Section technicien supérieur

Cours de mathématiques

Chapitre 8

Suites numériques

La taille des Dalton suit-elle une loi géométrique ou arithmétique?

Aymar de Saint-SeineAnnée scolaire 2011–2012

Cours de mathématiques STS1. Notions de suiteDéfinition 1 : suiteune suite réelle est une appli ation de N (ou une partie de N) dans R.

u : N −→ Rn 7−→ un

u0 ou up est le terme initial de la suite suivant que la suite ommen e à 0 ou p.n est l'indi e de un.un est un terme de la suite.

Dé�nir une suite onsiste don à donner le moyen de al uler ses termes.Pour ela on peut envisager plusieurs as .• On peut donner une formule permettant de al uler dire tement l'image de tout entiern. Dans e as, on a une relation du type un = f(n). On dit que la suite est dé�nieexpli itement ou dé�nie par une fon tion.• On peut donner le moyen de al uler le terme un en fon tion des termes pré édents.Dans e as, la onnaissan e du ou des premiers termes est indispensable. On dit quela suite est dé�nie impli itement ou dé�nie par ré uren e.Exer i e résolu 1 :Soit (un)n∈N la suite dé�nie par u : n 7−→ 2n + 1.Cal uler les inq premiers termes de ette suite.Solution : u0 = 2×0+1 = 1 ; u1 = 2×1+1 = 3 ; u2 = 2×2+1 = 5 ; u3 = 2×3+1 = 7 ;u4 = 2× 4 + 1 = 9.Exer i e résolu 2 :Soit (vn)n∈N la suite dé�nie par v0 = 1 et vn+1 = v2n + 1.Cal uler les quatres premiers termes de ette suite.Solution : v1 = v20 + 1 = 12 + 1 = 2 ; v2 = v21 + 1 = 22 + 1 = 5 ; v3 = 52 + 1 = 26 ;v4 = 262 + 1 = 677.Remarque : L'in onvénient d'une dé�nition par ré uren e est que des termes "éloignés"du début de la suite sont di� iles d'a ès : pour al uler u100 il faut, a priori, al ulertous les termes pré édents, jusqu'à u99 ! !

1

Chapitre 8 Suites numériques2. Sens de variation2.1. GénéralitésDéfinition 2 : Sens de variation d’une suiteDire qu'une suite (un)n∈N est roissante signi�e que quel que soit l'entier n, on a

un+1 > un.Dire qu'une suite (un)n∈N est dé roissante signi�e que quel que soit l'entier n, ona un+1 6 un.Dire qu'une suite (un)n∈N est onstante signi�e que quel que soit l'entier n, on aun+1 = un.Dire qu'une suite (un)n∈N est monotone signi�e qu'elle est soit roissante soitdé roissante.Remarques :1. Une suite est roissante (resp. dé roissante, resp. onstante) à partir d'un ertainrang si il existe un entier naturel n0 tel que pour tout entier naturel n > n0, on aie

un+1 > un (resp. un+1 6 un, resp un+1 = un ).2. Une suite est stri tement roissante (resp. dé roissante) si pour tout entier na-turel n, on a un+1 > un (resp. un+1 < un).3. Il existe des suites qui ne sont ni roissantes, ni dé roissantes, ni monotones. Exem-ple : (−1)n.2.2. Méthodes

Méthode 1 : Signe de la différence

Pour étudier les variations d’une suite (un)n∈N on cherchera à déterminer le signe dela différence un+1 − un.Exer i e résolu 3 :Soit (Vn)n∈N dé�nie par Vn = n(n+1)

2. Etudier le sens de variation de ette suite.Solution : On al ule Vn+1 − Vn = (n+1)(n+2)

2− n(n+1)

2= (n+1)(n+2−n)

2= (n+1)(2)

2=

n+ 1 > 0.La suite (Vn)n∈N est don stri tement roissante.Méthode 2 : suite à termes positifs

Une suite (un)n∈N à termes positifs non nuls est croissante (resp. décroissante) si etseulement si pour tout entier naturel n, on a

un+1

un> 1

(resp. un+1

un6 1).http://ly eeenligne.free.fr 2

Cours de mathématiques STSExer i e résolu 4 :Soit (Wn)n∈N∗ dé�nie par Wn = 1n. Etudier le sens de variation de ette suite.Solution : Les termes de la suite sont tous stri tement positifs. On peut don al ulerle rapport Wn+1

Wn=

1

n+1

1

n

= nn+1

= n+1−1n+1

= 1 − 1n+1

< 1. La suite (Wn)n∈N∗ est don stri tement dé roissante.Méthode 3 : Fonction et sens de variation

Soit f une fonction de R sur R.• Si f est strictement croissante sur [0;+∞[ alors la suite (un)n∈N définie par un = f(n)

est strictement croissante.• Si f est strictement décroissante sur [0;+∞[ alors la suite (un)n∈N définie par un =

f(n) est strictement décroissante.Exemple : Cela fournit une autre manière de répondre à l'exer i e pré édent : la fon tionf(x) =

1

xétant dé roissante, la suite (Wn)n∈N∗ dé�nie par Wn = 1

nest dé roissante.2.3. Majoration, minoration d'une suite

Définition 3 : majorant-minorant-bornéeUne suite est dite majorée s'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n,on a un 6 M .Le réel M est appelé majorant.Une suite est dite minorée s'il existe un réel m tel que pour tout entier naturel n,on a m 6 un.Le réel m est appelé minorant.Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.Remarques :• une suite dé roissante est majorée par son premier terme.• une suite roissante est minorée par son premier terme.Exer i e résolu 5 :Soit (un)n∈N dé�nie par un = n

2n+1. Démontrer que ette suite est bornée.Solution : Tout d'abord, on observe que un > 0, la suite est don minorée par 0.Pour démontrer que la suite est majorée, é rivons un = n

2n+1=

n+ 1

2−

1

2

2n+1=

1

2(2n+1)− 1

2

2n+1=

12−

1

2

2n+1or la quantité 1

2

2n+1est supérieure à 0 don un < 1

2.Con lusion : pour tout entier naturel n, on a 0 < un < 1

2.

3

Chapitre 8 Suites numériques3. Limite de suite3.1. GénéralitésDéfinition 4 : Suite convergenteUne suite est dite onvergente si elle admet une limite �nie lorsque n tend versl'in�ni, 'est à dire s'il existe un nombre L tel que

limn→+∞

un = L.Une suite non onvergente est dite divergente.Remarque : Il existe deux types de divergen e :• soit les suites ont une limite qui est +∞ ou −∞ (exemple : (un)n∈N = n).• soit les suites n'ont pas de limite (exemple : (un)n∈N = (−1)n).Théorème 1 : Limite de suite monotoneToute suite roissante et majorée onverge.Toute suite dé roissante et minorée onverge.Les suites étant des fon tions dé�nies de N dans R, les propriétés sur leslimites onnues pour les fon tions sont aussi valables pour les suites.Théorème 2 : Limites des suites de référenceLes suites de termes généraux 1

n, 1

n2, · · · et 1√

n onvergent vers 0.

3.2. Opérations sur les limitesThéorème 3 : Suites et relation d’ordreSi (un)n∈N et (vn)n∈N sont deux suites telles qu'à partir d'un ertain rang un 6 vnet si lim

n→+∞

un = l et limn→+∞

un = l′, alors l 6 l′.Si (un)n∈N et (vn)n∈N sont deux suites telles qu'à partir d'un ertain rang un 6 vnet si limn→+∞

un = +∞ alors limn→+∞

vn = +∞.Si (un)n∈N, (vn)n∈N et (wn)n∈N sont trois suites telles qu'à partir d'un ertain rangun 6 wn 6 vn et si lim

n→+∞

un = limn→+∞

vn = l, alors limn→+∞

wn = l.Ce dernier point est souvent appeléle théorème des gendarmes.http://ly eeenligne.free.fr 4

Cours de mathématiques STSThéorème 4 : Opérations sur les limitesSoient (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites onvergeant respe tivement vers l et l′. Soit

k ∈ R.• La suite (kun) onverge vers kl.• La suite (un + vn) onverge vers l + l′.• La suite (un × vn) onverge vers ll′.• Si en plus l′ 6= 0 et si à partir d'un ertain rang les vnne sont pas nuls, alors lasuite (un

vn

) onverge vers l

l′.

4. Suites usuelles4.1. Suites arithmétiquesDéfinition 5 : suite arithmétiqueUne suite (un)n∈N est dite arithmétique de raison r s'il existe un réel r tel quepour tout entier n :

un+1 = un + r.

Méthode : Prouver qu’une suite est arithmétique

Pour prouver qu’une suite est arithmétique, il faut calculer la différence un+1 − un etprouver que celle ci est constante.Exemple : Les tarifs d'un vidéo lub sont les suivants : un abonnement à 15 e puis haque�lm à 3,50 e.On onsidère la suite de (Pn)n∈N dé�nie par : Pn est le prix payé pour la lo ation dun-ième �lm.On onstate que pour tout n, Pn+1−Pn = 3, 5. La suite Pn est don une suite arithmétiquede raison 3, 5 et de premier terme P0 = 15.Remarque : On a aussi Pn = 3, 5n+ 15, e qui dé�nie la suite de façon expli ite.Théorème 5 : Forme explicite d’une suite arithmétiqueSoit (un)n∈N une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. Pour toutentier naturel n, on a :

un = u0 + n× r.

un = up + (n− p)r.5

Chapitre 8 Suites numériquesThéorème 6 : Sens de variation d’une suite arithmétiqueUne suite arithmétique de raison r est :• roissante si, et seulement si, r est positif,• dé roissante si, et seulement si, r est négatif,• onstante si, et seulement si, r est nul.Démonstration : La suite (un)n∈N est une suite arithmétique, on a don un+1−un = r qui estdu signe de r. �

Théorème 7 : Somme des premiers termesSoit (un)n∈N une suite arithmétique de premier terme u0 et de raison r. On a :Somme des n premiers entiers naturels :Sn = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =

n(n + 1)

2.Somme de n termes onsé utifs d'une suite arithmétique :

S = nombre de termes× premier terme+ dernier terme2

.Démonstration : On additionne membre à membre les deux égalités suivantes :1 + 2 + 3 + . . . + n− 2 + n− 1 + n = Sn

n + n− 1 + n− 2 + . . . + 3 + 2 + 1 = Sn

(n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) + . . . + (n+ 1) + (n+ 1) + (n+ 1) = 2SnAutrement dit, 2Sn = n× (n+ 1) et don Sn =n(n+ 1)

2. �4.2. Suites géométriques

Définition 6 : Suites géométriquesUne suite (un)n∈N est dite géométrique de raison q lorsqu'il existe un réel q telque pour tout entier n :un+1 = q × un

Méthode : Prouver qu’une suite est géométrique

Pour prouver qu’une suite est géométrique, il faut calculer le rapportun+1

unet prouver

que celui-ci est constant.Exemple : Sur un é hiquier, on dispose un grain de blé sur la première ase, 2 sur lase onde, 4 sur la troisième et ainsi de suite en doublant à haque fois la mise.On onsidère la suite de (Gn)n∈N∗ dé�nie par Gn le nombre de grain à la n-ième ase.On onstate que pour tout n, Gn+1 = 2×Gn la suite Gn est don une suite géométriquede raison 2 de premier terme G1 = 1.http://ly eeenligne.free.fr 6

Cours de mathématiques STSRemarque : On a aussi Gn = 2n e qui donne la forme expli ite de la suite.Théorème 8 : Forme explicite d’une suite géométriqueSoit (un)n∈N une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q. On a• pour tout n ∈ N, on a un = u0 × qn.• pour tous n, p ∈ N, on a un = up × qn−p.

Théorème 9 : sens de variation d’une suite géométriquesoit (un)n∈N une suite géométrique à termes stri tement positifs.• Si 0 < q < 1 alors la suite est stri tement dé roissante.• Si q = 1 alors la suite est stationnaire.• Si q > 1 alors la suite est stri tement roissante.

Théorème 10 : Limite des suites géométriquesSoit (un)n∈N une suite géométrique de raison q et de premier terme u0.• si q < −1 alors la suite n'a pas de limite. Elle �os ille� entre +∞ et −∞.• si q = −1, la suite n'a pas de limite. Elle �os ille� entre u0 et −u0.• si −1 < q < 1 alors la suite onverge vers 0.• Si q = 1, la suite est onstante de limite u0.• si q > 1 alors la suite diverge vers +∞.

Théorème 11 : Somme des premiers termesSoit (un)n∈N une suite géométrique de premier terme u0 et de raison q 6= 1 (sinonla suite est onstante). Pour tout entier naturel n, on a :u0 + u1 + · · ·+ un = u0

1− qn+1

1− q(q 6= 1).

Théorème 12 :Une suite géométrique non-nulle de raison q est bornée si, et seulement si, |q| < 1.Démonstration : Si |q| < 1 alors −1 < qn < 1 et par multipli ation par u0 (peu importe lesigne de u0 ar l'en adrement est symétrique), on obtient −u0 < un < u0. �4.3. Suite ré urente linéaire d'ordre 1Définition 7 :La suite (un)n∈N est dé�nie par une relation de ré urren e linéaire d'ordre 1,si pour tout n ∈ N, on a un+1 = aun + b, ave a et b deux réels.Ces suites sont aussi dites arithméti o-géométriques.Remarque : Cas parti uliers :• Si b = 0, alors on a un+1 = aun. C'est une suite géométrique de raison a.7

Chapitre 8 Suites numériques• Si a = 1, alors on a un+1 = un + b. C'est une suite arithmétique de raison b.Théorème 13 : Expression explicite d’une suite arithmético-géométriqueSoit (un)n∈N une suite ré urente linéaire d'ordre 1. Si a 6= 1 alors

un = an(

u0 −b

1− a

)

+b

1− a.

Démonstration : Supossons que la limite de la suite (un)n∈N existe et notons la l.Comme un+1 = aun+b, on a par passage à la limite l = al+b d'où si la limite existe, elle vautl =

b

1− aave né essairement a 6= 1. (Si a = 1, la suite (un)n∈N est arithmétique et diverge).On onsidère alors la suite (vn)n∈N dé�nie par vn = un − l = un −

b

1− a.Cette nouvelle suite est géométrique. En e�et :

vn+1 = un+1 −b

1− a= aun + b− b

1− a= a

(

vn +b

1− a

)

+ b− b

1− a= avn.On en déduit que vn = anv0 = an

(

u0 −b

1− a

) et par suite :un = an

(

u0 −b

1− a

)

+b

1− a.Cette démonstration est très souvent utilisée dans les exer i es. �

Théorème 14 : ConvergenceDe la forme expli ite d'une suite ré urente linéaire d'ordre 1, on déduit :• Si a = 1, alors la suite est arithmétique et diverge .• Si a 6= 1 et u0 =

b

1− a, alors la suite est onstante (et don onverge).

• Si a 6= 1 et u0 6=b

1− a, alors la suite onverge vers b

1− asi |a| < 1 et ellediverge si |a| > 1.4.4. Suites ré urrentes linéaires d'ordre 2

Définition 8 :La suite (un)n∈N est dé�nie par une relation de ré urren e linéaire d'ordre 2,si pour tout n ∈ N, on a un+2 = Aun+1 +Bun, ave A et B deux réels non nuls.Cette relation peut aussi s'é rire sous la forme aun+2 + bun+1 + cun = 0.Définition 9 : équation caractéristiqueOn appelle équation ara téristique de ette suite l'équation ar2 + br + c = 0.On note ∆, le dis riminant qui a pour valeur ∆ = b2 − 4ac.http://ly eeenligne.free.fr 8

Cours de mathématiques STSThéorème 15 :

• Si ∆ > 0 alors l'équation ara téristique admet deux solutions réelles distin tesr1 et r2 et un = C1r

n1 + C2r

n2 , où C1 et C2 sont deux réels ;

• Si ∆ = 0, alors l'équation ara téristique admet une solution double r et un =rn(C1n + C2) , où C1 et C2 sont deux réels ;• Si ∆ < 0, alors l'équation ara téristique admet deux solutions omplexes on-jugués reiθ et re−iθ et un = rn [C1 cos(nθ) + C2 sin(nθ)], où C1 et C2 sont deuxréels.Les réels C1 et C2 sont à déterminer en fon tion des valeurs initiales.Remarque : L'analogie ave les équations di�érentielles de deuxième ordre est plus qu'àremarquer.Démonstration : la démonstration omplète de e théorème né essite des notions que nous ne onnaissons pas en ore. On peut néammoins en omprendre les bases.On her he des solutions sous la forme rn.Si une telle solution existe alors né éssairement, on a rn+2 +Arn+1 +Brn = 0 d'où par fa tori-sation rn(r2 +Ar +B) = 0.Pour avoir un produit nul, il faut avoir r = 0 ou r2 +Ar +B = 0.On a repéré un type de solution. Le reste de la démonstration onsiste à montrer que toutes lessolutions sont formées à partir de elle- i. �5. Approximation des zéros d'une fon tion

Définition 10 : zéros d’une fonctionLes zéros (ou ra ine) d'une fon tion sont les valeurs α telles que f(α) = 0.Il n'est pas toujours possible de trouver leur valeur exa te. Le but de ette se tion est deprésenter des suites qui onvergent vers es nombres.5.1. Méthode de NewtonEn analyse numérique, la méthode de Newton, ou méthode de Newton-Raphson, est unalgorithme e� a e pour trouver des approximations d'un zéro (ou ra ine) d'une fon tiond'une variable réelle à valeurs réelles. L'algorithme onsiste à linéariser une fon tion f enun point et de prendre le point d'annulation de ette linéarisation omme approximationdu zéro re her hé. On réitère ette pro édure en l'approximation obtenue.Autrement dit, partant d'une valeur approximative d'une solution de l'équation f(x) = 0,on approxime la fon tion par sa tangente en e point. Cette tangente est une fon tiona�ne dont on sait trouver l'unique zéro. Ce zéro de la tangente sera généralement pluspro he du zéro de la fon tion. En réitérant ette opération, on améliore l'approximationde la solution.La méthode de Newton ne fon tionne pas toujours. Il existe des onditionsqui doivent être véri�ées mais l'étude de es onditions ne font pas partie duprogramme. 9

Chapitre 8 Suites numériquesExemple : Résolution d'une équation par la méthode de Newton.On souhaite approximer la solution de l'équation x3 − x− 1 = 0.En partant de x0 = 2, on obtient yx0= 11x−17 pour l'équation de la tangente en 2, d'où

x1 =17

11, puis yx1

=746

121x− 11157

1331d'où x2 =

1157

8206≈ 0, 14099 et ainsi de suite.

1 x0x1x2-101234

B1

B

B2

Plus formellement :1. Une abs isse xn étant donnée, on her he l'équation de la tangente à la ourbe en e point. Elle admet pour équation y = f ′(xn)(x− xn) + f(xn).2. On her he xn+1 qui est l'interse tion de ette tangente ave l'axe des abs isses. Onrésout alors f ′(xn)(xn+1 − xn) + f(xn) = 0, e qui donne xn+1 = −

f(xn)

f ′(xn)+ xn.

3. On réitère le pro édé. On onstruit alors une suite (xn) qui onverge en général versla solution.Théorème 16 : Méthode de NewtonEn on lusion, on "résout" f(x) = 0 en formant la suite

x0 = approximation de départxn+1 = xn −

f(xn)

f ′(xn).

L'algorithme asso ié à ette méthode est très ourt :http://ly eeenligne.free.fr 10

Cours de mathématiques STSProgramme Di hotomieVariables a, y, pré ision : réelsFun tion g(x :réel) : réelg(x)← x− f(x)

f ′(x)Enddébutlire a, pré isionWhile (|g(a)− a| > pré ision) doy ← g(a) ;a← ydoneA� her a�n Algorithm 1: Algorithme de la méthode de Newton5.2. Méthode des sé antesLa méthode des sé antes onsiste à rempla er f , entre a et b, par sa orde (AB). Onprend alors le zéro de ette orde omme approximation de la solution.On réitère le pro édé entre a (ou b) et l'approximation obtenue jusqu'à obtenir la pré isionvoulue.La méthode des sé antes ne fon tionne pas toujours. Il existe des onditionsqui doivent être véri�ées mais l'étude de es onditions ne font pas partie duprogramme.Exemple : Résolution d'une équation par la méthode des sé antes.On onsidère l'équation x3 − 2x− 2 = 0, pour laquelle on her he une approximation dela solution entre x0 = 0 et 2. On note A le point �xe de oordonnées A(2; f(2)) et Mnl'autre point (variable) de la orde.La orde (AM0) a pour équation y =

2− (−2)2− 0

x−2 = 2x−2. Elle oupe l'axe des abs issesau point x1 = 1.La orde (AM1) a pour équation y =2− (−3)1− 0

x−8 = 5x−8. Elle oupe l'axe des abs issesau point x2 =8

5= 1, 6 . . .et ainsi de suite . . .Plus formellement :

1. On tra e la droite passant par A(xA; yA) et Mn(xn; f(xn)). Cette droite a pouréquation y =yA − f(xn)

xA − xn

x+xAf(xn)− yAxn

xA − xn

.2. On her he xn+1 qui est l'abs isse du point d'interse tion de (Ox) et (AMn). Pour11

Chapitre 8 Suites numériques ela, on résout l'équation 0 =yA − f(xn)

xA − xn

xn+1 +xAf(xn)− yAxn

xA − xn

d'oùxn+1 = −

xAf(xn)−yAxn

xA−xn

yA − f(xn)

xA − xn

=xAf(xn)− yAxn

f(xn)− yA.

3. On réitère le pro édé. On onstruit alors une suite (xn) qui onverge en général versla solution.1

2

−1

−2

−3

1 2−1

x0 x1 x2

A

M0

M1

M2

Théorème 17 : Méthode des sécantesEn on lusion, on "résout" f(x) = 0 en formant la suite

x0 = approximation de départxn+1 =

xAf(xn)− yAxn

f(xn)− yA.

6. Exer i es6.1. Généralités sur les suites8.1 Soit quatre suites (un)n∈N, (vn)n∈N, (wn)n∈N et (xn)n∈N respe tivement dé�niespar

un =7

8n2 ; xn qui vaut la nedé imale de 22

7;http://ly eeenligne.free.fr 12

Cours de mathématiques STS{

v0 = 1vn+1 = 3vn + 5

;

{

w0 = 1 et w1 = 2wn+2 = 2wn+1 − 3wnOn demande de al uler :

1. pour ha une des quatre suites, ses quatre premiers termes ;2. u10+3, u10 + 3, u112 , u2

11, wx3;

3. x16 et x100.8.2 Étudier le sens de variation et étudier la limite, si elle existe, de ha une des suitessuivantes :1. un = 2− 3n ;2. un = (1, 3)n ;3. un = (0, 2)n ; 4. un = − 1

n + 1;

5. un = 2− 1

n2; 6. un =

3n + 4

n+ 1.

8.3 Soit la suite (un)n∈N dé�nie par un =4n− 5

3n+ 1.

1. Montrer que la suite (un)n∈N est roissante.2. Cal uler un −

4

3. En déduire que la suite est bornée.

8.4 Soit la suite (un)n∈N telle que un =1

n!.

1. Cal uler les sept premiers termes. On donnera les valeurs appro hées à 10−3 près.2. Démontrer que la suite est dé roissante.

8.5 Soit la suite (un)n∈N dé�nie par un =3n+ 1

n+ 2.

1. Etudier le sens de variation de la fon tion dé�nie sur [0; +∞[, par f(x) = 3x+ 1

x+ 2.

2. En déduire la monotonie de la suite (un)n∈N.3. Déterminer deux réels a et b tels que : un = a+

b

n+ 2.

4. Démontrer que pour tout n ∈ N∗, on a 3− 5

n6 un 6 3.

5. Déduire que la suite (un)n∈N onverge vers un nombre que l'on déterminera.8.6 Soit (un)n∈N la suite dé�nie pour tout entier naturel n par un =

2n+ 6

n + 1.

1. Cal uler u0, u1 et u2.2. Déterminer deux nombres réels a et b tels que pour tout entier naturel n, un =

a +b

n+ 1.

3. Montrer que pour tout nombre entier naturel non nul n, 2 6 un 6 2 +4

n.

4. En déduire que la suite (un)n∈N est onvergente et déterminer sa limite.5. Soit f la fon tion dé�nie sur ]0; +∞[ par f(x) = 2x+ 6

x+ 1.13

Chapitre 8 Suites numériquesa. Déterminer lim

x 7→+∞

f(x).b. Retrouver alors la limite de (un)n∈N.

6. Montrer que la suite (un)n∈N est monotone :a. en étudiant le signe de un+1 − un ;b. en déduisant le sens de variation de un de elui de f .6.2. Suites aritmétiques, géométriques

8.7 Soit (xn) la suite arithmétique de premier terme x0 = 9 et de raison 5.1. Donner l'expression de xn en fon tion de n.2. Quelle est la limite de (xn) ?3. Cal uler S25 =

25∑

k=0

xk, S12 =

12∑

k=0

xk puis 25∑

k=13

xk.8.8 Soit (yn) la suite géométrique de premier terme y0 = 5 et de raison 2.1. Donner l'expression de yn en fon tion de n.2. Quelle est la limite de (yn) ?3. Cal uler T =

18∑

k=5

yk.8.9 Soit (un)n∈N la suite dé�nie par un = 2n− 1.1. a. Montrer que la suite (un)n∈N est une suite arithmétique dont on déterminerale premier terme et la raison.

b. Cal uler, en fon tion de n, la somme Sn =

i=n∑

i=0

ui.2. Soit (vn)n∈N la suite dé�nie par vn = eun .

a. Montrer que (vn)n∈N est une suite géométrique pour laquelle on pré isera lepremier terme et la raison.b. Cal uler, en fon tion de n, le produit Pn =

i=n∏

i=0

vi = v0 × v1 × · · · × vn.8.10 Dans et exer i e (un) est une suite arithmétique de raison r et de premier termeu1, on désigne par Sn la somme des n premiers termes de la suite.

1. On donne u1=12et r= 1

4; al uler u13.

2. On donne u72=326 et r=2 ; al uler u1.3. On donne u1=−3

4et r= 1

8; al uler u20 et S20.

4. On donne u8=28 et u35=−53 ; al uler u1 et r.8.11 Dans et exer i e (un) est une suite géométrique de raison q.http://ly eeenligne.free.fr 14

Cours de mathématiques STS1. On donne u0 = 7 et q = 5 ; déterminer u4 et u7.2. On donne u3 = 3 et q =

1

3; déterminer u0 et u7.

8.12 Déterminer la raison et le premier terme de ha une des suites suivantes :1. (un)n∈N est une suite arithmétique. On donne u4 = 7 et u7 = 1.2. (vn)n∈N une suite géométrique. On donne v4 = 4 et v7 = 108.6.3. Appli ations des suites

8.13 Un auteur arabe, Al-Sephadi, ra onte que Sessa, ayant inventé le jeu d'é he s, futprésenté à son maître roi de Perse. Pour le ré ompenser, elui- i lui promit de lui a order e qu'il désirerait. Ce dernier, très modeste, demande de déposer un grain de riz sur lapremière ase du jeu, puis deux grains sur la deuxième, puis quatre sur la troisième etainsi de suite en doublant le nombre de grains d'une ase à l'autre. Un é hiquier à 64 ases. Pensant s'en tirer à bon ompte, le roi a epte.1. Combien de grains le roi s'est-il engagé à donner ?2. A ette époque, 1024 grains (210) pesaient 100 grammes. Quelle est la masse degrains o troyée à et inventeur ?3. Comparer ave la produ tion de blé de la Fran e en 1989 qui est de 30 millions detonnes.1. Il faut additionner les grains mis sur toutes les ases.

k=63∑

k=0

2k = 11− 264

1− 2= 264 − 1

2. Il y a 264 − 1

210paquets de 100 grammes don environ 254 × 100 grammes de riz.

3. 254 × 100× 10−6

109= 6× 1016 fois la produ tion de la fran e en 1989.

8.14 On dispose de 1 000 boites de onserves identiques pour onstruire un � hamboule-tout � omme l'indique la �gure i-dessous. L'étage supérieur ne ontient qu'une boite.1. a. Un � hamboule-tout � ontient 10 rangées. Combien a-t-on disposé de boitesdans la rangée inférieure ?

b. Quel est le nombre de boites utilisées pour réaliser e � hamboule-tout � ?15

Chapitre 8 Suites numériques2. Reprenez les questions pré édentes ave un � hamboule-tout � omposé de 20rangées, puis de n rangées, n nombre entier naturel non nul.3. Est-il possible de réaliser un � hamboule-tout � ontenant 1000 boites ?4. Chaque boite fait 10 m de hauteur. Quelle est la hauteur du plus haut � hamboule-tout � réalisable ave les 1000 boites ?

8.15 Un voyageur a fait ent lieues en huit jours et il a fait haque jour trois lieues deplus que la veille. On demande ombien de lieues il a fait haque jour.8.16 Une balle élastique est lâ hée d'une hauteur de 100 m au-dessus d'une table ; ellerebondit plusieurs fois.

Partie AOn appelle hn la hauteur en entimètre du ne rebond, et h0 vaut 100. La hauteur atteinteà haque rebond est égale 9/10 de la hauteur du rebond pré édent.1. Cal uler h1, h2, h3 et h4.2. Quelle est la nature de la suite hn ? Exprimer hn en fon tion de l'entier n.3. Cal uler à 10−2 près la hauteur du 10e rebond.4. A partir de quel rebond la hauteur deviendra-t-elle inférieure à 1 m?

Partie BA haque rebond, la balle ne rebondit pas exa tement au même endroit. La distan e entrele premier rebond et le deuxième est de 10 m , on appelle d1 ette distan e. A haquenouveau rebond, la distan e par ourue vaut les 2/3 de la distan e par ourue au rebondpré édent. On onsidère la suite (dn) des distan es entre haque rebond. On appelle ln ladistan e horizontale par ourue par la balle après n+ 1 rebonds.1. Quelle est la nature de la suite (dn) ? Exprimer dn en fon tion de n.2. a. Cal uler l1, l2, l3 et l4.

b. Exprimer ln en fon tion de n.c. Cal uler à 10−2 près la valeur de l10.REPONSES

Partie A

1. h1 = 100, h2 = 100× 0.9 = 90, h3 = 90× 0.9 = 81 and h4 = 81× 0.9 = 72.9.2. (hn) is a geometri sequen e as we multiply by 0.9.3. hn = 100× 0.9n.4. h10 = 100× 0.910 = 34.87.5. We want 100× 0.9n > 1 so n > 43.

Partie B

1. The sequen e (dn) is also geometri as we always mulitply by 2

3. First term is d0 = 15so dn = d1 × qn−1 = 10× 2

3

n−1

= 15× 2

3

n.http://ly eeenligne.free.fr 16

Cours de mathématiques STS2. a. l1 = d0 + d1 = 15 + 10 = 25.

l2 = d0 + d1 + d2 = l1 + d2 = 31.7.l3 = d1 + d2 + d3 = l2 + d3 = 36.1.l4 = d1 + d2 + d3 + d4 = l3 + d4 = 39.

b. ln =∑n

k=0 dk = d01− (2

3)n+1

1− 23

= 45(1− (23)n+1).

c. l10 = 44.47 (round to 2DP). Just before the 11th bound, the total horizontaldistan e traveled by the ball is 44.47 m.8.17 Une entreprise de forage estime le oût d'un forage : le premier mètre oûte 1000 e,le deuxième oûte 1200 e et haque mètre supplémentaire oûte 200 e de plus.Le pétrole se trouve à 500 mètres sous terre, de quels rédits a-t-on besoin ?8.18 Dans un ly ée de 3500 élèves, un élève apprend, à 7h45 que � le ba est supprimé �.Dans le quart d'heure qui suit il en fait part à 5 autres élèves. Cha un de es élèves eninforme à son tour 5 autres dans le quart d'heure suivant, et ainsi de suite.A quelle heure pré ise tout le ly ée est-il au ourant ?8.19 A�n d'a quérir et d'aménager une boutique du entre ville, un investisseur dé idede ontra ter un emprunt d'un montant de 100 000 euros. Dans le but d'obtenir lesmeilleures onditions pour e prêt, il a onta té deux banques A et B.1. La banque A lui propose de rembourser e prêt sur 7 ans, en 7 annuités, ha une desannuités étant un des termes onsé utifs d'une suite arithmétique de premier terme

u0 = 15 000 euros (montant du premier remboursement) et de raison a = 1 800euros.a. Cal uler le montant de ha un des trois versements suivants, notés u1, u2 et

u3.b. Quel est le montant du dernier versement, noté u6 ?c. Quelle serait la somme totale �nalement remboursée si l'investisseur a eptaitla proposition de la banque A ?

2. La banque B lui propose également de rembourser e prêt sur 7 ans en 7 versementsmais à des onditions di�érentes de elles de la banque A. Le premier remboursementannuel, noté v0, serait d'un montant de 20 000 euros ; les remboursements suivantsnotés v1, v2, v3, v4, v5 et v6, seraient ha un en augmentation de 2 % par rapportau remboursement pré édent.a. Cal uler v1 et v2.b. Montrer que v0, v1, v2, v3, v4, v5 et v6 sont les termes onsé utifs d'une suitegéométrique dont vous donnerez la raison b.c. Quelle serait la somme totale �nalement remboursée si l'investisseur a eptaitla proposition de la banque B ? (donner la valeur arrondie à l'euro le pluspro he).

3. Quelle banque o�re à notre emprunteur la solution la plus avantageuse ?17

Chapitre 8 Suites numériques6.4. Suites ré urentes d'ordre 18.20 Soit (un)n∈N la suite dé�nie par u0 = 2 et un+1 = 2un + 1.1. a. Cal uler les quatre premiers termes de la suite.

b. Représenter graphiquement les premiers termes de la suite.c. La suite (un)n∈N semble-t-elle onvergente ?

2. Soit la suite (vn)n∈N dé�nie par vn = un + 1.a. Cal uler les quatre premiers termes de ette suite.b. Démontrer que la suite vn est géométrique.c. Exprimer vn en fon tion de n et déterminer sa limite quand n tend vers +∞.d. En déduire un en fon tion de n et la limite de (un)n∈N.

1. a. u0 = 2.u1 = 2× u0 + 1 = 2× 2 + 1 = 5.u2 = 2× u1 + 1 = 2× 5 + 1 = 11.u3 = 2× u2 + 1 = 2× 11 + 1 = 23.u4 = 2× u3 + 1 = 2× 23 + 1 = 47.

b. Faire à main levée. Attention, il ne faut pas relier les points.c. Non, la suite (un)n∈N ne semble pas onvergente.

2. Soit la suite (vn)n∈N dé�nie par vn = un + 1.a. v0 = u0 + 1 = 2 + 1 = 3.

v1 = u1 + 1 = 5 + 1 = 6.v2 = u2 + 1 = 2 + 1 = 12.v3 = u3 + 1 = 23 + 1 = 24.v4 = u4 + 1 = 47 + 1 = 48.

b. Déterminons le rapport entre deux termes su essifs.vn+1

vn=

un+1 + 1

un + 1=

2un + 1 + 1

un + 1=

2(un + 1)

un + 1= 2.Comme le rapport entre deux termes est onstant, on en déduit que la suite

(vn) est géométrique de rapport 2 et de premier terme v0 = 3

c. On a don vn = v0 × qn = 3× 2n.Puisque que la raison est stri tement supérieure à 2, la limite de vn est l'in�ni.d. Comme vn = un + 1, on déduit que un = vn − 1 = 3× 2n − 1.La limite de (un) est aussi in�ni (puisque que 'est elle de (lim vn)− 1).

8.21 Soit (un)n∈N la suite dé�nie par u0 = 0 et un+1 =1

2un + 1.

1. a. Cal uler les quatre premiers termes de la suite.b. Représenter graphiquement les premiers termes de la suite.c. La suite (un)n∈N semble-t-elle onvergente ?

2. Soit la suite (vn)n∈N dé�nie par vn = un − 2.a. Cal uler les quatre premiers termes de ette suite.b. Démontrer que la suite vn est géométrique.http://ly eeenligne.free.fr 18

Cours de mathématiques STSc. Exprimer vn en fon tion de n et déterminer sa limite quand n tend vers +∞.d. En déduire un en fon tion de n et la limite de (un)n∈N.

1. a. u0 = 0.u1 =

12× u0 + 1 = 1

2× 0 + 1 = 1.

u2 =12× u1 + 1 = 1

2× 1 + 1 = 3

2.

u3 =12× u2 + 1 = 1

2× 3

2+ 1 = 7

4.

u4 =12× u3 + 1 = 1

2× 7

4+ 1 = 15

8.

b. Faire à main levée. Attention, il ne faut pas relier les points.c. Non, la suite (un)n∈N ne semble pas onvergente.

2. Soit la suite (vn)n∈N dé�nie par vn = un − 2.a. v0 = u0 − 2 = −2.

v1 = u1 − 2 = −1.v2 = u2 − 2 = −1

2.

v3 = u3 − 2 = −14.

v4 = u4 − 2 = −18.

b. Déterminons le rapport entre deux termes su essifs.vn+1

vn=

un+1 − 2

un − 2=

12un + 1− 2

un − 2=

12(un − 2)

un + 1=

1

2.Comme le rapport entre deux termes est onstant, on en déduit que la suite

(vn) est géométrique de rapport 12et de premier terme v0 = −2

c. On a don vn = v0 × qn = −2× (12)n.Puisque que la raison est stri tement entre 0 et 1, la suite vn onverge vers 0.

d. Comme vn = un − 2, on déduit que un = vn + 2 = −2× (12)n + 2.La limite de (un) est la lim vn + 2, 'est à dire 2.

8.22 Probabilité et suite.1. Soit deux urnes U1 et U2 ; la première ontient 6 boules blan hes et 4 boules noires,la se onde ontient 8 boules blan hes et 2 boules noires.D'une des urnes, hoisie au hasard (il y a équiprobabilité pour e hoix), on extraitune boule que l'on remet dans l'urne : si la boule est blan he on re ommen e letirage dans le même urne, si elle est noire on re ommen e le tirage dans l'autreurne. Cette règle est appliquée à haque tirage et l'on suppose qu'à l'intérieur de haque urne les tirages sont équiprobables.Soit Pn la probabilité pour que le nième tirage se fasse dans l'urne U1 (n ∈ N∗).

a. Déterminer P1.b. Déterminer P2.c. Démontrer qu'il existe une relation de ré uren e véri�ée par la suite (Pn) de laforme : pour tout n ∈ N∗Pn+1 = aPn + boù a et b sont des réels que l'on déterminera.19

Chapitre 8 Suites numériques2. On onsidère la suite (un) dont le terme général est dé�ni pour n entier stri tementpositif par :

u1 =1

2

un+1 =2

5un +

1

5

a. Soit (Vn) la suite dé�nie par Vn = un −1

3.Montrer que Vn est une suite géométrique et donner sa raison.

b. Exprimer Vn puis un en fon tion de n.c. En déduire la limite de la suite (Pn) quand n vers l'in�ni.

1. a. Par dé�nition, P1 est la probabilité pour que le premier tirage se fasse dansl'urne U1. Selon l'enon é P1 = 0, 5.b. Pour le deuxième tirage, il faut distinguer le as où le premier tirage a été faitdans U1, du as où le premier tirage a eu lieu dans U2. Dressons un arbre pourreprésenter la situation :

b

b

U10, 5

b U10, 6

b U20, 4

b

U20, 5

b U20, 8

b U10, 2Ainsi deux as possibles pour devoir tirer une boule dans U1 à l'issue du deux-ième tirage :• soit on a tiré la première boule dans U1 et puis une boule blan he. La proba-bilité de et événement est de 0, 5× 0, 6 = 0, 3.• soit on a tiré la première boule dans U2 et puis une boule noire. La probabilitéde et événement est de 0, 5× 0, 2 = 0, 1.Au �nal, la probabilité de tirer dans l'urne 1 est de 0, 3 + 0, 1 = 0, 4.

c. La situation reste modélisable par le même arbre. Seule la probabilité pour quele premier des d eux tirages soit fait dans U1 est à modi�er.b

b

U1Pn

b U10, 6

b U20, 4

b

U21− Pn

b U20, 8

b U10, 2Le raisonnement pré édent onduit à Pn+1 = 0, 6Pn+0, 2(1−Pn) = 0, 4Pn+0, 2

2. a. Déterminons le rapport entre deux termes su essifs.vn+1

vn=

un+1 − 13

un − 13

=25un +

15− 1

3

un − 13

=25(un − 1

3)

un − 13

=2

5.Comme le rapport entre deux termes est onstant, on en déduit que la suite

(vn) est géométrique de rapport 25et de premier terme v0 = u0− 1

3= 1

2− 1

3= 1

6http://ly eeenligne.free.fr 20

Cours de mathématiques STSb. On a don vn = v0 × qn = 1

6× (2

5)n.Comme vn = un − 1

3, on déduit que un = vn +

13= 1

6× (2

5)n + 1

3.

c. Comme (25)n tend vers 0, on en déduit que un et don Pn qui est la même suitetend vers 13.Cela signife que si on repète un très grand nombre de fois l'expérien e, la prob-abilité de tirer dans l'urne 1 sera de 1

3.6.5. Suites ré urentes d'ordre 2

8.23 Etudier les suites dé�nies par leurs premiers termes et les relations de ré uren esuivantes :1. u0 = 5 ; u1 = 3 et 3un+2 − 4un+1 + un = 0.2. u0 = −1 ; u1 = 0 et 4un+2 − 4un+1 + un = 0.3. u0 = 2 ; u1 = 5 et un+2 − 2un+1 + 4un = 0.1. Equation ara téristique : 3r2 − 4r + 1 = 0. ∆ = b2 − 4ac = 4. Par suite r1 =

13et

r2 = 1 don un = A(13)n +B(1)n.

u0 = 5 = A+B et u1 = 3A3+B don A = 3 et B = 2 et un = (1

3)n−1 + 2.

2. Equation ara téristique : 4r2 − 4r + 1 = 0. ∆ = b2 − 4ac = 0. Par suite r = 12et

un = (A+Bn)(12)n.

u0 = −1 = A et u1 = (A+B)12don A = −1 et B = 1. Par suite un = (−1+n)

1

2=

−1 + n

2n.

3. Equation ara téristique : r2 − 2r + 4 = 0. ∆ = b2 − 4ac = −12. Par suite r =1± i√3 = 2eπi pi

3 et don un = 2n(A cos nπ3+B sin nπ

3).

u0 = 2 = A et u1 = 5 = A + B√3 don A = 2 et B =

√3. Par suite un =

2n(2 cos nπ3+√3 sin nπ

3).

8.24 On onsidère la suite (un) dé�nie pour n ∈ N∗ par :

u1 = a

u2 = b

un+2 =1

2(un+1 + un)

1. On pose, pour n > 2, wn = un− un−1. Montrer que (wn) est une suite géométrique.2. Expli iter wn en fon tion n.3. Expli iter un en fon tion n.4. Déterminer la limite de la suite (un).1. Déterminons le rapport entre deux termes su essifs.

wn+1

wn

=un+1 − un

un − un−1=

12(un + un−1)− un

un − un−1=

12(−un + un−1)

un − un−1= −1

2Comme le rapport entre deux termes est onstant, on en déduit que la suite (wn) estgéométrique de rapport −12et de premier terme w2 = u2 − u1 = b− a.21

Chapitre 8 Suites numériques2. On a don wn = w2 × qn−2 = (b− a)× (−1

2)n−2.

3. On a wn = un − un−1 don un = wn + un−1

= wn + wn−1 + un−2

= wn + wn−1 + wn−2 + un−3

= · · ·= wn + wn−1 + wn−2 + · · ·+ w2La somme des termes d'une suite géométrique nous donne

un = w21− qn−2

1− q= (b− a)

1− (−12)n−2

1 + 1/2=

2(b− a)

3(1− (−1

2)n−2)

4. Comme (1− (−12)n−2) tend vers 1, la suite un tend vers 2(b− a)

3.

8.25 Suite de Fibona iOn enferme un ouple de lapins dans un en los. Le premier mois de leur vie, ils n'ontpas d'enfants. Tous les mois suivants, ils enfantent un ouple de lapins. Chaque ouple néagit alors de la même façon : le mois suivant sa naissan e, il ne donne pas d'enfants, mais haque mois, ensuite, il enfante un ouple. Et ainsi de suite. Le problème est de savoirquel est le nombre de ouples de lapins le n-ième mois ?On donne (un)n∈N le nombre de ouple de lapins au n-iéme mois.1. Déterminer u1, u2, · · · , u6.2. Montrer que un+2 = un+1 + un.3. En déduire que l'expression de un en fon tion de n. (On utilisera u0 et u1 pourdéterminer les onstantes).4. Combien de ouple de lapins avons-nous au bout de deux ans ?1. On obtient su essivement 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13.2. Au mois n+ 2, il y a un+2 lapins. Ce nombre est onstitué :• des ouples qui vivaient les mois pré édents (et omme au un ne meurent, il yun+1 tels ouples).• des ouples nouvellement engendrés. Or, n'engendrent au mois (n + 2) que les ouples pubères, 'est-à-dire eux qui existent deux mois auparavant. Il y a don un tels ouples.On a don : un+2 = un+1 + un.

3. Equation ara téristique : r2 − r − 1 = 0. ∆ = b2 − 4ac = 5. Par suite r =1±√5

2et un = A(1 +√5

2)n +B(

1−√5

2)n.Ave les onditions initiales, on trouve :

un =5 +√5

10

(

1 +√5

2

)n

+5−√5

10

(

1−√5

2

)n

4. u24 = 75025http://ly eeenligne.free.fr 22

Table des matières1 Notions de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Méthodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Majoration, minoration d'une suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Limite de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.2 Opérations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Suites usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64.3 Suite ré urente linéaire d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74.4 Suites ré urrentes linéaires d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Approximation des zéros d'une fon tion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.1 Méthode de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2 Méthode des sé antes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Exer i es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.1 Généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126.2 Suites aritmétiques, géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.3 Appli ations des suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156.4 Suites ré urentes d'ordre 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186.5 Suites ré urentes d'ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21