

( 2 ) Le graphe résiduel ne contient pas de chemin augmentant !( 2 ) Le graphe résiduel ne contient pas de chemin augmentant !

( 3 ) Il existe une coupe ( S , P ) telle que f = c ( S , P ) ! Cette ( 3 ) Il existe une coupe ( S , P ) telle que f = c ( S , P ) ! Cette coupe est minimale et saturée !coupe est minimale et saturée !

( 1 ) => ( 2 ) , par absurde !( 1 ) => ( 2 ) , par absurde !

S’il y a un chemin augmentant, f n’est pas maximal.S’il y a un chemin augmentant, f n’est pas maximal.

( 3 ) => ( 1 )( 3 ) => ( 1 )

Si il existe ( S , P ) telle que f = c ( S , P ) , nous avonsSi il existe ( S , P ) telle que f = c ( S , P ) , nous avons c ( S , P ) = f <= min c ( S , P ) ! f est donc maximal !c ( S , P ) = f <= min c ( S , P ) ! f est donc maximal ! coupes ( S , P )coupes ( S , P )


----


5252

( 2 ) => ( 3 )( 2 ) => ( 3 )

Il y a une coupe ( S , P ) avec des arcs retour Il y a une coupe ( S , P ) avec des arcs retour seulement !seulement !

Dans le graphe G, il y a trois cas :Dans le graphe G, il y a trois cas :

ss pp. . .. . . . . .. . .

SS PP

ss pp. . .. . . . . .. . .

uu vv

uu vv

r ( u , v ) = 0r ( u , v ) = 0et doncet donc

f ( u , v ) = c ( u , v )f ( u , v ) = c ( u , v )

xx yy

xx yy

r ( x , y ) = 0r ( x , y ) = 0et doncet donc

f ( y , x ) = 0f ( y , x ) = 0

aa bb

aa bb

r ( a , b ) = 0r ( a , b ) = 0et doncet donc

f ( a , b ) = c ( a , b )f ( a , b ) = c ( a , b )


----

SS PP


5353

C O M P L E X I T EC O M P L E X I T E


5454

Le calcul du graphe résiduel R et du chemin Le calcul du graphe résiduel R et du chemin augmentant est en augmentant est en ( | E | ) ! ( | E | ) !

Le nombre d’itérations peut être aussi élevé que la Le nombre d’itérations peut être aussi élevé que la valeur du flot optimal f* !valeur du flot optimal f* !

1/10001/1000 1/10001/1000

1/10001/1000 1/10001/1000

0/10/1

Re-nouveau graphe !Re-nouveau graphe !

ComplexitéComplexité------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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5555

Nous améliorons l’algorithme en choisissant le Nous améliorons l’algorithme en choisissant le chemin augmentant le plus lourdchemin augmentant le plus lourd à chaque fois ! à chaque fois !

C’est celui dont l’arc le plus léger est le plus C’est celui dont l’arc le plus léger est le plus lourd possible !lourd possible !

Il est difficile d’établir une borne sur le nombre Il est difficile d’établir une borne sur le nombre d’itérations !d’itérations !

C’est une variante de Dijkstra :C’est une variante de Dijkstra :

Les arcs inexistants sont initialisés à - Les arcs inexistants sont initialisés à - , ,

avec extrait_max_D à la place de extrait_min_D avec extrait_max_D à la place de extrait_min_D et et


----

relax ( x , v )relax ( x , v ) si si min ( D ( x ) , M ( x , v ) ) > D ( v )min ( D ( x ) , M ( x , v ) ) > D ( v ) D ( v ) <- min ( D ( x ) , M ( x , v ) )D ( v ) <- min ( D ( x ) , M ( x , v ) ) P ( v ) <- xP ( v ) <- x


5656

L’algorithme d’Edmonds et Karp :L’algorithme d’Edmonds et Karp :

choisit le chemin augmentant le plus court en choisit le chemin augmentant le plus court en nombre d’arcsnombre d’arcs

et utilise le classique algorithme de la vague et utilise le classique algorithme de la vague pour le trouver.pour le trouver.

Cet algorithme nécessite au plus O ( | V | * | E | ) Cet algorithme nécessite au plus O ( | V | * | E | ) itérations,itérations,

d’où une complexité globale qui de O ( | V | * | E d’où une complexité globale qui de O ( | V | * | E |^2 ) = O ( | V |^5 ) .|^2 ) = O ( | V |^5 ) .


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5757

L’idée derrière Edmonds-Karp :L’idée derrière Edmonds-Karp :

Il y a de plus en plus de chemins de retour de p vers s !Il y a de plus en plus de chemins de retour de p vers s ! Il y a de moins en moins de chemins de s vers p !Il y a de moins en moins de chemins de s vers p ! Les chemins augmentants deviennent de plus en plus long !Les chemins augmentants deviennent de plus en plus long !

GrapheGrapherésiduel :résiduel :

NouveauNouveaugraphegrapherésiduel :résiduel :

ss pp

Le cheminLe cheminaugmentant !augmentant !

Certains arcsCertains arcsde retour !de retour !

ss pp

Certains arcsCertains arcsaller !aller !

Tous les arcsTous les arcsde retour !de retour !

. . .. . .

. . .. . .


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5858

V A R I A N T E SV A R I A N T E S


5959

mm

11

Réseau de flot multi-sources, multi-puits :Réseau de flot multi-sources, multi-puits :

Ce n’est plus le même problème, si s doit envoyer à p Ce n’est plus le même problème, si s doit envoyer à p ! !

ss11

ssnn

pp

pp

SS PP Avec des capacitésAvec des capacitésassez grandes pourassez grandes pour

les arcs rouges !les arcs rouges !

ii ii

nn

ss11

ssnn

pp

pp

11

VariantesVariantes------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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Les arcs transportentLes arcs transportentdes flots de couleursdes flots de couleurs

mais rien ne garantit lamais rien ne garantit labonne destination !bonne destination !


6060

Nous pouvons aussi faire dépendre la capacité de la Nous pouvons aussi faire dépendre la capacité de la couleur ( encore appelé multi-capacités ) !couleur ( encore appelé multi-capacités ) !

La plupart des variantes de problèmes de flots La plupart des variantes de problèmes de flots deviennent vite compliquées et difficiles à deviennent vite compliquées et difficiles à résoudre ! ! !résoudre ! ! !

nn

ss11

ssnn

pp

pp

11

VariantesVariantes------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

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… … / 5/ 5… … / 7/ 7

Documents

Cours de Graphes et Flots