Cours de Physique - Optique

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COURS DE PHYSIQUEOPTIQUE

COURS DE PHYSIQUEOPTIQUE

Jean-Paul ParisotProfesseur luniversit Bordeaux I

Patricia SegondsMatre de confrences luniversit Joseph Fournier de Grenoble

Sylvie Le BoiteuxProfesseur luniversit Bordeaux I

Prfac par Andr Ducasse

Professeur luniversit Bordeaux I

2e dition

Illustration de couverture : Albert Arnaud

Dunod, Paris, 2003ISBN 2 10 006846 6

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Durant les deux dernires dcennies, une vritable rvolution sest drouledans le domaine de loptique. En effet, aprs la dcouverte des lasers dans lesannes soixantes et leur dveloppement extrmement rapide dans les laboratoiresde recherche au cours des deux dcennies suivantes, une multitude dapplica-tions ont merg, sortant des laboratoires pour toucher notre vie de tous lesjours : compacts-disques, lectures de codes-barres dans les caisses enregistreusesde grandes surfaces, communications par fibres optiques... Ainsi, de nouvellestechnologies optiques sont venues modifier notre environnement, comme lontfait auparavant les technologies lectroniques puis les technologies informa-tiques. Cependant, ces deux dernires disciplines se sont pratiquement cres enmme temps qumergeaient leurs applications. Loptique, au contraire, bnfi-cie dune trs longue histoire et son volution dans les dernires annes prsentedes aspects tout fait originaux.

De nouveaux domaines sont ns, bien sr, avec lavnement des sources laserscohrentes de loptique : la physique des lasers, loptique non-linaire, loptiquequantique, en particulier. Ils ont fait lobjet de beaucoup dattention de la partdes chercheurs et de nombreux ouvrages ont t publis pour faire le pointconcernant nos connaissances sur le sujet. La nouvelle vision que nous avonsmaintenant de loptique a cependant profondment modifi aussi la faon dontnous percevons ses bases anciennes. Loriginalit de la propagation des ondeslasers cohrentes met en vidence directement les limitations de loptique gom-trique qui traite simplement la lumire comme un ensemble de rayons lumi-neux. Cette optique gomtrique peut nanmoins continuer tre utilise avecbeaucoup de profit dans un grand nombre dapplications de sources lasers, condition que ses limitations soient bien domines. De mme, loptique physique(qui analyse les phnomnes dinterfrences et de diffractions) et le traitementgnral des ondes lectromagntiques, ne peuvent plus tre prsents de la mmemanire depuis que lon dispose des sources cohrentes, si lon souhaite per-mettre une formation bien connecte avec les soucis actuels des exprimenta-teurs. Or, dans tous ces derniers domaines, peu defforts pdagogiques ont traliss pour adapter notre ancienne faon de percevoir les phnomnes optiquesaux nouvelles donnes exprimentales. Cest dans ce contexte que les auteurs decet ouvrage, trs familiers des technologies actuelles lasers, proposent trs oppor-tunment une prsentation originale de loptique gomtrique.

Lenseignement de loptique gomtrique, tel quil est encore pratiqu le plus sou-vent, laisse une image un peu poussireuse de simple application mathmatiquedes relations de Chasles ou de la gomtrie des triangles, la physique sous-jacente tant rduite quelques considrations trs gnrales. Il ne peut alorsvraiment intresser que les tudiants frus de gomtrie, qui vont dailleurs vite

P R F A C E

se lasser dune utilisation rptitive de notions mathmatiques trs simples. Enfait, loptique gomtrique est un outil judicieux pour apprendre manipuler lalumire, pour comprendre simplement des phnomnes physiques complexes ouencore pour interprter la perception que nous avons du monde, via ce sensextraordinaire quest notre vision. La prsentation de loptique gomtrique nedoit donc pas tre uniquement une succession de relations indiquant commentun rayon lumineux se propage dans des milieux de diffrents indices. Elle doitpermettre de trouver des solutions des problmes mettant en jeu la lumire,doit donner des cls pour des observations surprenantes du monde qui nousentoure.

Cest ce point de vue quont choisi trs opportunment les auteurs. Ainsi, dansleur introduction, ils indiquent la place de loptique gomtrique parmi les trai-tements de la lumire et, plus gnralement, parmi les prsentations des propa-gations dondes lectromagntiques. Lhistorique qui est donn souligne bienlimportance ancestrale du sujet et indique surtout comment se sont compltespeu peu nos connaissances sur les proprits de la lumire, avec une acclra-tion remarquable dans les dernires dcennies. Dans le cur de louvrage, onretrouve, bien sr, toutes les notions de base essentielles pour dominer cettescience des rayons lumineux. Mais elles sont le plus souvent accompagnes deconsidrations historiques, dapplications technologiques trs actuelles ou encoredinterprtations de phnomnes naturels, ce qui ancre les notions mathma-tiques dans le contexte physique qui est leur raison dtre. Ainsi sont prsentes,par exemple, des explications claires des phnomnes solaires surprenants(parahlies, arc-en-ciel, aplatissement du Soleil, rayon vert), des mirages, de lavision sous leau. Les techniques rcemment dveloppes de fibres optiques, dertrorflecteurs solides, de lames sparatrices par rflexion totale frustre sontdonnes en illustration. Enfin, la partie consacre aux instruments de loptiquegomtrique commence par une description dtaille de notre il considrcomme un rcepteur complexe mais dont on peut avoir une vue schmatiquequi rend compte de beaucoup de ses caractristiques, aussi bien sur le planoptique que physiologique. Les instruments artificiels de loptique gomtriquesont galement prsents avec une grande simplicit, leurs proprits essentiellestant bien mises en exergue.

La forme de louvrage est bien adapte au souci manifeste des auteurs de fairepasser un message simple, clair grce un texte attractif. Les explicationsdtailles ont t prfres aux successions fastidieuses de relations, les schmasillustratifs sont faciles lire, une utilisation systmatique des encarts permet unepremire lecture rapide. Je voudrais enfin insister sur le bon choix qui a t faitdexercices avec solutions prsents au lecteur chaque chapitre. Ceux-ci doi-vent lui permettre de toucher du doigt systmatiquement limportance desnotions quil vient dapprendre.

Cet ouvrage constitue donc une prsentation de loptique gomtrique qui arrivefort propos lorsque lon considre les besoins dj importants et qui vont

PrfaceVI

encore beaucoup grossir, en formation dans cette matire ancienne venant decompltement se renouveler. Certes, louvrage sadresse en priorit aux tudiantsde premire et deuxime annes des universits ou aux lves de classes prpara-toires des lyces qui trouveront l, sous forme trs attractive, toutes les notions debase quils doivent acqurir. Je ne doute cependant pas que nombre dautresscientifiques non opticiens utilisent avec beaucoup de profit cet ouvrage poursatisfaire leur curiosit tant en ce qui concerne un certain nombre de nouvellestechnologies que pour comprendre enfin quelques phnomnes naturels.

Andr DucasseProfesseur de PhysiqueUniversit Bordeaux 1

Prface VII

On stonne trop de ce que lon voitrarement et pas assez de ce quon voittous les jours

COMTESSE DE GENLIS

Dans la nature se produisent spontanment des phnomnes lumineux varis et specta-culaires dont les plus connus sont les arcs-en-ciel et les mirages. La reprsentation de lalumire lorigine des phnomnes lumineux est faite ici dans le formalisme de loptiquegomtrique qui privilgie son caractre de propagation. Loptique gomtrique est uneapproximation de trs grande importance et son dveloppement est troitement li notre histoire des sciences, domaine dans lequel sa contribution est particulirement originale.

Loptique gomtrique est une bonne approximation tant que les dimensions du systmetudi sont grandes devant la longueur donde de la lumire qui sy propage. Nous mon-trons alors que le principe de Fermat permet dtablir les lois de Snell-Descartes qui sontles fondements de loptique gomtrique. Ces lois sont appliques de nombreuxexemples de dioptres plans (lames faces parallles, miroir plans, prisme...). Leurinfluence sur le parcours de la lumire tant expliqu, on introduira les consquencessur la vision travers ces systmes.

Nous dfinissons ensuite la condition de lapproximation de Gauss qui permet dtablir lafameuse relation de conjugaison qui relie les positions dun objet et de son image tra-vers nimporte quel dispositif optique (dioptre, miroir sphrique ou lentille mince) maisaussi travers des combinaisons comme la lentille paisse, loculaire ou le microscope.Cette gnralisation au formalisme de loptique gomtrique apporte une norme simpli-fication qui permet de dduire par des raisonnements simples toutes les autres relationsncessaires la caractrisation dun instrument.

Dans chaque chapitre nous proposerons des exemples dans le cours ou sous formedexercices accompagns de leurs solutions afin dinsister sur la porte pratique dans lavie de tous les jours des diffrentes notions traites. Si la reprsentation de la lumire parloptique gomtrique ne suffit pas pour expliquer toutes les curiosits naturelles, ellepermet de dmystifier de nombreux phnomnes lumineux. Nous aurons dj un nou-veau regard envers la nature !

Pour retenir lesprit sans contrainte un enseignement doit intresser par toutes ses appli-cations ! Cest ainsi que dans une deuxime partie, nous attirerons lattention, en relationdirecte avec le formalisme classique de loptique gomtrique, sur la description dinstru-ments classiques comme la loupe, le microscope, la lunette ou les jumelles, qui passion-nent les jeunes gnrations. La connaissance de leur principe de fonctionnement assureraleur utilisation dans de bonnes conditions.

AVA N T- P R O P O S

Remerciements

Pendant lcriture de ce livre, nous avons bnfici de laide dun grand nombre de col-lgues auquels nous voudrions rendre hommage.

Nous voudrions tout dabord remercier Bruno Chassagne, Bernard Pouligny et JacquesBaudon qui ont consacr beaucoup de temps une lecture critique du manuscrit.

Nous souhaitons galement tmoigner des discussions toujours enrichissantes que nousavons pu avoir avec Laurent Sarger et autres enseignants et chercheurs de notre entou-rage.

Enfin, nous remercions Andr Ducasse davoir accept de prfacer cet ouvrage.

Les auteurs

Avant-propos IX

Prface VAvant-propos VIII

Chapitre 1. La lumire et loptique gomtrique 1

1. Quest-ce que la lumire ? : bref historique 12. La lumire dans le vide 33. Propagation de la lumire dans les milieux matriels 94. Loptique gomtrique 115. Conclusion 13

retenir 14QCM 15Exercices 16Solutions 18

Chapitre 2. Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes 21

1. Principe de Fermat 212. nonc des lois de Snell-Descartes 263. Principe du retour inverse de la lumire 274. Interprtation des lois de Snell-Descartes 285. Construction gomtrique du rayon rfract par les surfaces dindices

(construction de Huygens) 326. Approximation des petits angles : loi de Kepler 337. Applications 34

retenir 36Annexe 1. Rappels sur les fonctions trigonomtriques 38QCM 40Exercices 41Solutions 46

Chapitre 3. Le prisme 53

1 Dfinitions 532. Influence dun prisme sur la marche dun rayon 543. Analyse des formules du prisme 554. Influence de langle A du prisme sur langle de dviation D 595. Application aux mesures de lindice absolu dun milieu 606. Prismes rflexion totale 64


Chapitre 4. La vision des images et les conditions de Gauss 87

1. Vision dimages 872. Critres de qualit dun systme 973. Images relles et images virtuelles 1004. Objets rels et objets virtuels 1005. Classification des systmes optiques 101

TA B L E D E S M AT I R E S

retenir 102Annexe 2. Vision du poisson sous leau 103QCM 107Exercices 108Solutions 112

Chapitre 5. Les dioptres sphriques 119

1. Dfinitions 1192. De la loi de Snell-Descartes la relation de conjugaison 1213. Analyse de la relation de conjugaison 1244. tude des foyers dun dioptre 1275. Autres formulations de la relation de conjugaison 1296. Relation de Newton 1307. Construction dimages travers un dioptre sphrique 1318. Grandissement transversal ou transverse 1349. Grandissement longitudinal g 13610. Dformation dimages travers les dioptres sphriques 137


Chapitre 6. Les miroirs sphriques 151

1. Le miroir sphrique : dfinition 1512. De la loi de Snell-Descartes la relation de conjugaison

pour un miroir sphrique 1533. tude de la relation de conjugaison du miroir sphrique 1554. tude des foyers dun miroir sphrique 1575. Nature de limage forme par un miroir sphrique 1586. Autres formulations de la relation de conjugaison 1597. Relation de Newton 1618. Construction dimages travers un miroir sphrique 1619. Le grandissement transversal et le grandissement longitudinal g 16410. Un miroir sphrique nest pas stigmatique 16511. Un miroir stigmatique est parabolique 167


Chapitre 7. Les lentilles minces 187

1. Lentilles minces : dfinition et symbole 1872. Relation de conjugaison des lentilles minces 1903. Foyers et plans focaux dune lentille mince 1924. Autres formes de la relation de conjugaison 1935. Analyse de leffet dune lentille mince 1946. Images et grandissement 1947. Exemples de lentilles minces 1998. Les lentilles accoles 2019. Lentilles mince sparant deux milieux dindice diffrent 202


Table des matires XI

Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

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ise

est u

n d

lit.

Chapitre 8. Les combinaisons ou associations 219

1. Introduction 2192. Formules universelles 2203. Mise en quation dun doublet quelconque 2214. Foyers dun doublet 2225. Relation de Newton 2226. Distances focales dun doublet 2237. Points principaux H et H et relation de Descartes 2258. Rapport des distances focales 2289. Vergence dune association : la formule de Gullstrand 22810. Construction dimages et grandissement 22911. Application 23112. Formulation matricielle de ltude des associations 234


Chapitre 9. Lil 263

1. Introduction 2632. Description de lil 2633. Quelques caractristiques de lil 2664. Schma optique de lil 2675. il emmtrope (normal) 2696. Les dfauts de lil et comment les corriger 270


Chapitre 10. Instruments et photomtrie 285

1. Dfinitions 2852. Description de quelques instruments 2963. Quelques lments de photomtrie nergtique 303


Constructions 323

1. Miroirs plans 3232. Dioptres sphriques 3243. Miroirs sphriques 3264. Lentilles minces 3285. Associations 3336. Botes mystrieuses 337

Solutions 338

Index 353

Table des matiresXII

D

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L

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.

Ce chapitre reprend lessentiel des notions lmentaires sur les ondeslumineuses utiles loptique gomtrique. Quelques-unes dentre ellesont t vues au lyce.

Aprs un bref rappel historique sur la lumire au fil des sicles, ce cha-pitre prsente le spectre des ondes lectromagntiques. La descriptionde la propagation de la lumire dans le vide ou dans des milieux mat-riels isotropes et transparents est aborde partir de principes. Enfin,nous dfinissons le cadre dans lequel sinscrit lemploi de loptique go-mtrique.

1. QUEST-CE QUE LA LUMIRE ? : BREF HISTORIQUE

Ltude des phnomnes lumineux a de tout temps passionn lhomme et lhistoire dessciences a t marque par de nombreux dbats concernant la nature de la lumire. laquestion simple, quest-ce que la lumire , les rponses ont t varies. Cependant,diffrentes descriptions de la lumire, bases sur lobservation quotidienne, se sont dve-loppes au cours des sicles.

Ainsi, dans lAntiquit on pensait que la lumire tait issue de leurs propres yeux sousune forme alimente par une sorte de feu. Cette thorie du feu visuel affirmait quectait lil qui mettait de la lumire, permettant ainsi la vision des objets. Euclide, unfervent dfenseur de ces ides, a fond une thorie base uniquement sur la notion derayon lumineux ; elle a permis den dduire les principes du retour inverse et de la pro-pagation rectiligne de la lumire.

Peu peu, les savants ont compris que la lumire tait une entit propre, indpendantedu sujet qui la regarde. Ibn al-Haitham, plus connu sous le nom dAhlazen, scientifiquearabe du XIe sicle, alors fort lu en Occident, a t lun des premiers dvelopper cette

C H A P I T R E 1

LA LUMIRE ET LOPTIQUE GOMTRIQUE

Pr-requis

Objectif

ide. Il imagine diverses expriences destines mettre en vidence linfluence de lalumire sur lil. En effet, comment une lumire intense, celle du soleil par exemple,issue de lil de lobservateur, peut-elle le blesser et laveugler ? De la mme faon, com-ment expliquer que la finesse des dtails dun objet ne soit observable que lorsque lesconditions dclairement sont bien matrises ? Enfin, ce nest pas parce que lon fermeles yeux que limage du ciel travers une fentre disparat. Toutes ces observations sontla preuve vidente que la lumire a une identit propre et que nous ne faisons que lasubir travers notre vision. Ahlazen a propos de nombreuses expriences, faisant ainsipreuve dune crativit tout fait exceptionnelle.

Jusquau XIIIe sicle, aucune ide nouvelle nest apparue ; pourtant, certaines observa-tions, comme le phnomne de larc-en-ciel ou la dcomposition de la lumire par unprisme de verre, suggrent bien lexistence dune double nature de la lumire, ondula-toire et corpusculaire.

Au XVIIe sicle, les scientifiques se sont largement querells ce sujet sans quun relaccord puisse tre trouv. Galile, aprs avoir construit un des premiers microscopes,smerveille de lobservation des plantes. Selon lui, la lumire est compose de grainsrebondissant sur une surface rflchissante. Au contraire, sappuyant sur les phno-mnes de rflexion, Descartes et Newton sont de fervents dfenseurs de la nature cor-pusculaire de la lumire. Paralllement, Fermat tablit que la lumire se propage selonun principe de moindre temps, plus vite dans le vide que dans les autres milieux. Il lutteainsi contre les ides de Descartes, selon lesquelles la lumire va plus vite dans la matireque dans le vide. En 1685, les premires expriences de diffraction faites par Grimaldi,faisant passer la lumire travers un fil ou un cheveu, dmontrent le caractre ondula-toire de la lumire. En effet, un fil plac sur le trajet dun faisceau lumineux produit unefigure de diffraction compose de structures complexes qui font penser au comporte-ment des rides provoques la surface de leau par un caillou.

En 1821, Augustin Fresnel dfinit la lumire comme une onde, cest--dire comme uneperturbation voyageant ou se propageant sans dplacement de matire. Cest un phno-mne bien connu de tous les enfants habitus faire des ricochets dans leau : les ridesprovoques par un caillou la surface de leau se propagent circulairement autour dunpoint dimpact sans produire de transport deau. On parle dans ce cas dondes mca-niques ; celles-ci existent dans des milieux dont les proprits lastiques leur permettentde revenir leur tat dquilibre. Au XIXe sicle, Faraday, puis Maxwell, montrent que lalumire est une onde lectromagntique. Il semble alors exclu dattribuer une natureautre quondulatoire la lumire.

Pourtant, en 1887, Hertz dcouvre leffet photolectrique : si lon envoie sur un mat-riau mtallique un faisceau dont la longueur donde est suprieure un certain seuil, onlui arrache des lectrons. La valeur du seuil est directement relie la nature mme dumtal. Aucune interprtation de leffet photolectrique ntait possible avec une thorieondulatoire. De mme, un morceau de mtal chauff trs haute temprature(1 500 C) met un rayonnement, appel rayonnement du corps noir, qui ne dpend pasde la nature du corps, mais uniquement de sa temprature.

En 1905, Albert Einstein publie un article rvolutionnaire qui lui vaut le prix Nobel, danslequel il interprte ces deux expriences. Il prouve ainsi la nature corpusculaire de lalumire et montre que, si elle est compose de photons de mme frquence qui sedplacent la vitesse de la lumire, ils ont tous la mme nergie.

Enfin, lavance du XXe sicle, avec le dveloppement de la dualit onde-corpuscule d de Broglie, Heisenberg et Dirac, met un point final cette querelle : la lumire a

Optique2

effectivement ce double aspect et les chelles de mesure auxquelles on travaille peuventmettre en avant lune ou lautre nature, ondulatoire ou corpusculaire.

2. LA LUMIRE DANS LE VIDE

Les ondes lectromagntiques sont des phnomnes priodiques qui, contrairement auson, se propagent aussi bien dans un milieu matriel que dans le vide. Les physiciens duXIXe sicle avaient dailleurs imagin un milieu matriel remplissant lunivers, lther,porteur des ondes lectromagntiques. Les expriences de Michelson ont compltementananti ce concept.

2.1. Le spectre lectromagntique dans le vide

Les ondes lectromagntiques sont constitues dun champ lectriqueE et dun

champ magntiqueB qui varient priodiquement dans le temps. Considrons le cas

simple dondes sinusodales se propageant dans le vide. Dans ce cas, les deux champs E

et B sont situs dans un plan perpendiculaire la direction de propagation de londe

repre par le vecteur k et ces trois vecteurs forment un tridre direct (E, B, k ) .

La plupart des effets lumineux tant directement relis lexistence du champ lec-

trique, loptique sintresse essentiellement lvolution de E . Si lon suppose ce der-

nier dirig selon laxe Ox , il oscille en fonction du temps le long de cet axe comme Ex(r , t) = E0(r )sin 2 tT ; E0 est lamplitude du champ lectrique et sa direction dfi-nit ce que lon appelle la polarisation du champ. Cette dernire notion nintervenantpas en optique gomtrique, elle ne sera pas dtaille ici.

En raison de leur caractre priodique, les ondes lectromagntiques sinusodales sereproduisent identiques elles-mmes au bout dun certain temps T , appel priodetemporelle et exprim en secondes ; la priode est linverse de la frquence , exprimeen hertz (symbole Hz). Le MHz (106 Hz) et le GHz (109 Hz) sont des multiples de fr-quence couramment utiliss. On peut aussi dfinir , la pulsation, exprime en radians

par seconde, par : = 2T

= 2 .

Si lon mesure la distance parcourue par le champ lectrique pendant la priode T , onobtient sa longueur donde . Elle est exprime en mtres ou en sous-multiples commepar exemple le micromtre appel micron (106 m , symbole m ), le nanomtre(109 m, symbole nm) ou langstrm (1010 m, symbole ), le picomtre (1012 m, sym-bole pm), le femtomtre (1015 m, symbole fm).Lorsquune seule frquence (ou, de manire quivalente, une des quantits T , ou ) caractrise une onde lectromagntique, elle est dite monochromatique. Dans le cascontraire, elle est polychromatique.

Les ondes lectromagntiques couvrent une trs large gamme de frquences, depuis lesondes radio, dont la frquence est voisine de quelques 103 Hz, jusquaux rayons detrs haute nergie, de frquence 1019 Hz 1022 Hz, provenant naturellement de lespace

1 La lumire et loptique gomtrique 3

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lit.

interstellaire ou du soleil. Dans le vide ou dans la matire, les ondes lectromagntiquesobissent une mme classification selon la valeur de leur frquence , prsente dansle tableau 1.1. On peut aussi choisir de dfinir les diffrentes parties du spectre lectro-magntique par leur longueur donde (voir tableau 1.1); cependant, cette distinctiondpend de la relation qui lie et donc du milieu dans lequel londe se dplace.

Optique4

Tableau 1.1 Prsentation du spectre lectromagntique dans le vide

Frquences Longueur donde = 1/T dans le vide Type dondes

Hz Autre unit m Autre unit

3 103 3 105 3 300 KHz 103 105 Radio basse frquence (LF)

3 105 3 106 0,3 3 MHz 102 103 Radio moyennefrquence

3 106 3 107 10 102 Radio hautefrquence

3 107 3 108 1 10 Radio VHF3 108 3 109 0,3 3 GHz 101 1 Radio UHF3 109 3 1011 103 101 Micro-ondes3 1011 4 1014 0,3 400 THz 0,7 106 103 IR4 1014 7,5 1014 0,4 106 0,7 106 0,4 m 0,7 m Visible7,5 1014 3 1017 109 0,4 106 UV3 1017 3 1019 1011 109 10 pm 1 nm Rayons X3 1019 3 1022 1014 1011 10 fm 10 pm Rayons

Ainsi, dans le vide, la frquence dune onde lectromagntique est relie sa longueur donde par la relation = c , o c est la vitesse de propagation de lalumire dans le vide. Cest en fait la plus grande vitesse qui puisse exister dans lunivers.La vitesse c est lune des constantes fondamentales de la physique et vaut299 792,458 km.s1 . On utilise souvent sa valeur approche c 3.108 m.s1 . Lencarthistorique prsente des expriences qui ont permis de la mesurer.

Prcisons que lon devrait en fait parler de clrit de la lumire, car le terme de vitesseest en gnral rserv un transport matriel, celui de clrit aux ondes; lusage veutcependant que lon parle de vitesse de la lumire.


Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

Dans le vide, la frquence dune onde lectromagntique monochromatique estrelie sa longueur donde par la relation :

= c

= cT

c est sa vitesse dans le vide, clrit ou vitesse de la lumire.

c = 299 792,458 km.s1 . On utilise couramment la valeur approche c 3 108 m.s1 .

Encart historique. Quelques mesures historiques de la vitesse de la lumire

Galile (1564-1642) a tent de mesurer directement la vitesse de la lumire en plaantdeux personnes quelques kilomtres de distance. Chacune tait quipe dune lan-terne. La premire teignait sa lampe et mettait son chronomtre (un sablier !) enroute ; la seconde, apercevant lextinction de la premire lanterne, teignait la sienne. lextinction, le premier observateur arrtait son chronomtre. condition de ragirinstantanment, le temps mesur correspondait donc au temps mis par la lumirepour effectuer laller et retour. Galile ne souponnait pas que, compte tenu du tempsde raction des observateurs, la lumire avait le temps deffectuer pendant lexp-rience un parcours quivalent plusieurs fois le tour de la Terre !

Lexistence de c en tant que vitesse finie a t prouve pour la premire fois en 1676par un astronome danois Olas Rmer (1644-1710) qui travaillait lObservatoire deParis. Il avait remarqu, depuis la dcouverte par Galile, en 1610, des satellites deJupiter, un dcalage systmatique du dbut des clipses de ces satellites par la plante.Rmer attribua cette variation une modification, dune clipse lautre, de la dis-tance parcourir par la lumire entre le satellite L et la Terre. Entre les positionsextrmes Terre-Jupiter (notes 1 et 3 sur la figure 1.1), linstant de disparition dusatellite seffectue avec un retard ou une avance qui peut atteindre 996 secondes. Cestle temps mis par la lumire pour traverser le diamtre de lorbite terrestre, soit envi-ron 2 150 106 km . On peut ainsi accder la vitesse de la lumire en crivant :

c = 2 150 106

996 300 000 km.s1

Soleil

Terre

1 3

2

JupiterJupiterL

Figure 1.1 Principe de la mesure de la vitesse de la lumire daprs les clipses des satellites de Jupiter.

La lumire que nous voyons nest quune petite partie du vaste spectre lectromagn-tique dfini dans le tableau 1.1, appele le visible . Gnralement, dans le vide comme lintrieur de la matire, elle rsulte de la superposition de plusieurs ondes lectroma-gntiques monochromatiques (lumire polychromatique). Dans le vide, les longueursdonde des radiations visibles sont comprises entre environ = 400 nm et = 800 nm( = 750 1012 Hz et = 375 1012 Hz ). En fait, les limites du spectre visible varientselon lacuit de lil de lobservateur et selon lintensit perue.

Les origines des diffrentes sources visibles peuvent tre trs varies. Ainsi, lclairageissu du Soleil ou fourni par une lampe filament est compos de toutes les longueursdonde du visible ; cest un spectre continu. En revanche, lclairage souvent employdans les tunnels dautoroute est fourni par des lampes contenant par exemple desvapeurs de sodium (Na). Elles nmettent donc, en accord avec le spectre de raies carac-tristique du gaz utilis, que quelques longueurs donde du visible ; ce spectre est dit discret , par opposition au spectre continu de la lampe filament. Enfin, la plupart descaisses de supermarchs sont quipes de systmes de lecture de codes barres qui utili-sent un faisceau visible monochromatique fourni par une diode laser dont la longueurdonde se situe aux alentours de 670 nm. Le spectre lumineux dmission de la diodelaser est dans ce cas monochromatique.

Pour sparer les diffrentes longueurs donde dune source, une mthode exprimen-tale est propose au chapitre 3. Elle consiste en lobservation du spectre lumineux tra-vers un prisme de verre.

Les longueurs donde ultraviolettes et infrarouges forment deux rgions adjacentes duspectre visible qui peuvent tre galement assimiles au spectre lumineux. Les limites duspectre visible lui-mme sont dailleurs mal dfinies et on convient souvent de dire que lerayonnement ultraviolet stale dans le vide de 400 nm 10 nm. Il est prsent dans lalumire solaire o il est trs utile car il produit chez lhomme la vitamine D, et provoque

Optique6

Depuis ces premires expriences, bien dautres tentatives de mesure de la vitesse dela lumire ont t menes, utilisant cette fois des mthodes entirement terrestres. En1920, Albert Michelson a obtenu pour la premire fois une valeur, par la suite confir-me par des centaines dexpriences. Dans son exprience, une source de lumiremet un rayonnement lumineux depuis le mont Wilson en direction dun miroir tour-nant situ 35 km de distance sur le mont Baldy. Seule une position dtermine dumiroir permet de renvoyer le faisceau dans la direction oppose. Grce une mesuretopographique prcise 0,3 cm prs, et connaissant la vitesse de rotation du miroir de

renvoi, on peut relier le temps t = 2lc

que met le rayon lumineux revenir son point

de dpart la vitesse de rotation du miroir. Plusieurs centaines de mesures aboutirent une valeur de la vitesse de la lumire gale 299 796 km.s1 .

En fait, la prcision atteinte sur la mesure de c est limite par celle que lon peut avoirsur les mesures de longueur et de temps. Le mtre talon de 1960 tait dfini partirde la longueur donde dans le vide dune transition de latome de krypton 86.Cependant, sa prcision tait limite. Le dveloppement des lasers continus, dont lafrquence peut tre donne quelques kHz prs, a permis une dfinition plus prcisedu mtre : le mtre est la longueur du trajet parcouru dans le vide par la lumirependant une dure de 1/299792458e de seconde . Cette dfinition a t adopte le20 octobre 1983 la 17e Confrence gnrale des poids et mesures.

le bronzage. De mme, la rgion infrarouge (entre 800 nm et 1 mm) est perue par lestres humains comme de la chaleur : ce sont par exemple les radiations produites par unradiateur que nous ressentons sans les voir. Cest aussi grce ce rayonnement que lesanimaux vision nocturne dtectent les radiations mises par les corps chauds. Il estaussi couramment utilis en technologie mdicale pour la dtection danomalies tellesque des tumeurs cancreuses qui apparaissent comme des zones plus chaudes que les tis-sus sains. Aujourdhui, les ondes infrarouges jouent aussi un rle trs important dans lestlcommunications optiques et dans les applications militaires.

Les autres parties du spectre lectromagntique ne sont pas perues par lil ; nan-moins, les technologies du XXe sicle nous les ont rendues familires. Nous allons les pas-ser en revue.

Les micro-ondes (comprises entre 3 109 et 3 1011 Hz) sont utilises dans les radars etles communications interurbaines (comme les conversations tlphoniques) grce desantennes hautes frquences. En mdecine, elles dtruisent slectivement les cellules can-creuses plus aptes absorber leur nergie que les cellules non atteintes. Enfin, elles sesont largement dmocratises avec larrive des fours micro-ondes dans les mnages.Ceux-ci fonctionnent une frquence nominale de 2 450 MHz.

Les signaux de radio et de tlvision couvrent une gamme de frquences compriseentre 3 103 et 3 109 Hz. Les rayons X (compris entre 3 1017 et 3 1019 Hz) sont principalement utiliss enimagerie mdicale. Ils sont mis par la matire lorsquelle subit le choc dlectrons trsrapides. Dans lunivers, de nombreuses sources X sont observes par les astronomes.Leur dnomination est due Rntgen qui les a dcouverts en 1895 et pour qui leurnature paraissait mystrieuse.

Les rayons sont beaucoup plus nergtiques que les rayons X et se rencontrent dansle mme type dapplications. Ils sont mis par des corps radioactifs et se situent dans unegamme de frquences suprieures 3 1019 Hz.

2.2. La propagation de la lumire dans le vide

Les observations courantes nous amnent considrer le vide comme un milieu homo-gne et isotrope ; ceci signifie que les proprits de propagation des ondes lectroma-gntiques (et donc de la lumire) ne varient pas sur leur trajet et quil ny a pas dedirection privilgie. Lexprience montre alors que la lumire se propage en lignedroite. Cette proprit snonce sous forme du principe de la propagation rectiligne :


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Principe de la propagation rectiligne I. Dans le vide, la lumire se propage en ligne droitede manire isotrope avec une vitesse c constante.

La notion de propagation rectiligne nous est naturelle. Observons par exemple un pointparticulier dun objet. Si lon interpose par exemple un livre entre notre il et ce point,nous ne le voyons plus. On en dduit facilement que la lumire, qui va du point lil, asuivi un segment de droite. Pour matrialiser la propagation rectiligne, on a lhabitudede reprsenter des rayons lumineux sous forme de lignes droites issues de la source(figure 1.2). Une flche indique le sens de dplacement. Si cette formalisation na pas

de support physique (on na jamais relle-ment observ de rayon unique matrialispar une ligne droite !), elle est trs pratiquepour la comprhension des phnomnes. Denombreux rayons trs serrs issus de la mmesource forment un pinceau. Enfin, en raisondu principe de propagation rectiligne de lalumire, sa trajectoire ne dpend pas de sonsens de propagation.

La consquence la plus immdiate de la propagation rectiligne est lexistence delombre. Quand une lampe claire un objet opaque, on observe derrire lui une zonedombre. Si lon coupe cette ombre par un cran, on obtient la silhouette de lobjet.Ceci peut tre facilement vrifi en interposant nos deux mains (lobjet) entre un mur etune lampe. Cest sur cette exprience simple que se base le principe des ombres chi-noises o lon peut reconstituer avec un peu dimagination des silhouettes danimaux.De mme, la nature nous offre des jeux dombre naturels travers les clipses de Luneet de Soleil (encart 1.1).

Optique8

A

B

= AB/c

Figure 1.2 Propagation rectiligne de la lumire.

Le principe de la propagation rectiligne est aussi trs bien vrifi dans lexempledune clipse de Soleil au cours de laquelle les astronomes prdisent la propagationdes zones dombre et de pnombre avec une prcision infrieure la seconde. Cesprdictions reposent compltement sur la construction dombres gomtriques quise forment derrire la Lune et dans laquelle on applique le principe de propagationrectiligne (figure 1.3).

Sur la figure 1.3, Lune, Soleil et Terre sont assimils des sphres. Parmi les rayonsenvoys par le Soleil, certains sont arrts par la Lune, ce qui forme une zonedombre de forme conique (triangulaire dans le plan de la figure). Comme la sourcelumineuse (le Soleil) nest pas ponctuelle, la zone dombre prsente une structurecomplexe.

Si de chaque point du Soleil (on en choisit par exemple deux diamtralement oppo-ss, A et B), on dessine les faisceaux qui clairent la Lune, on visualise la structurede lombre. Ainsi, on observe sur la figure 1.3 :

Encart 1.1. Lclipse de Soleil

B

A

SoleilLune

Terre

OmbrePnombre

Figure 1.3 Pour rendre compte dune clipse de soleil par exemple, la propagation rectiligne de la lumire sapplique parfaitement.

3. PROPAGATION DE LA LUMIRE DANS LES MILIEUX MATRIELS

3.1. Classification des ondes lectromagntiques

Nous avons vu au paragraphe 2.1 que, dans le vide, une onde tait dfinie par sa fr-quence, mais aussi par sa longueur donde. La frquence ne dpend pas du milieudans lequel se propage la lumire (vide ou matriel) ; par contre, la longueur donde estmodifie car la lumire se propage dans les milieux matriels une vitesse V diffrentede la clrit c , avec V = c/n o n est lindice absolu du milieu. Cest une caractris-tique intrinsque du milieu ; n tant toujours suprieur ou gal 1, la lumire se pro-page toujours moins vite dans un milieu matriel que dans le vide. On a donc unerelation entre c et V. Pour un milieu matriel, V = .


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un cne dombre trs petit o lobscurit est complte. Un observateur terrestresitu dans le cne dombre ne voit pas le Soleil. Pour lui, lclipse est totale ;

une rgion de transition appele pnombre o la luminosit augmente progressi-vement quand on sloigne de laxe du cne. Un observateur plac dans lapnombre voit le Soleil partiellement clips.

partir des tracs gomtriques, on peut calculer exactement dans les zones clip-ses les instants de passage dans la pnombre et dans lombre.

De la mme faon, on peut dcrire une clipse de Lune en interchangeant sur lafigure 1.3 les rles de la Terre et de la Lune.

On peut trouver une tude plus dtaille du phnomne des clipses danslexercice 4.

Dans un milieu dindice absolu n (n 1) , la frquence dune onde lectromagntiquemonochromatique est relie sa longueur donde par la relation = V avecV = c/n , V est la vitesse de londe lectromagntique dans le milieu, elle est toujours infrieureou gale c .

Lindice n dpend de la longueur donde de la lumire qui traverse le milieu ; dunemanire gnrale, lorsque la longueur donde diminue, lindice augmente. On appellece phnomne la dispersion optique qui peut-tre quantifi grce la loi de Cauchy :

n() = A1 + B12

o est exprim en m.

Dautres lois sont utilises pour calculer les indices comme la loi de Sellmeier donne

par : n2() = 1 + a + b2 c o a,b,c sont aussi des constantes. Cette dernire est sou-

vent utilise pour calculer les indices de verres ou de cristaux.

Optique10

Dans tous les cas, les coefficients sont caractristiques du milieu considr. Le tableau1.2 donne les valeurs des indices de leau et dun verre pour quelques longueurs dondecaractristiques de lmission de certains atomes.

Tableau 1.2 Indices de rfraction de leau et du verre ordinaire

Eau 1,3371 1,3330 1,3311

Verre 1,5157 1,5100 1,5076

Longueur donde 0,486 0,589 0,656 (m) (raie bleue (raie jaune D (raie H

de lhydrogne) du sodium) de lhydrogne)

Lexercice 6 propose une loi qui rend compte de la dpendance en longueur donde delindice de ces milieux.

3.2 Propagation de la lumire dans un milieu transparent et isotrope

Lamplitude du champ E0 nest pas modifie lors de la traverse de milieux isotropes ettransparents et ses proprits de propagation sont indpendantes de la direction suivie.Le verre mais aussi lair, milieu naturel dans lequel nous vivons, en sont des exemples. Sile milieu est homogne, il est caractris, pour une longueur donde donne, par unseul indice absolu. Le principe de propagation rectiligne nonc pour le vide est alorstoujours vrifi. Cependant, la lumire est ralentie, sa vitesse de propagation V tantinfrieure la clrit c .

Principe de la propagation rectiligne II. Dans un milieu transparent, isotrope et homo-gne, la lumire se propage en ligne droite avec une vitesse V indpendante de ladirection.

Lindice absolu peut galement varier dun point lautre du milieu travers ; on dit quele milieu est inhomogne (air chaud, passage de leau dans lair...). Lindice de rfrac-tion est alors li essentiellement la quantit de matire prsente dans le milieu. Pourreprsenter cette variation, on peut utiliser la loi de Gladstone qui scrit :

n 1

= cste

o est la masse volumique du milieu, fonction de la pression et de la temprature. Onverra au chapitre 4 que des phnomnes atmosphriques tels que les mirages observssur des routes surchauffes ou le fameux rayon vert du soleil sont dus de telles dpen-dances.

Si le milieu est inhomogne, la lumire ne se propage donc plus en ligne droite. Dans cecas, si lon veut expliquer cette propagation, une bonne approximation consiste dcomposer le milieu en une srie de couches homognes dindices diffrents dans les-quelles la trajectoire du rayon lumineux est rectiligne. Le principe de Snell-Descartes,prsent au chapitre 2, permettra de rendre compte de faon simple des phnomnesde mirages ou de rfraction atmosphrique dcrits au chapitre 4.


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4. LOPTIQUE GOMTRIQUE

Les diffrents exemples abords illustent bien le fait que lobservation dun phnomnelumineux est possible si lon dispose dune source de lumire, dun milieu dans lequelelle se propage et dun rcepteur qui peut-tre un cran, lil... Afin dexpliquer les ph-nomnes observs, loptique propose plusieurs formalismes que nous allons rappeler.

4.1. Cadre gnral de loptique

Le mot optique est la transcription du mot grec qui signifie je vois . Il nous rappellequ lorigine on ne distinguait pas nettement ltude des sens de la vue de celle de lalumire. Aujourdhui, cest loptique physiologique qui soccupe des sensations visuelles.Dans cet ouvrage, nous appliquons principalement loptique des sources lumineusesdu domaine visible. Cependant, loptique ne se limite pas seulement aux phnomneslumineux proprement dits mais englobe aussi les rayonnements invisibles comme linfra-rouge (IR), lultraviolet (UV), les rayons X..., qui obissent aux mmes lois. La lumirepourra donc tre ventuellement dfinie dans un sens plus large que celui de rayonne-ment visible.

Historiquement, loptique couvre trois domaines diffrents : loptique gomtrique, lop-tique ondulatoire et loptique quantique, qui sont apparus en ordre de difficult crois-sante tant exprimentale que mathmatique. Il ne sagit pas doutils contradictoires maisde trois visions diffrentes des mmes phnomnes (tableau 1.3). Loptique gom-trique nest pas autre chose quune mthode de calcul simple sappliquant sous certainesconditions. Nous verrons quelle est construite de manire logique et rigoureuse moyen-nant quelques principes comme, par exemple, le principe de propagation rectiligne quenous avons dj nonc.

Tableau 1.3 Les trois grandes subdivisions de loptique

Validit Dimensions du systme Dimensions du systme de Dimensions du systmegrandes devant la longueur lordre de la longueur petites devant la longueur

donde qui se propage donde qui se propage donde qui se propage

Proccupations Rayon lumineux Onde lumineuse Processus atomiquesRflexion Vibration lectrique Vibrations Rfraction Interfrence lectromagntiquesDispersion Diffraction Champ lectrique

Photomtrie Diffusion et magntiquePolarisation

Apparition XVIIIe sicle XIXe sicle XXe sicle

Optique gomtrique Optique ondulatoire Optique quantique

Optique12

4.2. La place de loptique gomtrique et ses proccupations

Loptique gomtrique, dveloppe entre le XIIe et le XVIIe sicle, est une approxima-tion justifie quand les dimensions du systme optique tudi sont grandes devant la lon-gueur donde de la lumire qui sy propage. Par exemple, elle explique parfaitementlarc-en-ciel provoqu par les grosses gouttes de pluie, alors quelle est incapable dexpli-quer les auroles appeles couronnes qui apparaissent autour de lampadaires plongsdans le brouillard. Elle ne rend pas compte de phnomnes une chelle microsco-pique tels que la diffraction ou les interfrences, produits par exemple quand la lumirepasse travers des orifices rduits, ce qui montre que le principe de propagation recti-ligne nest plus vrifi et doit tre abandonn ; ces derniers phnomnes sexpliquentdans le cadre de loptique ondulatoire.

En fait, loptique gomtrique ignore compltement les phnomnes de compositiondes ondes et se borne additionner les effets des ondes indpendantes ; cest la raisonpour laquelle la longueur donde intervient rarement dans la description de la propaga-tion, si ce nest ventuellement travers lindice absolu du milieu ou pour distinguer unrayonnement dun autre. Loptique gomtrique ignore aussi la notion de photons carlnergie vhicule par londe na pas dinfluence sur sa propagation.

Loptique gomtrique utilise des sources. Dune manire gnrale, le mot sourcedsigne tout ce qui envoie de la lumire travers un dispositif, form par exemple delentilles ou de miroirs ; la distinction classique entre source primaire et source secon-daire na donc plus dimportance. Par exemple, la Lune et les plantes sont des sourcessecondaires dans le sens o elles nmettent pas directement de la lumire, mais rfl-chissent la lumire reue du soleil, dite source primaire. En dpit de cette distinction,loptique gomtrique sapplique dans les deux cas.

Lorsque les sources sont places grande distance (lampadaire, Lune, Soleil ou toiles),les rayons sont pratiquement parallles ; on dit quils forment un faisceau de rayonsparallles et que le faisceau est cylindrique. Dune manire gnrale, un faisceau peutavoir diffrentes configurations spatiales reprsentes dans la figure 1.6.

Faisceaudivergent

Faisceauconvergent

Faisceau derayons parallles

Figure 1.6 Diffrentes allures de faisceaux.

En optique gomtrique, on simplifie souvent le formalisme en faisant appel dessources ponctuelles ou peu tendues. On les ralise soit avec une source de faible taille,soit avec une source tendue place grande distance. Par exemple, une toile, de trsgrande taille (plusieurs millions de kilomtres de diamtre), a depuis la Terre la tailledune flamme de bougie place 600 km. Dune manire gnrale, lorsquune sourceest tendue, on peut la considrer comme un ensemble de sources ponctuelles.Exprimentalement, un diaphragme permet den isoler une toute petite fraction.

Enfin, jusqu prsent, nous avons dcrit la lumire comme une onde lectromagn-tique, caractrise par sa frquence ou sa longueur donde , sans parler de couleur.


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Cependant, notre systme visuel distingue avant tout les diffrentes sources lumineusespar leur couleur. Par l mme, la socit actuelle fait souvent appel au codage par la cou-leur plutt que par la frquence ou la longueur donde. Notre choix est dlibr. Eneffet, lil ne peroit pas toutes les couleurs avec la mme efficacit et sa sensibilit estgnralement maximale pour la couleur jaune (voir chapitre 9). En vision photopique(de jour), il peroit de faon peu prs identique le rouge et le bleu, mais il est peu sen-sible au violet et au rouge extrme et a du mal en distinguer les diffrentes nuances.Enfin, un objet napparat color que sil est clair par une source primaire. Ainsi,clair en lumire blanche, un objet parat rouge parce quil rflchit les radiationsrouges et absorbe les autres. Si lobjet prsente des irrgularits de surface, il en rsulteune diffusion non slective qui adoucit sa couleur. Nous conviendrons partir de cesquelques remarques que la notion de couleur est subjective. Elle ninterviendra doncpratiquement pas dans ce cours doptique gomtrique et on caractrisera tout dabordune source par sa frquence , ou sa longueur donde ; une rfrence sa couleurpourra ventuellement tre utilise afin de permettre au lecteur de se reprer.

Encart historique. Pourquoi ne parle-t-on que de sept couleurs ?

Dans le domaine de la perception des couleurs, des ides fortement ancres par lepass ont toujours cours, comme celle des sept couleurs de larc-en-ciel. Cest Newton,qui aprs avoir dcouvert la dcomposition de la lumire blanche en couleurs, en aparl le premier. Le nombre 7 , symbole de lharmonie des mondes, se retrouvedans les 7 plantes des Babyloniens, les 7 jours de la semaine, les 7 pchs capi-taux, les 7 sacrements de lglise, les 7 merveilles du monde... Depuis plus de 300 ans,nous sommes tenus dajouter le mystrieux indigo aux six couleurs familires (lerouge, le bleu, le jaune, le vert, lorange et le violet).

Cependant, dans lobservation dun arc-en-ciel, il est difficile didentifier plus de6 couleurs. Il semble que 6 ou 7 niveaux soient la limite de perception de nos sens.En effet, Hipparque avait dcrit 6 niveaux de luminosit des toiles, les musiciens ontdfini 7 notes dans la gamme, 7 niveaux sonores de pianissimo fortissimo...

On peut retenir lordre des 7 couleurs de larc-en-ciel avec le mot VIBUJOR

Violet-Indigo-Bleu-Vert-Jaune-Orang-Rouge

5. CONCLUSION

Cest grce la lumire que nous pouvons dcouvrir le monde qui nous entoure. Nousen avons dfini lessentiel. Dans la nature se produisent spontanment des phnomneslumineux varis et spectaculaires comme les arcs-en-ciel et les mirages. Les diffrentesconditions mtorologiques que lon peut rencontrer leur offrent parfois de surprenantsvisages. Sujet en apparence banal, le phnomne lumineux naturel intrigue et mer-veille tous ceux qui ont eu envie de sarrter pour lobserver. Qui na pas alors t tentde limmortaliser sur la pellicule dun appareil photo ou de le filmer afin de le partageravec ses amis ? Ces observations suscitent alors des interrogations auxquelles nous pro-posons dans ce livre des lments de rponse simples dans le cadre de loptique gom-trique. Nous y dcrirons galement un certain nombre dinstruments classiques etmodernes.

Optique14

RETENIR

Les ondes lectromagntiques se propagent dans le vide et dans les milieux mat-riels. Elles couvrent une trs large gamme de frquences depuis les ondes radio( = 3 103 Hz) jusquaux rayons ( = 1022 Hz).

Les ondes lectromagntiques sinusodales se reproduisent identiques elles-mmesau bout dun certain temps appel priode T , exprim en secondes, inverse de lafrquence , exprime en Hertz. La distance entre deux points successifs spars parle temps T est la longueur donde . Une onde est dite monochromatique si elle est caract-rise par une seule valeur de , de T ou de . Gnralement elle est une superpositionde plusieurs ondes lectromagntiques monochromatiques : elle est alors polychroma-tique.

La lumire nest quune petite partie du vaste spectre lectromagntique appele levisible ; dans le vide, le visible est compris entre = 400 nm et = 800 nm .

Principes de la propagation rectiligne : dans le vide, la lumire se propage en ligne droite, indpendamment du sens depropagation, avec une vitesse c indpendante de la direction ; on a toujours = c . dans un milieu transparent, isotrope et homogne la lumire se propage en ligne droiteavec une vitesse V indpendante de la direction ; on a = V .

.c est la vitesse de la lumire dans le vide ; cest la plus grande vitesse de propagationqui puisse exister dans lUnivers. Cest une constante fondamentale de la physique.Sa valeur approche est c 3 108 m s1 .

Dans un milieu matriel, la vitesse de la lumire est V = c/n , o n , indice absolu dumilieu, dpend de la longueur donde. n est toujours suprieur ou gal 1 (doncV < c ).

.n dpend aussi des conditions thermodynamiques locales (densit, pression et tem-prature) lorsquelles sont diffrentes dun point lautre dun milieu ; on dit alorsque le milieu est inhomogne.

Le formalisme de loptique gomtrique, qui dcrit la propagation de la lumiremise par des sources ponctuelles ou de faible taille (source place grande distan-ce), est applicable quand les dimensions du systme tudi sont grandes devant lalongueur donde .


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QCM

1 Les ondes lectromagntiques sinusodalessont des phnomnes priodiques caractriss par leur priode T (s)ou leur frquence (Hz), on a

(1) T = 2(2) T = 1/(2)(3) T = 1/

2 Les ondes lectromagntiques sinusodalessont classes dans le vide en fonction deleur frquence (Hz) ou de leur longueurdonde (m), on a

(1) = c(2) = c(3) = c

3 Soit une onde lectromagntique sinusodale du domaine visible dont la longueur donde dans le vide est = 600 nm . Que vaut sa pulsation (rad/s) ?

(1) 1,2 1014 rad s1(2) 3,14 1015 rad s1(3) 1,13 103 rad s1

4 Dans un milieu matriel transparent, isotrope et homogne la lumire se propage la vitesse V telle que :

(1) V < c(2) V = c(3) V > c

5 Quelle est la relation entre la vitesse de propagation de la lumire dans le vide cet celle dans un milieu matriel, dindiceabsolu n , V ?

(1) V = c(2) V = nc(3) V = c/n

6 Une onde lectromagntique sinusodale defrquence = 3 1014 Hz se propage dansun milieu dindice absolu n = 1,5 . Quelleest sa longueur donde (m) ?

(1) 6 1022 m(2) 6,6 107 m(3) 1,5 106 m

7 Une onde polychromatique sinusodale estcompose de

(1) aucune longueur donde.

(2) une seule longueur donde.

(3) plusieurs longueurs donde.

8 Le domaine du visible comprend les lon-gueurs donde (m) du domaine

(1) 103 0,8 106(2) 0,4 106 0,8 106(3) 0,4 106 108

9 Comment sont les dimensions du systmepar rapport la longueur donde qui sepropage, pour que lemploi de loptiquegomtrique soit valide ?

(1) dimensions du systme(2) = dimensions du systme(3) dimensions du systme

10 Quel mot permet de retenir les sept couleurs de larc-en-ciel que notre il dis-tingue ?

(1) ZIBUJON

(2) ZONJOUR

(3) VIBUJOR

Rponses : 1. 3, 2. 2, 3. 2, 4. 1, 5. 3, 6. 2, 7. 3, 8. 2, 9. 1, 10. 3.

EXERCICES

a) Soit un objet form dun secteur circulaire derayon R = 100 m et dangle = 45 . Calculer lalongueur du primtre.

b) La Lune de diamtre d = 3 400 km situe D = 384 000 km de la Terre, est vue sous unangle . Calculer tan et en radians, degrs etminutes. Vrifier que tan si est exprimen radians.

c) La longitude de Bordeaux est de 2 min 18 s Ouest. Exprimer cette longitude ensecondes dheures (s), minutes dheures (min), heures, en degrs, minutes darc(), secondes darc () et radians.

Le Soleil est une hauteur h = 30 au-dessus de lhorizon. Un individu de hauteurAB = 1,8 m regarde son ombre projete sur le sol horizontal.a) Quelle est la longueur AC de lombre ?

b) Le Soleil a un diamtre angulaire de 30. B , le haut de la tte, donne donc unepnombre de longueur CC o C et C sont les ombres formes respectivementpar les rayons provenant de la base du soleil (30 de hauteur) et par les rayons lumi-neux provenant du haut du soleil. Calculer cette longueur.

c) Quelle est la longueur de la pnombre forme au niveau de la taille D(AD = 1 m ) ?

Un disque opaque D de 1 cm de diamtre est plac 1 m dune source ponctuelleS . On place un cran E 3 m de la source. Quelle est

la dimension de lombre ?

langle au sommet du cne dombre ?

Un astre de rayon r clair par le soleil de rayon R cre derrire lui une zonedombre et une zone de pnombre. La zone dombre a une forme conique (trian-gulaire dans le plan de la figure).

a) Dterminer la longueur l du cne dombre en fonction de R , r et de D , la dis-tance entre le soleil et lastre (r l ).b) la distance d de lastre, lombre et la pnombre ont une forme circulaire derayons 1 et 2 . Dterminer les expressions de 1 et de 2 en fonction de r , R , Det d .

4

3

2

1

Optique16

R


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c) Application aux clipses de Lune (lastre est la Terre et la Lune est une distanced de la Terre) :R = rayon du soleil = 690 000 km,

D = 150 106 km = distance Soleil-Terre,r = rayon de la Terre = 6 370 km,

d = distance Terre-Lune = 384 000 km. Calculer l , 1 et 2 .

d) Application aux clipses de Soleil (lastre est la Lune et la Terre est une dis-tance d de la Lune) :R = rayon du soleil = 690 000 km,

D = 150 106 km,r = rayon de la Lune = 1 700 km.

Calculer l , 1 et 2 pour une distance Terre-Lune gale d = 349 000 km.Si la distance Terre-Lune vaut 384 000 km, le raisonnement prcdent est-il appli-cable ? Calculer 1 et 2 .

Reprendre la mme question pour une distance d = 415 000 km.

Plac une distance de 200 m dun difice de 410 m de haut, le toit dune maisonest 20 m du sol. quelle distance minimale doit se trouver un individu de 1,7 mde haut et dont les yeux sont placs 15 cm du sommet du crne pour apercevoir lesommet de ldifice au-dessus du toit de sa maison ?

Reprenons le tableau 1.2 qui donne les valeurs de lindice de leau et du verre pourtrois longueurs donde donnes. Sachant que la loi de dispersion scrit :

n2 = A0 + A12 + A22

, o est exprime en microns, calculer pour leau et le verre

les valeurs A0 , A1 et A2 .

6

5

l

dD

O O'r

R

Optique18

Solutions

a) R(2 + ) = 278,54 m et non 4 700 m , car doit tre exprim en radians.b) tan = d/D = 8,854166 103 . = 8,853935 103 radians = 0,507293 = 30,437 .c) 2 min 18 s = 138 s = 2,3 min = 3,8333 102 h .La terre faisant 360 en 24 heures, on a aussi 2 min 18 s = 0,575 = 34,5 = 2070 = 0,0100356radians.

a) AC = ABtan h

= 3,117 m

b) AC = ABtan 30,5

= 3,055 m . La pnombre est donne par :

CC = AC AC = 6,12 cm .c) Le calcul de la pnombre au niveau de la taille se fait comme prcdemment :

D D = AD AD = AD(

1tan 30

1tan 30,5

)

= 3,44 cm .

Lombre est galement un disque ;Si D est la dimension de lombre,

on a : D

SO= D

SO ,

ce qui donne D = 3 cm .Si est langle au sommet, on a

tan(

2

)

= D

2SO , soit = 0,57 .

a) Le demi-angle du cne dombre est tel que : tan = Rl + D =

r

l, soit l = r D

R r .

b) De mme, tan = 1l d =

r

l, soit : 1 = r D d R + drD .

En posant O O = x , on a tan = RD x =

r

x= 2

d + x ,

soit, en liminant x, 2 = r D + d R + rdD .c) l = 1 397 686 km ; 1 = 4 620 km et 2 = 8 153 km .d) l = 370 478 km ; Si d = 349 000 km , 1 = 98,5 km et 2 = 3 309 km . Si d = 384 000 km , d > l , ce qui conduit une structure dombre diffrente, indique sur la figure ci-aprs. Le diamtre du cne dombre est donn par : tan = 1

l d =r

l, soit

1 = r D d R + drD . La structure de pnombre (non reprsente) nest pas change.

4

3

2

1

Source

SD

O O' D'

Ombre

E

A B C D

B'C'

D'

1,55 m 20 m410 m

200 m


Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

ldD

O O'r

R

On trouve 1 = 62 km et 2 = 3 470 km .Si d = 415 000 km , 1 = 204 km et 2 = 3 613,7 km .

Lhomme, not B B , est situ en B.

On a DD

AC + C D =CC

AC AC = C D CC

DD CC = 10,25 m.

Par ailleurs CC

AC= B B

AB AB = AC B B

CC

et BC = AC AB = AC(

1 B B

CC

)

= 9,45 m.

En remplaant dans lquation donnant n en fonction de , on a pour chaque matriau, unsystme de trois quations trois inconnues :

n21 = n2(1) = A0 + A121 +A221

n22 = n2(2) = A0 + A122 +A222

n23 = n2(3) = A0 + A123 +A223

A0 , A1 et A2 sont les trois inconnues et lon connat pour chaque quation la valeur ni () .

En rsolvant le systme dquations (pour leau, puis pour le verre), on trouve :

6

5

Eau 1,76183 0,0142211 0,00693626

Verre 2,24503 0,0029501 0,0125214

Constantes A0 A1 A2

Optique20

D

unod

L

a ph

otoc

opie

non

aut

oris

e es

t un

dlit

.

Nous avons vu au chapitre 1 que loptique gomtrique privilgiait lapropagation de la lumire. Elle met donc uniquement en jeu desrayons lumineux de frquence ou de longueur donde donne. Nousavons aussi mentionn une observation importante selon laquelle lapropagation de la lumire dans le vide ou dans un milieu transparenthomogne et isotrope tait rectiligne. Cette propagation se fait, dans levide, la clrit c et, dans un milieu isotrope et transparent, lavitesse V = c/n (o n est lindice absolu du milieu : n 1 ).

Dans ce chapitre, nous prsentons leffet sur le chemin dun rayonlumineux dune surface, appele dioptre, sparant deux milieux din-dices diffrents. Nous montrons dans ce chapitre que, dans le cadre deloptique gomtrique, le rayon se spare en un rayon rflchi et unrayon transmis obissant aux lois de Snell-Descartes. Celles-ci dcoulentdun principe gnral de la physique appel le principe de Fermat.Deux situations se distinguent selon que le rapport des indices des deuxmilieux est infrieur ou suprieur 1. Nous les tudierons en dtail.

1. PRINCIPE DE FERMAT

Une mthode lgante pour tudier le trajet dun rayon lumineux rfract et/ou rfl-chi par une surface de sparation, appele dioptre, a t suggre par Pierre de Fermaten 1658. Elle sintresse au temps de propagation plutt quau trajet gomtrique suivipar la lumire et dfinit ainsi un principe de moindre temps. Comme tous les principes(synonyme de loi en physique), celui-ci snonce sous la forme dune affirmation nondmontre, mais vrifie par ses consquences. On peut lcrire :

C H A P I T R E 2

DU PRINCIPE DE FERMATAUX LOIS DE SNELL-DESCARTES

Pr-requis

Objectif

Pour aller dun point un autre, la lumire suit, parmi toutes les trajectoires possibles,celle dont le temps de parcours est extrmal.

La formulation gnrale du principe de Fermat est prsente dans lencart 2.1.

Optique22

Soit dl le dplacement lmentaire du chemin gomtrique effectu pour aller de A vers C dans un milieu dindice n . Ce dernier peut varier dun point lautredu milieu. La longueur dl parcourue pendant le temps lmentaire dt est

dt = dlV

= n(l)dlc

.

La dure du parcours AC est donc t = 1c

C

An(l)dl . Elle scrit aussi t = L AC

c; on

appelle L AC = C

An(l)dl le chemin optique de A C .

Le principe de Fermat snonce donc sous sa forme gnrale comme :

Parmi toutes les trajectoires possibles, celle effectivement suivie par un rayon lumi-neux correspond un chemin optique L extrmal.

Encart 2.1. Forme gnrale du principe de Fermat

Il parat vident que, si la lumire se propage dans un milieu donn (vide ou matriel)transparent isotrope et homogne, n(l) est une constante. Le temps de parcours estalors minimal et correspond une propagation rectiligne, quel que soit le sens adoptpar la lumire. Le principe de Fermat permet donc de dmontrer le principe de la pro-pagation rectiligne. Nous allons montrer sur deux exemples quil permet aussi de pr-voir les phnomnes de rflexion et de rfraction dun rayon lumineux se propageantdans deux milieux diffrents et dtablir simplement les lois de Snell-Descartes. Notonsquil sagit dans ce cas dune inhomognit particulire de lindice qui passe brutale-ment dune valeur n une autre valeur n .

Il est entendu que, si le dioptre est totalement rflchissant (comme un miroir), le rayonincident ne subit quune rflexion. Dans le cas dun dioptre transparent, le rayon inci-dent traverse la surface et subit aussi une rfraction . Lamplitude du rayon rfractest en gnral bien plus importante que celle du rayon rflchi (ces amplitudes peuventtre calcules dans le cadre de llectromagntisme).

1.1. Rflexion sur un miroir plan

Considrons tout dabord un miroir plan, objet simple et familier (figure 2.1). Il est tota-lement rflchissant pour le rayonnement utilis et permet dillustrer le phnomne derflexion. Nous allons tudier de quelle manire se propage la lumire dun point Avers un point C fixs, aprs stre rflchie sur le miroir plan en un point B dont ondterminera la position. Plusieurs chemins sont a priori possibles. Sur la figure 2.1, nousavons reprsent deux chemins diffrents, passant par B ou B . En appliquant le prin-cipe de Fermat au temps de parcours du rayon AC , il est possible de dterminer lescoordonnes du point dimpact rel de la lumire sur le miroir, correspondant effective-ment celui du chemin rel.

Les trois points A , B et C dfinissent un plan que lon choisira comme tant (Ox, Oy) .Connaissant les coordonnes des points de dpart A(X A,0) et darrive C(XC ,YC) , oncherche dterminer le point B(0,y) qui vrifie le principe de Fermat1. Ce principe dit

1. Prendre le point B en x = 0 simplifie la discussion sans lui enlever sa gnralit.

que pour aller de A vers C , la lumiresuit un chemin passant par B tel que letemps de parcours soit extrmal. Nousallons donc exprimer la dure du par-cours AC et, en annulant sa drive,fixer la coordonne y du point B .

Comme on ne change pas de milieu, lavitesse de la lumire est la mme sur lesdeux segments AB et BC , de lon-gueurs respectives AB =

X 2A + y2 et BC = X 2C + (YC y)2 .

On a sin i = yAB

et sin j = YC yBC

o i

et j sont respectivement les angles quefont les rayons incident et rflchi parrapport la normale au miroir. Ils sont ici compris entre 0 et 90.

Si V est la vitesse de propagation, le temps de parcours et sa drive par rapport y(coordonne de B cherche) sont donns par :

t = AB + BCV

=

X 2A + y2 +

X 2C + (YC y)2V

dtdy

= 1V

[

y

X 2A + y2 (YC y)

X 2C + (YC y)2

]

On obtient une drive nulle pour : y

AB= YC y

BC sin i = sin j soit encore : i = j .

On tablit ainsi qu la rflexion sur un miroir plan, les angles dincidence i et derflexion j sont gaux. Ceci est encore vrifi lorsque la surface est de forme quel-conque et, ventuellement, non totalement rflchissante. Cest ce que lon appelle la loide la rflexion ou premire loi de Snell-Descartes.

1.2. Changement de milieu : transmission

Le mme type de dmonstrationpeut tre effectu lorsque lalumire change de milieu aprsavoir rencontr une surface trans-parente. On dit alors que le rayonAC est rfract. Par souci de sim-plicit on choisira nouveau unesurface plane situe dans le plan(Ox, Oy) . Les vitesses de dpla-cement dans les deux milieuxsont diffrentes car leurs indicesne sont pas les mmes (figure2.2). Dans lexemple choisi, on aconsidr n > n .

2 Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes 23

Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

y

B

B'

B

B'

O A x

C

ji Normale au miroir

Figure 2.1 La lumire va de A Cen se rflchissant en B sur un miroir plan. La position de B est donne par le principe

de Fermat.

y

y

B'

B

O A x

C

i Normale la surface

r

Yc -- y Milieu 1

Milieu 2

Vitesse v, indice n

Vitesse v', indice n'

Figure 2.2 Pour aller de A C, la lumire traverse la surface de sparation au point B dfini par le principe de Fermat.

Si V et V sont les vitesses respectives de dplacement dans les deux milieux spars par un plan, on a : V = c

net V = c

n. De plus on a toujours : sin i = y

ABet sin r = YC y

BCo i et r sont maintenant les angles que font le rayon incident et le rayon transmis parrapport la normale la surface de sparation.

Comme dans lexemple prcdent, nous devons calculer le temps de parcours de lalumire et sa drive par rapport y soit :

t = ABV

+ BCV

=

X 2A + y2V

+

X 2C + (YC y)2V

dtdy

= yV

X 2A + y2 (YC y)

V

X 2C + (YC y)2

Cette drive est nulle si sin i

V= sin r

V , ce qui scrit aussi : n sin i = n sin r .

Les angles dincidence i et de rfraction r sont donc diffrents. On tablit ainsi qu latraverse dune surface, la lumire change de direction ; r est dfini par la relationsimple n sin i = n sin r , qui constitue la deuxime loi de Snell-Descartes. On peut dfi-nir lindice de rfraction du deuxime milieu par rapport au premier comme le

rapport des deux indices nr = n

net rcrire la deuxime loi de Snell-Descartes sous la

forme sin i = nr sin r . Lannexe 1 propose en fin de chapitre est un rappel mathma-tique sur les fonctions trigonomtriques et en particulier sur les proprits essentiellesde la fonction sinus, indispensables pour manipuler aisment les lois de Snell-Descartes.

Lorsque lon annule la drive dune expression, on indique seulement lexistence dunextremum de la fonction sans en prciser sa nature (minimum ou maximum). Le calculdu temps de parcours et de lannulation de sa drive nous ont permis dtablir sur deuxexemples les deux lois de Snell-Descartes. Remarquons que nous navons jamais eubesoin de terminer la dmonstration tablissant si le temps du parcours AC qui vrifieles lois de Snell-Descartes est minimal ou maximal.

Cest ce que nous nous proposons de faire dans lencart 2.2 partir de ltude de miroirsplans puis quelconques.

Optique24

Revenons tout dabord sur lexemple du miroir plan. Le temps de parcours a tdonn par :

t =

X 2A + y2 +

X 2C + (YC y)2V

On a trouv que sa drive premire sannulait pour un point B(0,y) tel que :y

X 2A + y2= (YC y)

X 2C + (YC y)2Cette quation est une quation du second degr en y que lon peut rsoudre. Onobtient pour YC > 0 :

y = X AYCX A + XC

Le cas YC < 0 amne au mme rsultat.

Encart 2.2. Le temps de parcours est-il minimal ou maximal ?


Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

titre dexemple, on a trac sur la figure2.3 le temps de parcours en fonction dey pour C(2,5; 5) et A(5; 0) . On voitbien que le temps est extrmal (ici mini-mal) pour y = 3,33 . Mathmatiquement, le signe de la driveseconde du temps de parcours permet dedterminer la nature de lextremum.Dans lexemple choisi, on a :

d2tdy2

= 1V

(

X 2AAB3

+ X2C

BC3

)

> 0

On retrouve ainsi le fait que le temps deparcours est minimal.

Dans le cas dun dioptre plan (figure2.2), on montre de la mme faon que letemps de parcours est minimal. Nous pro-posons de gnraliser ce rsultat unesurface de forme quelconque, parexemple le miroir reprsent sur lafigure 2.4. Pour simplifier le calcul, onplace les deux points A et C de dpart etdarrive du rayon sur laxe Ox , sym-triques par rapport lorigine des coor-donnes et lon considre le plan(Ox,Oy) , ce qui nenlve rien la gn-ralit de la discussion. La rflexion sur lemiroir se fait au point B , seul point quivrifie le principe de Fermat.

On a t = B A + BCV

= 1V

(

(x + a)2 + y2 + (x a)2 + y2) .

Posons B A + BC = l , o l est une constante. Nous allons dmontrer que le lieu despoints vrifiant cette galit est un ellipsode. On a :

B A2 = (l BC)2 = l2 + BC2 2l BCsoit, en introduisant les coordonnes de A et B :

(x + a)2 + y2 = l2 + (x a)2 + y2 2l BC

soit : BC = l2

2axl

Si lon lve au carr et que lon crit lexpression de BC en fonction de x et y , onobtient lquation de lellipsode :

x2

(l/2)2+ y

2

(l2/4 a2) = 1

Le lieu des points B correspondant un temps de parcours l/V se trouve donc surun ellipsode particulier. Quelle que soit la valeur de l , les foyers des ellipsodes ainsi

--10 --5 0 5 10 158

10

12

14

16

18

Coordonne y de B

Tem

ps d

e pa

rcou

rs t

Figure 2.3 Temps de parcours du rayon lumineux lorsquil se rflchit sur un miroir plan.

y (S)

OA Caa

B (x, y, O)

x

Figure 2.4 valuation du chemin parcouru par un rayon se rflchissant sur un miroir.

2. NONC DES LOIS DE SNELL-DESCARTES

De manire plus gnrale, on considre un rayon lumineux, appel rayon incident, sepropageant dans un premier milieu et rencontrant en un point I une surface de spara-tion avec un autre milieu. Celle-ci, appeledioptre, peut avoir une forme quelconque. Si ledeuxime milieu est aussi transparent, isotrope ethomogne, mais dindice absolu diffrent, cerayon se partage gnralement en deux parties, lerayon rflchi (on parle de rflexion partielle) etle rayon rfract. Les phnomnes tant locaux,on en simplifie la description en se plaant dans leplan tangent au point I la surface du dioptre ; Iest appel point dincidence (figure 2.6). Dans lesproblmes rencontrs en physique o les surfacessont continues et rgulires, il est alors gnrale-ment possible de considrer la normale I N audioptre. Celle-ci dfinit donc alors avec le rayonincident un plan appel plan dincidence, normal,par construction, la surface de sparation.

Dans la suite nous travaillerons toujours dans ce plan dincidence auquel appartiennentles trois rayons incident, rflchi et rfract. On dfinit dans ce plan les trois angles, i , jet r par rapport la normale :

i : langle dincidence,

j : langle de rflexion, r : langle de rfraction.

Optique26

dfinis sont toujours A et C . Lun des ellipsodes est tangent la surface du miroir.Le point B ainsi dtermin satisfait donc simultanment lquation de lellipsodeet celle qui dcrit la surface du miroir. Cest celui qui correspond au temps de par-cours extrmal.

titre dexemple, la figure 2.5illustre cette proprit. On convien-dra que, dans le cas du miroir S2(concave), le point B2 correspond un temps de parcours maximal. Aucontraire, dans le cas du miroir S1(convexe), le point B1 correspond un temps de parcours minimal.

On reviendra sur le principe deFermat dans le cas particulier desdioptres et des miroirs sphriquesdans les annexes des chapitres 5et 6.

S1

S2

B1

B2

A

C

Figure 2.5 volution du temps de parcours en fonction du type de miroir.

N

I

Figure 2.6 Dfinition du plan dincidence form par la normale la surface et le rayon incident.

Ils sont reprsents sur la figure 2.7. Dans ce chapitre, il nest pas ncessaire dorienterles angles.


Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

Milieu 1n

Milieu 2n'

ij

r

A BN

C

I

Figure 2.7 Dfinition des angles dincidence (i), de rfraction (r) et de rflexion (j) et des rayons correspondants dans le plan dincidence.

Les lois de Snell-Descartes tablissent des relations entre ces trois angles :

1) le rayon rflchi fait avec la normale un angle j gal langle dincidence (i = j) ;2) le rayon rfract fait avec le prolongement de la normale un angle r tel quen sin i = n sin r , o n et n sont les indices absolus respectivement du premier et dudeuxime milieu.

3. PRINCIPE DU RETOUR INVERSE DE LA LUMIRE

Les deux exemples traits au paragraphe 1 ont permis dnoncer les lois de Snell-Descartes. Elles permettent de dterminer le chemin choisi par la lumire pour aller deA vers C en passant par un point B situ sur la surface de sparation. Il est vident quesi la lumire se propageait dans le sens oppos, (de C vers A en passant toujours parcette surface), le principe de moindre temps conduirait la mme trajectoire passantpar B . En effet, si lon change le sens de propagation de la lumire en conservant lesmmes notations pour les diffrents angles, seul le rle des rayons est invers. La relation

de Snell-Descartes scrit toujours sin i = nr sin r et ceci nous amne complter le principe de propagation rectiligne de la lumire nonc au chapitre 1 par celui duretour inverse de la lumire.

Principe du retour inverse de la lumire. Si lon inverse son sens de propagation, un rayonlumineux suit le mme chemin, mme travers une surface de sparation entre deuxmilieux (dioptre).

4. INTERPRTATION DES LOIS DE SNELL-DESCARTES

Langle dincidence i peut prendre toutes les valeurs possibles comprises entre 0 et 90.Lnonc de la premire loi de Snell-Descartes i = j permet de tirer la mme conclu-sion pour langle rflchi j . Les valeurs prises par langle rfract r sont lies celles de lindice de rfraction

nr = n

net celles de langle dincidence i . Deux types de situations peuvent apparatre

selon que nr est suprieur ou infrieur 1. Avant de les dcrire nous donnerons deuxdfinitions :

si nr > 1 , soit n > n , le deuxime milieu est plus rfringent (et non rfractant !) que lepremier ;

inversement, si nr < 1 soit n < n , le deuxime milieu est moins rfringent que le pre-mier.

4.1. Propagation vers un milieu plus rfringent : rfraction limiteDans ce cas, nr est plus grand que 1, ce qui signifie que lindice absolu du deuximemilieu, n , est plus grand que celui du premier milieu, n . Cest par exemple la situationrencontre une interface air-verre (n = 1 et n = 1,5 ) ou air-eau (n = 1 et n = 1,33 ).Dans le cas dune propagation vers un milieu plus rfringent, les angles dincidence i etde rfraction r sont lis par la deuxime loide Snell-Descartes : sin i = nr sin r , avecnr > 1 . Cette relation traduit le fait quesin i dune part et nr sin r dautre part ontune mme ordonne, correspondant sur lafigure 2.8 une droite horizontale.

Les deux fonctions sin i et nr sin r sontreprsentes sur la figure 2.8 pour nr = 1,5lorsque i et r varient indpendammententre 0 et 90. La fonction sinus tantmonotone et croissante entre 0 et 90,pour une valeur de i donne, la deuximeloi de Snell-Descartes implique que r soittoujours infrieur i .

On conclut donc que :

Optique28

0 45ir 900

0,2

0,60,8

0,4

1,01,21,4 1,5 sin r

sin i

sin i = nr sin r

Figure 2.8 Comparaison entre sin i et1,5 sin r (nr > 1) .

Soit un rayon lumineux rencontrant un milieu plusrfringent avec un angle dincidence i . Aprs rfrac-tion, il est dvi et fait par rapport la normale unangle r , toujours plus petit que i ; le rayon rfractse rapproche donc de cette normale (figure 2.9).

nr > 1

r

i

Figure 2.9 Si lindice de rfractionnr est plus grand que 1, le rayon

rfract se rapproche toujours de la normale car r < i .

La figure 2.10 montre lvolution de langle derfraction r quand i augmente de 0 90. On a choisi titre dexemple n = 1 , n = 1,5 soitnr = 1,5 . Les valeurs numriques correspondantessont rassembles dans le tableau 2.1.

La figure 2.10 et plus particulirement le tableau 2.1 montrent que lorsque langle din-cidence i varie de 0 90, langle de rfraction existe toujours. Il atteint une valeurlimite appele angle de rfraction limite, donne par i = 90 . Pour lexemple choisi,nr = 1,5 et donc rlim = 41,81 . Plus gnralement, cette valeur correspond sin rlim = 1/nr . Elle est donc impose uniquement par la valeur de lindice de rfraction(ou, ce qui est quivalent, par celles des indices absolus n et n ). Aucun rayon lumineuxnexiste dans le deuxime milieu au-del de cet angle car la condition sin r > 1 estimpossible. Ceci cre une zone dombre (41,81 < r < 90 ) dans laquelle il nexisteaucun rayon rfract provenant du premier milieu. On conclura donc que :


Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

(4)

(4)

(3)

(3)

(2)

(2)

(1)

(1)

nr > 1

Figure 2.10 Quand langle i augmente,langle de rfraction r augmente aussi,

mais moins vite. Quand le rayon incident estrasant (la position 4 correspond i = 90),

langle rfract atteint une valeur limite, appele rfraction limite.

Tableau 2.1 Comparaison entre i et ravec sin i = 1,5 sin r (nr = 1,5 > 1) .

Si i = 90, r = 41,81 est langle limite de rfraction.

0 0

10 6,65

20 13,18

30 19,47

40 25,37

50 30,71

60 35,26

70 38,79

80 41,04

90 41,81

Angle dincidence Angle de rfraction i () r ()

Soit un rayon lumineux rencontrant un milieu plus rfringent avec un angle dincidencei . Le rayon rfract r (plus petit que i ) existe toujours, mais atteint une valeur limiteappele angle de rfraction limite.

Cette limite donne par i = 90 est dfinie par la relation sin rlim = 1nr

.

4.2. Propagation vers un milieu moins rfringent : rflexion totale

Considrons maintenant une valeur de lindice relatif nr plus petite que 1 ; lindiceabsolu du deuxime milieu, n , est alors plus petit que celui du premier milieu, n . Celapeut tre ralis par exemple avec une interface verre-air (n = 1,5 et n = 1) ou eau-air(n = 1,33 et n = 1). Les angles dincidence i et de rfraction r sont toujours lis par ladeuxime loi de Snell-Descartes : sin i = nr sin r , avec nr < 1 .On a reprsent comme prcdemment sin i et nr sin r pour i et r variant de 0 90avec nr = 1/1,5 (figure 2.11). Pour une valeur de i donne, la deuxime loi de Snell-Descartes impose, dans ce cas, r toujours suprieur i .

On conclut donc que :

Optique30

0 45i r 900

0,2

0,60,8

0,4

1,01,21,4

sin r1,5

sin i

sin i = nr sin r

nr < 1

r

i

Figure 2.11 Comparaison entre sin i

et sin r1,5

(nr < 1) .

Figure 2.12 Quand lindice de rfraction nr estplus petit que 1, le rayon rfract sloigne

toujours de la normale.

Soit un rayon lumineux rencontrant un milieu moins rfringent avec un angle dincidence i .Aprs rfraction, il est dvi et fait par rapport la normale un angle r tel que r > i .Le rayon rfract scarte donc de la normale (figure 2.12).

Comme prcdemment, la figure 2.13 prsente schmatiquement lvolution du rayon

rfract lorsque i augmente de 0 90 avec nr = 11,5 . Le tableau 2.2 rassemble lesvaleurs numriques correspondantes.

(4) (4)

(3)

(3)

(2)

(2)

(1)

(1)

nr < 1

Figure 2.13 Quand langle i augmente, langlede rfraction augmente aussi, mais plus vite.

Quand le rayon incident correspond la position 3,langle de rfraction atteint 90. Si i augmente

encore (position 4), le rayon ne peut plus se rfrac-ter (on aurait sin r > 1 ) et il se rflchit totale-

ment avec un angle i = j .

Tableau 2.2 Comparaison entre i et ravec sin r = 1,5 sin i (nr < 1) .

0 0

10 15,10

20 30,87

30 48,59

40 74,62

41,81 90

50 Impossible

60 Impossible

70 Impossible

80 Impossible

90 Impossible

Angle dincidence Angle de rfraction i () r ()

La figure 2.13 et le tableau 2.2 montrent maintenant que, lorsque langle dincidence ivarie de 0 90, langle de rfraction nexiste plus dans le deuxime milieu au-deldune certaine incidence ilim . Toute incidence suprieure correspond sin r > 1 ; lerayon rfract nexiste pas. Le rayon incident est donc compltement rflchi avec unangle j = i . Cette limite est donne par r = 90 et correspond sin ilim = nr , conditionuniquement fixe par la valeur de lindice de rfraction (ou, de manire quivalente, parcelles des indices absolus n et n ). On est alors en condition de rflexion totale, bien quelinterface soit transparente. Do la conclusion suivante :


Dun

od

La

phot

ocop

ie n

on a

utor

ise

est u

n d

lit.

Considrons un rayon lumineux rencontrant un milieu moins rfringent avec un angle dinci-dence i . Le rayon rfract r (plus grand que i ) nexiste plus pour une incidence sup-rieure une valeur limite fixe par sin ilim = nr . On est alors en condition de rflexiontotale.

Remarquons pour terminer que la deuxime loi de Snell-Descartes permet de dmon-trer la premire. En condition de rflexion totale, le rayon reste dans le premier milieu.On peut crire n sin i = n sin j , ce qui implique que i = j , (la fonction sinus tantbijective lorsque i est compris entre 0 et 90). Remarquons aussi que lon aurait pu rai-sonner dans ce paragraphe en appliquant directement au cas prcdent le principe duretour inverse de la lumire (paragraphe 4.1). Pour cela, il aurait suffi dinverser le sensde la lumire et donc les rles de i et de r , tout en conservant les valeurs de n et n . Onserait alors dans la condition de rfraction limite trouve dans le paragraphe prcdent.

4.3. Dviation due linterface entre deux milieux

De manire gnrale, quelle que soit la situation de propagation vers un milieu plus oumoins rfringent, i est toujours diffrent de r . Le rayon incident est donc dvi dunequantit mesure par langle D , appel angle de dviation ou plus courammentdviation. Cest langle dont il faut faire tourner le rayon incident pour lamener sur lerayon rfract. D est par dfinition un angle orient. Avec les conventions habituelles, sile rayon tourne dans le sens des aiguilles dune montre, la dviation est ngative (etinversement).

nr > 1

r

i

D

(a)

nr < 1

r

i

D

(b)

D < 0 D > 0

Figure 2.14 Dviation subie par un rayon incident aprs rfraction vers un milieu plus rfringent (a) ou moins rfringent (b).

5. CONSTRUCTION GOMTRIQUE DU RAYON RFRACT PAR LES SURFACES DINDICES (CONSTRUCTION DE HUYGENS)

Le trajet du rayon rfract peut tre obtenu graphiquement laide dune constructiondue Huygens. Elle donne la position du rayon rfract en fonction de langle dinci-dence i de la manire suivante :

Optique32

Construction du rayon rfract. On trace deux cercles concentriques centrs au pointdincidence I , de rayons n et n . On dessine le rayon incident qui fait un angle i parrapport la normale

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Cours de Physique - Optique