COURS DE RESISTANCE DES MATERIAUX I - Accueilltechnologie.com/fichiers/rdm11.pdf · Chapitre V : Flexion plane simple.....30. ISET de Djerba Résistance des matériaux KHALFALLAH

المعهد العالي للّدراسات التكنولوجية بجربة Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Djerba

Département Génie Mécanique

Préparé par : KHALFALLAH Jamil

Année universitaire : 2014-2015

COURS DE RESISTANCE DES MATERIAUX I Niveau : première année Licence Génie Mécanique

ISET de Djerba Résistance des matériaux

KHALFALLAH Jamil

Sommaire

Chapitre I : Généralités ........................................................................................................................ 1

I. But de la résistance des matériaux : ...................................................................................................... 2

II. Notion de poutre : ................................................................................................................................. 2

III. Hypothèses fondamentales : ................................................................................................................. 2

IV. Torseur de cohésion : ............................................................................................................................ 3

V. Torseur statique des liaisons en RDM : ................................................................................................. 5

VI. Diagrammes : ......................................................................................................................................... 5

VII. Différents types de sollicitation : ........................................................................................................... 8

VIII. Notion de contrainte : ........................................................................................................................... 9

IX. Notions de coefficient de sécurité :..................................................................................................... 11

Chapitre II : Traction - Compression ................................................................................................. 12

I. Définition : ........................................................................................................................................... 13

II. Essai de traction : ................................................................................................................................ 14

III. Contrainte : .......................................................................................................................................... 15

IV. Déformation : ...................................................................................................................................... 15

V. Condition de résistance : ..................................................................................................................... 15

VI. Coefficient de concentration de contrainte : ...................................................................................... 16

VII. Application : ......................................................................................................................................... 19

Chapitre III : cisaillement ................................................................................................................... 20

I. Définition : ........................................................................................................................................... 21

II. Contrainte : .......................................................................................................................................... 21

III. Déformation : ...................................................................................................................................... 21

IV. Condition de résistance : ..................................................................................................................... 22

Chapitre III : Torsion .......................................................................................................................... 23

I. Définition : ........................................................................................................................................... 24

II. Contrainte : .......................................................................................................................................... 24

III. Déformation : ...................................................................................................................................... 24

IV. Relation contrainte déformation : ....................................................................................................... 25

V. Conditions de validité : ........................................................................................................................ 26

VI. Concentration de contrainte : ............................................................................................................. 26

VII. Application : ......................................................................................................................................... 28

Chapitre V : Flexion plane simple ...................................................................................................... 30


KHALFALLAH Jamil

I. Définition : ........................................................................................................................................... 31

II. Etude des contraintes normales : ........................................................................................................ 31

III. Etude des déformations : .................................................................................................................... 35

IV. Principe de superposition : .................................................................................................................. 38

Chapitre VI : Sollicitations Composées ............................................................................................. 42

I. Introduction : ....................................................................................................................................... 43

II. Flexion déviée ...................................................................................................................................... 43

III. Flexion plane simple et extension : ..................................................................................................... 44

IV. Flexion plane simple et torsion : ......................................................................................................... 45

V. Extension et torsion : ........................................................................................................................... 46

Chapitre VII Flambement ................................................................................................................... 47

I. Introduction : ....................................................................................................................................... 48

II. Etude du flambement théorie d'EULER ............................................................................................... 48

III. Elancement .......................................................................................................................................... 48

IV. Charge critique : .................................................................................................................................. 49

V. Contrainte critique : ............................................................................................................................ 49

VI. Condition de résistance ....................................................................................................................... 49

Bibliographie ...................................................................................................................................... 51


1 KHALFALLAH Jamil

CChhaappiittrree II :: GGéénnéérraalliittééss

Objectif :

Connaître les notions de base de la résistance des matériaux.

Prérequis :

Principe fondamental de la statique. Modélisation des actions mécaniques.

Eléments du contenu :

I. But de la résistance des matériaux.

II. Notion des poutres.

III. Hypothèses fondamentales.

IV. Torseur de cohésion.

V. Torseur statique des liaisons en RDM.

VI. Diagrammes.

VII. Différents types de sollicitation.

VIII. Notion de contrainte.

IX. Notion de coefficient de sécurité.


2 KHALFALLAH Jamil

Généralités A

I. But de la résistance des matériaux :

La résistance des matériaux, désignée souvent par RDM, est la science du dimensionnement. C’est une discipline particulière de la mécanique des milieux continus qui permet de concevoir une pièce mécanique, un ouvrage d’art ou tout objet utilitaire.

Ce dimensionnement fait appel à des calculs qui prévoient le comportement de l’objet dont la conception doit réunir les meilleures conditions de sécurité, d’économie et d’esthétique.

II. Notion de poutre :

On appelle « poutre » un solide engendré par des surfaces, appelées « sections droites » (S), telles que :

les centres de gravité des sections (Gs) forment une courbe continue et dérivable, appelée « ligne moyenne » (C); son rayon de courbure est grand devant sa longueur ;

les sections sont perpendiculaires à la courbe moyenne ; elles varient de manière continue et « lente » ;

la dimension des sections est petite devant la longueur de la courbe moyenne ;

Figure 1 : Poutre Soit le repère 𝑅𝑠(𝐺𝑠 , 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ) un R.O.D. tels que : 𝑥 : tangent en Gs à la courbe (C), normal à la section (S). 𝑦 et 𝑧 appartiennent à la section (S).

III. Hypothèses fondamentales :

Ces hypothèses concernent essentiellement les matériaux utilisés, la forme des solides étudiés et le type d’action mécanique exercée :

a) Les matériaux sont homogènes et isotropes.

b) Les forces extérieures seront situées dan le plan de symétrie de la poutre ou alors disposées symétriquement par rapport à ce plan.

c) Hypothèse de Navier–Bernoulli :

Les sections planes et droites avant déformation, restent planes et droites après déformation.

d) Hypothèse sur l’influence des déformations :

Dans le domaine élastique, les déformations sont très faibles, elles ne modifient pas les actions mécaniques calculées par la statique.

e) Hypothèses de Barré de Saint-Venant :

Les résultats de la RDM ne s’appliquent valablement qu’à une distance suffisamment éloignée de la région d’application des forces concentrées. En effet, nous ne pouvons pas, avec les équations de la RDM, calculer les déformations locales autour d’un point d’application d’une force.

Ligne moyenne

(C)

Gs

Section droite

(S)


3 KHALFALLAH Jamil

IV. Torseur de cohésion :

Les efforts intérieurs ou de cohésion sont les efforts qui agissent à l’intérieur des poutres et qui assurent l’équilibre ou la cohésion de la structure sous l’action des charges extérieures exercées. La connaissance des ces efforts de cohésion nous renseignera sur l’état de sollicitation de la poutre étudiée, et permettra d’évaluer sa résistance aux efforts qui lui sont appliqués.

4-1 Définition : Soient : (E) un solide assimilé à une poutre, (𝐸 ) l’ensemble extérieur à (E), 𝑅(𝑂, 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ) un R.O.D, (P) un plan normale à 𝑥 définissant la section droite (S) de (E) : la coupure fictive par le plan (P) partage la poutre en deux tronçons (E1) et (E1).

Figure 2 : Coupure fictive d’une poutre

Les actions mécaniques appliquées par le tronçon(E2) sur le tronçon(E1) sont les efforts intérieurs à la poutre que l’on peut modéliser par un torseur appelé torseur de cohésion, dont les éléments de réduction sont exprimés au point G.

τcoh

G R = τE2→E1

G

R = R

M G

R

G

Remarques :

Ces actions, non visibles, sont internes au matériau. Le torseur de cohésion est toujours le torseur des actions mécaniques exercées par le

tronçon de droite 2( )E sur le tronçon de gauche 1( )E .

R et MG sont fonctions de l’abscisse x du centre de surface G de (S).

4-2 Détermination des éléments de réduction en G : Soit la poutre (E) est soumise de la part de milieu extérieure ( )E à des actions mécaniques

(concentrée, réparties, à distance, de contact).

Etude de l’équilibre du tronçon (E1) :

PFS : τE1 →E1

G R = {0}


4 KHALFALLAH Jamil

⇒ τE →E1

G R + τE2→E1

G

R = {0}

⇒ τE →E1

G R + {τcoh } = {0}

⇒ (a)

Etude de l’équilibre du tronçon (E2) :

PFS : τE2 →E2

G R = {0}

⇒ τE →E2

G R + τE1→E2

G

R = {0}

⇒ τE →E2

G R − {τcoh } = {0}

⇒ (b)

Remarque :

Pour exprimer les éléments de réduction en G du torseur de cohésion, nous utiliserons soit les relations (a) soit les relations (b) ; seule la simplicité du calcul guidera notre choix.

4-3 Projection des éléments de réduction :

τcoh = R

M G

R

G

= N + T

M t + M f

R

G

Effort normale N : projection de R sur l’axe (𝐺, 𝑥 ).

Effort tranchant T : projection de R sur la section droite (𝑦 , 𝑧 ).

Moment de torsion M t : projection de M G sur l’axe (𝐺, 𝑥 ).

Moment de flexion M f : projection de M G sur la section droite(y , z ). Remarque :

T et M f n’ayant pas de direction privilégiée dans (𝑦 , 𝑧 ), il est préférable d’utiliser les composants algébrique de ces vecteurs :

τcoh = R

M G

R

G

= N Mt

Ty Mfy

TZ Mfz

R

G

Avec :

N : composante algébrique de R suivant x .

Ty : composante algébrique de T suivant y .

Tz : composante algébrique de T suivant z .

Mt : composante algébrique de M t suivant x .

Mfy : composante algébrique de M f suivant y

Mfz : composante algébrique de M f suivant z .

{τcoh } = − τE →E1

G R

{τcoh } = τE →E2

G R


5 KHALFALLAH Jamil

V. Torseur statique des liaisons en RDM :

Dans le plan(x , y ), un point a trois degrés de liberté : 2 degrés de liberté en translation suivant les axes (𝑂, 𝑥 ) et (𝑂,𝑦 ), 1 degré de liberté en rotation autour de l’axe (𝑂, 𝑧 ).

Toute liaison supprimera 1, 2 ou 3 degrés de liberté.

5-1. L’articulation Elle impose deux blocages en translation suivant les axes (𝑂, 𝑥 ) et (𝑂,𝑦 ), et la rotation reste libre. L’articulation fait donc naître les deux composantes de la force de liaison.

τ1→E

A =

X 0Y 00 0

A

5-2. L’appui simple L’appui simple impose un seul blocage en translation dans la direction normale à la surface d’appui. Il fait ainsi naître une force de liaison dans cette direction.

τ1→E

A =

0 0Y 00 0

A

VI. Diagrammes :

Les composants algébriques N, Ty, Tz, Mt, Mfy et Mfz varient en fonction de la position du centre de surface G de la section droite fictive(S).

Les représentations graphiques des fonctions N(x), Ty(x), Mt(x), Mfy(x) et Mfz(x) donnent des diagrammes des composants des éléments de réduction en G du torseur de cohésion Exemple : Soit une poutre de longueur L=200 mm et, soumise à une action mécanique modélisable par

τ2→E

B =

R 2→E

0

B

= 0 0

−103 00 0

B

τ3→E

C =

R 3→E

0

C

= 500 0

0 00 0

C

𝑅(𝐴, 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ) un R.O.D.

a

R 2→E

A

𝑦

𝑥

(E)

(1)

𝑦

𝑥

L

R 3→E A

(E)

(1)

C B

A

𝑦

𝑥

(E)

(1)


6 KHALFALLAH Jamil

AB = a = 150 mm 1) Déterminer le torseur l’action de liaison encastrement en A. 2) Déterminer le torseur de cohésion. 3) Tracer les diagrammes de l’effort normal, l’effort tranchant et de moment de flexion Réponse : 1) Détermination des actions en A : Isolons la poutre (E) : (E) est soumise à 3 actions mécaniques :

τ1→E

A =

X LY MZ N

A

, τ2→E

B =

0 0−103 0

0 0

B

et τ3→E

A =

500 00 00 0

A

τ2→E

A =

0 0−103 0

0 −103. a =

0 0−103 0

0 −150

A

Appliquons le PFS à (E) :

X LY MZ N

A

+ 0 0

−103 00 −150

A

+ 500 0

0 00 0

A

= 0 00 00 0

⇒ 𝑋 = −500 𝐿 = 0 𝑌 = 103 𝑀 = 0 𝑍 = 0 𝑁 = 150

Donc torseur l’action de liaison encastrement en A est τ1→E

A =

−500 0103 0

0 150

A

2) Déterminons le torseur de cohésion : Il faut étudier chaque portion de comprise entre deux charges ; Zone [A,B] Pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 :

Equilibre de tronçon E1 :

τcoh = − τE →E1

G R = − τ1→E

G

= 500 0−103 0

0 −150 + 103 . x

G

Zone [B,C] Pour 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿 :

𝑥 G

x

𝑦

A

(E1)

(1)

0,2-x x

𝑦

𝑥 R 3→E A

(E2)

C G


7 KHALFALLAH Jamil

Equilibre de tronçon E2 :

τcoh = τE →E2

G R = τ3→E

G

= 500 0

0 00 0

G

En résumé :

Sollicitations 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝐿

N 500 500

Ty -103 0

Tz 0 0

Mt 0 0

Mfy 0 0

Mfz 103.x-150 0

3) Diagrammes des efforts intérieurs : On représente la variation des efforts intérieurs à l’aide des courbes qui visualisent immédiatement les points les plus sollicités de la poutre.

Figure 3 : Diagramme de l’effort normal

Figure 4 : Diagramme de l’effort tranchant

Figure 5 : Diagramme du moment de flexion

C x

500

N [N]

B A

x

-1000

Ty [N] C B

A

x

-150

Mfz [N.m] C B

A


8 KHALFALLAH Jamil

VII. Différents types de sollicitation :

7-1 Sollicitations simples

Sollicitation Chargement Déformation Torseur de cohésoion

Traction

𝐍 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝟎

𝐆

Cisaillement

𝟎 𝟎𝐓𝐲 𝟎

𝟎 𝟎

𝐆

Torsion

𝟎 𝐌𝐭

𝟎 𝟎𝟎 𝟎

𝐆

Flexion pure

𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝟎 𝐌𝐟𝐳

𝐆

Flexion plane simple

𝟎 𝟎𝐓𝐲 𝟎

𝟎 𝐌𝐟𝐳

𝐆


9 KHALFALLAH Jamil

7-2 Sollicitations composées

Sollicitation Chargement Déformation Torseur de

cohésoion

Traction-Flexion

𝐍 𝟎𝐓𝐲 𝟎

𝟎 𝐌𝐟𝐳

𝐆

Flexion-Torsion

𝟎 𝐌𝐭

𝟎 𝟎𝟎 𝐌𝐟𝐳

𝐆

VIII. Notion de contrainte :

La contrainte caractérise les liaisons mécaniques internes au matériau (les efforts de cohésion) sur chaque élément de surface ds de la section (S) quelconque. Unité : N/mm2 ou MPa.

1 MPa = 106 Pa = 1N/mm2 10 Bars.

8.1. Définition

La contrainte 𝐶 est le rapport entre

l’action mécanique 𝑑𝐹 , qui s’exerce sur l’élément de surface ds de la section (S) :

𝐶 =𝑑𝐹

𝑑𝑠= 𝜍𝑥 + 𝜏𝑦𝑦 + 𝜏𝑧𝑧

Où : contrainte normale.

y et z : contraintes tangentielles.


10 KHALFALLAH Jamil

8.2. Contrainte normale :

La résultante 𝑅 des efforts de cohésion n’a qu’une composante N suivant 𝑥 :

𝑅 = 𝑁. 𝑥 = 𝑑𝐹 = 𝐶 .𝑑𝑠 = 𝜍. 𝑥 .𝑑𝑠

𝑆

𝑆

𝑆

donc Si nous supposons une répartition constante de la contrainte sur (S) alors : 𝑁 = 𝜍. 𝑑𝑠

𝑆= 𝜍. 𝑆.

Finalement on a :

8.3. Contrainte tangentielle : La résultante 𝑅 des efforts cohésion n’a qu’une composante Ty suivant 𝑦 :

𝑅 = 𝑇𝑦 .𝑦 = 𝑑𝐹 = 𝐶 .𝑑𝑠 = 𝜏𝑦 .𝑦 .𝑑𝑠

𝑆

𝑆

𝑆

donc Si nous supposons une répartition constante de la contrainte 𝜏𝑦 sur (S) alors : 𝑇𝑦 = 𝜏𝑦 . 𝑑𝑠 =

𝑆𝜏𝑦 . 𝑆.

Finalement on a De même on démontre que

𝑁 = 𝜍.𝑑𝑠

𝑆

𝜍 =𝑁

𝑆

𝑇𝑦 = 𝜏𝑦 .𝑑𝑠

𝑆

𝜏𝑦 =𝑇𝑦

𝑆

𝜏𝑧 =𝑇𝑧

𝑆


11 KHALFALLAH Jamil

IX. Notions de coefficient de sécurité :

Pour prendre en compte les éventuels écarts entre la réalité et le modèle de résistance des matériaux (géométrie simplifiée, isotropie,....), on utilisera un coefficient de sécurité "s" qui garantie en général la tenue des pièces.

𝑠 =𝐶𝑕𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑠𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒

𝐶𝑕𝑎𝑟𝑔𝑒 𝑒𝑥𝑒𝑟𝑐é𝑒=

𝑅é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑟é𝑒𝑙𝑙𝑒

𝑅é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑛é𝑐𝑒𝑠𝑠𝑎𝑖𝑟𝑒

𝑠 =𝜍𝑒𝜍𝑝

=𝑅𝑒𝑅𝑝

=𝑅é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 é𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

𝑅é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

Pour des matériaux fragiles (béton,…), on utilisera la résistance à la rupture Rr du matériau au lieu de la limite élastique Re :

𝑠 =𝜍𝑟𝜍𝑝

=𝑅𝑟𝑅𝑝

=𝑅é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 à 𝑙𝑎 𝑟𝑢𝑝𝑡𝑢𝑟𝑒

𝑅é𝑠𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑝𝑟𝑎𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒

Valeurs du coefficient En mécanique au sens large : chaudronnerie, structures métalliques, génie mécanique

(conception de mécanismes), automobile, …, on utilise typiquement les coefficients indiqués dans le tableau suivant.

Coefficient de sécurité s

Charges exercées sur la structure

Contraintes dans la structure

Comportement du matériau

Observations

1 ≤ s ≤ 2 régulières et connues

connues testé et connu fonctionnement constant sans à-coups

2 ≤ s ≤ 3 régulières et assez bien connues

assez bien connues

testé et connu moyennement

fonctionnement usuel avec légers chocs et surcharges modérées

3 ≤ s ≤ 4

moyennement connues

moyennement connues

non testé

mal connues ou incertaines

mal connues ou incertaines

connu

matériel routier : s = 3 ; pour les appareils de levage industriels :

levage par des chaînes de levage : s = 4, composants métalliques d'accessoires de levage (par exemple crochets,

palonniers) : s = 4, levage par des câbles métalliques : s = 5, levage par des sangles en tissus : s = 7 ;

ascenseur (transport du public) : s = 10.


12 KHALFALLAH Jamil

CChhaappiittrree IIII :: TTrraaccttiioonn -- CCoommpprreessssiioonn

Objectif :

Résoudre un problème de traction - compression.

Prérequis :

Notions de base de la résistance des matériaux.


I. Définition.

II. Essai de traction.

III. Contrainte.

IV. Déformation.

V. Condition de résistance.

VI. Coefficient de concentration de contrainte.

VII. Calcul en traction.

VIII. Application.


13 KHALFALLAH Jamil

Traction – Compression a

I. Définition :

On dit qu’une poutre (E) travaille en extension simple ( traction ) ou en compression simple quand elle est soumise à deux forces axiales directement opposées, appliquées au centre de surface des sections extrêmes qui tendent à l’allonger ou à la raccourcir.

Soit un repère ( , , , )G x y z

R.O.D.

Traction (extension) :

Figure 6 : Traction

τcoh

=

N > 0 00 00 0

G

Compression :

Figure 7 : Compression

τcoh

=

N < 0 00 00 0

G


14 KHALFALLAH Jamil

II. Essai de traction :

C’est l’essai le plus classique, il est effectué sur une éprouvette de section constante. Lors de cette expérience l'effort normal est augmenté progressivement provoquant l'allongement de l’éprouvette. A chaque incrément d'effort, la contrainte normale et la déformation de l’éprouvette sont portées sur une courbe. Cette opération est effectuée régulièrement jusqu'à la rupture de la barre.

Figure 8 : Eprouvettes

Figure 9 : Machine de traction

2-1 Courbe de contrainte en fonction de la déformation :

Figure 10 : Courbe de traction

Figure 11 : Différentes étapes de l'essai de traction

2-2 Module d’élasticité longitudinale : Il caractérise l’élasticité du matériau testé, c’est la pente de la droite (OA), exprimé en *N/mm2] ou en [MPa]. Remarques : E est une constante du matériau (pour l’acier E=200 000 MPa).

Plus E est élevé, plus le matériau est rigide est vise vers ça.

O

A

C D B

Déformation

L

L

Contrainte F

S

Apparition de

l’étranglement

Rupture

Rr

Re

Zone élastique Zone d’écrouissage Zone de striction

Zone de déformation


15 KHALFALLAH Jamil

2-3 Loi de Hooke :

C’est l’équation de la droite (OA) : 𝝈 = 𝑬. 𝜺

Où σ : contrainte normale en [MPa], E : module d’Young en *MPa+, 𝜀 : allongement relatif sans unité.

III. Contrainte :

𝜍 =𝑁

𝑆

Où σ : contrainte normale en [MPa], N : effort normal en [N], S : aire de la section droite en [mm2].

IV. Déformation :

𝜀 =∆𝐿

𝐿

Où 𝜀 : allongement relatif sans unité, ∆𝐿: allongement en [mm], L : Longueur de la poutre [mm]. On peut écrire :

∆𝐿 =𝑁. 𝐿

𝐸. 𝑆

V. Condition de résistance :

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale σ doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l’extension ou la compression :

En extension : , avec

Où pe : contrainte pratique à l’extension en *MPa+,

e : limite élastique en [MPa],

s : coefficient de sécurité sans unité.

En compression : , avec .

Où pc : contrainte pratique à la compression en [MPa],

e : limite élastique en [MPa],

s : coefficient de sécurité sans unité.

σ≤ σpe σpe=𝜍𝑒

𝑠

σ≤ σpc σpc=𝜍𝑒

𝑠


16 KHALFALLAH Jamil

VI. Coefficient de concentration de contrainte :

Quand la poutre présente des brusques variations de section (filetage, rainure, épaulement …), la répartition des contraintes n’est plus uniforme et la contrainte réelle est plus grande que σ. Il y a une concentration de contrainte au voisinage du changement de section.

σRéelle= Kt.σ

Où Kt : coefficient de concentration de contrainte.

Figure 12 : Influence d’un épaulement

Figure 13 : Influence d’un congé

Figure 14 : Influence d’un perçage


17 KHALFALLAH Jamil


18 KHALFALLAH Jamil


19 KHALFALLAH Jamil

VII. Application :

Un tirant de 1,5 m de longueur et de section droite circulaire, supporte un effort normale P = 4300 N. Il est en acier de σpe = 85 MPa et E=200000 MPa. Déterminer le diamètre minimal et l’allongement du tirant. Réponse : Détermination du diamètre :

σ≤ σpe et 𝑆 =𝜋 .𝑑2

4 donc 𝑑 ≥

4.𝑃

𝜋 .𝜍𝑝𝑒 AN : 𝑑 ≥ 8 mm

Détermination de l’allongement :

∆𝐿 =𝑃.𝐿

𝐸 .𝑆=

4.𝑃.𝐿

𝐸.𝜋 .𝑑2 AN : si d= 8 mm alors ∆𝐿 = 0,64 𝑚𝑚

Tirant

P

L=1,5 m


20 KHALFALLAH Jamil

CChhaappiittrree IIIIII :: cciissaaiilllleemmeenntt

Objectif :

Résoudre un problème de cisaillement.

Prérequis :



I. Définition.

II. Contrainte.

III. Déformation.

IV. Condition de résistance.

V. Application.


21 KHALFALLAH Jamil

S2 S1

L (très petit)

S2 S1

F

F

Cisaillement

I. Définition :

Une poutre est sollicitée au cisaillement simple lorsqu’elle est soumise à deux forces directement opposées, perpendiculaire à la ligne moyenne, et qui tendent à la cisailler; ou lorsque le torseur de cohésion peut se réduire en G, barycentre de la section droite S, à une résultante contenue dans le plan de cette section.

Dans le repère ( , , , )G x y z

, le torseur de cohésion est :

τcoh = R

M G

R

G

= 0 0Ty 0

0 0

R

G

ou τcoh = R

M G

R

G

= 0 00 0TZ 0

R

G

II. Contrainte :

Dans une section sollicitée en cisaillement pur, la contrainte est tangentielle. Elle est uniformément répartie :

𝜏 =𝑇

𝑆

Avec : 𝜏 : contrainte tangentielle en [MPa], T : effort tranchant (Ty ou TZ ) en [N],

S : aire de la section cisaillée en [mm2],

III. Déformation :

Les déformations sont caractérisées par un glissement des sections droites les unes aux autres. Le glissement est mesuré par l’angle appelé angle de glissement exprimé en radian (rd)

Lorsque les déformations sont élastiques la contrainte de cisaillement est proportionnelle à l’angle de glissement :

.G (a)

Avec : contrainte tangentielle en [MPa], : angle de glissement en [rd],

G : module d’élasticité transversale ou module de Coulomb en *MPa+.


22 KHALFALLAH Jamil

Remarques :

La loi (a) est analogue à la loi de Hooke : .E .

G=cte caractérise le matériau 0,4G E .

On montre que : 2(1 )

EG

.

avec E : module d’élasticité longitudinal en *MPa+,

G : module d’élasticité transversale en *MPa+, : coefficient de Poisson sans unité.

IV. Condition de résistance :

La contrainte tangentielle dans la section cisaillée doit être inférieure à la contrainte admissible au cisaillement du matériau :

pg

T

S où

eg

pg

s.

Avec : pg : résistance pratique au glissement (cisaillement) en [MPa],

eg : limite élastique au glissement en [MPa],

s : coefficient de sécurité.


23 KHALFALLAH Jamil

CChhaappiittrree IIIIII :: TToorrssiioonn

Objectif :

Résoudre un problème de torsion.

Prérequis :



I. Définition.

II. Contrainte.

III. Déformation.

IV. Relation entre contrainte et déformation.

V. Conditions de validité.

VI. Concentration de contrainte.

VII. Application.


24 KHALFALLAH Jamil

Torsion a

I. Définition :

On dit qu’une poutre est sollicitée en torsion simple suivant l’axe 𝑥 , si pour chaque section droite, le torseur de cohésion se réduit dans le repère 𝑅 (𝐺 , 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ) au :

𝛕𝐜𝐨𝐡 =

𝟎 𝐌𝐭

𝟎 𝟎𝟎 𝟎

𝐆

II. Contrainte :

Le moment de torsion et la contrainte tangentielle sont liés par la relation

𝑀𝑡 = 𝜌. 𝜏 .𝑑𝑠

𝑆

où : distance au centre,

III. Déformation :

Soit une poutre circulaire à section

constante soumise à deux couples 𝐌𝐭 et

−𝐌𝐭 égaux et opposés d’axe la ligne

moyenne de la poutre. Constatations expérimentales :

On constate que la génératrice C0D0 rectiligne avant l’application du couple se déforme suivant une hélice C0D après l’application du couple.

Toute section plane et normale à l’axe du cylindre reste plane et normale à cet axe.

Les sections droites tournent ou glissent en bloc les unes par rapport aux autres (rotation d’axe la ligne moyenne).

ds

𝜏 ρ

𝑧

𝑦

G


25 KHALFALLAH Jamil

Soient : αx : angle de torsion entre les sections droites A et G. α : angle de torsion de la poutre. Si on suppose que les sections droites tournent toutes entre elles de la même façon, alors l’angle de torsion entre deux sections droites quelconque est proportionnel à la distance entre celles-ci :

𝛼

𝐿=𝛼𝑥𝑥

= 𝜃

Avec : θ : angle unitaire de torsion en [rd/mm] De plus :

Avec : angle de glissement en rd .

Si les déformations sont faibles : 𝑡𝑔𝛾 = 𝛾 donc

IV. Relation contrainte déformation :

On a : τ = G.γ donc : τ = G.ρ.θ ⇒ 𝐺. θ =𝜏

𝜌

Et 𝑀𝑡 = 𝜌. 𝜏 .𝑑𝑠 = 𝜌2 .𝐺.𝜃 .𝑑𝑠

𝑆= 𝐺.𝜃 𝜌2 . 𝑑𝑠

𝑆

𝑆

Posons 𝐼0 = 𝜌2. 𝑑𝑠

𝑆

Avec 𝐼0 : moment quadratique polaire en [mm4]. Pour une poutre cylindrique de diamètre d 𝑀𝑡 = 𝐺.𝜃. 𝐼0 ⇒ ⇒

Avec : 𝜏 : contrainte tangentielle en [MPa]

𝑀𝑡 : moment de torsion en [N.mm],

𝐼0 : moment quadratique polaire en [mm4],

𝜌 : distance au centre en [mm]. Remarque :

Pour une poutre cylindrique 0 ≤ 𝜌 ≤𝑑

2 où d est son diamètre

La contrainte maximale est sur la périphérie : ρmaxi= 𝑑

2 donc 𝜏𝑚𝑎𝑥 =

𝑀𝑡

𝐼0

𝑑

2=

32.𝑀𝑡

𝜋 .𝑑4

𝑑

2

⇒

𝑡𝑔𝛾 =𝛼.𝜌

𝐿= 𝜌.𝜃

𝛾 = 𝜌. 𝜃

𝜃 = 𝑀𝑡

𝐺. 𝐼0

𝜏 = 𝑀𝑡

𝐼0𝜌

𝐼0 =𝜋.𝑑4

32

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 16.𝑀𝑡

𝜋.𝑑3


26 KHALFALLAH Jamil

V. Conditions de validité :

Condition de résistance :

La contrainte tangentielle maximale𝜏𝑚𝑎𝑥 doit être toujours inférieure à la résistance pratique au

cisaillement du matériau 𝜏𝑝𝑔 .

avec τpg=𝜍𝑒𝑔

𝑠

Condition de déformation : La condition de résistance n’est pas toujours suffisante. Il convient souvent de s’assurer que la

déformation reste acceptable, c’est à dire demeure inférieure à une limite 𝜃𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 fixée en fonction des conditions de fonctionnement de l’arbre .

VI. Concentration de contrainte :

Au voisinage du changement de section, la répartition des contraintes est modifiée : avec : Kt : coefficient de concentration de contrainte.

𝜏𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑡 𝑚𝑎𝑥

𝐼0𝜌𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜏𝑝𝑔

𝜃𝑚𝑎𝑥 = 𝑀𝑡

𝐺. 𝐼0≤ 𝜃𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

τRéelle= Kt.τmax


27 KHALFALLAH Jamil


28 KHALFALLAH Jamil

VII. Application :

Pour transmettre un couple de 350 N.m en envisage d’utiliser soit un arbre plein, soit un arbre creux. Ces deux arbres sont constitués du même acier pour lequel τeg = 200 MPa et G=8.104MPa. On adapte dans les deux cas le même coefficient de sécurité s = 3. L’arbre plein à un diamètre d1, l’arbre creux à pour diamètres : D et d tel que d=0,6 D. Questions :

1) Déterminer le diamètre minimal de l’arbre plein d1.et la déformation angulaire entre deux sections distantes de 500 mm.

2) Déterminer les diamètres minimaux D et d de l’arbre creux et la déformation angulaire entre deux sections distantes de 500 mm.

3) Déterminer le rapport 𝜆 =𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑎𝑟𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑢𝑥

𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙 ′ 𝑎𝑟𝑏𝑟𝑒 𝑝𝑙𝑒𝑖𝑛 Conclure.

Réponse :

1) Etude de l’arbre plein :

a) Déterminons d1 : Condition de résistance :

𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑡

𝐼0𝜌𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜏𝑝𝑔 ⇒

16.𝑀𝑡

𝜋.𝑑13 ≤

𝜏𝑒𝑔

𝑠 ⇒ 𝑑1

≥ 16.𝑀𝑡 . 𝑠

𝜋. 𝜏𝑒𝑔

3

AN : 𝑑1 ≥

16×350.103×3

𝜋×200

3

b) Déformation :

𝜃𝑝 = 𝑀𝑡

𝐺 .𝐼0 or 𝜃 =

𝛼𝑝

𝐿 ⇒ 𝛼𝑝 = 𝐿.𝜃 = 𝐿.

𝑀𝑡

𝐺 .𝐼0= 𝐿.

32.𝑀𝑡

𝐺 .𝜋 .𝑑14

AN : 𝛼𝑝 = 0,5 ×32×350

8.1010 ×𝜋×0,02994

2) Etude de l’arbre creux :

a) Déterminons d et D :

Condition de résistance : 𝜏𝑚𝑎𝑥 =𝑀𝑡

𝐼0𝜌𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜏𝑝𝑔 ⇒

𝑀𝑡

𝐼0

𝐷

2≤

𝜏𝑒𝑔

𝑠

Or 𝐼0 =𝜋(𝐷4−𝑑4)

32=𝜋 .𝐷4(1−0,64)

32

Donc 𝐷 ≥ 16.𝑀𝑡 .𝑠

𝜋 . 1−0,64 .𝜏𝑒𝑔

3

AN : 𝐷 ≥ 16×350.103×3

𝜋× 1−0,64 ×200

3 et

𝑑1 = 29,9 𝑚𝑚

𝛼𝑝 = 2,79. 10−2 𝑟𝑑 = 1,6°

𝐷 = 31,3 𝑚𝑚 𝑑 = 18,8 𝑚𝑚


29 KHALFALLAH Jamil

b) Déformation :

𝛼𝑐 = 𝐿. 𝑀𝑡

𝐺. 𝐼0= 𝐿.

32.𝑀𝑡

𝐺.𝜋. (𝐷4 − 𝑑4)

AN : 𝛼𝑐 = 0,5 ×32×350

8.1010 ×𝜋×(31,34−18,84)×10−12

3) Calculons :

𝜆 =𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑟𝑏𝑟𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑢𝑥

𝑚𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙′𝑎𝑟𝑏𝑟𝑒 𝑝𝑙𝑒𝑖𝑛=𝜌.𝑉𝑐𝜌.𝑉𝑝

=𝐿. 𝑆𝑐𝐿. 𝑆𝑝

=

𝜋. 𝐷2 − 𝑑2 4

𝜋.𝑑12

4

=𝐷2 − 𝑑2

𝑑12

AN : 𝜆 =31,32−18,82

29,9 2

Conclusion :

Les deux arbres ont presque la même déformation 𝜃𝑝 ≈ 𝜃𝑐 .

L’arbre creux permet un gain de masse de 30% et ayant une rigidité supérieure à celle de l’arbre plein.

𝛼𝑐 = 2,67. 10−2 𝑟𝑑 = 1,53°

𝜆 =0,7


30 KHALFALLAH Jamil

CChhaappiittrree VV :: FFlleexxiioonn ppllaannee ssiimmppllee

Objectif :

Résoudre un problème de flexion plane simple.

Prérequis :



I. Définition.

II. Relation entre l’effort tranchant et le moment fléchissant.

III. Etude des contraintes normales.

IV. Etude des déformations.

V. Application.


31 KHALFALLAH Jamil

Flexion plane simple a

I. Définition :

Une poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe 𝑧 , si pour chaque section droite, le torseur de cohésion se réduit dans le repère 𝑅 (𝐺 ,𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ) au :

τcoh = 0 0Ty 0

0 Mfz

G

Remarques :

a. si Ty = 0, la sollicitation est dite flexion pure.

b. Si la poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe 𝑦 , le torseur de cohésion est:

τcoh = 0 00 Mfy

Tz 0

G

II. Etude des contraintes normales :

On néglige l’effet des contraintes tangentielles devant les contraintes normales, le calcule de résistance d’une poutre sollicitée en flexion simple se fait selon le critère de la contrainte normale. Au cours de la déformation, le tronçon considéré initialement prismatique se transforme en portion de tore de rayon moyen R intercepté d’un angle dα.

Figure 15 : Etude des contraintes normales


32 KHALFALLAH Jamil

Figure 16 : Déformation du tronçon prismatique

MM est une fibre du tronçon joignant deux points homologues de section S et S.

Les fibres situées dans le plan (G, x , z ) ne varient pas et sont appelées fibres neutres.

Les fibres au dessus de G (y>0) se raccourcissent et celles en dessous de G (y<0) s’allongent.

2-1 Allongement / raccourcissement relatif de la fibre MM :

Soit M(yM,zM) dans le repère 𝑅 (𝐺 , 𝑥 ,𝑦 , 𝑧 ).

La longueur initiale de MM est dx,

Longueur finale de MM est -yM.dα donc l’allongement relatif est (a).

2-2 Expression de la contrainte normale : D’après la loi de Hooke, on a : 𝜍 = 𝐸. 𝜀 et en utilisant la relation (a), on peut conclure que : (b)

Figure 17 : Distribution des contraintes dans une section d’une poutre sollicitée à la flexion

𝜀 = −𝑦𝑀𝑑𝛼

𝑑𝑥

𝜍𝑀 = −𝐸. 𝑦𝑀𝑑𝛼

𝑑𝑥


33 KHALFALLAH Jamil

Remarques :

La contrainte normale est nulle sur la fibre neutre.

Le signe s’inverse à la traversée du plan (G, x , z ).

La répartition est linéaire sur la section droite.

Le point de la section le plus sollicité est celui qui est le plus éloigné de la fibre neutre.

2-3 Relation contrainte normale et moment fléchissant : On sait que le moment de flexion est la somme des moments du vecteur contrainte par rapport au point G sur la section de la poutre donc :

𝑀𝑓𝑧 = 𝐺𝑀 𝜍𝑀 .𝑑𝑠

𝑆 (+) la relation (b) ⇒ 𝑀𝑓𝑧 = 𝐸

𝑑𝛼

𝑑𝑥𝑦𝑀

2 .𝑑𝑠

𝑆

On sait que 𝐸𝑑𝛼

𝑑𝑥 est indépendant de yM et de zM alors : 𝑀𝑓𝑧 = 𝐸

𝑑𝛼

𝑑𝑥 𝑦𝑀

2 .𝑑𝑠

𝑠

Multipliant par yM l’équation précédente

𝑀𝑓𝑧 .𝑦𝑀 = 𝐸

𝑑𝛼

𝑑𝑥𝑦𝑀

𝑦𝑀2 . 𝑑𝑠

𝑠

𝑀𝑓𝑧 .𝑦𝑀 = −𝜍𝑀 𝑦𝑀

2 .𝑑𝑠

𝑠

Et finalement

2-4 Moment quadratique : La somme 𝑦2

.𝑑𝑠

𝑆 est le moment quadratique de la section droite (S) par rapport à l’axe (G, z )

que l’on notera 𝐼𝐺𝑧 : . Remarque : le moment quadratique dépend uniquement de la section droite (S).

Figure 18 : Valeurs des moments quadratiques particuliers

𝐼𝐺𝑧 = 𝑦2 .𝑑𝑠

𝑆

𝜍𝑀 = −𝑦𝑀 .𝑀𝑓𝑧

𝑦𝑀2 .𝑑𝑠

𝑆


34 KHALFALLAH Jamil

2-5 Module de flexion : Le module de flexion d’une section droite est :

C’est une caractéristique des profilés

2-6 Contrainte normale maximale :

Où 𝜍𝑀𝑎𝑥 : contrainte normale maximale en [MPa],

𝑀𝑓𝑧 : moment de flexion suivant z

en [N.mm],

𝐼𝐺𝑧

𝑦𝑀𝑎𝑥 : module de flexion [mm3].

2-7 Condition de résistance :

Avec σpe=𝜍𝑒

𝑠 où 𝜍𝑒 : contrainte de limite élastique en [MPa],

S : coefficient de sécurité sans unité. Remarque : S’il y a une concentration de contrainte : . Où Kt : coefficient de concentration de contrainte.

µ𝐺𝑦 =𝐼𝐺𝑧𝑦𝑀𝑎𝑥

𝜍𝑀𝑎𝑥 = 𝑀𝑓𝑧 𝑀𝑎𝑥

𝐼𝐺𝑧𝑦𝑀𝑎𝑥

σMax ≤ σpe

σréelle =Kt.σMax ≤ σpe


35 KHALFALLAH Jamil

Figure 19 : Abaque des coefficients de concentration de contrainte

III. Etude des déformations : La ligne caractéristique de la poutre déformée considéré comme la graphe de la fonction y=f(x). L’équation de la déformé s’obtient par intégration successive de y tel que :

Figure 20 : Etude des déformations

𝑦′′ 𝑥 = 𝑀𝑓𝑧

𝐸. 𝐼𝐺𝑧


36 KHALFALLAH Jamil

Application : Soit une poutre de section rectangulaire de masse supposé négligeable, appuyée sur deux appuis

en A et B, soumise à une action mécanique F en C : Questions :

1) Déterminer les actions aux appuis en A et B. 2) Donner le long de la poutre les diagrammes de l’effort tranchant yT et du moment de

flexion fzM .

3) Déterminer la contrainte normale maximale Max et vérifiée la condition de résistance.

4) Déterminer la flèche maximale maxy .

Réponses :

1) Actions aux appuis en A et B : Le PFS appliqué à la poutre donne :

τ1→E

A =

0 0F

20

0 0

= 0 0

10,5 00 0

A

A

et τ1→E

B =

0 0F

20

0 0

= 0 0

10,5 00 0

B

B

2) Diagrammes de l’effort tranchant et du moment de flexion :

Torseur de cohésion pour 0 ≤ 𝑥 ≤ 300 :

τcoh = − τ1→E

G =

0 0−10,5 0

0 10,5. x

G

Torseur de cohésion pour 300 ≤ 𝑥 ≤ 600 :

F = 21 N L= 600 mm b =20 mm h = 4 mm E = 200 000 MPa Re = 340 MPa s = 2

h

b

L/2

L

C

𝑧

𝑦 (3)

F

B A

𝑦

𝑥

(E)

(1) (2)


37 KHALFALLAH Jamil

τcoh = τ2→E

G =

0 010,5 0

0 10,5. (600 − x)

G

Diagrammes :

3) Condition de résistance :

On sait que 𝜍𝑀𝑎𝑥 = 𝑀𝑓𝑧 𝑚𝑎𝑥

𝐼𝐺𝑧𝑦𝑚𝑎𝑥 ;

D’après le diagramme du moment de flexion 𝑀𝑓𝑧 𝑀𝑎𝑥= 3150 𝑁.𝑚, 𝐼𝐺𝑧 =

𝑏𝑕3

12 et 𝐼𝑚𝑎𝑥 =

𝑕

2 .

A.N : 𝜍𝑀𝑎𝑥 = 59,06 𝑀𝑃𝑎

D’autre part 𝜍𝑝𝑒 =𝑅𝑒

𝑠=

340

2= 170 𝑀𝑃𝑎 .

𝜍𝑀𝑎𝑥 ≤ 𝜍𝑝𝑒 donc la condition de résistance est bien vérifiée.

4) Flèche maximale :

Il est claire que la flèche est maximale au point C.

On sait que 𝑦′′ 𝑥 = 𝑀𝑓𝑧

𝐸.𝐼𝐺𝑧

𝑦′′ 𝑥 =10,5 𝑥

2. 105 .20 × 43

12

= 4,922. 10−7.𝑥

Par une première intégration on trouve : 𝑦′ 𝑥 = 2,461. 10−7. 𝑥2 + 𝐶1

Or 𝑦′ 300 = 0 donc 𝐶1 = −22,15. 10−3

et par suite 𝑦′ 𝑥 = 2,461. 10−7. 𝑥2 − 22,15. 10−3

Par une deuxième intégration on trouve : 𝑦 𝑥 = 8,203. 10−8. 𝑥3 − 22,15. 10−3. 𝑥 + 𝐶2 .

x

3150 Mfz [N.mm]

600 300 A

10,5

x

-10,5

Ty [N]

300 600


38 KHALFALLAH Jamil

Or 𝑦 0 = 0 donc 𝐶2 = 0 et par suite 𝑦 𝑥 = 8,203. 10−8. 𝑥3 − 22,15. 10−3. 𝑥

La flèche maximale est au point C : 𝑦𝑚𝑎𝑥 = 𝑦(300) = 4,43 𝑚𝑚 .

IV. Principe de superposition :

Si une poutre est soumise à plusieurs sollicitations telles que l’extension, la compression, le cisaillement simple, la torsion ou la flexion plane simple, les vecteurs contraintes et les vecteurs déformations qui en résultent sont respectivement les sommes géométriques des vecteurs contraintes et des vecteurs déformations dus à chaque sollicitation simple agissant séparément et telles que les contraintes maximales résultantes restent inférieures à la limite élastique. Exemple :

Figure 21 : Principe de superposition

F2 F1

B A

𝑦

𝑥

F1

B A

𝑦

𝑥 F2

B A

𝑦

𝑥 ≡ +


39 KHALFALLAH Jamil


40 KHALFALLAH Jamil


41 KHALFALLAH Jamil

Application

On considère un IPE 160 reposant sur deux appuis linéaires rectilignes parfaits en A et B. Cette poutre dont on ne négligera pas le poids, supporte en C une charge verticale concentrée

𝐹 = −1000 𝑦 Hypothèses : - Poids linéique p=161 N/m, - Moment quadratique IGz=869 cm4, - Module d’Young E=2.105 MPa, - Longueur L=3m. Question : Calculer la flèche en point C. Réponse :

y(C) = y1(C) + y2(C)

Considérons dans un premier temps la poutre soumise à la charge répartie p uniquement :

On démontre que 𝑦1 𝐶 =5𝑝𝐿4

384𝐸𝐼𝐺𝑧=

5×0,161×3000 4

384×2.105×869.104= 0,098 𝑚𝑚

Considérons dans un deuxième temps la poutre soumise à la charge concentrée uniquement :

On démontre que 𝑦1 𝐶 =𝐹𝐿3

48𝐸𝐼𝐺𝑧=

1000×3000 3

48×2.105×869.104 = 0,323 𝑚𝑚

Utilisons le principe de superposition y(C) = y1(C) + y2(C) = 0,421 mm

C

p

F

B A

𝑦

𝑥 ≡ +

p B A

𝑦

𝑥 C

F

B A

𝑦

𝑥


42 KHALFALLAH Jamil

CChhaappiittrree VVII :: SSoolllliicciittaattiioonnss CCoommppoossééeess

Objectif :

Résoudre un problème de sollicitations composées.

Prérequis :

Sollicitations simples.


I. Sollicitations composées.

II. Flexion déviée

III. Flexion plane simple et extension

IV. Flexion plane simple et torsion

V. Extension et torsion


43 KHALFALLAH Jamil

Sollicitations composées

I. Introduction :

Nous étudierons dans ce chapitre les quatre cas de sollicitations composées que l’on rencontre le plus souvent :

Flexion déviée

Flexion plane simple et extension,

Flexion plane simple et torsion,

Extension et torsion.

II. Flexion déviée

2-1 Définition : Une poutre est soumise à la flexion déviée, si le torseur associé

aux forces de cohésion est :

0 0

G

coh y fy

z fz

T M

T M

Avec fy fzf

M MM y z

et zyT TT y z

2-2 Analyse des contraintes : Contrainte normale due à la flexion :

( ) ( )fy fz

M M

Gy Gz

M MM z y x

I I

Contrainte tangentielle due à la flexion :

La contrainte tangentielle de flexion ( )M

est négligeable devant la contrainte normale de

flexion ( )M

.


max

maxfy fz

M M

Gy Gz

M Mz y

pI I


44 KHALFALLAH Jamil

III. Flexion plane simple et extension :

3-1 Définition : Une poutre est soumise à la sollicitation de flexion plane simple et extension, si le torseur associé aux forces de cohésion est :

0

0

0G

coh y

fz

N

T

M

3-2 Analyse des contraintes :

Contrainte normale due à l’extension :

1( )N

M xS

Contrainte normale due à la flexion :

2 ( )fz

M

Gz

MM y x

I


La contrainte tangentielle de flexion 2 ( )M


flexion 2 ( )M

.

D’après le principe de superposition : 1 2( ) ( ) ( )fz

M

Gz

MNM M M y

S I

.

Figure 22 : Contrainte normale due et l’extension et la flexion


maxmax

fz

Gz

MNy

pS I


45 KHALFALLAH Jamil

IV. Flexion plane simple et torsion :

4-1 Définition : Un solide est soumis à la sollicitation de flexion plane simple et torsion, si le torseur associé aux forces de cohésion est :

0

0

0

G

G

t

coh y

fz

M

T

M


Contrainte tangentielle due à la torsion :

11

0

( ) tMM z

I

Contrainte normale due à la flexion :

2 ( )fz

M

Gz

MM y x

I


La contrainte tangentielle de flexion 2 ( )M


flexion 2 ( )M

.

4-3 Conditions de résistance : Condition de résistance selon Rankine :

Moment idéal de flexion : 2 21

2if fz fz tM M M M

Contrainte normale maximale : maxmax max

if

Gz

M

I

Condition de résistance : max p

Condition de résistance selon Tresca :

Moment idéal de torsion : 2 2

it fz tM M M

Contrainte tangentielle maximale : maxmax max

0

itM

I



46 KHALFALLAH Jamil

Condition de résistance selon Von Mises :

Moment idéal de flexion : 2 23

4if fz tM M M

Contrainte normale maximale : maxmax max

if

Gz

M

I


V. Extension et torsion :

5-1 Définition : Un solide est soumis à la sollicitation d’extension torsion, si le torseur associé aux forces de cohésion est :

0 0

0 0G

G

t

coh

N M


Contrainte normale due à l’extension :

( )N

M xS

Contrainte tangentielle due à la torsion :

1

0

( ) tMM z

I


Contrainte idéale : 2 24i

où : N

S et

0

tM

I

Condition de résistance : i Max p


47 KHALFALLAH Jamil

CChhaappiittrree VVIIII FFllaammbbeemmeenntt

Objectif :

Résoudre un problème de calcul en flambage.

Prérequis :

Notions de base et lois de la résistance des matériaux.


I. Introduction :

II. Etude du flambement théorie d'EULER

III. Elancement

IV. Charge critique

V. Contrainte critique

VI. Condition de résistance


48 KHALFALLAH Jamil

Flambement

I. Introduction :

Le flambement est un phénomène mécanique équivalent à une sollicitation composée de compression et de flexion. Les méthodes de son étude sont un peu particulières et que le flambement est un phénomène rapidement destructif.

II. Etude du flambement théorie d'EULER

Considérons une poutre de longueur importante et rectiligne soumise en A et B à deux glisseurs

(Liaisons pivot d'axes (A, z

) et (B, z

)), directement opposés, qui augmentent progressivement.

On remarque que si : Si F< Fc : La poutre reste sensiblement

rectiligne, elle se : raccourcit et peut être calculée en compression.

Si F= Fc : la poutre fléchit et prend une position d'équilibre élastique.

Si F> Fc : instabilité. La poutre fléchit brusquement jusqu'à la rupture. C'est du flambage.

Fc est la charge critique d'Euler. La flexion se produit selon la direction perpendiculaire à l'axe de la section (S) qui donne le moment quadratique le plus faible.

III. Elancement

La compression est remplacée par du flambage si la poutre est longue et ses dimensions

transversales sont faibles. Cette proportion est caractérisée par: L

: Élancement d'une poutre (sans unité) L : Longueur libre de flambage [mm]

: Rayon de giration de là section [mm] définit par: GzI

S

IGZ : moment quadratique minimal de la section suivant l’axe principale perpendiculaire à la déformation [mm4] S : aire de la section en [mm2].


49 KHALFALLAH Jamil

Figure 23 : Longueur libre de flambage

IV. Charge critique :

En cas de flambage, la charge critique d’Euler Fc est : 2

2

Gzcr

EIF

L

E : Module d'Young du matériau [MPa]. IGZ : Moment quadratique de la section [mm4]. L: Longueur libre de flambage de la poutre [mm].

REMARQUE:

est la longueur de la poutre, la longueur libre de flambage L, est fonction du type d'appui.

V. Contrainte critique :

On a vu que la charge critique d’Euler est 2

2

Gzcr

e

EIF

L

et puisque

2 2 22

2 2 2

.e e e Gz

Gz Gz e

L L L S I S

I I L

S

alors

2

2cr

ESF

On appelle contrainte critique 2

2

crcr

F E

S

VI. Condition de résistance

En Posant cr e ou 2

2 e

E

on définit

22 .cr

e

E

cr : Élancement critique (grandeur sans dimension ne dépend que de la nature du matériau).

E : Module d'élasticité longitudinal [MPa].

e : Résistance élastique du matériau [MPa].

6-1 coefficient de sécurité Le coefficient de sécurité k, spécifique au flambage, est le double du coefficient de sécurité habituel s.

2.k s


50 KHALFALLAH Jamil

Où e

pc

s

avec : e : limite élastique du matériau en [MPa],

pc : contrainte ou résistance pratique de compression en [MPa].

6-2 Condition de résistance La condition de résistance au flambage est que la charge critique d’Euler crF ne doit jamais être

atteinte. Il faut donc chercher la charge admissible admF sur la poutre.

.2

pccradm

e

FF

Or 2

2cr

ESF

et

2 22

2

. .ecr

e cr

E E

donc 2

.

2.

pc

adm

cr

SF

Exemples :

100cr pour poutres en acier (profilés).

70cr pour les poutres en aluminium.

60cr pour les poutres en fonte

6-3 Critères de résistance :

Selon la valeur de l’élancement , la charge admissible admF est déterminée pour une poutre par les

trois relations suivantes :

20 , cas des poutres courtes utilisation de critère de résistance à la compression :

.adm pcF S .

20 100 , cas des poutres moyennes utilisation de formule expérimentale de

Rankine : 2

.

1

pc

adm

cr

SF

100 , cas des poutres élancées

utilisation de formule d’Euler : 2

.

2.

pc

adm

cr

SF

2. 2.cr e

adm pc

FK s

F


51 KHALFALLAH Jamil

BBIIBBLLIIOOGGRRAAPPHHIIEE

[1] Guide de mécanique

Jean Louis FANCHON Editions Nathan 1996

[2] Mécanique appliquée

P.AGATI et N.MATTERA Editions Dunod 1996

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COURS DE RESISTANCE DES MATERIAUX I - Accueilltechnologie.com/fichiers/rdm11.pdf · Chapitre V : Flexion plane simple.....30. ISET de Djerba Résistance des matériaux KHALFALLAH