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COURS DESTRUCTURE DE LA
MATIÈRE(Module Ph 13)
16/10/2010 Cours de structure de la matière Ph 13
M. Bouguechal IPSA 2010-2011
1
16/10/2010 Cours de structure de la matière Ph 13
M. Bouguechal IPSA 2010-2011
2
2) Les bases de la mécanique quantique
a) La relation de De Broglie
b) Le principe d’incertitude de Heisenberg
c) L’équation de Schrödinger
d) Les solutions de l’équation de Schrödinger
pour l’atome d’hydrogène.
16/10/2010 3Cours de structure de la matière Ph 13
M. Bouguechal IPSA 2010-2011
a) La relation de De Broglie
Louis de Broglie (1892-1987):
Prix Nobel de physique 1929
Mathématicien et physicien français
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La relation de De Broglie:
A toute particule de masse m, animée d’une vitesse v, on
associe une longueur d’onde donné par la relation :
mv
h
h = 6.62 10 -34 J.s est la constante de Planck
est la longueur d’onde ( en m )
m et v étant la masse ( kg ) et la vitesse ( m/s) respectivement.
On dit qu’il y a dualité onde corpuscule
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En 1927 Davisson et Germer ont montré expérimentalement que
des électrons se comportaient comme des ondes lors d’expérience
de diffraction.
Davisson ( à gauche ) Prix Nobel de
Physique en 1937 et Germer
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Interférences
d’électrons
Cours SDM trois\quantique.htm
Cours SDM trois\quantique.htmCours SDM trois\quantique.htmCours SDM trois\quantique.htm
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Chaque particule, se comporte comme une onde, dualité
onde corpuscule, elle est donc caractérisée, comme toute
onde, par une fonction d’onde mathématique (r ; t) qui
dépend de la position de la particule r et du temps t, cette
fonction décrit un système quantique et dont le carré de la
norme est égal à la probabilité de présence de la particule par
unité de volume.
dp = ( r ; t) ² dv
dp élément de probabilité de présence de la particule dans
un élément de volume dv
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L’intégrale dans tout l’espace de ( r ; t) ² donne 1 car on
est sur de trouver la particule dans le volume considéré.
On dit que la fonction ( r ; t) est normalisé.
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b ) Le principe d’incertitude de Heisenberg :
Werner Heisenberg (1901-1976):
Physicien allemand
Prix Nobel de physique 19 32
On ne peut pas connaître à la fois la position et la vitesse
d’une particule avec une précision infinie.
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Le principe d'incertitude est souvent appelé principe
d'indétermination. L'emploi de ces deux expressions pour
désigner le même phénomène physique proviendrait de la
traduction en anglais de l'article de Heisenberg. En effet, lors
de la première rédaction de son article, Heisenberg emploie
les termes Unsicherheit (incertitude) et Ungenauigkeit
(imprécision), puis, comprenant que ces termes peuvent
prêter à confusion, il décide d'utiliser finalement le terme
Unbestimmtheit (indétermination). Mais l'article est déjà
traduit et c'est le terme "principe d'incertitude" qui sera
utilisé.[
http://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d'incertitude
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4.
hpx
p =mv est appelé quantité de mouvement.
p = (mv) = m v
m x . v h
4
On ne peut pas connaître à la fois la position et la
vitesse d’une particule avec une précision infinie.
Cela signifie que l'incertitude sur la position multipliée par
l'incertitude sur la quantité de mouvement est supérieure ou
égale à une constante ( h divisé par 4 π ).
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les variables x et p sont dites des variables conjuguées, deux
autres variables conjuguées sont l’ énergie E et le temps t.
4.
hpx
4.
htE
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c) L’ équation de Schrödinger :
Erwin Schrödinger (1887-1961):
Prix Nobel de physique 1933
Physicien Autrichien
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dt
dhiH
2
i : imaginaire pur, défini par i² = -1
H : Hamiltonien : c’est un opérateur mathématique
( r ; t) est la fonction d’onde de la particule
),(),( trEtrH
E est l'énergie de la particule
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Opérateur d’Hamilton ou hamiltonien
Le développement mathématique complet pour l'atome
d'hydrogène, un système à trois dimensions, la particule étudié
étant l’électron, est donné par:
Laplacienappelé
avecr
H
zyxe
me2
2
2
2
2
2
0
2
2
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me : masse de l'électron
e : charge de l'électron
εo : constante diélectrique du vide
h : constante de Planck
r : distance électron-noyau
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Les nombres quantiques :
La résolution de l'équation de Schrödinger pour l’atome
d’hydrogène conduit à l'introduction de 4 nombres
quantiques qui interviennent comme paramètres dans les
fonctions d'onde. Ces nombres quantiques n, l, m et s
caractérisent les mouvements microscopiques de l'électron
autour du noyau.
Une orbitale atomique O.A est définie par les nombres
quantiques n, l et m.
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Nombre quantique principal: n
n peut prendre toutes les valeurs entières positives (n = 1, 2,
3,..., ∞)
n est le seul nombre quantique qui influence l'énergie de
l'électron dans un atome d'hydrogène car E ne dépend que de
n; il intervient aussi dans la fonction radiale Rn, l(r) qui décrit
l'expansion spatiale de l'orbitale.
n définit une couche électronique
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Solutions de l'équation de Schrödinger pour l’atome
d’hydrogène H:
La résolution de l'équation de Schrödinger en coordonnées
sphériques (r,θ,φ) permet de déterminer :les niveaux d'énergie quantifiés En de l'électron qui
dépendent du nombre quantique principal n.
22
0
4
28
1
h
em
nE en
me: masse de l'électron ( kg )
e : charge de l'électron ( C )
εo : constante diélectrique ( ou permittivité ) du vide
h : la constante de Planck ( J.S )
n : nombre quantique principal
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N : la norme, car la fonction est normalisée.
Rn,l(r) : la fonction radiale
Yl,m(θ,φ) : la fonction angulaire.
les fonctions d'ondes associées à chaque niveau d'énergie
En qui dépendent des quatre nombres quantiques n, l, m, s.
),().(.),,(,, YRN mllne rr
L'atome d'hydrogène étant sphérique, on utilise les
coordonnées sphériques r, θ et φ pour décrire la position de
l'électron autour du noyau, pris comme origine.
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Yl,m(θ,φ) : la fonction angulaire n'a pas d'interprétationphysique, mais le carré de la fonction d'onde intégrée sur un
élément de volume nous donne la probabilité de trouver
l'électron de l'orbitale n, l, m dans le volume dV.
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Les coordonnées sphériques r, θ,φ
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Fonction radiale Rn,l(r)
Elle dépend des nombres quantiques n et l et de la distance
électron-noyau r. La fonction
faisant appel au carré de la fonction radiale, mesure la
probabilité de trouver l'électron à la surface d'une sphère à
la distance r du noyau.
drrRrP ln22
, 4)( .
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Plus n augmente, plus la probabilité de rencontrer l'électron
loin du noyau est grande. Ceci correspond à une situation
moins stable et à une expansion de l'orbitale atomique.
Pour n = 2, il existe des distances r où Rn,l(r) = 0. Ce sont les
nœuds.
La résolution de l’équation de Schrödinger fait apparaître 3
nombres entiers : n ,l, m
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n : nombre quantique principal : il détermine l’énergie
de la couche de rang n (n = 1, 2, 3,..., ∞)
l : nombre quantique secondaire ou orbital ou azimutal :
il sert à quantifier le moment cinétique
)(6.13
2eV
nEn
0 l n- 1
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l définit la forme et la symétrie des orbitales qui sont
nommées par des lettres minuscules.
Nombre quantique orbital Nom des orbitales
l = 0 orbitale s
l = 1 orbitale p
l = 2 orbitale d
l = 3 orbitale f
l = 4 orbitale g
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n = 3, l = 0 sous-couche 3s
n = 3, l = 1 sous-couche 3p
n = 3, l = 2 sous-couche 3d
0 l n- 1
l définit une sous-couche électronique
Remarque: Les sous-couches 3s, 3p et 3d d'un atome
d'hydrogène ont la même énergie puisque n = 3 dans tous les
cas.
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m : nombre quantique magnétique
– l m + l
m peut prendre (2 l+1) valeurs entières comprises entre -l
et +l ( m=-l, -l+1, …, -1, 0, l, …, l-1, l ).
m détermine l'orientation des orbitales dans l'espace.
Exemple :
Les trois orbitales d’une sous-couche p (l=1) sont dirigées suivant les 3
directions perpendiculaires d'un trièdre trirectangle px, py et pzcorrespondant aux trois valeurs de m différentes: m = -1, 0, +1.
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s : nombre quantique de spin
s détermine le sens de rotation intrinsèque de l'électron sur
lui-même.
Seuls deux sens sont possibles pour l'électron et s = 1/2.
s ne dépend pas des coordonnées spatiales des électrons.
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principal
n
orbital l magnétiqueatomique
n = 1, 2,
3, 4,
……..
0 l
n- 1
– l m
+ ln m l (r,t) s, p, d,
…..
n = 1 l = 0 m = 0 1.0.0(r , t) 1 s
n = 2 l = 0
l = 1
m = 0
m = -1, 0,
+1
2.0.0(r , t)
2.1-1(r , t) 2.1
0(r , t) 2.1 1(r ,
t)
2 s
2 px, 2 py,
2 pz
n = 3 l = 0
l = 1
l = 2
m = 0
m = -1, 0,
+1
m = -2, -1,
0, 1, 2
3.0.0(r , t)
3.1-1(r , t) 3.1
0(r , t)
3.1 1(r , t)
3.2-2(r , t) 3.2-
1(r , t)
320(r , t)…..
3s
3 px, 3py,
3pz
n = 4 l =0
l = 1
l = 2
l = 3
m = 0
m = -1, 0,
+1
m = -2, -1,
0, 1, 2
m = -3, -2, -
1, 0, +1, +2,
+3
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Les orbitales atomiques 1: orbitales s
1s (n = 1) 2s (n = 2) 3s (n = 3)
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Les orbitales atomiques 2: orbitales p
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Les orbitales atomiques 3: orbitales d
Les nombres quantiques : modèle de l’hydrogène
n l Orbitale m s Nombre de
combinaison
1 0 1s 0 +1/2, -1/2 2
2 0 2s 0 +1/2, -1/2 2
2 1 2p -1, 0, +1 +1/2, -1/2 6
3 0 3s 0 +1/2, -1/2 2
3 1 3p -1, 0, +1 +1/2, -1/2 6
3 2 3d -2, -1, 0, +1, +2 +1/2, -1/2 10
4 0 4s 0 +1/2, -1/2 2
4 1 4p -1, 0, +1 +1/2, -1/2 6
4 2 4d -2, -1, 0, +1, +2 +1/2, -1/2 10
4 3 4f -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 +1/2, -1/2 14
n : nombre quantique principal
m : nombre quantique magnétique
l : nombre quantique du moment angulaire
s : nombre quantique de spin
37Structure de la matière
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