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Cours de physique Classes 1B et 1C Athénée de Luxembourg

Cours de physique - Athénée de Luxembourgold.al.lu/physics/premiere/robinet/cours.pdfLa relation (1.4) donne la vitesse algébrique comme la dérivée de l’abscisse curviligne

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  • Cours de physique

    Classes 1B et 1C

    Athénée de Luxembourg

  • Table des matières

    1 Cinématique et Dynamique 51.1 Grandeurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.1.1 Base cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Base de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    1.2 Mouvement dans un champ de force constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme . . . . . . . . . . 19

    1.3 Mouvement des planètes et des satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Mouvement dans un champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.4 Satellite géostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    1.4 Mouvement dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Mouvement dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    2 Oscillateurs 372.1 Systèmes oscillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    2.1.1 Exemples d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.2 Mise en évidence expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.3 Définitions d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.4 Grandeurs caractéristiques des oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2.2 Oscillateurs mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Rappels sur le ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2 Équation différentielle du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.3 Solution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.4 Oscillations amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.5 Le phénomène de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    2.3 Oscillateurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.1 Loi d’Ohm pour une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2 Énergie magnétique d’une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.3 Rappel sur le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.4 Oscillations dans un dipôle RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.5 Équation différentielle pour un circuit LC . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.6 Solution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.7 Oscillations amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

  • 1BC Table des matières 3

    2.3.8 Le phénomène de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

    3 Ondes et lumière 643.1 Propagation d’une onde mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

    3.1.1 Signal transversal, signal longitudinal, onde . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.2 Célérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3 Longueur d’onde et période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.4 Double périodicité du phénomène de propagation . . . . . . . . . . . . 673.1.5 Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

    3.2 Interférences mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.1 Conditions d’interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2 Superposition de petits mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.3 Interférences dans un milieu à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.4 Interférences dans un milieu à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . 753.2.5 Interférences dans un milieu à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . 793.2.6 Le phénomène de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    3.3 Interférences lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.1 Expérience des fentes de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.3 Calcul de la différence de marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.4 Position des maxima et des minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

    4 Relativité restreinte 854.1 Les postulats d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

    4.1.1 Premier postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.2 Deuxième postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

    4.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 Relativité de la simultanéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4 Dilatation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5 Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6 Expérience des muons (Frisch et Smith 1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

    4.6.1 Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6.2 Explication à l’aide de la dilatation du temps . . . . . . . . . . . . . . 944.6.3 Explication à l’aide de la contraction des longueurs . . . . . . . . . . . 94

    4.7 Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.8 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

    4.8.1 Énergie d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.8.2 Énergie au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8.3 Équivalence énergie-masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8.4 Masse et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.8.5 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.8.6 Relation entre l’énergie et la quantité de mouvement . . . . . . . . . . 99

    5 Dualité onde-corpuscule 1005.1 Aspect corpusculaire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    5.1.1 Expérience de Hertz (1887) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.2 Extraction d’un électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.3 Insuffisance du modèle ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.4 Modèle corpusculaire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.5 Les propriétés du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

  • 4 Table des matières 1BC

    5.1.6 Interprétation de l’effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.7 Propriétés d’un rayonnement électromagnétique . . . . . . . . . . . . . 103

    5.2 Aspect ondulatoire des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.1 Quantité de mouvement du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.2 Longueur d’onde d’une particule matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.3 Caractère ondulatoire des particules matérielles . . . . . . . . . . . . . 106

    6 Réactions nucléaires 1076.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    6.2 La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.1 Ce qu’on entend par radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.2 Les différents modes de désintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.3 La décroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.4 Applications de la loi de décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    6.3 Réactions nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3.1 Réactions exothermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3.2 Énergie de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.3 La fission nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3.4 Fusion nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

    7 États énergétiques quantifiés 1237.1 Les insuffisances de la physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 Le modèle quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 La physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

  • Chapitre 1

    Cinématique et Dynamique

    1.1 Grandeurs cinématiques

    En classe de 2e nous avons introduit les grandeurs cinématiques utilisées pour décrire le mou-vement d’un point matériel : l’abscisse curviligne, les vecteurs position, vitesse et accélération.Les vecteurs sont exprimés dans la base d’un repère, le plus souvent orthonormé. Le choix dela base est arbitraire mais, en pratique, est guidé par la trajectoire et les forces qui agissentsur le mobile ; nous allons utiliser la base cartésienne et la base de Frenet.

    1.1.1 Base cartésienne

    À un référentiel galiléen (par exemple le référentiel terrestre) nous pouvons attacher un repèrecartésien (O,~ı, ~, ~k) dont les vecteurs unitaires de base sont fixes par rapport au référentiel(figure 1.1a).

    ı̨ą̈

    y

    z

    xO

    (a) base cartésienne

    ı̨ą̈

    k̨ y

    z

    xO

    M≠≠æOM

    (b) vecteur position

    Figure 1.1 – Repère orthonormé à 3 dimensions

  • 6 Cinématique et Dynamique 1BC

    Position d’un mobile

    Dans la base cartésienne, le vecteur position du point mobileM s’exprime (figure 1.1b) :

    −−→OM = x~ı+ y ~+ z ~k (1.1)

    Une autre façon de repérer la position d’un mobileM sur sa trajectoire est d’utiliser l’abscissecurviligne. Pour cela, on choisit arbitrairement (figure 1.2) :

    • une origine A sur la trajectoire,• un sens positif.

    ı̨ą̈

    y

    z

    xO

    A M+

    s

    Figure 1.2 – Abscisse curviligne

    L’abscisse curviligne s est la mesure algébrique de l’arc ĂM . Il est à noter que pour pouvoirutiliser l’abscisse curviligne, il faut connaître la trajectoire du mobile.

    Vecteur vitesse

    Le vecteur vitesse ~v du mobile M à l’instant t nous renseigne sur la rapidité du changementdu vecteur position à cet instant. Il est défini par (figure 1.3) :

    ~v = limt′→t

    −−−→MM ′

    t′ − t =d−−→OM

    dt (1.2)

    ≠≠æOM Õ

    ≠≠æOM

    ≠≠æMM

    M

    M Õ

    O(t)

    (tÕ)

    Figure 1.3 – Vecteur vitesse

    En effet : −−−→MM ′ = −−→MO +

    −−→OM ′ =

    −−→OM ′ −−−→OM = ∆−−→OM

  • 1BC Cinématique et Dynamique 7

    et

    limt′→t

    ∆−−→OMt′ − t =

    d−−→OMdt .

    Le vecteur vitesse en M est tangent à la trajectoire en ce point et orienté dans le sens dumouvement.

    L’expression du vecteur vitesse dans la base cartésienne se déduit des relations (1.1) et(1.2) :

    ~v = d−−→OM

    dt =d(x~ı+ y ~+ z ~k)

    dtet comme les vecteurs de base sont fixes :

    ~v = dxdt ~ı+dydt ~+

    dzdt~k (1.3)

    de sorte qu’on puisse écrire :

    ~v

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    vx =dxdt

    vy =dydt

    vz =dzdt

    Remarque :

    On utilise souvent les notations ẋ, ẏ, ż qui représentent exclusivement des dérivations parrapport au temps. Ainsi le vecteur vitesse s’écrit :

    ~v = ẋ~ı+ ẏ ~+ ż ~k.

    Vecteur accélération

    Le vecteur accélération ~a à l’instant t indique la rapidité de la variation du vecteur vitesse.Il est défini par (figure 1.4) :

    ~a = limt′→t

    ~v′ − ~vt′ − t =

    d~vdt

    v̨Õ

    v̨Õ ≠ v̨M

    M Õ

    (t)

    (tÕ)v̨

    v̨Õ

    Figure 1.4 – Vecteur accélération

    De la relation (1.3) il vient :

    ~a = dvxdt ~ı+dvydt ~+

    dvzdt

    ~k

  • 8 Cinématique et Dynamique 1BC

    et :~a = d

    2x

    dt2 ~ı+d2ydt2 ~+

    d2zdt2

    ~k

    puisque les vecteurs de base sont fixes.

    On peut alors écrire :

    ~a

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    ax =dvxdt =

    d2xdt2

    ay =dvydt =

    d2ydt2

    az =dvzdt =

    d2zdt2

    Remarque : avec la notation pour les dérivations par rapport au temps, l’accélération s’écrit :

    ~a = v̇x~ı+ v̇y ~+ v̇z ~k = ẍ~ı+ ÿ ~+ z̈ ~k.

    1.1.2 Base de Frenet

    Dans la suite nous allons nous limiter à une trajectoire plane. À une telle trajectoire nouspouvons attacher le repère (M, ~T , ~N) appelé repère de Frenet (figure 1.5).

    +

    ı̨

    ą̈

    y

    xO

    M

    M Õ

    T̨ Õ

    N̨ Õ

    Figure 1.5 – Repère de Frenet

    Il s’agit d’un repère qui se déplace avec le mobileM ; les vecteurs de base varient par rapportau référentiel galiléen lors du déplacement du point mobile. Les caractéristiques du repère deFrenet sont :

    • son origine est le point mobile M ;• le vecteur unitaire ~T est tangent à la trajectoire en M et orienté dans le sens positif ;• le vecteur unitaire ~N est normal à la trajectoire en M (et donc aussi à ~T ) et orienté

    vers l’intérieur de la courbure de celle-ci.

    Vecteur vitesse

    Comme le vecteur vitesse ~v est tangent à la trajectoire, son expression dans la base de Frenetest :

    ~v = vT ~T + 0 ~Noù vT est la valeur algébrique de la vitesse en M . Ainsi :

  • 1BC Cinématique et Dynamique 9

    • vT > 0 si le mobile se déplace dans le sens positif ;• vT < 0 si le mobile se déplace dans le sens contraire.

    La norme du vecteur vitesse est donnée par :

    v = |vT | = limt′→t|s′ − s|t′ − t

    dont on peut déduire la valeur algébrique de la vitesse :

    vT = limt′→t

    s′ − st′ − t =

    dsdt

    où s est l’abscisse curviligne. Ainsi, dans la base de Frenet :

    ~v = dsdt~T (1.4)

    Vecteur accélération

    Exprimer le vecteur accélération dans la base de Frenet revient à déterminer les coordonnéestangentielle aT et normale aN définies par (figure 1.6) :

    ~a = aT ~T + aN ~N.

    aN N̨

    aT T̨

    Figure 1.6 – Composantes du vecteur accélération

    On obtient le vecteur accélération par dérivation du vecteur vitesse :

    ~a = d~vdt =d(vT ~T )

    dtet en appliquant la règle sur la dérivée d’un produit :

    ~a = dvTdt~T + vT

    d~Tdt .

    Le premier terme correspond à la composante tangentielle de l’accélération qui est due à lavariation de la valeur de la vitesse. Le deuxième terme est une conséquence du changementde la direction du vecteur vitesse.

    Considérons un déplacement élémentaire assez petit pour qu’il puisse être approximé par unarc de cercle de rayon r (figure 1.7). Ce rayon est appelé rayon de courbure de cette partiede la trajectoire.

  • 10 Cinématique et Dynamique 1BC

    T̨ Õ

    �T̨

    �◊

    T̨ Õ

    �T̨

    �s

    �◊r

    Figure 1.7 – Variation de la direction du mouvement

    Déterminons la variation du vecteur tangent unitaire lors du déplacement élémentaire :

    ∆~T = ~T ′ − ~T ⇔ ~T ′ = ∆~T + ~T .Comme la norme du vecteur tangent est toujours égale à l’unité, ces vecteurs forment untriangle isocèle avec l’angle au sommet ∆θ. La longueur de la base du triangle vaut :∥∥∥∆~T∥∥∥ = 2 ∥∥∥~T∥∥∥ sin(∆θ/2) = 2 sin(∆θ/2).Le sinus d’un angle de faible amplitude, exprimé en radians, est approximativement égal àcet angle : ∥∥∥∆~T∥∥∥ = ∆θ = 1

    r∆s.

    Le vecteur ∆~T a la direction et le sens du vecteur normal unitaire au milieu de l’arc :

    ∆~T = 1r

    ∆s ~N.

    En divisant cette expression par l’intervalle de temps ∆t et en prenant la limite ∆t→ 0, onobtient la dérivée du vecteur tangent unitaire :

    d~Tdt =

    1r

    dsdt

    ~N = vTr~N.

    L’expression générale du vecteur accélération dans la base de Frenet est :

    ~a = dvTdt~T + vT

    2

    r~N (1.5)

    Remarques :

    • La coordonnée tangentielle aT est positive si vT augmente et négative dans le cascontraire.

    • L’accélération est normale à la trajectoire si et seulement si le mouvement est uniforme.• La coordonnée normale aN étant positive, le vecteur accélération est toujours orienté

    vers l’intérieur de la courbure.

    • Pour un mouvement dont le sens est à tout instant positif, vT peut être remplacé parla norme v du vecteur vitesse.

  • 1BC Cinématique et Dynamique 11

    1.1.3 Mouvement circulaire

    Un mobile décrit un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle. Le mouvement estcirculaire uniforme (MCU) si en plus la norme du vecteur vitesse reste constante. Nous allonsnous limiter au cas d’un mouvement dans le sens positif.

    Abscisse angulaire

    On fixe arbitrairement une origine A sur la trajectoire circulaire d’un mobile (figure 1.8).La position du point mobile M peut être repérée par l’angle θ = ◊�AOM , appelé abscisseangulaire.

    y

    xO

    +M

    s

    A

    r

    Figure 1.8 – Abscisse angulaire

    Les coordonnées cartésiennes de la position du mobile sont :

    x = r cos θ ; y = r sin θ

    où r est le rayon de la trajectoire circulaire. L’abscisse curviligne s est :

    s = r θ (1.6)

    où l’angle θ est exprimé en radians.

    Vitesse angulaire

    La relation (1.4) donne la vitesse algébrique comme la dérivée de l’abscisse curviligne parrapport au temps. En utilisant la relation (1.6), nous pouvons faire apparaître l’abscisseangulaire :

    v = dsdt =d(r θ)

    dt = rdθdt = r θ̇. (1.7)

    La dérivée de l’abscisse angulaire par rapport au temps est, par définition, la vitesse angulairede rotation du point mobile M sur le cercle :

    ω = dθdt = θ̇

  • 12 Cinématique et Dynamique 1BC

    Elle s’exprime en radian par seconde (rad/s). Une vitesse angulaire de 1 rad/s signifie quel’abscisse angulaire varie de 1 rad en 1 s.

    En utilisant la relation (1.7), nous pouvons exprimer la vitesse v, appelée vitesse linéaire, enfonction de ω :

    v = r ω (1.8)

    Mouvement circulaire uniforme

    Le mouvement circulaire est uniforme si la vitesse linéaire est constante. Il en suit que lavitesse angulaire est également constante :

    dθdt = ω = constante.

    L’abscisse angulaire est obtenue en intégrant la vitesse angulaire par rapport au temps :

    θ = ω t+ cte.

    La constante d’intégration est déterminée en considérant l’abscisse angulaire initiale θ0 :

    θ(t = 0) = θ0 = cte.

    Il en suit l’expression de l’abscisse angulaire à l’instant t :

    θ = ω t+ θ0

    Le mouvement circulaire uniforme est périodique de période T . La période est le tempsnécessaire pour décrire un tour complet et s’exprime en seconde (s). Nous avons :

    T = périmètre du cerclevitesse linéaire =2π rv.

    La vitesse linéaire peut s’exprimer en fonction de la période :

    v = 2π rT

    (1.9)

    En utilisant la relation (1.8), la vitesse angulaire est :

    ω = 2πT.

    La fréquence f du mouvement circulaire uniforme est le nombre de tours effectués par seconde.La distance parcourue par seconde étant la vitesse linéaire v, nous avons :

    f = vitesse linéairepérimètre du cercle =v

    2π r .

    Ainsi, la fréquence est l’inverse de la période :

    f = 1T

  • 1BC Cinématique et Dynamique 13

    La fréquence est exprimée en hertz (Hz) : 1 Hz = 1 s−1. La vitesse angulaire peut s’écrire :

    ω = 2πT

    = 2π f (1.10)

    Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, aT = 0 et l’expression (1.5) du vecteuraccélération dans la base de Frenet (figure 1.9a) se réduit à :

    ~a = aN ~N =v2

    r~N = ω2 r ~N.

    La figure 1.9b montre les vecteurs vitesse et accélération. L’accélération est orientée vers lecentre du cercle, on dit qu’elle est centripète.

    O

    +M

    r

    (a) base de Frenet

    O

    +M

    (b) vitesse et accélération

    Figure 1.9 – Mouvement circulaire uniforme

    Dans un référentiel galiléen, appliquons la relation fondamentale de la dynamique au mobileen mouvement circulaire uniforme :∑

    i

    ~Fi = m~a = maN ~N

    On remarque que la résultante des forces est centripète.

    1.1.4 Exercices

    Exercice 1.1 Un point mobile a comme coordonnées cartésiennes dans un repère(O,~ı, ~ ) :

    −−→OM

    ∣∣∣∣∣∣x = 2t− 2y = 3t2

    Calculer les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération de ce point mobile.

    Exercice 1.2 La position d’un enfant sur un manège est repérée par rapport à un référentielterrestre, en coordonnées cartésiennes, dans le repère (O,~ı, ~ ) par :

    −−→OM

    ∣∣∣∣∣∣x = a cos(ω t)y = a sin(ω t)

    où a et ω sont des constantes positives.

  • 14 Cinématique et Dynamique 1BC

    1. Déterminer, dans le même système de coordonnées cartésiennes, les coordonnées duvecteur vitesse et du vecteur accélération de l’enfant.

    2. Exprimer le vecteur accélération en fonction du vecteur position −−→OM .

    Exercice 1.3 Un CD tourne à raison de 8000 tours par minute ; son diamètre est 11,8 cm.

    1. Calculer sa vitesse angulaire de rotation en rad/s.

    2. Calculer la vitesse linéaire d’un point situé à la périphérie du disque.

    3. Quelle est l’accélération de ce même point dans le repère de Frenet ?

    Exercice 1.4 Avec quelle fréquence en Hz dois-tu tourner un seau rempli d’eau dans unplan vertical pour que l’eau ne te tombe pas sur la tête ?

  • 1BC Cinématique et Dynamique 15

    1.2 Mouvement dans un champ de force constant

    Considérons un point mobile M sur lequel agit, en tout point de l’espace, une force ~F . Onparle d’un champ de force agissant à distance. Si en tout point de l’espace le vecteur forceest le même, le champ de force est dit constant.

    Nous allons établir les équations horaires du mouvement dans les deux cas suivants :

    • mouvement d’une masse ponctuelle dans un champ de pesanteur uniforme ;• mouvement d’une charge ponctuelle dans un champ électrique uniforme.

    1.2.1 Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme

    Le champ de pesanteur terrestre est caractérisé par le vecteur champ de pesanteur ~g dirigévers le centre de la terre.Il n’est pas uniforme globalement mais peut être considéré comme tel dans une région limitéede l’espace. Pour deux points situés à la même altitude et distants de 100 km, la direction de~g varie de moins de 1◦ et pour une différence d’altitude de 100 km, la norme de ~g varie de3 % environ.À l’intérieur d’un cube de 100 km de côtés, le champ de pesanteur peut donc être considérécomme uniforme.

    Étude dynamique

    Le système étudié est un projectile ponctuel de masse m. L’étude de son mouvement se feradans le référentiel terrestre supposé galiléen.

    Nous négligeons ici le frottement de l’air et la poussée d’Archimède. La seule force appliquéeest le poids ~P = m~g du projectile.

    Dans le référentiel terrestre, la relation fondamentale de la dynamique s’applique :∑i

    ~Fi = ~P = m~a.

    L’accélération du projectile est donnée par :

    ~a =~P

    m= m~g

    m= ~g.

    Le vecteur accélération est indépendant de la masse du projectile et égal au vecteur champde pesanteur. C’est un vecteur constant.

    Étude cinématique

    Nous allons choisir le repère cartésien le plus adapté à l’étude du mouvement (figure 1.10) :

    • l’axe Oz est vertical et dirigé vers le haut ;• la position M0 du projectile à l’instant t = 0 est sur l’axe Oz ;

  • 16 Cinématique et Dynamique 1BC

    ı̨

    z

    xO

    yą̈

    v̨0

    M0

    M

    Figure 1.10 – Conditions initiales

    • le vecteur vitesse ~v0 du projectile à l’instant t = 0 est contenu dans le plan Oxz et faitl’angle α avec l’axe Ox ;

    • le plan Oxy est un plan horizontal.Les coordonnées du vecteur accélération dans la base cartésienne sont :

    ~a

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    ax =dvxdt = 0

    ay =dvydt = 0

    az =dvzdt = −g

    La vitesse est obtenue en intégrant l’accélération par rapport au temps :

    ~v

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣vx = ctevy = cte′

    vz = −g t+ cte′′

    Les constantes d’intégration sont déterminées en considérant la vitesse initiale :

    ~v(t = 0) = ~v0

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣v0x = v0 cosα = ctev0y = 0 = cte′

    v0z = v0 sinα = cte′′

    Le vecteur vitesse à l’instant t s’écrit donc :

    ~v

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    vx =dxdt = v0 cosα

    vy =dydt = 0

    vz =dzdt = −g t+ v0 sinα

    (1.11)

    La position est obtenue en intégrant la vitesse par rapport au temps :

    −−→OM

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣x = v0 cosα t+ ctey = cte′

    z = −12 g t2 + v0 sinα t+ cte′′

  • 1BC Cinématique et Dynamique 17

    Les constantes d’intégration sont déterminées en considérant la position initiale :

    −−→OM(t = 0) = −−−→OM0

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 = cte0 = cte′

    z0 = cte′′

    Nous obtenons finalement les équations paramétriques ou horaires du mouvement :

    −−→OM

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣x(t) = v0 cosα ty(t) = 0z(t) = −12 g t2 + v0 sinα t+ z0

    (1.12)

    Remarques :

    • le mouvement suivant l’axe Ox est uniforme ;• il n’y a pas de mouvement suivant l’axe Oy ; le mouvement s’effectue donc dans le planOxz ;

    • le mouvement suivant l’axe Oz est uniformément varié ;• Le mouvement est indépendant de la masse m du projectile et ne dépend que des

    conditions initiales.

    Équation de la trajectoire

    L’équation de la trajectoire ou équation cartésienne est obtenue en éliminant le temps t entrex(t) et z(t). L’expression (1.12) permet d’écrire :

    t = xv0 cosα

    ⇒ z = −12 gÇ

    x

    v0 cosα

    å2+ v0 sinα

    Çx

    v0 cosα

    å+ z0.

    Finalement :

    z(x) = −12g

    (v0 cosα)2x2 + tanα x+ z0 (1.13)

    z

    xO

    ą = g̨

    Figure 1.11 – Trajectoire du projectile dans le champ de pesanteur

  • 18 Cinématique et Dynamique 1BC

    La trajectoire du projectile est une parabole d’axe vertical contenue dans le plan Oxz et dontla concavité est orientée vers le bas.

    La figure 1.11 montre les vecteurs vitesse et accélération en différents points de la trajec-toire.

    Calcul de la portée

    La portée horizontale est la distance horizontale entre le point de lancement M0 du projectileet le point d’impact P (figure 1.12).

    Dans le plan vertical Oxz, les coordonnées cartésiennes de ces deux points sont :

    M0

    ∣∣∣∣∣∣0z0

    ; P∣∣∣∣∣∣xportée

    zP

    On applique l’équation de la trajectoire (1.13) au point P :

    zP = −12g

    (v0 cosα)2xportée

    2 + tanα xportée + z0.

    z

    xO

    xportée

    M0

    P

    zmax

    Figure 1.12 – Portée horizontale et flèche de la trajectoire

    La portée horizontale est la seule solution acceptable de cette équation du second degré.

    Calcul de la flèche

    La flèche est l’altitude maximale atteinte par le projectile (figure 1.12). On peut la déterminerpar les méthodes suivantes.

    • Au sommet de la trajectoire la vitesse verticale est nulle : vz = 0. La relation (1.11)donne :

    −g t+ v0 sinα = 0⇒ tzmax =v0 sinα

    g.

    On obtient la flèche en substituant tzmax dans l’équation horaire (1.12) de z :

    zmax = z(tzmax) = z0 +v0

    2 sin2 α2 g .

  • 1BC Cinématique et Dynamique 19

    • L’énergie mécanique E du système « projectile et Terre » est la somme de l’énergiecinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur :

    E = 12 mv2 +mg z.

    La conservation de l’énergie mécanique entre la position initiale et la flèche permetd’écrire :

    12 mv0

    2 +mg z0 = 12 m (v0 cosα)2 +mg zmax

    ce qui conduit à l’expression de la flèche.

    1.2.2 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

    Considérons le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique ~E uni-forme. Un tel champ règne par exemple entre les armatures d’un condensateur plan.

    Étude dynamique

    Le système étudié est la particule de charge q et de masse m. L’étude de son mouvement sefera dans un référentiel galiléen.

    Les forces exercées sur la particule chargée sont le poids et la force électrostatique. L’effet dupoids est en général négligeable devant l’effet de la force électrostatique.

    Exercice 1.5 Comparer ces deux forces dans le cas d’un électron dans un champ électriqued’intensité E = 106 V/m.

    La résultante des forces extérieures se réduit à la force électrostatique :~F = q ~E.

    L’accélération de la particule est donnée par : ~a =~F

    m= q

    ~E

    m.

    Étude cinématique

    Supposons qu’à l’instant t = 0 la particule pénètre dans le champ électrostatique uniformeavec une vitesse ~v0. Le vecteur champ est parallèle à l’axe Oz :

    Fz = q Ez ⇒ az =Fzm

    = q Ezm

    .

    Remarque : le signe de az dépend des signes de q et de Ez !

    Les équations horaires du mouvement de la particule dans le champ électrostatique uniformesont (voir relations 1.12) :

    −−→OM

    ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

    x(t) = v0 cosα ty(t) = 0

    z(t) = 12q Ezm

    t2 + v0 sinα t+ z0

  • 20 Cinématique et Dynamique 1BC

    Exercice 1.6 Établir ces équations en partant du vecteur accélération !

    Équation de la trajectoire

    L’équation de la trajectoire devient (voir relation 1.13) :

    z(x) = 12q Ez

    m (v0 cosα)2x2 + tanα x+ z0

    La trajectoire est une parabole contenue dans le plan Oxz. L’orientation de la concavité dé-pend du signe de q Ez. Il importe de remarquer que q et Ez sont des valeurs algébriques.

    La figure 1.13 montre la trajectoire d’une charge négative dans le champ électrostatiqueuniforme d’un condensateur plan avec Ez < 0.

    v̨0

    z

    xO

    L

    q < 0

    + + + +

    ≠ ≠ ≠ ≠

    Figure 1.13 – Trajectoire d’une charge dans un champ électrostatique

  • 1BC Cinématique et Dynamique 21

    1.3 Mouvement des planètes et des satellites

    Pour étudier les mouvements des planètes et des satellites, un référentiel terrestre ne peutplus être considéré comme galiléen et, par conséquent, les lois de la dynamique n’y sont plusapplicables.

    Ces mouvements seront donc décrits :

    • dans le référentiel héliocentrique (ou de Copernic) pour les planètes ;• dans le référentiel géocentrique pour les satellites de la Terre.

    1.3.1 Champ de gravitation

    La force d’interaction gravitationnelle

    Selon la loi de gravitation de Newton, deux corps A et B quasi ponctuels, de masses Met m et dont les centres OA et OB sont distants de r, exercent l’un sur l’autre des forcesattractives ~FA/B et ~FB/A de même direction OAOB, de même intensité mais de sens opposés(figure 1.14) :

    FA/B = FB/A = F = KmM

    r2

    F̨B/A

    F̨A/B

    B

    A

    M

    mOA

    OB

    Figure 1.14 – Forces d’interaction gravitationnelle

    La constante K est appelée constante de gravitation. Sa valeur dans le Système internationald’unités est :

    K = 6,67 · 10−11 N kg−2 m2.

    Une expression vectorielle de la force gravitationnelle s’obtient en définissant un vecteurunitaire ~u, directeur de la droite OAOB et orienté de OA vers OB (figure 1.14) :

    ~FA/B = −~FB/A = −KmM

    r2~u = −F ~u.

    Définition du champ de gravitation

    Lorsqu’une masse ponctuelle m subit les forces d’attraction d’un ensemble de masses, chaqueterme de la somme vectorielle qui représente la résultante ~F est proportionnelle à m ; il ensuit que la résultante est également proportionnelle à m.

    La grandeur vectorielle ~F/m est donc indépendante de m et appelée vecteur champ de gra-vitation.

  • 22 Cinématique et Dynamique 1BC

    Définition Il existe un champ de gravitation en un point de l’espace si une particule demasse m, placée en ce point est soumise à une force d’interaction gravitationnelle ~F . Levecteur champ de gravitation ~G est défini par :

    ~G =~F

    m

    L’intensité du champ de gravitation s’exprime en N/kg.

    Le champ de gravitation dépend de la position du point de l’espace considéré ainsi que despositions et des valeurs des masses qui le créent.

    Champ créé par une masse ponctuelle

    Considérons une masse ponctuelle M située en un point O de l’espace. On place une masse« d’essai » ponctuelle m en un point P à une une distance r = OP de la masse M . La loi deNewton donne la force exercée sur la masse m :

    ~F = −K mMr2

    ~u

    où le vecteur unitaire ~u est dirigé de M vers m. Le champ de gravitation créé par la masseM au point P est obtenu en divisant la force par m :

    ~G =~F

    m= −K M

    r2~u (1.14)

    Le vecteur champ de gravitation est dirigé vers la masse M (figure 1.15).

    MO

    G̨r P

    Figure 1.15 – Champ créé par une masse ponctuelle

    Une masse m placée en P est alors soumise à la force gravitationnelle :

    ~F = m ~G.

    Comme la force est attractive, elle est dirigée vers la masse qui crée le champ.

    Champ créé par un corps à symétrie sphérique

    Considérons une planète (ou le Soleil, . . .) que nous représentons par une boule de masse M ,de rayon R et de centre O. Supposons qu’elle soit à symétrie sphérique, c’est-à-dire que lamatière est distribuée identiquement dans toutes les directions.

  • 1BC Cinématique et Dynamique 23

    M

    O

    G̨r P

    Or

    Pz

    R

    Figure 1.16 – Champ créé par un corps à symétrie sphérique

    Dans un tel cas on peut montrer que si le point P est extérieur à la distribution (figure 1.16), lechamp de gravitation ~G créé en P est égal au champ qui serait créé par une masse ponctuelleM située en O :

    ~G = −K Mr2~u

    On exprime souvent l’intensité du champ de gravitation d’une planète en fonction de l’altitudez du point P (figure 1.16). Avec r = R + z on obtient :

    G = KM(R + z)2 (1.15)

    Si le point P est situé à la surface de la planète, donc z = 0, l’intensité du champ vaut :

    G0 =KM

    R2.

    Cette relation donneKM = G0 R2 que nous pouvons remplacer dans l’expression (1.15) :

    G = G0 R2

    (R + z)2 .

    L’intensité G du champ de gravitation créé par une planète de rayon R à une altitude z, enfonction de l’intensité G0 à la surface de la planète, s’écrit finalement :

    G = G0Ç

    R

    R + z

    å2Exemple : la valeur du champ à la surface de la Terre est G0 = 9,834 N/kg.

    Différence entre champ de pesanteur et champ de gravitation

    Le champ de pesanteur ~g est défini par la relation ~P = m~g dans le référentiel terrestre non-galiléen. Le champ de gravitation ~G par contre est défini par la relation ~F = m ~G dans leréférentiel géocentrique, qui est un référentiel galiléen (en tout cas « plus galiléen » que leréférentiel terrestre).

    Considérons l’exemple d’une boule suspendue à un ressort en un point de l’équateur terrestre(figure 1.17). Nous allons négliger l’influence de l’air.

    Dans le référentiel terrestre, la boule est en équilibre : P = T .

    Dans le référentiel géocentrique, la boule effectue un mouvement circulaire uniforme. Laprojection sur la direction normale donne : maN = F − T ⇒ F > T .

  • 24 Cinématique et Dynamique 1BC

    ressort

    boule

    référentielterrestre

    P = T

    référentielgéocentrique

    F > T

    Figure 1.17 – Boule suspendue à un ressort dans le champ terrestre

    Il en suit que F > P et donc G > g. La valeur du champ de gravitation est supérieure à lavaleur du champ de pesanteur.

    Application numérique : avec G = 9,834 N/kg, aN = 0,034 m/s2 et g = G − aN on obtientg = 9,8 N/kg.

    1.3.2 Lois de Kepler

    Tycho Brahé et ses assistants, parmi lesquels se trouvait Kepler, consignèrent de très nom-breuses valeurs de positions de planètes dans le ciel au cours du temps. Kepler établit, àpartir de ces observations très précises, trois lois qui régissent le mouvement des planètes. Àl’époque, ces lois étaient donc purement expérimentales.

    Première loi de Kepler ou loi des orbites elliptiques (1609)

    Énoncé Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des foyers.

    Une ellipse est une courbe bien précise. De même qu’un cercle est caractérisé par un point,son centre, et une distance, son rayon, une ellipse est caractérisée par deux points, ses foyersF et F ′, et une distance a nommée demi-grand axe (figure 1.18). Un point M de l’ellipsevérifie : FM +MF ′ = 2a.

    Le cercle est un cas particulier d’ellipse dont les foyers sont confondus. Le demi-grand axeest alors le rayon du cercle.

    Seconde loi ou loi des aires (1609)

    Kepler remarqua que les planètes ne tournent pas avec une vitesse constante autour du Soleil.Il observa qu’elles ont une vitesse plus grande lorsqu’elles sont plus proches du Soleil.

  • 1BC Cinématique et Dynamique 25

    M

    F F ÕO

    2a

    Figure 1.18 – Une ellipse et ses caractéristiques

    S

    P�t�tÕ = �t

    AÕ = A

    Figure 1.19 – Les aires A et A′ des surfaces colorées sont égales

    Précisément, cette vitesse varie de façon que l’aire balayée par le rayon vecteur −→SP pendantun intervalle de temps déterminé reste constante quelle que soit la position de la planète surson orbite (figure 1.19).

    Énoncé Le rayon vecteur −→SP allant du Soleil à la planète balaye des surfaces d’aires égalespendant des intervalles de temps égaux.

    La distance parcourue par la planète pendant l’intervalle de temps ∆t est plus grande quandla distance SP est plus petite. Il en suit que la planète a une vitesse plus grande quand elleest plus proche du Soleil. Dans le cas d’une trajectoire circulaire, le mouvement de la planèteest uniforme.

    Troisième loi de Kepler ou loi des périodes (1618)

    La troisième loi de Kepler est de nature différente des deux précédentes : elle unifie le mou-vement de toutes les planètes en une loi universelle. Pour cette raison, on l’appelle aussi loiharmonique.

    Soient T la période de révolution de la planète autour du Soleil et a la longueur du demi-grand axe de l’ellipse. La période de révolution est le temps mis par la planète pour fairecomplètement le tour de son orbite.

    Énoncé Le carré de la période de révolution d’une planète autour du Soleil est proportionnelau cube de la longueur du demi-grand axe de son orbite.

  • 26 Cinématique et Dynamique 1BC

    Quelles que soient les deux planètes (1) et (2) choisies, ont peut écrire :

    T12

    a13= T2

    2

    a23.

    Ce rapport dépend uniquement des caractéristiques du Soleil. Si la trajectoire est circulaire,la longueur du demi-grand axe a est égale au rayon r.

    1.3.3 Mouvement dans un champ de gravitation

    Étude dynamique

    Nous allons appliquer les lois de la dynamique au mouvement d’une masse m dans un champde gravitation. Cette masse peut être par exemple un satellite dans le champ de la Terre ouencore la Terre dans le champ du Soleil. Dans le premier cas le référentiel que nous allonschoisir est le référentiel géocentrique, dans le deuxième cas c’est le référentiel héliocentrique(ou de Copernic).

    ųF̨

    r

    Terre

    satellite

    Figure 1.20 – Vecteurs unitaires et force de gravitation

    La seule force est la force de gravitation ~F = m ~G (figure 1.20). La loi fondamentale de ladynamique permet d’obtenir l’accélération de la masse m :∑

    i

    ~Fi = ~F = m ~G = m~a

    et en utilisant la relation (1.14) :

    ~a = ~G = −K Mr2~u

    où M est la masse du corps qui crée le champ de gravitation. On remarque que l’accélérationne dépend pas de la masse m en mouvement.

    La plupart des trajectoires des planètes du système solaire (à l’exception de Mercure) et dessatellites de la Terre sont des ellipses faiblement excentriques. Une telle trajectoire peut êtreconsidérée, en première approximation, comme circulaire de rayon r.

    Nous allons utiliser, dans le plan de la trajectoire, le repère de Frenet dont l’origine est lecentre d’inertie de la masse m (figure 1.20).

  • 1BC Cinématique et Dynamique 27

    Dans le cas d’un mouvement circulaire, le vecteur unitaire ~u est opposé au vecteur unitaire~N de la base de Frenet : ~u = − ~N . L’expression de l’accélération dans la base de Frenetest :

    ~a = 0 ~T +K Mr2

    ~N. (1.16)

    Étude cinématique

    La relation (1.5) donne l’expression générale de l’accélération dans la base de Frenet enfonction des grandeurs cinématiques :

    ~a = dvdt~T + v

    2

    r~N.

    En identifiant les deux expressions de l’accélération, relations (1.16) et (1.5), l’égalité descoordonnées tangentielles donne :

    dvdt = 0⇒ v = constante (1.17)

    alors que l’égalité des coordonnées normales permet d’écrire :

    v2

    r= K M

    r2⇒ v2 = K M

    r. (1.18)

    On déduit de la relation (1.17) que le mouvement est uniforme. La relation (1.18) permetd’obtenir l’expression pour la vitesse linéaire constante :

    v = KM

    r.

    La période du mouvement circulaire uniforme se déduit de la relation (1.9) :

    T = 2π rv

    = 2π√

    r3

    KM= 2π√

    KMr

    32 (1.19)

    Il en suit la 3e loi de Kepler dans le cas particulier du mouvement circulaire :

    T 2

    r3= (2π)

    2

    KM= constante.

    Ce rapport est le même pour toute planète du système solaire ou pour tout satellite de laTerre.

    En utilisant la relation (1.8) on obtient l’expression pour la vitesse angulaire :

    ω = vr

    = KM

    r3

    Remarques :

    • Les vitesses linéaire et angulaire sont indépendantes de la masse en mouvement.• Quand le rayon de la trajectoire augmente, les vitesses linéaire et angulaire diminuent.

  • 28 Cinématique et Dynamique 1BC

    1.3.4 Satellite géostationnaire

    Définition

    Un satellite est dit géostationnaire s’il reste en permanence à la verticale d’un point de lasurface terrestre. Il occupe une position fixe dans le référentiel terrestre.

    Conditions de stationnarité

    Quelles conditions doit vérifier un satellite pour être géostationnaire ?

    • Lorsque la Terre tourne autour de son axe polaire, les satellites stationnaires tournentégalement avec elle. La trajectoire d’un satellite qui serait stationnaire au-dessus deParis est circulaire dans un plan qui ne passe pas par le centre de la Terre (figure 1.21).Cela est impossible.

    En effet, les vecteurs force et accélération sont dirigés respectivement vers le centre dela Terre et vers le centre de la trajectoire. Ces deux centres doivent être confondus pourque, d’après le principe fondamental de la dynamique, les vecteurs force et accélérationsoient parallèles. Ceci n’est le cas que si le satellite est situé à la verticale d’un pointde l’équateur.

    satellite au-dessusde Paris (impossible)

    centre de la Terresatellite à la verticaled’un point del’équateur (possible)

    Figure 1.21 – Trajectoires de deux satellites « stationnaires »

    Un satellite ne peut être géostationnaire que si le plan de son orbite est confondu avecle plan de l’équateur. Tout satellite géostationnaire se trouve à la verticale d’un pointde l’équateur terrestre.

    • Cette condition étant réalisée, la période de révolution du satellite doit être la mêmeque la période de rotation de la Terre autour de son axe polaire.

    La période de révolution d’un satellite géostationnaire est égale à un jour sidéral.

    La durée d’un jour sidéral, notée TS, vaut : TS = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s.

    Considérons le mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique (figure 1.22).Pendant un jour solaire d’une durée de 24 h, la Terre tourne d’un angle d’environ 361◦.La durée d’une rotation de 360◦, appelée jour sidéral, est inférieure à 24 h.

    • Pour rester à la verticale du même point :Le sens de rotation du satellite autour de la Terre et celui de la Terre autour de sonaxe polaire doivent être identiques.

  • 1BC Cinématique et Dynamique 29

    24 h

    ¥ 1¶Soleil

    Terre

    Figure 1.22 – Mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique

    Altitude et vitesse

    Calculons l’altitude d’un satellite géostationnaire. En utilisant la relation (1.19), avecr = RT + zS, on obtient une expression reliant période et altitude :

    TS =2π√KMT

    (RT + zS)32

    d’où :(RT + zS)3 =

    TS2 KMT(2π)2

    et finalement :

    zS = 3ÃTS

    2 KMT(2π)2 −RT .

    Avec RT = 6,4 · 106 m, MT = 5,98 · 1024 kg et TS = 86 164 s, l’altitude d’un satellite géosta-tionnaire vaut zS = 3,58 · 107 m = 35 800 km.La vitesse linéaire en orbite géostationnaire est :

    vS = KMTr

    =√

    KMTRT + zS

    = 3,08 km/s.

  • 30 Cinématique et Dynamique 1BC

    1.4 Mouvement dans un champ magnétique

    L’action d’un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement et le mouvementqui en résulte est à la base de nombreuses applications : spectrographe de masse, cyclotronpour n’en citer que quelques unes.

    1.4.1 Force de Lorentz

    Énoncé La force magnétique subie par une particule de charge q et de vitesse ~v dans unchamp magnétique ~B s’écrit :

    ~f = q ~v × ~B

    Cette force est appelée force de Lorentz.

    Les caractéristiques de la force de Lorentz sont :

    • ~f est perpendiculaire à ~v et à ~B ;

    • le sens de ~f est donné par la règle de la main droite : le pouce indique le sens de q ~v,l’index celui du champ magnétique ~B, le majeur donne le sens de la force ~f ;

    • l’intensité de ~f est f = |q sinα| v B, où α est l’angle formé par ~v et ~B.

    Remarques :

    • La force de Lorentz est nulle si la charge est au repos ou si son vecteur vitesse estparallèle au vecteur champ.

    • La force de Lorentz est à tout instant perpendiculaire au vecteur vitesse. Elle est doncnormale à la trajectoire et ne travaille pas. Le théorème de l’énergie cinétique permetde conclure que le mouvement de la particule, en absence de toute autre force, estuniforme :

    ∆EC = W (~f) = 0⇒ EC = cte⇒ v = cte.

    • Un vecteur perpendiculaire au plan d’étude sera convenablement représenté par :

    � lorsque le vecteur est dirigé vers l’avant du plan ;

    ⊗ lorsque le vecteur est dirigé vers l’arrière du plan.

    1.4.2 Mouvement dans un champ uniforme

    Nous allons considérer une particule (ou un faisceau de particules) de charge q, de masse met de vitesse initiale ~v0, évoluant dans un champ magnétique ~B uniforme.

    Dans la suite nous allons nous limiter aux cas où ~v0 ⊥ ~B ou ~v0 ‖ ~B.

  • 1BC Cinématique et Dynamique 31

    Étude expérimentale

    Nous rappelons ici les résultats d’une expérience réalisée en classe de 2e.

    Expérience 1.1 Un faisceau d’électrons pénètre avec la vitesse initiale ~v0 dans une ampoulecontenant un gaz raréfié dans laquelle règne un champ magnétique uniforme ~B créé par desbobines de Helmholtz.

    Observations :

    • Si ~v0 ⊥ ~B, la trajectoire est circulaire. Le rayon de la trajectoire diminue quand l’in-tensité de ~B augmente ; il augmente quand la vitesse initiale des électrons augmente.

    • Si ~v0 ‖ ~B, le faisceau n’est pas dévié.Interprétation : la modification de la trajectoire du faisceau d’électrons est due à l’action dela force de Lorentz.

    Étude dynamique

    Nous allons déterminer les caractéristiques du mouvement de la particule chargée dans leréférentiel terrestre considéré comme galiléen.

    Les forces appliquées à la particule chargée sont :

    • la force de Lorentz ~f = q ~v× ~B en un point de la trajectoire où la vitesse de la particuleest ~v ;

    • le poids de la particule ~P = m~g.

    Exercice 1.7 Comparer ces deux forces dans le cas d’un électron se déplaçant à la vitessev = 106 m/s dans un champ magnétique d’intensité B = 10−3 T.

    Dans la suite nous allons négliger les effets du poids. Le principe fondamental de la dynamiquepermet d’écrire : ∑

    i

    ~Fi = ~f = q ~v × ~B = m~a

    d’où l’accélération de la particule :

    ~a = q ~v ×~B

    m. (1.20)

    L’accélération est perpendiculaire au vecteurs vitesse et champ magnétique.

    Étude cinématique

    Premier cas : ~v0 ⊥ ~BLa figure 1.23 montre le repère orthonormé utilisé. Son origine coïncide avec la position dela particule à l’instant t = 0.

    L’accélération est à tout instant perpendiculaire au vecteur champ, donc :

    az =dvzdt = 0⇒ vz = constante.

  • 32 Cinématique et Dynamique 1BC

    N̨T̨

    e≠

    y

    xO

    v̨0

    f̨v̨

    e≠

    z

    Figure 1.23 – Force de Lorentz et base de Frenet

    Comme v0z = 0 à l’instant t = 0, nous avons à tout instant :

    vz =dzdt = 0⇒ z = constante.

    En considérant les conditions initiales, il vient z = 0. Le mouvement est décrit dans le planz = 0 perpendiculaire à ~B. Dans ce plan, nous allons exprimer le vecteur accélération dansla base de Frenet.

    Comme le vecteur accélération est à tout instant perpendiculaire à ~v, sa coordonnée tangen-tielle est nulle. De l’expression (1.20) il vient :

    ~a = 0 ~T + |q| v Bm

    ~N. (1.21)

    La relation (1.5) donne l’expression générale de l’accélération dans la base de Frenet enfonction des grandeurs cinématiques :

    ~a = dvdt~T + v

    2

    r~N.

    En identifiant les deux expressions de l’accélération, relations (1.21) et (1.5), l’égalité descoordonnées tangentielles donne :

    dvdt = 0⇒ v = constante (1.22)

    alors que l’égalité des coordonnées normales permet d’écrire :

    v2

    r= |q| v B

    m⇒ v

    r= |q|B

    m. (1.23)

    On déduit de la relation (1.22) que le mouvement est uniforme, propriété générale d’unmouvement sous l’action de la force de Lorentz. La relation (1.23), en remplaçant v par v0,permet d’obtenir l’expression pour le rayon de courbure de la trajectoire :

    r = mv0|q|B.

    Comme les grandeurs m, v0, |q| et B sont constantes, le rayon de courbure est constant. Lemouvement de la particule chargée est donc circulaire.

  • 1BC Cinématique et Dynamique 33

    Énoncé Lorsque la vitesse initiale ~v0 de la particule chargée est perpendiculaire au champmagnétique ~B, la trajectoire est un cercle de rayon

    r = mv0|q|B

    décrit à vitesse constante dans un plan perpendiculaire à ~B.

    Le temps mis par la particule pour réaliser un tour complet est la période T du mouvementcirculaire. On l’obtient en divisant le périmètre du cercle par la vitesse de la particule :

    T = 2π rv0

    = 2πm|q|B .

    La période est indépendante de la vitesse de la particule et ne dépend que de sa nature et del’intensité du champ magnétique.

    Deuxième cas : ~v0 ‖ ~BL’accélération à t = 0 est nulle. Le vecteur vitesse reste donc inchangé et le mouvement dela particule est rectiligne et uniforme.

    Énoncé Lorsque la vitesse initiale ~v0 de la particule chargée est parallèle au champ magné-tique ~B, le mouvement est rectiligne uniforme.

    1.4.3 Applications

    Spectrographe de masse

    Les physiciens et les chimistes utilisent quotidiennement une application importante de la dé-viation des particules dans un champ magnétique : le spectrographe de masse (figure 1.24).Cet appareil permet de séparer des ions de masses différentes et donc d’analyser la composi-tion atomique et isotopique de la matière.

    Les ions de masse m, de charge q et de vitesse initiale quasi nulle, sont tout d’abord accéléréspar une tension U jusqu’à une vitesse ~v0 qui, d’après le théorème de l’énergie cinétique,vérifie :

    12 mv0

    2 = |q|U.

    Ils pénètrent ensuite dans une zone semi-circulaire où règne un champ magnétique ~B uniformeperpendiculaire à ~v0. Leur trajectoire constitue alors un arc de cercle de rayon r tel que :

    r = mv0|q|B

    et en remplaçant v0 par son expression en fonction de U , q, et m on obtient la masse d’union :

    m = |q|B2 r2

    2U .

  • 34 Cinématique et Dynamique 1BC

    v̨0accélérationdes ions

    chambre d’ionisation

    détecteur

    O1

    O2

    r1

    r2

    U

    Figure 1.24 – Schéma d’un spectrographe de masse

    Les ions sont enfin recueillis sur un détecteur (plaque photographique, capteur électronique,. . .) où la position du point d’impact permet de mesurer le rayon r de la trajectoire.

    Il est ainsi possible de mesurer la masse des ions incidents, mais aussi d’analyser des mélanges,de séparer des isotopes, de déterminer des abondances isotopiques et de dater des échantillonsde matière.

    Cyclotron

    Le cyclotron est un accélérateur de particules chargées comme des protons ou des deutérons.Ces particules sont accélérées à grande vitesse dans le vide et servent de projectiles quel’on envoie sur des cibles de matière. Les collisions qui en résultent permettent d’étudier lastructure de la matière.

    Un cyclotron est constitué de deux parties creuses hémicylindriques (figure 1.25) dont la formerappelle celle de la lettre D ; en raison de cette forme particulière, on les appelle « dés ».

    B̨ B̨Ę

    sortie desparticulessource S

    Figure 1.25 – Éléments d’un cyclotron

    Un champ magnétique uniforme ~B est appliqué perpendiculairement aux dés. Un champ

  • 1BC Cinématique et Dynamique 35

    électrique est établi entre les dés en leur appliquant une différence de potentiel. La source Sde particules à accélérer est placée près du centre de l’appareil.

    B̨ B̨

    r1 r2

    v̨1 v̨2

    S

    (a) émission des particules

    B̨ B̨

    r3

    v̨3

    S

    (b) inversion du champ

    Figure 1.26 – Principe de fonctionnement

    Les particules de charge q et de masse m sont émises à la vitesse ~v1 par la source. Sous l’effetdu champ magnétique, elles parcourent un demi-cercle de rayon r1, dans le premier dé :

    r1 =mv1|q|B.

    Elles sont ensuite accélérées par le champ électrique (figure 1.26a) et pénètrent dans le seconddé à la vitesse ~v2. Leur trajectoire dans le second dé est un demi-cercle de rayon r2 :

    r2 =mv2|q|B.

    Comme v2 > v1, le rayon dans le second dé est plus grand : r2 > r1.

    Lorsque les particules pénètrent pour la deuxième fois dans l’espace entre les dés, il faut,pour qu’elles soient à nouveau accélérées, changer le sens du champ électrique (figure 1.26b).Comme la période de rotation des particules est indépendante de leur vitesse, on inverse lechamp électrique en appliquant aux dés une tension alternative qui varie suivant la mêmepériode.

    v̨maxR

    S

    Figure 1.27 – Trajectoire des particules

  • 36 Cinématique et Dynamique 1BC

    Le processus se répète jusqu’à ce que le rayon de la trajectoire des particules soit maximal,c’est-à-dire égal au rayon R des dés (figure 1.27). La vitesse maximale des particules à lasortie de l’appareil vaut :

    vmax =|q|BRm

    .

  • Chapitre 2

    Oscillateurs

    2.1 Systèmes oscillants

    2.1.1 Exemples d’oscillateurs

    Les systèmes oscillants sont d’une variété impressionnante et rares sont les domaines de laphysique dans lesquels ils ne jouent pas un rôle important : la corde vocale, la suspensionpneumatique, la corde d’un violon, le circuit électrique oscillant, . . .

    Nous allons étudier les oscillations de quelques systèmes oscillants simples, mécaniques etélectriques. La figure 2.1 montre quelques oscillateurs mécaniques.

    pendule élastique liquide dans un tube en Upendule simple

    Figure 2.1 – Oscillateurs mécaniques

    Chacun de ces systèmes est caractérisé par un état d’équilibre stable. Lorsqu’on fournit ausystème de l’énergie pour l’écarter de sa position d’équilibre, une force de rappel tente de leramener dans cette position. L’énergie fournie au système fait que ce mouvement de rappelne cesse pas mais continue au-delà de la position d’équilibre.

    2.1.2 Mise en évidence expérimentale

    Expérience 2.1 Sur un banc à coussin d’air, un chariot est accroché à deux ressorts iden-tiques (figure 2.2). Les autres extrémités des ressorts sont fixes et distantes d’une longueur

  • 38 Oscillateurs 1BC

    suffisante pour que les ressorts soient toujours tendus.

    Le chariot est écarté de sa position d’équilibre et puis lâché. Un dispositif permet d’enregistrerau cours du temps la position du chariot par rapport à sa position d’équilibre.

    chariot

    banc à coussin d’air

    ressort

    Figure 2.2 – Schéma du dispositif expérimental

    Observations :

    Si les amortissements sont négligeables, on obtient une sinusoïde (figure 2.3a). En di-minuant la puissance de la soufflerie, l’épaisseur du coussin d’air est réduit ce qui faitaugmenter la force de frottement ; on obtient des oscillations amorties (figure 2.3b).

    (a) sinusoïde (b) oscillations amorties

    Figure 2.3 – Variations de la position au cours du temps

    2.1.3 Définitions d’oscillateurs

    Définition Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d’une grandeurphysique de part et d’autre d’un état d’équilibre. Si les variation se reproduisent identiques àelles-mêmes, l’oscillateur est dit périodique.

    Exemples :

    • Un oscillateur mécanique effectue un mouvement d’aller-retour de part et d’autre de saposition d’équilibre.

    • En électricité, un circuit dans lequel circule un courant alternatif est un oscillateurélectrique.

    Un oscillateur est dit harmonique si la variation de la grandeur physique est une fonctionsinusoïdale du temps.

    Exemples : pendule simple, pendule élastique.

    Un oscillateur libre effectue des oscillations correspondant à ses propres caractéristiques. Unoscillateur est forcé s’il est soumis à un autre système oscillant qui essaie de lui imposer sesoscillations.

  • 1BC Oscillateurs 39

    Exemple : un ressort vertical effectue des oscillations libres quand il est tenu par une mainimmobile ; quand la main effectue un mouvement oscillant vertical on obtient des oscillationsforcées.

    Un oscillateur amorti effectue des oscillations dont l’amplitude diminue avec le temps. Pra-tiquement tous les oscillateurs observés sont plus ou moins amortis à cause des frottements.Un oscillateur est entretenu si l’amplitude reste constante grâce à un apport extérieur d’éner-gie.

    Exemple : le pendule d’une montre.

    2.1.4 Grandeurs caractéristiques des oscillateurs

    Période et fréquence

    La période T est la durée d’une oscillation. C’est la plus courte durée après laquelle le phé-nomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même. L’unité de la période est la seconde(s).

    La fréquence f est le nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde.L’unité de la fréquence est le hertz (Hz).

    La période et la fréquence sont inverses l’un de l’autre : f = 1T.

    Équation horaire

    Considérons les oscillations d’un oscillateur harmonique. La variation d’une grandeur x dusystème est sinusoïdale. Cette grandeur est par exemple :

    • la mesure algébrique de l’écart par rapport à la position d’équilibre, appelée élongation,du chariot sur le banc à coussin d’air de l’expérience précédente ;

    • l’intensité du courant électrique dans le cas d’un oscillateur électrique.La forme la plus générale de l’équation horaire d’un oscillateur harmonique est :

    x(t) = xm sin(ω t+ ϕ) (2.1)

    où les constantes xm, ω et ϕ sont les paramètres de l’oscillation qui dépendent du systèmeconsidéré. Les constantes xm et ω sont choisies positives. L’argument du sinus, ω t+ϕ, est laphase de l’oscillation à l’instant t.

    Remarque : on peut également remplacer le sinus par un cosinus.

    La grandeur x prend des valeurs entre −xm et +xm ; la constante xm est la valeur maximalede x, appelée amplitude. L’unité de l’amplitude est égale à celle de x.

    La valeur de x à l’instant t = 0 est donnée par :

    x(t = 0) = xm sin(ϕ).

    La constante ϕ, appelée phase initiale, tient compte de la valeur initiale de la grandeur x etdu sens initial de sa variation.

  • 40 Oscillateurs 1BC

    Il reste à déterminer la constante ω. Elle s’exprime en fonction de la période T de sorte que lacondition de périodicité pour la grandeur x soit vérifiée. Lorsque le temps t augmente d’unepériode T :

    x(t+ T ) = xm sin(ω t+ ϕ+ ω T )l’argument du sinus augmente de 2π de sorte que :

    xm sin(ω t+ ϕ+ ω T ) = xm sin(ω t+ ϕ+ 2π) = x(t).

    Pour que cette condition soit vérifiée à tout instant, ω doit vérifier la relation :

    ω T = 2π ⇒ ω = 2πT.

    La constante ω est appelée pulsation :

    ω = 2πT

    = 2π f (2.2)

    L’unité de la pulsation est le hertz (Hz).

    Remarque : tandis que l’amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditionsinitiales, la pulsation dépend uniquement des caractéristiques de l’oscillateur.

  • 1BC Oscillateurs 41

    2.2 Oscillateurs mécaniques

    Comme exemple type d’un oscillateur mécanique nous allons étudier en détail les oscillationsd’un pendule élastique horizontal (figure 2.4).

    ressortsolide

    Figure 2.4 – Pendule élastique horizontal

    Ce système oscillant simple est composé d’un solide de masse m accroché à un ressort àspires non jointives de raideur k. Le solide peut se déplacer sans frottements sur un supporthorizontal.

    2.2.1 Rappels sur le ressort

    La figure 2.5 montre un ressort de raideur k sur lequel un opérateur exerce une force ~F àl’extrémité M du ressort.

    La position du point M est repérée par l’abscisse x. La position x = 0 correspond à unressort non tendu. La variation de la longueur du ressort est alors égale à x ; l’allongementcorrespond à des valeurs positives de x, la compression à des valeurs négatives.

    xO

    F̨T̨ M

    Figure 2.5 – Ressort soumis à une force ~F

    Au point M le ressort exerce la tension ~T , avec ~T = −~F . La force ~F vérifie donc la loi deHooke ; sa seule composante est :

    Fx = k x.Cette composante est positive dans le cas d’un allongement et négative dans le cas d’unecompression.

    L’énergie potentielle élastique Ep d’un ressort tendu est égale au travailW effectué par la force~F pour allonger (ou comprimer) le ressort d’une longueur x. Comme la force varie au coursdu déplacement du point d’application M , il faut diviser le déplacement en déplacementsélémentaires dx et calculer le travail élémentaire :

    δW = Fx dx = k x dx.

    Ce travail élémentaire est égal à la variation de l’énergie potentielle élastique :

    dEp = k x dx⇒dEpdx = k x.

    L’énergie élastique est donc une primitive par rapport à x de k x :

    Ep = 12 k x2 + constante.

  • 42 Oscillateurs 1BC

    La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie élastique d’un ressort non tendu,c’est-à-dire quand x = 0, soit nulle. Un ressort de raideur k allongé ou comprimé de x possèdedonc l’énergie :

    Ep = 12 k x2 (2.3)

    2.2.2 Équation différentielle du mouvement

    Nous allons maintenant établir l’équation différentielle qui régit le mouvement de l’oscilla-teur élastique horizontal. Nous allons d’abord nous servir de la relation fondamentale de ladynamique et puis aboutir au même résultat par des considérations énergétiques.

    Pour simplifier la première approche, nous allons négliger toute force de frottement.

    Relation fondamentale de la dynamique

    La position du solide de masse m est repérée par l’abscisse x de son centre d’inertie. Onécarte le solide de sa position d’équilibre O et on le lâche ; il effectue ensuite des oscillationsautour de O. Les forces qui s’appliquent au solide sont son poids ~P , la réaction ~R du supporthorizontal et la tension ~T du ressort de raideur k (figure 2.6).

    xO

    ressort de raideur k solide de masse m

    Figure 2.6 – Bilan des forces du pendule élastique horizontal

    Appliquons le principe fondamental de la dynamique au solide de masse m :

    m~a =∑i

    ~Fi = ~P + ~R + ~T .

    Considérons la projection de cette équation vectorielle dans la direction du mouvement :

    max = Px +Rx + Tx.

    Comme le mouvement est horizontal, le poids est perpendiculaire à la direction du mouve-ment : Px = 0.

    La réaction étant perpendiculaire au support, sa projection dans la direction du mouvementest nulle : Rx = 0.

    L’abscisse x, appelée élongation, est la valeur algébrique de l’écart par rapport à la positiond’équilibre O. La coordonnée Tx de la tension du ressort vérifie la loi de Hooke et est de signeopposé à celui de l’élongation :

    Tx = −k x.L’équation se réduit à :

    max = −k x.

  • 1BC Oscillateurs 43

    Avec ax = v̇x = ẍ et en divisant par m, on obtient l’équation différentielle du mouve-ment :

    ẍ = − kmx

    La solution de cette équation différentielle est l’équation horaire x(t).

    Conservation de l’énergie

    On peut établir l’équation différentielle du mouvement au moyen de considérations éner-gétiques en remarquant que l’énergie mécanique du système est conservée en absence defrottements. L’énergie mécanique E est la somme de l’énergie cinétique Ec du solide et del’énergie potentielle élastique Ep du ressort (relation 2.3) :

    E = Ec + Ep = 12 mvx2 + 12 k x

    2.

    La conservation de l’énergie mécanique se traduit par :

    E = constante⇒ dEdt =dÄ1

    2 mvx2 + 12 k x

    dt = 0

    d’où :12 m 2 vx

    dvxdt +

    12 k 2x

    dxdt = 0.

    Avec dvxdt = ax = ẍ etdxdt = vx l’expression devient :

    mvx ẍ+ k x vx = 0.

    En divisant par mvx et en réarrangeant les termes on retrouve l’équation différentielle dumouvement :

    ẍ = − kmx.

    2.2.3 Solution de l’équation différentielle

    Solution sinusoïdale

    Une solution de l’équation différentielle est une fonction du temps ; c’est l’équation horairex(t) de l’oscillateur.

    L’expérience 2.1 a montré que l’équation horaire du pendule élastique horizontal est unesinusoïde de la forme (relation 2.1) :

    x(t) = xm sin(ω0 t+ ϕ).

    Vérifions qu’une expression sinusoïdale est effectivement solution de l’équation différentielledu mouvement. En dérivant une première fois par rapport à t :

    ẋ = xm ω0 cos(ω0 t+ ϕ) (2.4)

  • 44 Oscillateurs 1BC

    et une deuxième fois :

    ẍ = −xm ω02 sin(ω0 t+ ϕ) = −ω02 xm sin(ω0 t+ ϕ) = −ω02 x (2.5)

    on constate que l’équation différentielle du mouvement est vérifiée par l’expression sinusoïdalesous condition que :

    ω02 = k

    m.

    Exercice 2.1 Montrer que x(t) = xm cos(ω0 t + ϕ) est également solution de l’équationdifférentielle du mouvement.

    Après avoir lâché le solide, le pendule effectue des oscillations sans aucune influence de l’ex-térieur ; c’est donc un oscillateur libre. Pour cette raison la constante ω0 est appelée pulsationpropre de l’oscillateur.

    La pulsation propre ω0 est déterminée par les grandeurs caractéristiques du pendule élastique,à savoir la raideur du ressort et la masse du solide. L’amplitude xm et la phase initiale ϕ sontdéterminées par les conditions initiales.

    Période propre

    L’équation (2.2) relie la pulsation à la période des oscillations. La pulsation propre du penduleélastique est :

    ω0 = k

    m

    ce qui donne pour la période propre du pendule élastique :

    T0 =2πω0

    = 2π m

    k

    Vitesse et accélération instantanées

    En utilisant les relations (2.4) et (2.5) on obtient la vitesse :

    vx = ẋ = xm ω0 cos(ω0 t+ ϕ)

    et l’accélération du solide :

    ax = ẍ = −xm ω02 sin(ω0 t+ ϕ) = −ω02 x.

    Les facteurs qui multiplient les fonctions trigonométriques sont les valeurs maximales de lavitesse :

    vm = xm ω0et de l’accélération :

    am = xm ω02.

    L’accélération est toujours de signe opposé à celui de x. Le vecteur accélération est toujoursdirigé vers la position d’équilibre.

  • 1BC Oscillateurs 45

    Quand l’oscillateur s’éloigne de sa position d’équilibre, les vecteurs ~v et ~a sont opposés : lemouvement est freiné. Lorsqu’il se rapproche de la position d’équilibre, les deux vecteurs ontle même sens : le mouvement est accéléré.

    Exemple : voir figure 2.7.

    Conditions initiales

    L’amplitude xm et la phase initiale ϕ sont déterminées par les conditions initiales. À l’instantt = 0, la position est x0 = xm sin(ϕ) et la vitesse vx0 = vm cos(ϕ). Nous allons considéreruniquement les cas particuliers suivants :

    • x0 = ±xm et vx0 = 0.Le solide est écarté de sa position d’équilibre de l’amplitude xm et puis lâché sans vitesseinitiale. La phase initiale est ϕ = π/2 si l’élongation initiale est positive et ϕ = −π/2si elle est négative.

    • x0 = 0 et vx0 = ± vm.Le solide est lancé depuis sa position d’équilibre avec la vitesse vm. La phase initialeest ϕ = 0 si cette vitesse est positive et ϕ = π si elle est négative. L’amplitude est alorsdonnée par xm = vm/ω0.

    Exercice 2.2 Reprendre cette discussion avec x(t) = xm cos(ω0 t+ ϕ).

    Représentations graphiques

    Considérons le cas où la phase initiale est ϕ = π/2. Le solide est lâché sans vitesse initialedepuis la position x0 = xm. La position à l’instant t est donnée par :

    x = xm sin(ω0 t+ π/2) = xm cos(ω0 t).

    L’expression pour la vitesse devient :

    vx = xm ω0 cos(ω0 t+ π/2) = −xm ω0 sin(ω0 t).L’accélération s’exprime en fonction de la position :

    ax = −ω02 x = −xm ω02 cos(ω0 t).

    La figure 2.7 montre la représentation graphique de x(t), vx(t) et ax(t).

    L’énergie cinétique du solide à l’instant t est donnée par :

    Ec = 12 mvx2 = 12 mxm

    2 ω02 sin2(ω0 t).

    L’expression pour l’énergie potentielle élastique du ressort devient :

    Ep = 12 k x2 = 12 k xm

    2 cos2(ω0 t).

    L’énergie mécanique E est égale à la somme de Ec et de Ep.

    Exercice 2.3 Vérifier que l’énergie mécanique est constante et déterminer sa valeur.

    La figure 2.8 montre la représentation graphique de E(t), Ec(t) et Ep(t).

  • 46 Oscillateurs 1BC

    Figure 2.7 – Représentation graphique de x(t), vx(t) et ax(t)

    Figure 2.8 – Représentation graphique de E(t), Ec(t) et Ep(t)

    2.2.4 Oscillations amorties

    L’expérience avec le pendule élastique a montré qu’une augmentation progressive de la forcede frottement provoque une diminution de l’amplitude à chaque aller retour (figure 2.9a). Lesoscillations du pendule sont amorties et le mouvement n’est pas périodique au sens strict. Onle qualifie de pseudo-périodique et on appelle pseudo-période la durée d’une oscillation.

    Dans le cas d’un faible amortissement, la pseudo-période est légèrement supérieure à lapériode propre du pendule. La valeur de la pseudo-période, donc le temps pour un aller-retour, ne change pas durant le mouvement.

    (a) pseudo-périodique (b) apériodique

    Figure 2.9 – Régimes oscillatoires en cas de frottements

    Lorsque l’intensité de la force de frottement dépasse une valeur critique, il n’y a plus d’os-cillations. Écarté de sa position d’équilibre, le pendule y revient lentement sans osciller (fi-

  • 1BC Oscillateurs 47

    gure 2.9b). On qualifie alors le mouvement d’apériodique.

    Exemples : les aiguilles d’instruments à cadre mobile et les amortisseurs d’automobile effec-tuent des mouvements apériodiques.

    2.2.5 Le phénomène de résonance

    Étude expérimentale

    Expérience 2.2 On utilise le dispositif solide-ressort de l’expérience 2.1 auquel on adjointun moteur électrique dont la fréquence de rotation est variable et dont l’axe de rotationsupporte un excentrique (figure 2.10). Un des deux ressorts a maintenant une extrémité fixéeà l’excentrique, son autre extrémité est reliée au solide.

    Un dispositif permet d’enregistrer au cours du temps la position du chariot par rapport à saposition d’équilibre et la position de l’extrémité du ressort fixée à l’excentrique.

    chariot

    banc à coussin d’air

    ressortexcentrique

    Figure 2.10 – Schéma du dispositif expérimental

    La soufflerie étant à pleine puissance, on met en marche le moteur avec une fréquence derotation très petite. On observe qu’après quelques instants le mouvement du mobile devientrégulier. Le mouvement observé est alors d’allure sinusoïdale.

    On fait varier la fréquence f de rotation du moteur de part et d’autre de la fréquence propref0 de l’oscillateur et on étudie l’évolution de l’amplitude des oscillations du solide.

    Les figures 2.11a à 2.11d montrent les enregistrements pour le pendule élastique horizontal.Les échelles de temps et d’allongement du ressort sont les mêmes sur toutes les figures.

    Observations :

    • En régime établi, après un certain temps, la fréquence des oscillations du penduleélastique est la même que la fréquence de rotation du moteur.

    • L’amplitude des oscillations est maximale si la fréquence du moteur est égale à lafréquence propre du pendule élastique (figure 2.11c).

    Énoncé Pour une fréquence d’excitation égale à la fréquence propre de l’oscillateur, l’am-plitude des oscillations est maximale ; c’est le phénomène de résonance.

    Les oscillations du système solide-ressort sont dites forcées par le mouvement du point d’ac-crochage du ressort à l’excentrique, lui-même lié au moteur.

    Lorsqu’un oscillateur est en oscillations forcées, sa fréquence est imposée par un dispositifextérieur, appelé l’excitateur. Un oscillateur en oscillations forcées est aussi appelé résona-teur.

  • 48 Oscillateurs 1BC

    (a) oscillations libres, f0 (b) oscillations forcées, f < f0

    (c) résonance, f = f0 (d) oscillations forcées, f > f0

    Figure 2.11 – Oscillogrammes du pendule élastique horizontal

    Influence de l’amortissement

    On recommence l’expérience en excitant le résonateur au voisinage de sa fréquence propre,puis on règle la puissance de la soufflerie à des valeurs de plus en plus faibles. On constatealors que l’amplitude du mouvement diminue lorsque la puissance de la soufflerie diminue,c’est-à-dire lorsque l’amortissement augmente.

    Énoncé L’amplitude du mouvement à la résonance diminue d’autant plus que l’amortisse-ment est important.

    Courbe de résonance

    En représentant l’amplitude xm des oscillations en fonction de la fréquence f on obtient lacourbe de résonance. La figure 2.12 montre deux courbes pour des frottements d’intensitésdifférentes.

    Les courbes présentent des maxima de valeurs respectivement xm1 et xm2. Ces maxima d’am-plitude sont obtenus pour une fréquence de résonance fr égale la fréquence propre f0 du

  • 1BC Oscillateurs 49

    xm

    xm1

    xm2

    faibles frottements

    frottements plus importants

    ff0

    Figure 2.12 – Courbe de résonance

    système oscillant :

    fr = f0 =1T0

    = 12π

     k

    m.

    Suivant l’intensité des frottements, la résonance peut être :

    • aiguë (courbe pointue avec un maximum xm1) lorsque l’amortissement est faible ;• floue (courbe aplatie avec un maximum xm2) lorsque l’amortissement est plus impor-

    tant.

    Exemples de résonances mécaniques

    Le phénomène de résonance peut être utile ou destructif, comme le montrent les exemplessuivants :• La suspension d’une automobile peut être modélisée par un ressort verti-

    cal fixé entre le châssis et l’axe, ce qui constitue un oscillateur. Il arrivait,sur les modèles anciens, que pour certaines vitesses et certaines irrégu-larités dans la chaussée, l’oscillateur entre en résonance. Cela se tradui-sait par une forte augmentation de l’amplitude verticale du mouvementdu châssis et pouvait présenter des dangers : les roues décollaient de laroute et perdaient toute adhérence. Afin de limiter cet effet, on ajoutedes amortisseurs, généralement à huile, qui permettent de diminuer l’am-plitude du mouvement en cas de résonance.

    • Le pont de Tacoma aux États-Unis s’effondra en 1940après être entré en résonance sous l’action de bour-rasques de vent périodiques jouant le rôle d’excitateur.De même, en 1850, le tablier d’un pont suspendu surla Maine à Angers se rompit au passage d’une troupemarchant au pas cadencé. Le tablier du pont et sescibles de suspension, présentant une certaine élasti-cité, constituaient un oscillateur mécanique. L’excita-tion provoquée par les pas cadencés de la troupe l’avaitfait entrer en résonance, provoquant sa rupture. Les tabliers des ponts actuels sont tous

  • 50 Oscillateurs 1BC

    arrimés au sol par l’intermédiaire de vérins amortisseurs qui permettent de limiter lephénomène de résonance.• La caisse de résonance d’un violon permet de

    renforcer les notes produites par la vibration descordes. L’âme est la pièce qui lie les cordes et lacaisse de résonance. Elle doit être placée sous lechevalet. La caisse de résonance et la masse d’airqu’elle contient constituent un oscillateur méca-nique. Ce dernier possède des périodes propresde vibration qui dépendent de la forme de la caisse. Les cordes du violon jouent le rôlede l’excitateur, la caisse de résonance celui du résonateur.

  • 1BC Oscillateurs 51

    2.3 Oscillateurs électriques

    2.3.1 Loi d’Ohm pour une bobine

    Description d’une bobine

    On obtient un solénoïde ou bobine en bobinant un fil conducteur électrique sur un supportisolant. Le fil doit toujours être enroulé dans le même sens autour de l’axe du support.

    La bobine crée un champ magnétique lorsqu’elle est parcourue par un courant électrique.

    L’étude du phénomène de l’induction magnétique en classe de 2e a montré qu’une bobine nese réduit pas, d’un point de vue électrique, à la résistance du fil qui la constitue. Elle s’opposeaussi aux variations du courant.

    Comportement d’une bobine

    Lorsqu’une bobine est parcourue par un courant électrique i variable, une tension uB apparaîtà ses bornes. Quand le courant varie rapidement, cette tension est proportionnelle au tauxde variation du courant électrique :

    uB ∼didt .

    En introduisant un coefficient de proportionnalité et en adoptant la convention récepteurpour la définition de la tension uB, il vient :

    uB = Ldidt

    où L est appelée inductance de la bobine et s’exprime en henrys (H).

    Remarques :

    • L’intensité i du courant peut être positive ou négative. On définit un sens positif ducourant qui est représenté par une flèche. Lorsque i > 0 le courant circule dans le sensindiqué par la flèche ; lorsque i < 0 le courant circule dans le sens opposé.

    • En convention récepteur, la flèche représentant la tension est en sens inverse de cellechoisie pour le sens positif du courant.

    Les oscillogrammes de la figure 2.13 représentent la tension aux bornes de la bobine (voie 1)pour différents courants variables (voie 2).

    Modélisation du comportement d’une bobine

    Pour une variation quelconque de l’intensité au cours du temps, la tension est la somme dedeux termes liés respectivement à la résistance et à l’inductance de la bobine.

    En adoptant la convention récepteur, la tension uB et l’intensité i du courant sont reliéespar :

    uB = r i+ Ldidt (2.6)

  • 52 Oscillateurs 1BC

    (a) courant en dents de scie (b) courant sinusoïdal

    (c) courant rectangulaire

    Figure 2.13 – Tension aux bornes de la bobine pour différents courants

    Cette relation, appelée loi d’Ohm pour une bobine, relie la tension aux bornes de la bobine àl’intensité du courant qui la traverse.

    Remarques :

    • En courant continu, le deuxième terme s’annule et la bobine se comporte comme unconducteur ohmique : uB = r i.

    • Lorsque la fréquence est largement supérieure à une certaine fréquence limite, l’ampli-tude du premier terme devient négligeable devant celle du deuxième terme.

    r Li

    r iL

    didt

    uB

    Figure 2.14 – Symbole de la bobine

    Le symbole d’une bobine représente les deux paramètres caractéristiques de la bobine : sa

  • 1BC Oscillateurs 53

    résistance et son inductance (figure 2.14).

    2.3.2 Énergie magnétique d’une bobine

    Mise en évidence expérimentale

    Expérience 2.3 Un générateur de tension continue alimente une bobine par l’intermédiairede l’interrupteur S. La diode D permet le passage du courant dans le moteur dans un seulsens (figure 2.15). L’axe du moteur M entraîne une hélice.

    L’interrupteur S est ouvert depuis une assez longue durée, le moteur est au repos. On ferme S,un courant s’établit dans la bobine. Le moteur ne tourne pas, la diode empêchant le courantde le traverser.

    Après quelques instants, on ouvre S. Le moteur se met en rotation entraînant la hélice.

    M

    DS

    Figure 2.15 – Mise en évidence de l’énergie magnétique

    Interprétation :

    Lorsque le moteur se met à tourner, il n’est plus connecté au générateur qui ne peut doncpas lui fournir de l’énergie. C’est la bobine qui joue le rôle du générateur et, pendant unbref intervalle de temps, maintient le courant qui traverse le moteur dans le sens permispar la diode.

    L’énergie fournie au moteur pendant cette phase de l’expérience a été stockée dans labobine lors de l’établissement du courant, à la fermeture de l’interrupteur S.

    Expression de l’énergie magnétique

    La bobine possède de l’énergie magnétique EL lorsqu’elle est parcourue par un courant élec-trique. Cette énergie est égale au travail électrique que doit effectuer le générateur lors del’établissement de ce courant.

    rLiA B

    uAB

    Figure 2.16 – Bobine traversée par un courant

    La puissance électrique P fournie par le générateur pour faire circuler un courant d’intensitéi de A vers B (figure 2.16) à travers la bobine est :

    P = uAB i.

  • 54 Oscillateurs 1BC

    Avec la loi d’Ohm pour une bobine :

    uAB = r i+ Ldidt

    la puissance s’écrit :P = r i2 + L i didt .

    Le premier terme correspond à la puissance dissipée par effet Joule et ne contribue pasà l’énergie magnétique de la bobine. Le deuxième terme est égal au taux de variation del’énergie magnétique :

    dELdt = L i

    didt .

    L’énergie magnétique est donc une primitive par rapport au temps de l’expression L i didt .Nous avons :

    EL = 12 L i2 + constante.

    La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie d’une bobine qui n’est pas par-courue par un courant, c’est-à-dire lorsque i = 0, soit nulle.

    L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine d’inductance L parcourue par un courantd’intensité i est :

    EL = 12 L i2

    2.3.3 Rappel sur le condensateur

    Les armatures d’un condensateur portent des charges opposées. La tension uAB entre lesarmatures A et B est reliée à la charge q de l’armature A par :

    uAB =q

    C(2.7)

    où C est la capacité du condensateur.

    A Bi

    CuAB

    q ≠q

    Figure 2.17 – Conventions pour le condensateur

    La variation de la charge du condensateur est due à un courant électrique d’intensité i. Avecles conventions de la figure 2.17 nous avons :

    i = dqdt . (2.8)

    L’énergie potentielle électrique EC d’un condensateur chargé est égale au travail électriqueeffectué pour le charger.

  • 1BC Oscillateurs 55

    La puissance électrique fournie au condensateur est :

    P = uAB i.

    Elle est égale au taux de variation de l’énergie électrique. En utilisant les relations (2.7) et(2.8) il vient :

    dECdt =

    q

    C

    dqdt .

    L’énergie électrique est une primitive par rapport au temps de l’expression qC

    dqdt . Nousavons :

    EC = 12q2

    C+ constante.

    La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie d’un condensateur non chargé,c’est-à-dire lorsque q = 0, soit nulle.

    L’énergie électrique emmagasinée dans un condensateur de capacité C portant la charge qest :

    EC = 12q2

    C

    2.3