Cours de Mathématiques en terminale S - My MATHS .Cours de Mathématiques en terminale S ... 22

Cours de Mathmatiques en terminale S

Michel IMBERT

Anne scolaire 2017-2018

Lyce Bertran de Born - Prigueux

Livre de la classe

My Maths Space 2 2 sur 114

Table des matires

1 Limites de suites 9I Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.1 Notion de suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

I.2 Sens de variation dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

I.3 Suite majore, minore, borne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II Suites arithmtiques et gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.1 Suites arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.2 Suites gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III Raisonnement par rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

III.1 Thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

IV Comportement asymptotique dune suite numrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.1 Limite dune suite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.1.1 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16IV.1.2 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

IV.2 Suites nayant pas de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.3 Limites de suites et oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

IV.3.1 Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.3.2 Limite dun produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17IV.3.3 Limite dun quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IV.4 Rappels des formes indtermines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.5 Limites et ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.6 Thormes dexistence de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

IV.6.1 Thorme dencadrement ou des gendarmes . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.6.2 Existence de limite par comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18IV.6.3 Thorme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

IV.7 Application : limite dune suite gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20IV.7.1 Une Ingalit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20IV.7.2 Limite dune suite gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Les fonctions 21I Limite dune fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.1 Activits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

I.2.1 Limites en + et en ( x 7 ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22I.2.2 Limite dune fonction en un rel a ( x 7 a ) . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

I.3 Oprations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25I.4 Limites en + et dune fonction polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.5 Limites en + et dune fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.6 Thormes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.7 Limite dune fonction compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

II Continuit dune fonction sur un intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.1 Continuit en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27II.2 Thorme des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.3 Thorme de la bijection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.4 Rsolution dquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

III Drivabilit dune fonction sur intervalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29III.1 Rappel : drivabilit et nombre driv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3

III.2 Calculs de drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30III.3 Drives et variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

IV Cosinus et sinus : point de vue fonctionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33IV.2 Variations des fonctions cosinus et sinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.3 Courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34IV.4 Exemple dtude de fonction trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

V ANNEXE 1 pour lide de continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1 Approche exprimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

V.1.1 Pas de raccordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1.2 Un raccordement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1.3 Avec un trou . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.1.4 Un saut .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

V.2 Continuit en a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35VI ANNEXE 2 : La fonction tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3 Nombres complexes (partie 1) 37I Dcouvrir les nombres complexes sans complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II Lensemble C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.1 Un nouvel ensemble de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.2 Un vocabulaire spcifique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.3 galit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38II.4 Somme et produit de deux nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.5 Quotient de nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39II.6 Rsolution dquations dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III Le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.1 Affixe dun point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39III.2 Affixe dun vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

IV Conjugu dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40V quations du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

V.1 Racines carres dun rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41V.2 quation ax2 + bx+ c = 0 avec (a, b et c rels ; a 6= 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

VI Annexe 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.1 Une formule pour une solution de x3 = px+ q, (p, q) R2 . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.2 Des calculs avec i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43VI.3 Aspect gomtrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 La fonction exponentielle 45I Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46II Une fonction gale sa drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

II.1 Proprits vrifies par une solution de (Ed) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47III La fonction Exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.1 Thorme et Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.2 Nombre e et notation ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.3 Proprits asymptotiques : limites en linfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.4 Courbe de la fonction exp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49III.5 Croissance compare. Limites de rfrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50III.6 Fonction drive de eu avec u drivable sur un intervalle I . . . . . . . . . . . . . . 51

IV Annexe 1 : Mthode dEuler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5 Les probabilits Discrtes 53I Exprience alatoire - modlisation - langage des probabilits . . . . . . . . . . . . . . . 54

I.1 Univers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54I.2 Loi de probabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

I.2.1 Un cas particulier : la loi quirpartie (uniforme) . . . . . . . . . . . . . . 55I.3 Calculs de probabilits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

I.3.1 Probabilit dun vnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55I.3.2 vnement contraire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

My Maths Space 4 4 sur 114

I.3.3 Intersec