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Arts et Mtiers ParisTech
Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY
Cours de Mcanique des Milieux Continus
Anne scolaire 2014 2015
Michel MAYA
www.mmaya.fr
mailto:[email protected]://www.mmaya.fr/
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26/08/2014 Mcanique des Milieux Continus Page 2
Ce cours est en constante amlioration en partie grce
aux retours que vous pouvez apporter par vos
commentaires. Ces derniers sont les bienvenus sous
forme de mails ladresse :
Dans le cadre des amliorations, un travail est fait
pour avoir une version multimdia sonore.
Lavancement de ce travail est consultable sur :
www.mmaya.fr/MMC
Mais il est aussi possible de trouver dautres ressources sur :
www.mmaya.fr
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Sommaire
Sommaire .......................................................................................................................................................... 3
Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus ...................................................................................... 5
Domaine d'tude .......................................................................................................................................... 5
Hypothse de continuit .............................................................................................................................. 6
Variables d'tudes ........................................................................................................................................ 8
Rfrentiels - Rpres ................................................................................................................................ 8
Description Lagrangienne .......................................................................................................................... 9
Description Eulrienne ............................................................................................................................ 10
Drivation temporelle .............................................................................................................................. 11
Dformations d'un milieu continu ................................................................................................................. 13
Tenseur Gradient ....................................................................................................................................... 13
Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale ................................................................... 14
Etude tridimensionnelle des dformations ............................................................................................... 14
Interprtation des rsultats ....................................................................................................................... 16
Base principale ......................................................................................................................................... 18
Tenseur des dformations linaris.......................................................................................................... 18
Etude des petites perturbations ................................................................................................................ 21
Directions principales ; dformations principales ................................................................................... 22
Reprsentations graphiques ...................................................................................................................... 24
Conditions de compatibilit ...................................................................................................................... 26
Vitesse de dformation .............................................................................................................................. 28
Taux de dformation lagrangien .............................................................................................................. 28
Taux de dformation eulrien .................................................................................................................. 29
Interprtation du tenseur taux de dformation ......................................................................................... 30
Etat de contrainte dans les milieux continus ................................................................................................. 31
Lois de conservation .................................................................................................................................. 31
Drive particulaire dune intgrale de volume ....................................................................................... 31
Thorme de la divergence........................................................................................................................ 32
Thorme de lintgrale nulle ................................................................................................................... 33
Expression gnrale dune loi de conservation ....................................................................................... 33
Contraintes dans un domaine matriel .................................................................................................... 34
Loi fondamentale de la mcanique .......................................................................................................... 34
Vecteur contrainte .................................................................................................................................... 35
Tenseur des contraintes ............................................................................................................................ 36
Equilibre dynamique ................................................................................................................................ 38
Proprits du tenseur des contraintes ....................................................................................................... 41
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Lois de Comportement des milieux continus ................................................................................................. 45
Bilan des Equations ................................................................................................................................... 45
Thorme de lnergie cintique .............................................................................................................. 46
Thermodynamique des milieux continus ................................................................................................. 49
Premier Principe de la thermodynamique ................................................................................................ 49
Second Principe de la thermodynamique ................................................................................................. 50
Equation de la chaleur ............................................................................................................................. 51
Thermo-lasticit linaire.......................................................................................................................... 53
Premire approche de llasticit linaire ................................................................................................ 53
Deuxime approche de llasticit linaire .............................................................................................. 55
Convention d'criture ............................................................................................................................... 57
Symtrie plane ......................................................................................................................................... 59
Matriau orthotrope ................................................................................................................................. 59
Matriau isotrope transverse .................................................................................................................... 61
Matriau isotrope ..................................................................................................................................... 62
Elasticit linaire ............................................................................................................................................ 63
Loi de comportement ................................................................................................................................. 63
Equations supplmentaires en lasticit .................................................................................................. 65
Equations de NAVIER............................................................................................................................. 65
Equations de BELTRAMI ....................................................................................................................... 66
Critres de limite lastique........................................................................................................................ 68
Les rsultats dessai ................................................................................................................................. 68
Les diffrents critres ............................................................................................................................... 71
Les schmas de rsolution ......................................................................................................................... 73
Thorme dunicit .................................................................................................................................. 73
Schmas de rsolution ............................................................................................................................. 74
Exemple dapplication ............................................................................................................................. 74
Elasticit bidimensionnelle ........................................................................................................................ 78
Dfinition des tats plans ......................................................................................................................... 78
Fonction dAiry ........................................................................................................................................ 81
Exemple dapplication : flexion simple dune poutre rectangulaire ........................................................ 82
Elasticit plane en coordonnes polaires ................................................................................................. 84
Application en coordonnes polaires ....................................................................................................... 85
Quelques formules .......................................................................................................................................... 87
Elasticit linaire en coordonnes polaires ................................................................................................... 88
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Descriptions de la Mcanique des Milieux Continus
Domaine d'tude
L'objectif de ce cours est de prsenter (hlas succinctement) la mcanique des milieux continus. Nous
allons trouver dans ce cours l'application du principe fondamental de la mcanique tous types de domaines
matriels. En particulier nous pourrons nous intresser aussi bien des domaines ayant des comportements
de corps solide ou des comportements de fluide (liquide ou gaz). La gnralit de ce cours apparat ainsi
vidente.
Il est noter que la distinction
entre ces diffrents tats de la matire
n'est pas vidente. Ainsi comment ne pas
s'interroger devant le phnomne de
changement d'tat liquide-vapeur-liquide
pour un cycle englobant dans le
diagramme Temprature - Entropie le
point K sommet de la courbe d'bullition.
Le dictionnaire ne nous aide pas particulirement dans notre dmarche de distinction. Ainsi Le Petit
Larousse donne les dfinitions suivantes :
*Fluide Se dit des corps (gaz et liquides) qui n'ayant pas de forme propre, sont dformables
sans effort.
*Gaz Tout fluide ariforme (qui a les proprits physiques de l'air (fluide gazeux qui forme
l'atmosphre)). Un des trois tats de la matire, caractris par la compressibilit et l'expansibilit.
*Liquide Qui coule ou qui tend couler. Se dit d'un tat de la matire prsent par les corps
n'ayant pas de forme propre, mais dont le volume est invariable.
*Solide Qui a une forme propre.
Comment avec ces dfinitions trouver la frontire entre un solide plus ou moins mou et un liquide
plus ou moins visqueux? Le sable est-il un solide ou un fluide? Certaines peintures ont un comportement de
solide mais aprs brassage deviennent fluides. Le verre est un solide notre chelle de temps, mais avec les
sicles, on constate que c'est un liquide trs forte viscosit. Le yaourt peut tre considr comme un fluide
mmoire. Et encore nous ne dirons rien des Alliages Mmoire de Forme (AMF).
s
kJ/K kg
T C
0
100
200
300
400
500
600
374
0 1 2 3 4 5 6 7 8
K
Compression isotherme
isentropiqueDtente
Point critiqueisobare
Echauffement
Vapeur
diphasiqueMlange
Liquide
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Comme on peut le constater, la dtermination n'est pas simple et peut tre fonction de nombreux
paramtres (Pression, Temprature, Temps ...). En consquence, on peut considrer que la dmarche du
mcanicien qui consiste regrouper dans un seul enseignement l'tude mcanique de ces diffrents tats de
la matire est lgitime, mais quelle risque de se heurter de nombreuses difficults. L'tude de ces diffrents
comportements est appele la Rhologie.
Pour mener bien une tude de mcanique, la notion de rfrentiel est essentielle. D'une part, afin de
connatre les volutions cinmatiques d'un domaine matriel on devra lui associer un rfrentiel, et d'autre
part le Principe Fondamental de la Mcanique s'appuie sur l'existence d'un repre privilgi appel "Repre
Galilen".
Un repre est dfini par la donne d'une base vectorielle associe une origine. Il est noter qu'en
aucun cas il n'est fait l'obligation d'une base orthonorme. Bien videment, pour des questions de
simplifications, nous essaierons toujours d'employer de telle base, mais nous pourrons aussi constater que
suite aux dformations imposes notre domaine, nous ne pourrons pas constamment conserver cette notion
d'orthogonalit. Le mcanicien est ainsi tout naturellement guid vers l'utilisation des notations tensorielles.
A ce sujet, il est noter que l'algbre et l'analyse tensorielle professes en mathmatique sont des
enseignements directement issus de notions mcaniciennes. Le mot tenseur ne provient-il pas du mot tension
? Ainsi on peut constater ce que la science mcanicienne a apport la connaissance des autres sciences.
Cette remarque peut aussi bien s'adapter aux mthodes de rsolutions numriques fortement issues de la
mthode des lments finis.
Hypothse de continuit
Nous allons orienter notre tude sur des domaines matriels continus subissant des transformations
continues. Dans cette simple phrase on peut constater l'importance de l'hypothse de continuit. De nouveau
le Petit Larousse ne nous est que d'un faible secours (Continu : non divis dans son tendue, non interrompu
dans sa dure).
Continuit du domaine matriel tudi.
Pour le physicien, la continuit du domaine sera traduite mathmatiquement par le fait que les
fonctions caractristiques du domaine sont des fonctions continues au sens mathmatique du terme. Ainsi, si
on considre des grandeurs physiques telles que la masse volumique, la temprature, la pression, on doit
pouvoir les reprsenter par des fonctions continues. Dj, avec cette dfinition, on peut constater qu'il existe
des limites notre tude. Ainsi nous ne pourrons pas tudier un milieu diphasique, de mme pour un
mlange eau-huile. Toutefois, il sera possible de mener bien de telles tudes en considrant n domaines
continus. On conoit que ceci ne nous mnera pas vers une simplification.
De plus il est noter que la continuit parfaite d'un domaine matriel n'existe pas. Ainsi, sans aller
une dfinition atomique de la matire, les moyens d'investigation tels que les microscopes (lectroniques ou
non) montrent clairement que la matire est faite de juxtaposition d'lments ne possdant pas les mmes
caractristiques. De fait la continuit du domaine matriel ne pourra qu'tre une approximation. Suivant le
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degr de respect ou de non-respect de cette hypothse, notre tude sera plus ou moins entache d'erreur. Il
faut noter que malgr tout, nous pourrons utiliser ce cours pour tudier des matriaux tels que le bton, le
bois ...
Heureusement, il existe actuellement un processus dit d'homognisation qui permet de limiter les
erreurs. Ainsi les matriaux plastiques chargs de fibre de verre pourront tre traits dans le cadre de cette
tude.
Continuit de la transformation.
Comme nous le verrons ensuite, la
transformation sera essentiellement
caractrise par la donne d'un
champ vectoriel appel champ de
dplacement. L'hypothse de
continuit de la transformation va se
traduire par le fait que les fonctions
scalaires du champ vectoriel doivent
tre des fonctions continues des
variables d'espaces et de temps. De
nouveau nous nous trouvons devant
une limitation de notre tude. On
peut facilement constater qu'il existe
des transformations non continues.
Ainsi les problmes mtallurgiques
de dislocation, l'apparition du
phnomne de cavitation dans les
coulements de domaine fluide et
les fissurations font clairement apparatre des discontinuits de transformation. Ces cas particuliers pourront
tre traits en considrant la notion de continuit par sous-domaines.
Rupture en mode IIIRupture en mode IIRupture en mode I
Dislocation coin
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Variables d'tudes
Rfrentiels - Rpres
L'tude d'un domaine matriel impose que l'on procde sa description et son reprage tout au long
de son volution au cours du temps. La notion de rfrentiel doit tre dveloppe pour prciser les
volutions.
Le rfrentiel R est li l'observateur. Il reprsente l'ensemble des points anims du mouvement de
corps rigide de l'observateur. Pour effectuer les reprages spatiaux des points matriels dans un rfrentiel R
on utilise une base vectorielle associe un point origine O. On obtient ainsi un repre R. Ce repre, anim
du mouvement de corps rigide du rfrentiel R permet de matrialiser ce rfrentiel.
Pour les besoins de l'tude, on peut tre amen effectuer des changements de repre. On ralisera
ainsi la mme transformation des coordonnes spatiales sur les composantes des tres mathmatiques
(vecteur, tenseur ...) utiliss pour dcrire le domaine. Il est noter que l'on peut associer plusieurs repres
un mme rfrentiel.
Paralllement, on peut imaginer un changement d'observateur, ce qui va se traduire par un
changement de rfrentiel. On peut se reprsenter une telle transformation en associant chacun des
rfrentiels un repre. Les deux repres tant choisis de telle sorte qu'ils soient concidant un instant donn,
on examine leur volution au cours du temps.
Pour fixer les ides, prenons l'exemple
d'un lopin cylindrique cras par une presse.
On peut penser faire des observations
partir du rfrentiel R associ au plateau "fixe"
de la presse. La notion de fixe tant prise ici
dans le sens de non-dplacement vis vis du
rfrentiel terrestre RT. Pour effectuer ces
observations, on peut soit utiliser un repre
cartsien orthonorm RC ),,;( 321 eeeO
, soit
employer pour des raisons de symtrie
cylindrique un repre cylindro-polaire
orthonorm RP ( ; , , )O e e er z
.
Mais il est tout fait pensable que, par exemple pour tudier le contact pice-plateau mobile, l'on
veuille faire des observations partir du rfrentiel R' associ au plateau mobile.
Avec cet exemple, on conoit fort bien la notion d'objectivit, c'est dire du caractre d'indpendance
vis vis de l'observateur choisi. On parle alors de phnomne intrinsque vis vis du changement de
rfrentiel. Certaines grandeurs sont objectives (dformations, contraintes, masse volumique ...), d'autre ne le
sont pas (vitesse, matrice de changement de base ...).
Enfin pour dcrire la configuration d'un domaine matriel, il est possible de choisir parmi deux types
de variables.
R'
R
e
ee
e
e
e=3 z
1
2
r
Contact pratiquementsans frottement
Contact avecfrottement levO
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Description Lagrangienne
Considrons un repre orthonorm R ( ; , , )O E E E
1 2 3 associ un rfrentiel R La cinmatique
classique d'un milieu continu est construite partir des notions :
* de temps, pouvant tre reprsente par une variable relle t dtermine par deux valeurs extrmes.
* d'espace physique, pouvant tre reprsent par un espace affine de dimension 3. Les points de cet
espace sont appels "points matriels".
Dans le repre R, un instant t =0, le point 0M a des coordonnes X X X1 2 3, , qui dfinissent la
position du point matriel M. On appelle aussi ce systme de coordonnes le systme de coordonnes
matrielles dans la configuration de rfrence 0C . Nous pourrons ainsi crire :
XEXEXEXEXOM ii
3322110
Pour dcrire le mouvement du domaine, il convient
donc de se donner la loi d'volution au cours du temps
des positions de l'ensemble des particules matrielles
constituant le domaine. On obtient donc la
configuration actuelle tC . Ainsi il est ncessaire de
dfinir les coordonnes 321 xxx ,, du point tM qui
l'instant t reprsente la position du point matriel M.
xExExExExOM iit
332211
Ce qui revient dire qu'il faut se donner les fonctions scalaires suivantes : x X ti i J ( , )
Dans cette description, les variables indpendantes X X X1 2 3, , et t sont dites "variables ou coordonnes de
Lagrange".
Les fonctions i reprsentent la description lagrangienne du mouvement de notre domaine par
rapport au rfrentiel R.
Connaissant la position chaque instant du point matriel M il est possible de dfinir alors sa vitesse
et son acclration vis vis du rfrentiel R
vecteur vitesse :
dt
OMdtMV t
,
Dans une base cartsienne orthonorme, ses composantes sont ),(),( tXt
tXdt
dv J
iJ
ii
.
Dans cette dernire formule, le symbole
t reprsente la drivation partielle par rapport au temps,
c'est dire la drivation en considrant les variables de position X J indpendantes du temps.
O
M
M
X
x
1
0
2
3
E
E
E
t
X
x
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vecteur acclration :
2
2,
,dt
OMd
dt
tMVdtM t
Dans une base cartsienne orthonorme, ses composantes sont ),(),(2
22
tXt
tXdt
dJ
iJ
ii
vecteur dplacement :
Souvent on prfre employer le
vecteur dplacement au lieu du vecteur position :
XxOMOMtXu tJ
0),(
On peut alors remarquer l'galit :
),(),(),( tXdt
udtX
t
utMV JJ
),(),(),(2
2
2
2
tXdt
udtX
t
utM JJ
Description Eulrienne
Les hypothses de continuit (milieu et transformation) imposent que les fonctions i soient des
bijections de la configuration de rfrence C0 sur la configuration actuelle Ct. Cette bijectivit impose
l'existence d'une relation inverse entre les variables de position de rfrence et les variables de position
actuelle. On a donc : X x tI I j ( , )
On constate donc qu'il est possible de changer de variables spatiales. La description dite eulrienne
consiste considrer les variables 321 xxx ,, et t comme indpendantes et les utiliser sous forme de
"variables ou coordonnes d'Euler".
Dans la description eulrienne, on ne se proccupe pas de savoir ce qu'il advient de chaque particule.
En fait on tudie ce qui se passe, chaque instant, en chaque point de l'espace.
On peut exprimer la vitesse et l'acclration en fonction des variables d'Euler :
vecteur vitesse :
dt
OMdtMV t
, avec ttxt
tXt
v kJi
J
i
i ),,(),(
vecteur acclration :
2
2
,dt
OMdtM t
avec ttxt
tXt
kJ
i
J
i
i ),,(),( 2
2
2
2
Pratiquement, on peut dire qu'en description lagrangienne, on suit le domaine dans son mouvement,
alors qu'en description eulrienne, on observe l'volution du systme en un point gomtrique fixe pour
l'observateur.
u
M
M t
0
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Drivation temporelle
Souvent nous aurons considrer les variations d'une grandeur physique, que nous noterons A , au
cours du temps. Cette grandeur peut tre une fonction scalaire, vectorielle ou tensorielle. Nous avons donc :
),( txiaA pour une dtermination vis vis des variables eulriennes
),( tX iAA pour une dtermination vis vis des variables lagrangiennes.
On peut au niveau de cette grandeur, s'intresser deux types de variation.
Ainsi, si nous considrons un point gomtrique de l'espace, la grandeur A tant dfinie en ce point,
nous pourrons exprimer les variations en utilisant la drive partielle par rapport au temps. On appelle
parfois cette drive "drive locale". En variables eulriennes nous pouvons crire :
),(tt
txi
aA
Cependant, les grandeurs utilises sont souvent attaches un domaine matriel (temprature, masse
volumique, vitesse ...). Il convient de considrer aussi la variation de ce domaine matriel au cours du temps.
Pour ce faire on utilise la drive totale par rapport au temps, appele "drive particulaire" (du fait que c'est
une particule que l'on suit dans son mouvement).
En reprsentation lagrangienne, puisque les grandeurs physiques sont repres vis vis de l'lment
de matire, il y a identification entre la drive particulaire et la drive locale :
AAAA
),(),( tXt
tXdt
d
dt
dII
Par contre, pour la reprsentation eulrienne, le calcul de la drive particulaire ncessite de prendre
en compte la variation du domaine dlimit par des variables xi qui sont fonctions du temps :
tx
txt
txdt
d
dt
d i
i
ii
aaaAA ),(),(
Dans cette formule on remarque la prsence de t
i
qui est la ime composante du vecteur vitesse.
D'autre part le terme ix
apeut aussi tre interprt comme la composante de l'oprateur gradient appliqu
la grandeur A On peut donc crire, sous une forme gnrale :
),(.),(),( txVtxtxt
iii
aa gradA
Exemple d'application : calcul de l'acclration en reprsentation Eulrienne.
La formule prcdente donne la relation suivante :
VVt
V
dt
Vd
.grad
Soit sous forme dveloppe, dans un repre cartsien orthonorm :
i
i i i
i
idV
dt
V
t
V
x t
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Imaginons par exemple que l'on soit dans un vhicule automobile un vendredi soir de dpart en
vacance l'entre du tunnel sous Fourvire de Lyon. Connaissant depuis longue date le problme du
bouchon, nous avons pris la prcaution de ne pas partir trop tt. Toutefois l'approche du tunnel, nous
constatons un ralentissement. Notre vitesse diminue et bord de notre vhicule nous enregistrons une
dclration (acclration ngative). Par contre dception pour le badaud qui s'amuse regarder circuler les
voitures assis sur le bord de la route depuis une paire d'heure. En effet, comme le bouchon est en train de
sauter, la vitesse des vhicules passant en un point prcis de la route est en constante augmentation. Suite
ce phnomne d'acclration (positive), il n'y aura bientt plus rien voir.
La premire acclration (la ngative) est celle d'une particule que l'on suit dans son mouvement. En
variable de Lagrange, c'est la drive particulaire. Pour la seconde acclration (positive), on observe le
mouvement en un point fixe de l'espace et on ne considre que les variations de vitesse dues au temps : c'est
la drive locale.
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Dformations d'un milieu continu
Tenseur Gradient
Il convient de bien diffrencier la notion de dplacement de la notion de dformation. Ainsi que nous
avons dj pu le constater en faisant l'tude mcanique des solides dits indformables, il existe des champs
vectoriels de dplacement qui ne crent aucune dformation.
Autant il est facile de dfinir le champ vectoriel des dplacements, autant la notion de dformation est
dlicate bien cerner. Ainsi que nous allons le voir nous ne pourrons pas parler d'une dformation, mais de
scalaire dformation, de vecteur dformation et de tenseur d'ordre 2 des dformations. Il convient donc de
bien faire attention toutes ces entits.
Pour matrialiser la dformation, on tudie la transformation d'un vecteur "matriel", c'est dire d'un
vecteur ayant origine et extrmit confondus avec des points matriels. Toutefois on conoit bien que l'tat
de dformation n'tant gnralement pas homogne dans la matire, il faille utiliser des points matriels
infiniment voisins afin de bien caractriser la dformation au voisinage d'un lment matriel.
Nous sommes ainsi amens considrer la transformation suivante : xdXd
D'autre part, nous avons les relations suivantes :
),( tXx Jii ),( txX jII
Par abus de langage, et pour rester dans la tradition,
nous crirons :
),( tXxx Jii ),( txXX jII
Sous forme diffrentielle nous obtenons :
JJ
ii dX
X
xxd
et
Ces relations nous permettent de mettre en vidence les composantes d'un tenseur dfinies par :
JiJi dXFxd avec J
iiJ
X
xF
On peut donc crire :
Xdxd
F
Ce qui implique :
xdXd 1F
Le tenseur F qui apparat est appel "tenseur gradient" ou encore "application linaire tangente".
Il permet de caractriser les diffrentes transformations.
dX
dx
x
X
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Les composantes de ce tenseur peuvent tre calcules partir du champ de dplacement en
diffrenciant la relation suivante :
XxOMOMtXu tJ
0),(
On a donc : J
iiJ
j
iiJ
X
u
X
xF
U
GradF XdUXdXdXdxd
GradF
Exemple dans le cas d'une dformation homogne triaxiale
Les quations de la transformation sont
les suivantes :
333
222
111
Xx
Xx
Xx
On peut donc dfinir le tenseur gradient
:
3
2
1
00
00
00
F
On a alors pour la variation d'un volume infinitsimal unitaire :
03210 1 dvdvdv
Cette expression est le cas particulier d'une formule plus gnrale :
0dvJdv avec Fdet),,(
),,(
321
321 XXXD
xxxDJ
Etude tridimensionnelle des dformations
D'aprs l'tude prcdente, on serait tent de croire que le tenseur F est suffisant pour reprsenter
l'tat de dformation d'un domaine matriel. En effet il permet de bien faire apparatre les diffrences entre
les deux vecteurs dX
et dx
. Il semble mme que la diffrence entre ces deux vecteurs soit associer
directement au champ de dplacement. En effet nous avons :
XdUXdXdXdxd
GradF
On pourrait alors conclure que le tenseur gradient du champ de dplacement est le tenseur qui suffit
caractriser les dformations d'un domaine matriel. Cette conclusion est errone, car il existe des cas de
dplacement d'un domaine matriel qui respectent la notion de solides indformables alors que le tenseur
gradient du champ de dplacement est non nul. On peut par exemple imaginer le phnomne de rotation
autour d'un axe. Il faut donc dfinir proprement un tat de dformation.
Pour caractriser les dformations d'un domaine matriel, il faut en fait considrer les variations entre
deux configurations de la distance existante initialement entre deux points matriels arbitraires. Hlas cette
notion de distance n'est pas simple mettre en uvre et on prfre considrer les variations de deux vecteurs
"matriels". Mathmatiquement, cela revient examiner les variations du produit scalaire de ces deux
X
X
X
x
x
x
2
3
1
3
2
1
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vecteurs. Un produit scalaire invariant quels que soient les deux vecteurs considrs est quivalent une
dformation nulle du milieu (pas de variation de longueur, pas de variation d'angle). On aura alors dfini les
changements de formes.
Imaginons deux vecteurs "matriels" Xd
et 'Xd
. Aprs transformation, nous obtenons les vecteurs
xd
et 'xd
.
Nous avons les relations :
Xdxd
F '' Xdxd
F
Ce qui nous donne :
'.'. XdXdxdxd TT
FF
'''. XdXdXdXdxdxd TTTT
CFF
En utilisant les notations indicielles et en
omettane par abus de notation le signe de
transposition, nous obtenons :
)')((''. KiKJiJii dXFdXFdxdxxdxd
)'()('. KJiKiJ dXdXFFxdxd
''. KJJK dXdXCxdxd
La dformation locale est alors dfinie par le tenseur C
iKT
JiiKiJJK FFFFC
On a ainsi:
''. XdXdxdxd
C avec FFC T
Dans cette relation C est un tenseur symtrique d'ordre deux (reprsentable par une matrice 3*3)
appel tenseur des dilatations ou tenseur de Cauchy-Green droit.
C'est un tenseur lagrangien car ses deux rfrences sont faites vis vis de la configuration de
rfrence 0C . Ce tenseur peut tre dfini partir du tenseur gradient du champ de dplacement :
)()( UU TT
GradIGradIFFC
UUUU TT
GradGradGradGradIC )()(
La variation de notre produit scalaire devient alors :
')(''. XdXdXdXdxdxd
IC
Soit encore :
')()(''. XdUUUUXdXdXdxdxd TT
GradGradGradGrad
'2''. XdXdXdXdxdxd
E
Nous obtenons ainsi un nouveau tenseur :
UUUU TT
GradGradGradGradE )()(2
1
Ce tenseur est le tenseur des dformations de Green-Lagrange.
dX
dX'
dx'
dx
u
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C'est aussi un tenseur symtrique. On peut remarquer qu'il est identiquement nul dans un mouvement
de corps solide IC . Ses composantes sont :
J
K
I
K
I
J
J
IIJkJkIIJ
X
u
X
u
X
u
X
uFFE
2
1
2
1
On dira que la dformation du systme est homogne si le tenseur des dformations E ne dpend pas
des coordonnes spatiales de rfrence X I .
Remarque
De la mme faon que l'on dfinit le produit scalaire '.dxdx partir du produit scalaire 'XdXd
, on
peut, de manire tout fait symtrique, dfinir le produit scalaire 'XdXd
partir du produit scalaire
'.dxdx .On aura alors les relations suivantes :
''. 1 xdxdXdXd B avec TFFB : Tenseur de Cauchy-Green gauche.
'2'.'. xdxdXdXdxdxd
A
12
1 BIA Tenseur des dformations d'Euler-Almansi.
Le tenseur des dformations d'Euler-Almansi et le tenseur de Cauchy Green gauche sont des tenseurs
eulriens, symtriques.
D'autre part, il est possible de dmontrer la relation suivante :
11)( FEFA T
Soit en composantes :
KLLjKiij EFFA11
Interprtation des rsultats
Variation de longueur :
Prenons un vecteur "matriel" de longueur initiale dX orient selon une direction unitaire N
au voisinage d'un point 0M . Nous pouvons crire :
NdXdX
La transformation nous donne alors :
ndxdx
Il est noter que le vecteur obtenu non seulement n'a pas la mme longueur que le vecteur initial, mais
qu'en plus il ne garde pas la mme orientation.
On peut alors dfinir l'allongement (ou la dilatation linaire) au point 0M dans la direction N
dX
dXdxNM
;0
C'est en fait la variation relative de longueur de notre segment initial.
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A partir des tenseurs prcdents, nous pouvons crire :
NNdXXdXddxxdxd CC 22.
1)2(1;0
NNNNdX
dXdxNM
EIC
En effet nous avons la relation :
dXNNdXdXCxdxddx JIIJ 21
21
21
C
Ainsi, dans le cas particulier de la direction E1 , on obtient :
12111; 11111110 ECEEEM
C
De mme, on peut dfinir le glissement (ou la distorsion angulaire) au point 0M dans les directions
initialement perpendiculaires N
et M
:
),(,;
mnMNM
20
Cette entit correspond la
variation d'un angle choisi initialement
droit. Pour la calculer, on utilise les
proprits du produit scalaire entre deux
vecteurs, qui dans la gomtrie
euclidienne fait apparatre le cosinus de
l'angle form entre ces deux vecteurs. On
a ainsi :
sin'
')',cos(
dxdx
xdxdxdxd
D'o :
)(1)(1
2sinsin,;0
MN
MNArc
MMNN
MNArcMNM
E
CC
C
Par exemple, pour les deux directions orthogonales E1et
E2 , on aura :
2211
12
2211
12
212121
2sinsin,
EE
EArc
CC
CArcEE
Enfin, il est possible d'obtenir la dilatation volumique ou variation relative de volume :
dv dV
dV
dX
dX'
dx
dx' (N,M)
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Base principale
Comme le tenseur de Green Lagrange C est un tenseur symtrique, sa reprsentation matricielle est
symtrique dans tout repre. On a en fait affaire une application bilinaire symtrique. Il existe alors une
base de vecteurs IIIIII EEE
,, dans laquelle la reprsentation matricielle de l'application est une matrice
diagonale. On dit que l'on a la base propre ou base principale.
Les vecteurs de cette base sont appels les vecteurs propres de l'application. En mcanique, nous
parlerons plus facilement de directions principales.
Donc dans cette base, nous avons :
iIIIII
I
EC
C
C
00
00
00
C
Un volume lmentaire construit selon ces
directions et de cots IIIIII dXdXdX ,, est transform en un
volume paralllpipdique (pas de glissement) de cots
IIIIII dxdxdx ,, . On peut alors calculer la variation relative
de volume :
dV
dVdv
On a d'autre part les relations :
IIIIII dXdXdXdV et IIIIII dxdxdxdv
Avec par exemple :
III dXCdx
On obtient donc :
dVCCCdXCdXCdXCdv IIIIIIIIIIIIIIIIII
dVdv )det(C
On fait ainsi apparatre le jacobien de la transformation :
dV
dvJ
Ce qui nous donne pour la variation relative de volume :
1J
Tenseur des dformations linaris
Comme nous venons de le voir, la caractrisation de l'tat de dformation d'un domaine matriel
passe par la dtermination de tenseurs plus ou moins compliqus. Quel que soit le choix fait au niveau des
tenseurs, on constate une non-linarit provenant essentiellement des termes du type
FFGradGrad TT UU
)( . Cette non-linarit de l'tat de dformation par rapport au champ de
dplacement complique srieusement les calculs.
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Cependant, dans de nombreux cas, on pourra linariser l'tat de dformation en faisant l'hypothse
des transformations infinitsimales. Cette hypothse, encore dnomme hypothse des petites perturbations,
se dcompose en deux ides :
* Le dplacement de chacun des points du domaine matriel est petit. On pourra ainsi
confondre l'tat actuel avec l'tat de rfrence.
* Le tenseur gradient de dplacement ne contient que des termes ngligeables devant l'unit.
Avec ces hypothses, les diffrents tenseurs dformations deviennent :
UUUU TTT
GradGradIGradIGradIFFC )()( Cauchy-Green droit
UU T
GradGradICE )(2
1)(
2
1 Green-Lagrange
CGradGradIGradIGradIFFB UUUU TTT
)()( Cauchy-Green gauche
EGradGradBIA TUU )(2
1)(
2
1 1 Euler-Almansi
On remarque donc qu'il y a une identification entre les descriptions lagrangienne et eulrienne.
Ainsi que nous l'avons dj constat, ce sont les tenseurs de dformation de Green-Lagrange et
d'Euler-Almansi qui, plus que les tenseurs de dformation de Cauchy-Green, reprsente l'tat de dformation
en un point. En effet dans un dplacement de corps solide indformable, les tenseurs de dformation de
Green-Lagrange et d'Euler-Almansi sont nuls, alors que les tenseurs de dformation de Cauchy-Green sont
confondus avec le tenseur identit.
On convient de dire que, dans le cas de petites perturbations, l'tat de dformation est reprsent par
le tenseur des dformations linaris dfini par :
AEGradGrad TUU )(2
1
Ce qui nous donne pour les coordonnes cartsiennes :
ij
i
j
j
i
I
J
J
IIJ
x
u
x
u
X
u
X
u
2
1
2
1
Ce nouveau tenseur est en fait la partie symtrique du tenseur gradient. Pour traiter de nombreuses
applications, il peut tre fait l'usage de la partie antisymtrique du tenseur gradient. Les relations sont les suivantes :
T
T
T
U
U
UU
UU
)(
)(2
1
)(2
1
Grad
Grad
GradGrad
GradGrad
Lemploi du tenseur des dformations en lieu et place du tenseur de Green Lagrange E ou du tenseur dEuler Almansi A est une simplification importante car on obtient une linarisation des
dformations vis vis du champ de dplacement. En effet si lon considre deux champs de dplacement aU
et bU
, on peut crire :
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baba UUUU GradGradGrad On en dduit alors la relation :
baba UUUU
Interprtation gomtrique
Avec ce qui prcde nous pouvons crire :
XdXdXdxd
XdUXdXdXdxd
gradF
Supposons que Xd
reprsente, dans la configuration initiale, deux points 0M et 0'M . Le vecteur xd
reprsentera alors, dans la configuration actuelle les deux points tM et tM ' , transforms des deux points
initiaux dans le champ de dplacement.
On a alors les relations suivantes :
tttt
tt
tt
MMMMMMMM
MMMUMMMU
MMxdMMXd
0000
0000
00
''''
'''
''
Ce qui nous permet dcrire :
XdXdMUMU
00'
De plus, on peut montrer qu un tenseur antisymtrique
du second ordre, il est possible dassocier un vecteur de tel sorte
que lon puisse remplacer le produit tensoriel par un produit
vectoriel :
XdXd
Ainsi , au voisinage du point 0M , le champ de
dplacement se prsente sous la forme suivante :
XdXdMUMU
00'
On peut reconnatre les composantes dun champ de dplacement de solide indformable avec une
translation 0MU et une rotation Xd
. Le reste reprsente donc la dformation du solide. Cest
pourquoi le tenseur est appel tenseur de dformation.
Remarques
Il existe malheureusement des cas d'tudes qui ne respectent pas l'hypothse de petites perturbations.
On trouve en particulier le non-respect de cette hypothse simplificatrice dans des oprations de mise
en forme imposant la fois de grands dplacements et de grandes dformations. Mais on peut aussi trouver
des applications qui ne respectent pas que l'une des conditions. Ainsi, en robotique, on est souvent confront
des problmes de grands dplacements, mais dans chacun des lments, on peut considrer que les
dformations sont trs faibles.
M0 M0
Mt
Mt
0MU 0MU
dX
dX
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Ces hypothses sont d'une relle
importance pour la simplification des calculs.
Prenons par exemple le cas d'une poutre
console encastre en une section extrmit,
libre l'autre extrmit et supportant une
charge uniformment rpartie.
Dj la dfinition rigoureuse de la
charge pose un problme. Cette charge
conserve-t-elle une direction constante qu'elle
que soit la dforme de la poutre (cas de
l'attraction gravitationnelle), ou bien cette
charge est-elle suiveuse, c'est--dire,
conserve-t-elle une direction fixe vis vis de
l'lment de poutre sur lequel est s'applique
(cas d'une pression) ?
La rponse cette question tant trouve, si on
veut dterminer la dforme de notre poutre en utilisant
la thorie classique des poutres, il convient de bien
raliser que, si cette dforme est grande, on a vite affaire
une poutre courbe. En consquence la formule
classique 2
2
Mdx
ydIE Gzfz devra tre dlaisse au profit de
la formule suivante qui fait apparatre le rayon de
courbure de notre poutre initialement droite :
3
2
2
2
1
M
dx
yd
dx
yd
IER
IEGz
Gz
fz
Bien entendu les problmes d'intgration sont accrus. De plus le calcul du moment de flexion pose
tout de suite plus de difficults. En effet suivant que lon prenne en compte ou non la rotation des sections,
on constate quil y a une diffrence dans lvaluation du bras de levier.
Etude des petites perturbations
A partir des hypothses simplificatrices, on peut s'intresser l'tude des allongements et des
glissements au voisinage d'un point matriel.
Du fait des relations existantes entre les diffrents tenseurs, et en ayant remarqu que de nombreux
termes sont ngligeables devant l'unit, nous pouvons crire :
111111111 12111; ECEEEM
C Pour l'allongement dans la direction E1
122211
1221 2
2121
2sin,;
EE
EArcEEM
Pour le glissement dans les directions
E1 et
E2
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On peut donc donner une nouvelle dtermination du tenseur des dformations linaris :
iEE
EEEE
EEE
EE
EEEEE
)(2
),(
2
),(2
),()(
2
),(2
),(
2
),()(
M
33231
322
21
31211
Dune faon plus gnrale, si on considre deux vecteurs unitaires orthogonaux
0.;1 baba
, on peut crire :
aaaaaM
; dilatation linaire dans la direction a
abbabaM 22,;
distorsion angulaire de langle droit form entre les directions a
et b
Dune manire gnrale, on dfinira le vecteur dformation pure au point M dans la direction unitaire a par
la relation :
aMaMDp ;
On peut aussi remarquer que, du fait de la symtrie du tenseur de dformation, on a :
abbabaM ab
222,;
En ce qui concerne la variation relative de volume, on obtient :
UdivX
utrJ
dV
dVdv
I
I
1
Directions principales ; dformations principales
La matrice reprsentant l'tat de dformation linaris tant une matrice relle symtrique, on peut
dfinir ses directions principales (vecteurs propres) et les valeurs des dformations principales (valeurs
propres). Du fait de la forte dpendance entre le tenseur des dformations de Green Lagrange et le tenseur
des dformations linaris, il y a identification totale entre les vecteurs propres des matrices associes ces
deux tenseurs.
Pour le tenseur , les relations sont les suivantes :
III NN .
Avec comme reprsentation dans la base principale :
IIIIII
I
N
00
00
00
Comme le tenseur des dformations linaris est symtrique, si les trois dformations principales sont
diffrentes, il existe trois directions principales orthogonales deux deux.
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Si deux dformations principales sont distinctes, il y a alors une direction principale associe la
troisime dformation principale. Toute direction orthogonale cette direction principale est principale. Si
les trois directions principales sont identiques, toute direction est principale. On dit alors que le tenseur est
sphrique.
La dtermination des valeurs des directions principales de dformation conduit aussi la
dtermination de trois invariants scalaires du tenseur. En effet, comme pour tout tenseur du second ordre T ,
le calcul des valeurs propres passe par l'annulation du polynme caractristique T ( ) . Ce polynme est
obtenu par le dterminant de ) -( IT .
On a donc :
IIIIII TTT 23
T -=) -(det)(P IT
Les termes T T TI II III, , reprsentant les invariants fondamentaux du tenseur T :
T
TT
T
det2
1 22
III
II
I
T
trtrT
trT
Etat dviatorique :
Pour un tenseur du second ordre quelconque, il est toujours possible de le dcomposer sous forme
dune somme de deux tenseurs de tel sorte que lun soit sphrique et que lautre ait une trace nulle. Les
formules sont les suivantes :
STDIITSDST 3/3/)( iiTtr
Dans le cas du tenseur de dformation, le tenseur sphrique associ change le volume sans changer la
forme alors que le tenseur dviateur change la forme volume constant (la trace est nulle donc pas de
variation relative de volume).
D
S
S D
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IIN
IN
IIIN
nA
Reprsentations graphiques
La notion de tenseur tant relativement dlicate apprhender, on recherche souvent des solutions
plus parlantes pour reprsenter un tat tensoriel. Il existe, pour des tenseurs de second ordre dun espace
vectoriel de dimension trois, des reprsentations graphiques, soit tridemensionnelle, soit plane, qui
permettent de tirer quelques enseignements.
Imaginons que lon connaisse un tenseur symtrique, coefficients rels, T par ses composantes dans
la base principale :
iIIIII
I
NT
T
T
00
00
00
T
Considrons un vecteur unitaire quelconque : ii Nnn
On peut alors calculer le vecteur obtenu dans la direction n
:
nnA
T)(
Dans la base principale, les composantes de ce vecteur sont :
ii NAnA
avec
33
22
11
nTA
nTA
nTA
III
II
I
Dautre part, comme le vecteur n
est unitaire nous avons :
2
2
3
2
2
2
2
2
12
3
2
2
2
1 1
IIIIII T
A
T
A
T
Annn
Nous constatons ainsi que les composantes du vecteur A
peuvent trs bien reprsenter les
coordonnes dun point A dans lespace des vecteurs propres. Avec lquation prcdente, on peut dire que le
lieu dcrit dans lespace des vecteurs propres est un ellipsode, appel ellipsode de Lam.
Cette premire
reprsentation graphique
tridimensionnelle permet de
constater que les valeurs
propres reprsentent les valeurs
extrmales de ltat tensoriel.
Ainsi dans le cas du
tenseur de dformation, la plus
grande dilatation linaire et la
plus petite en un point sont
donnes par deux des
dformations principales I ,
II et III .
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Par contre cette reprsentation de ltat tensoriel prsente linconvnient dtre tridimensionnelle et
donc peu aise dessiner. Il est possible dobtenir une reprsentation plane en considrant le plan form par
les deux vecteurs n
et nA
. Ce plan prsente gnralement une intersection avec le plan orthogonal au
vecteur n
. On dsigne par N la projection du vecteur nA
sur le vecteur n
, par T
le vecteur obtenu par
projection du vecteur n
sur son plan orthogonal.
On a, avec des notations videntes :
tTnnAnT
nNnnAnN
.
avec N
vecteur normal et T
vecteur tangent, t tant le
vecteur unitaire associ.
Supposons que le vecteur n
appartienne au plan principal form par les vecteurs III NN , , et quil prsente un angle avec la direction principale IN . On peut donc crire :
III NNn sincos
et tanaNANAnA tnIII
21
Avec les formules de changement de base, il est facile de dmontrer que lon a :
)sin(sincos)(
)cos(sincos
22
222
22
IIIIIIt
IIIIIIIIIn
TTTTa
TTTTTTa
On constate donc que dans le plan vectoriel tn
, , lorsque langle varie, lextrmit du vecteur nA
parcourt un cercle dont le centre a
0
2;III
TTpour coordonnes. Le rayon du cercle est os. Le point
extrmit dcrit le cercle en sens inverse et du double de langle de position . Le cercle ainsi obtenu est
appel cercle de Mohr dans le plan principal III NN , . On conoit aisment quil soit ainsi possible de construire trois cercles. La figure obtenue montre ainsi le
tricercle de Mohr de ltat tensoriel.
A partir de la reprsentation de Lam, on peut
dduire que pour une direction unitaire quelconque,
lextrmit du vecteur nA
doit se trouver lintrieur du
tricercle. Les valeurs propres formant le diamtre de plus
grand des cercles de Mohr sont les valeurs extrmales du
vecteur normal. Leur diffrence constitue la plus grande
valeur du vecteur tangent.
t
nA
n
TN
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Conditions de compatibilit
Ainsi que nous lavons constat, les diffrents tenseurs dformations sont issus de la donne dun
champ vectoriel, le champ de dplacement. Les relations permettent sans ambigit de calculer, dans un
repre quelconque, les composantes de chacun de ces tenseurs ds lors que lon connat les composantes du
vecteur dplacement.
Par contre la dmarche inverse nest pas immdiate. On conoit en effet quil soit dlicat de
remonter un champ de dplacement partir de la connaissance dun tenseur dformation.
Nous allons raisonner sur la forme linarise des dformations, donc partir du tenseur de
dformation . Ce tenseur, symtrique est dtermin par 6 composantes. Il est clair que des relations doivent
exister entre ces six composantes si le tenseur reprsente un tat de dformation obtenu parti dun champ
vectoriel ayant trois composantes.
Ces relations sappelle les conditions de compatibilit et elles ne sont en fait que les conditions
dintgrabilit au sens de Cauchy pour un systme dquations diffrentielles.
Dans un systme de coordonnes cartsiennes nous avons les relations suivantes :
i
j
j
iij
i
j
j
iij
x
u
x
u
x
u
x
u
2
1
2
1
Nous pouvons crire :
i
kj
j
ik
k
ij
k
j
j
k
ii
k
k
i
jk
ij
ki
j
ij
k
ij
k
kj
i
k
ij
ki
j
kj
i
k
ij
xxx
x
u
x
u
xx
u
x
u
xx
xx
u
xx
u
xx
u
xx
u
x
xx
u
xx
u
x
2
1
2
1
2
1
2222
22
Nous venons ainsi de montrer que nous sommes capables de calculer les composantes du vecteur
gradient de ij . Toutefois nous obtiendrons effectivement un vecteur gradient si le rotationnel est nul, cest
dire si nous pouvons vrifier les relations suivantes :
lk
ij
kl
ij
l
ij
kk
ij
l xxxxxxxx
22
0
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Ce sont en fait les conditions dintgrabilit de Cauchy de la diffrentielle mm
ij
ij dxx
d
.
Exprimes en fonction des composantes du tenseur de dformations ces conditions nous donnent un
systme de six quations :
0
2222
ik
lj
jk
il
il
kj
jl
ik
xxxxxxxx
Soit sous forme dveloppe :
002
002
002
2
31
1
23
3
12
321
33
2
13
31
2
2
3
11
2
2
1
33
2
1
23
3
12
2
31
213
22
2
32
23
2
2
2
33
2
2
3
22
2
3
12
2
31
1
23
132
11
2
21
12
2
2
1
22
2
2
2
11
2
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
xxxxxxxxxx
On peut aussi dmontrer que ces conditions de compatibilit prennent la forme intrinsque suivante :
0
trgraddivdiv
T
gradgradgrad
Donc, si ces quations sont vrifies, il est possible de dterminer le champ de dplacement. La
mthode consiste calculer les composantes du tenseur antisymtrique laide des diffrentielles totales
exactes :
Puis de dterminer les composantes du champ de dplacement laide des trois autres diffrentielles
totales exactes :
jijiji dxdu Le champ de dplacement ainsi obtenu est dfini un champ de dplacement de solide indformable
prs.
En application, nous proposons au lecteur de dfinir le champ de dplacement qui cre ltat de
dformation suivant :
iexbxbxxa
xxaxb
1
121
211
00
0
0
k
i
kj
j
ikk
k
ij
ij dxxx
dxx
d
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Vitesse de dformation
Dans l'tude prcdente, on s'est intress aux transformations du systme entre une configuration de
rfrence 0C et une configuration actuelle tC .
Sans se soucier du chemin de dformation suivi
lors du mouvement entre ces deux configurations, on a
tudi la transformation sous un aspect purement
gomtrique, d'un tat initial vers un tat final. On
conoit trs bien que cette tude puisse convenir dans
toute transformation pour laquelle l'tat de dformation
est une fonction d'tat (au sens thermodynamique du
terme). Peu importe alors le chemin suivi pour passer
d'un tat l'autre.
Hlas, de plus en plus frquemment, suite une modlisation plus fine, suite une meilleure
connaissance, suite des dveloppements de moyens de calcul, il devient ncessaire d'tudier les volutions
du systme suivant un chemin de dformation. Nous sommes alors amens faire l'tude de faon
incrmentale, c'est dire tudier la transformation entre deux tats infiniment voisins, puis, par un
processus de type intgration, en dduire le chemin rel de dformation.
Pour caractriser les vitesses, on introduit le vecteur vitesse
V M t( , ) que l'on peut considrer comme :
* fonction du temps et des coordonnes de rfrence X I (description Lagrangienne)
* fonction du temps et des coordonnes actuelles xi (description Eulrienne)
Taux de dformation lagrangien
Entre les instants t et t + dt, un vecteur "matriel" infinitsimal dx t
se transforme en dx t dt . De la
mme manire que, pour les dformations, nous nous sommes intresss la variation du produit scalaire,
nous allons cette fois considrer sa vitesse de variation.
La vitesse de variation du produit scalaire de deux vecteurs matriels est alors :
'.2'.'.'.'. XdXdXdXddt
dXdXd
dt
dXdXd
dt
dxdxd
dt
d ECFF
'.2'. Xddt
dXdxdxd
dt
d E
Le tenseur tXtXt
tXdt
d,,,
E
EE
est appel taux de dformation Lagrangien
Il est obtenu en drivant par rapport au temps le tenseur des dformations de Green-Lagrange. C'est donc
la vitesse d'volution de la dformation lorsque celle-ci est mesure partir d'un tat de rfrence initial.
dX
dx(t)
dx(t+dt)
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Taux de dformation eulrien
Etudions prsent la mme variation de produit scalaire mais en variables eulriennes. On a donc :
dt
XddXdXd
dt
XddXdXd
dt
dxdxd
dt
d '.'.'.'.
F
FFF
FF
En utilisant la relation :
xdXddt
Xdd
dt
xdd
1)( FFFF
On obtient :
'.'.'
.'.'. 11 xdxdxdxddt
Xddxdxd
dt
Xddxdxd
dt
d
FFFFFF
'.'. 11 xdxdxdxddt
d T FFFF
'2.'. xdxdxdxddt
d D
Cette dernire relation nous permet de faire apparatre le tenseur taux de dformation eulrien D .
Il peut tre dtermin partir du tenseur gradient des vitesses.
Nous avons en effet la relation :
F FV
X
X
x
V
xLiK Kj
i
K
K
j
i
j
ij
1
Ainsi le produit 1FF dfini un tenseur L qui n'est autre que le tenseur gradient des vitesses :
V
GradL
Le tenseur D reprsente la partie symtrique du tenseur gradient des vitesses. On peut aussi faire
apparatre le tenseur W qui reprsente la partie antisymtrique.
Les relations sont les suivantes :
TT
TT
TT
txV
txV
VVtx
VVtx
],[)(
,
2
1)(
2
1,
2
1)(
2
1,
LWDGrad
LWDGrad
LLGradGradW
LLGradGradD
On montre que le tenseur W est un tenseur qui reprsente la vitesse de rotation de la matire.
Remarques
1- L'galit des produits scalaires en dfinition lagrangienne et eulrienne nous conduit
la relation suivante :
')2(.'2.'. XdXdxdxdxdxddt
d
ED
On peut alors en dduire la relation :
CFDFE 2
1 T
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Ainsi les drives par rapport au temps des tenseurs lagrangiens dcrivant la dformation sont
directement relies au tenseur des taux de dformation. Il n'en va pas de mme pour les tenseurs eulriens.
Par exemple pour le tenseur de Cauchy-Green gauche, on a :
TTTTTTT LBBLLFFFFLFFFFFFB
2- Si l'on considre la transformation infiniment petite entre les configurations tC et
dttC , en prenant la configuration tC comme configuration de rfrence (on parle alors de description
lagrangienne ractualise), le dplacement est alors :
dttxVtxud ),(),(
Le tenseur de dformation est alors dans une forme linarise :
dtVdVdududd TT )()(2
1)()(
2
1 GradGradGradGrad
dtd D
Ainsi, le tenseur D apparat comme le tenseur "tangent" aux dformations, partir de la
configuration actuelle. Cette description est souvent utilise en calcul numrique, car on ractualise souvent
la configuration de rfrence chaque pas de calcul.
3- Dans le cadre des transformations infinitsimales, )( ud
Grad peut tre considr
comme un infiniment petit. On a donc :
ED
Les tenseurs des taux de dformations lagrangien et eulrien peuvent tre confondus.
Interprtation du tenseur taux de dformation
Cette interprtation est tout fait similaire celle des tenseurs de Cauchy-Green droit C et
des dformations de Green-Lagrange E .
Taux de dilatation linaire
En considrant par exemple les deux vecteurs dx
et dx' confondus, de longueur dl et dans la
direction 11 ' EdlxdxdE
, on obtient :
2112
2'2.'. dlDxdxddt
dldxdxd
dt
d
D
Ainsi, D11 est le taux de dilatation linaire (ou encore taux d'allongement ou vitesse d'extension )
dans la direction E1.
Taux de glissement
Nous devons cette fois prendre les deux vecteurs dx
et dx' dans deux directions orthogonales.
En les supposants norms 21 ', ExdExd
, nous avons :
122'2.'. Dxdxdxdxddt
d
D
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Etat de contrainte dans les milieux continus
Lois de conservation
La mcanique des milieux continus repose sur des lois ou des principes de la physique. Tout le
monde pense bien entendu immdiatement au principe fondamental de la mcanique, mais il ne faut en
aucun cas ngliger les autres lois constates. Lvolution dun domaine matriel sera souvent loccasion
dchange avec le milieu extrieur et ces changes sont rglements. Ainsi on conoit que les variations entre
les domaines soit assujetties aux principes de la thermodynamique. Le premier principe permet de traduire la
conservation de lnergie et il se prsente sous la forme dune galit. A loppos, le second principe de la
thermodynamique ne sert qu constater limpossibilit que lon a raliser certaines transformations. Il est
alors donn par une ingalit.
A ces trois lois, il faut imprativement ajouter la loi de conservation de la masse. Souvent, en
mcanique, on oublie de traduire le fait que le domaine tudi ne transforme pas sa masse dans son
mouvement. Cela provient du fait que lenseignement traditionnel de la mcanique du solide se fait en
variables de Lagrange et que lon suit la particule (ou le domaine) dans son mouvement. Par contre, en
variables dEuler, il faut bien traduire le fait quil ny a pas de transformation de la masse du milieu tudi
mme si localement il peut y avoir une modification de la masse volumique.
Ainsi que nous allons le constater, ces lois peuvent sexprimer soit sous forme globale, cest dire
crites pour un domaine matriel, soit sous forme locale, cest dire en quation diffrentielle valable en
chaque point du domaine.
Avant de donner des expressions dune loi de conservation, il convient de complter le bagage
mathmatique en prcisant la notion de drive particulaire dune intgrale de volume et les noncs de deux
thormes importants, le thorme de la divergence et le thorme de lintgrale nulle.
Drive particulaire dune intgrale de volume
Soit un domaine D que lon suit dans son mouvement et considrons la variation entre deux instants
infiniment proche de lintgrale dun champ tensoriel volumique sur le domaine : D
dvdt
da
Cette variation est due deux contributions, dune part la variation propre du champ tensoriel entre
les deux instants t
a et dautre part la variation du domaine entre les deux instants.
Pour calculer lexpression totale, dsignons par tD le domaine linstant t et par dttD le domaine
linstant t+dt. Linstant les sparant tant infiniment petit, on peut supposer quils possdent une large
intersection commune que lon dsignera par 0D .
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Ainsi le domaine linstant t se dcompose en deux sous domaines, lintersection commune 0D et la
perte de domaine D , alors que le domaine linstant t+dt se dcompose en 0D et le gain de domaine D .
On peut crire :
DDD
dtt
DDD
t
dvdttdvdttdvdtt
dvtdvtdvt
dtt
t
)()()(
)()()(
0
0
aaaJ
aaaJ
On peut alors calculer la variation :
DDD
tdtt
DDDD
tdtt
dvtdvdttdvtdtt
dvtdvtdvdttdvdtt
)()()()(
)()()()(
0
00
aaaaJJ
aaaaJJ
Mais pour les domaines D et D , laccroissement et la diminution de volume sont dus au
dplacement de la surface gnratrice. On peut donc crire :
Pour D dsndtvdsnxddv
Pour D dsndtvdsnxddv
Lintervalle de temps tant infiniment court, on a alors :
DDDD
tdtt
DDD
tdtt
dsnvtdsnvtdvt
tdv
dt
d
dt
dsdtnvtdsdtnvtdvdtt
t
)()()(
)()()(
0
0
aaa
aJJ
aaa
JJ
Dans ces expressions, D (resp. D ) reprsente la surface commune aux domaines 0D et D
(resp. D ). On peut donc en dduire la relation fondamentale suivante :
DDD
dsnvtdvt
tdv
dt
d )(
)(a
aa
Thorme de la divergence
Nous nous contenterons de donner, sans dmonstration, un nonc de ce thorme appel aussi
thorme de Green Ostrogradski :
Le flux dun champ tensoriel A au travers de la surface D enveloppant le domaine D est gal
lintgrale de la divergence du champ tensoriel sur le domaine :
dvdivdsnDD
AA
Remarques :
Dans le cas o A reprsente un champ vectoriel constant, on obtient 0
D
dsn
Dans le cas o A reprsente un champ scalaire f , on obtient dvfgraddsnfDD
)(
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Thorme de lintgrale nulle
Lnonc de ce thorme est le suivant :
Considrons un champ vectoriel volumiquea dfini et continu sur un domaine D . Si quelque
soit le sous domaine 'D inclus dans D , lintgrale du champ tensoriel sur le domaine 'D est nulle, alors le
champ tensoriel est identiquement nul.
0aa '0'
DdvD
Pour la dmonstration de ce thorme, il suffit dimaginer que le champ tensoriel nest pas nul en un
point donn du domaine D . Du fait de la continuit, il est alors possible de dfinir un domaine 'D
infiniment petit enveloppant le point et tel que lintgrale du champ tensoriel ne soit pas nul, ce qui va
lencontre de lhypothse de dpart.
Expression gnrale dune loi de conservation
On peut dire que dune manire gnrale, une loi de conservation exprime un bilan dune grandeur
tensorielle A . On peut alors associer cette grandeur :
La densit volumique dans le domaine considr : a
La densit volumique produite par unit de temps dans le domaine considr : va
La densit surfacique associe au flux de A entrant travers de la frontire du domaine : sa
La loi de conservation a alors comme expression gnrale :
D
s
D
v
D
dsdvdvdt
d
dt
daaa
A
Equation qui traduit le fait que la variation de la grandeur A au cours de lintervalle de temps dt est
gale la somme de la quantit produite (algbriquement) lintrieur du domaine et de la quantit entrant
(algbriquement) travers la frontire D du domaine.
Exemple : Equation de continuit
Le principe de conservation de la masse postule quil ny a ni apparition ni disparition de matire. En
consquence la variation de la masse au cours du temps est nulle :
0dt
Md
La masse peut se calculer partir de la masse volumique :
0 DD
dvdt
ddvM
Avec la notion de drive particulaire dune intgrale de volume, on obtient :
0
DDD
dsnvdvt
dvdt
d .
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On peut encore utiliser le thorme de la divergence :
0
DDDDD
dvvdivdvt
dsnvdvt
dvdt
d)(.
Ce qui nous donne une forme locale de lquation de continuit avec le thorme de lintgrale nulle :
0
)( vdiv
t
De plus nous avons les relations :
gradvtdt
dgradvvdivvdiv ..)()(
On obtient ainsi une autre forme locale de lquation de continuit :
0 )(vdivdt
d
Contraintes dans un domaine matriel
Loi fondamentale de la mcanique
Il existe plusieurs formulations de la loi fondamentale de la mcanique. Suivant l'nonc choisi, ce
qui est axiomatique dans un cas devient thorme dans un autre cas. Toutes ces formulations (principe de
moindre action, principe des puissances virtuelles, principe fondamental de la mcanique) sont quivalentes.
Toutefois suivant l'application traite, certaines formes peuvent tre plus intressantes que d'autres.
Pour notre part, nous nous contenterons de l'nonc classique du principe fondamental de la
mcanique:
Il existe au moins un repre gR , dit galilen, et une chronologie, dite absolue, tels que, chaque
instant et pour toute partie D d'un systme , la drive par rapport au temps du torseur cintique galilen
est gal au torseur des actions extrieures s'exerant sur D .
Pour pouvoir exploiter le principe fondamental de la mcanique, nous devons donc dfinir une
reprsentation des efforts appliqus par lextrieur au domaine D .
On peut classer ces efforts suivant deux types :
* les efforts extrieurs exercs distance sur D . Ce sont par exemple les forces de pesanteur,
les forces dinertie ou les forces lectromagntiques. Elles sont distribues dans le volume du domaine et
reprsentes par une densit massique de force tMf ,
.
* les efforts extrieurs exercs sur la surface dlimitant le domaine D . Ce sont par exemple
les actions de contact du domaine au niveau des liaisons cinmatiques ou encore les actions de pression
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exerces par le fluide enveloppant le domaine. Elles sont gnralement reprsentes par une densit
surfacique de force tMq , .
Vecteur contrainte
La modlisation des efforts intrieurs passe par une axiomatique. Il existe en effet plusieurs modles
employs suivant les domaines d'tudes. Pour notre part, nous nous contenterons de l'exploitation du postulat
de Cauchy, ce qui va nous conduire la reprsentation la plus frquente de l'tat de contrainte en un point
matriel.
Postulat de Cauchy
* Les efforts exercs sur une partie D d'un milieu continu
par le complmentaire de D dans le systme peuvent tre reprsents par
une rpartition surfacique de forces.
* Cette densit surfacique ne dpend du domaine considr
que par la normale extrieure au domaine pour le point d'tude.
On a donc une reprsentation par un vecteur du type nMT
, appel vecteur
contrainte en M dans la direction n
.
On peut considrer que chaque lment de matire est en effet
soumis des forces de liaison provenant soit d'une frontire si celle-ci est
contigu, soit du reste du systme.
Avec l'hypothse de densit surfacique de forces, nous pouvons dire que sur chaque surface
lmentaire dS autour du point M et de normale n
, les lments du systme situs dans la rgion de
M et n'appartenant pas la partie D exercent sur les lments du systme appartenant la partie D une
force lmentaire Fd
dtermine par : dSnMTFd
,
Gnralement, on appelle facette le plan tangent en
M au domaine tudi. La normale n
dfini l'orientation de cette
facette.
On peut alors dfinir la contrainte normale n comme
tant la projection sur la direction de la normale n
du vecteur
contrainte nMT
, .
De mme on a le vecteur contrainte tangentielle n
(encore appel cission ou contrainte de cisaillement) qui
reprsente le vecteur contrainte projet dans le plan de la facette.
On a :
nnMTnnMTn
nnMT
nn
n
,,
.,
n
T(M,n) dS
M
M
T(M,n) dS
n
n
n
n
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Une contrainte normale positive traduit localement un tat de traction de la matire. Si au contraire
elle est ngative, nous avons localement un tat de compression.
Remarques
1- Les composantes du vecteur contrainte sont homognes une pression, c'est dire
qu'ils ont la dimension d'une force par unit de surface.
2- Le vecteur contrainte ainsi dfini est dtermin dans la configuration actuelle. Nous
avons ainsi une reprsentation eulrienne de ce vecteur.
3- Une autre axiomatique pourrait tre de considrer une densit de couples en plus de la
densit surfacique nMT
, et de la densit volumique tMf ,
. Cette modlisation est souhaitable en
prsence de champ magntique lev (acclrateur de particules).
Tenseur des contraintes
Le vecteur contrainte ne suffit pas lui seul pour caractriser l'tat de contrainte en un point matriel.
Sa dpendance vis vis de la direction de normale la facette montre clairement qu'il est ncessaire
d'envisager une autre reprsentation pour l'tat de contrainte.
Considrons par exemple une poutre droite circulaire sollicite en traction simple. Si on peut ngliger
les actions gravitationnelles, on obtient une modlisation des efforts extrieurs trs simple.
L'tude de la rpartition des contraintes en un point
donn M passe par la dfinition de plans de coupe. Pour
un plan de section droite, la rpartition de contrainte
(suppose homogne) qui permet de maintenir l'quilibre
du tronon tudi est facilement calculable.
xx ES
FEMT
,
De mme, en faisant une coupe par un plan
mridien, on peut facilement constater que la rpartition
des vecteurs contraintes pour une facette de normale E
est nulle.
0
EMT ,
Ainsi, en un mme point on peut avoir deux vecteurs contraintes totalement diffrents.
Ce qui caractrise l'tat de contrainte, c'est la relation existante entre le vecteur contrainte et la
direction de normale la facette. Pour obtenir cette relation, il suffit de considrer l'quilibre d'un domaine
matriel de forme ttradrique infinitsimal ayant trois faces de normales 321 EEE
,, .
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Sur chacune de ces faces, nous pouvons dfinir
le vecteur contrainte par ses projections dans le tridre
de base :
3332321313
3232221212
3132121111
EEEEMT
EEEEMT
EEEEMT
,
,
,
On utilise alors la notation suivante :
ij premier indice i indice de normale
deuxime indice j indice de projection
Avec ces notations, ii reprsente la contrainte normale pour une facette de normale iE
alors que ij
(avec les indices diffrents) reprsente une composante tangentielle du vecteur contrainte pour la facette de
normale iE
.
D'autre part nous sommes amens dfinir la quatrime face de notre quadrilatre par les
composantes 321 nnn ,, de la normale n
la facette. Si on dsigne par idS l'aire infinitsimale de la face de
normale iE
, et par dS l'aire de la surface de normale n
, on a la relation :
dSndS ii
L'quilibre de notre domaine va faire intervenir aussi bien des forces de surface (associes aux
vecteurs contraintes) que des forces de volumes (associes aux efforts extrieurs). Toutefois, ces dernires
faisant intervenir des lments diffrentiels d'ordre suprieur, on peut les ngliger devant les forces de
surfaces si les dimensions de notre ttradre sont infinitsimales.
L'quation d'quilibre est donc :
321
3210SSSS
dSEMTdSEMTdSEMTdSnMT ),(),(),(),(
3322110 dSEMTdSEMTdSEMTdSnMT ),(),(),(),(
dSEMTnEMTnEMTnnMT ),(),(),(),( 3322110
Or, d'aprs la dfinition du vecteur contrainte, on conoit relativement bien la relation suivante :
),(),( nMTnMT
On obtient donc :
),(),(),(),( 332211 EMTnEMTnEMTnnMT
Ainsi, la donne des vecteurs contraintes dans les trois directions de base 321 EEE
,, suffit pour
dterminer le vecteur contrainte dans une direction de facette quelconque.
En utilisant les composantes 321 TTT ,, du vecteur contrainte ),( nMT
dans la base 321 EEE
,, , la
relation prcdente se met sous la forme suivante :
nn
nn
T(M,n)
T
T
T
1
2
3
1
2
3
M
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3332321313
3232221212
3132121111
nnnT
nnnT
nnnT
Soit en notation indicielle : jjii nT
On a ainsi dtermin les composantes ij d'un tenseur d'ordre deux dans la base 321 EEE
,, . Ce
tenseur nous permet de calculer le vecteur contrainte en M dans la direction n
grce la relation :
nnMT
),(
Ce tenseur est appel tenseur des contraintes ou encore tenseur de Cauchy. Il est fonction
uniquement du point d'tude.
La donne du champ tensoriel dans le domaine d'tude permet de connatre l'tat de contrainte en tout
point de notre domaine. Bien entendu, cette rpartition de contrainte n'est pas indpendante des sollicitations
exerces sur notre domaine. Les quations d'quilibre vont nous permettre de mettre en vidence cette
dpendance.
Equilibre dynamique
Pour crire les quations de la dynamique, il convient d'isoler un domaine matriel et de lui appliquer
le principe fondamental de la dynamique.
D'un cot de l'galit nous trouvons le torseur rsultant des efforts extrieurs. Celui-ci est la somme
de deux torseurs :
D
D
dmtMfOM
dmtMf
),(
),(
Torseur des actions extrieures (densit massique)
D