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MODELISATION Introduction aux quations aux drives partielles et leurs rsolutions numriques

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SOMMAIRE

AVANT-PROPOS ......................................................................................................................... 4 1. INTRODUCTION ................................................................................................................... 5 2. EXEMPLE D'ETABLISSEMENT DUNE EQUATION MECANISTE ............................................ 6 2.1. Equation de diffusion 1D ............................................................................................. 6 2.2. Interprtation d'une quation aux drives partielles................................................... 8 2.3. Equation de la Diffusion 3D ...................................................................................... 10 2.4. Conditions limites et condition initiale ...................................................................... 11 2.5. Rgime permanent ..................................................................................................... 12 2.6. Complments lquation de base............................................................................. 12 2.6.1. Injection (ou soutirage).................................................................................... 12 2.6.2. Cintique propre du produit............................................................................. 12 2.6.3. Convection........................................................................................................ 13 2.6.4. Cas o K est variable (dans toutes les directions et en tous points)................ 13 2.6.5. Autres problmatiques...................................................................................... 15 3. CLASSIFICATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DORDRE 2 ................... 16 3.1. Classification par les coniques ................................................................................... 16 3.1.1. Classification par discriminant et par valeurs propres ................................... 16 3.1.2. Application aux EDP dordre 2 ....................................................................... 16 3.2. Equation stationnaire et quation dvolution ........................................................... 17 4. RESOLUTION DES EDP - PRINCIPE DES METHODES NUMERIQUES .................................. 18 5. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES ........................................................................... 19 5.1. Principe de la mthode ............................................................................................... 19 5.2. Cas dune EDP elliptique (stationnaire)..................................................................... 20 5.2.1. Cas de conditions de Dirichlet ......................................................................... 20 5.2.2. Cas de conditions de Neumann homognes ..................................................... 26 5.2.3. Cas de conditions de Neumann non homognes .............................................. 29 5.3. Notions sur les erreurs de la mthode ........................................................................ 31 5.3.1. Prsentation ..................................................................................................... 31 5.3.2. La consistance .................................................................................................. 32 5.3.3. La stabilit........................................................................................................ 33 5.3.4. La convergence ................................................................................................ 33 5.4. Cas dune EDP parabolique (volutive)..................................................................... 33 5.4.1. Position du problme et mthode ..................................................................... 33 5.4.2. Les schmas types............................................................................................. 34 5.4.3. Le schma explicite .......................................................................................... 36 5.4.4. Le schma implicite.......................................................................................... 36 5.4.5. Le schma explicite 2 pas.............................................................................. 38 5.4.6. Le schma pondr........................................................................................... 38 5.4.7. Cas d'un schma explicite stable...................................................................... 40 5.4.8. Cas d'un problme parabolique 2D ................................................................. 40 5.5. Cas d'une EDP hyperbolique (volutive) ................................................................... 41 5.5.1. Schmas explicites............................................................................................ 42 5.5.2. Schmas implicites ........................................................................................... 43 5.6. Maillages particuliers................................................................................................. 45 FN CRES

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5.6.1. Maillage irrgulier en x ................................................................................... 45 5.6.2. Maillage diffrent en x et en y.......................................................................... 46 5.7. Traitement des termes non linaires........................................................................... 47 6. LA METHODE DES ELEMENTS FINIS .................................................................................. 48 6.1. Comparaison Diffrences finies Elments finis...................................................... 48 6.2. Equivalence de problmes ......................................................................................... 48 6.2.1. Objet ................................................................................................................. 48 6.2.2. Equivalence entre systme matriciel et problme de minimisation ................. 48 6.2.3. Equivalence avec un problme de minimum .................................................... 49 6.2.4. Rcapitulatif ..................................................................................................... 50 6.2.5. Application aux EDP........................................................................................ 50 6.2.6. Approximation interne...................................................................................... 51 6.3. Construction pratique du problme variationnel........................................................ 52 6.3.1. Cas dune quation diffrentielle ..................................................................... 52 6.3.2. Cas dune EDP................................................................................................. 54 6.4. Mise en uvre de la mthode des lments finis....................................................... 55 6.5. Cas dune quation diffrentielle - Fonction linaire par morceaux.......................... 55 6.5.1. Cas de condition de Dirichlet homogne ......................................................... 55 6.5.2. Cas de condition de Neumann homogne ........................................................ 60 6.5.3. Cas de condition de Neumann non homogne ................................................. 61 6.5.4. Cas de condition de Dirichlet non homogne .................................................. 62 6.6. Cas dune quation diffrentielle - Fonction parabolique par morceaux.................. 63 6.7. Cas dune EDP Approximation linaire par lment.............................................. 70 6.8. Cas dune EDP Approximation quadratique par lment ....................................... 77 6.9. Extension de la mthode ............................................................................................ 78 6.10. Extension aux problmes volutifs ............................................................................ 78 7. RESOLUTION DES SYSTEMES DEQUATIONS LINEAIRES ................................................... 79 7.1. Introduction................................................................................................................ 79 7.2. Mthodes directes ...................................................................................................... 79 7.2.1. Mthode de Gauss-Jordan ou mthode du pivot.............................................. 80 7.2.2. Mthode de Gauss (ou triangularisation) ........................................................ 81 7.3. Mthode du double balayage pour les matrices tridiagonales (Cholesky)................. 82 7.4. Mthodes itratives .................................................................................................... 83 7.4.1. Principe ............................................................................................................ 83 7.4.2. Mthode de Jacobi ........................................................................................... 84 7.4.3. Mthode de Gauss -Seidel ................................................................................ 84 7.4.4. Facteur de relaxation ....................................................................................... 85

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AVANT-PROPOS

Ce polycopi est une introduction aux quations aux drives partielles et leur rsolution, tout ceci ayant comme objectif la modlisation mathmatique du monde qui nous entoure, ou, pour rester plus modeste, la modlisation des problmes courants rencontrs par l'ingnieur. Le chapitre 1 situe succinctement la modlisation mathmatique parmi les modlisations les plus courantes. Ces quations ne sont pas toujours bien abordes par les tudiants qui y voient une criture sotrique et parfois incom

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