Cours Ge Cccc

Licence Professionnelle de Gnie IndustrielUniversit Paris VI-Jussieu ; CFA Mecavenir Anne 2003-2004

Cours de Gnie ElectriqueG. CHAGNON

Table des matires

Introduction 11

1 Quelques mathmatiques... 121.1 Gnralits sur les signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2 Les classes de signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1.2.1 Temps continu et temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.2.2 Valeurs continues et valeurs discrtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2.3 Priode, frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.1.3 Energie, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.3.2 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 La Transforme de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2.1 Linarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2.2 Dcalage en temps/frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.2.3 Drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2.4 Dilatation en temps/frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2.5 Conjugaison complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.2.6 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2.3 Reprsentation de Fourier des signaux dnergie infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3.1 Impulsion de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.3.2 Spectre des signaux priodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.2.3.3 Cas particulier : peigne de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Notion de filtre linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.1 Linarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.2 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2 Gnralits 272.1 Le circuit lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.1 Circuits lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2 Courant, tension, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.2.1 Courant lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.1.2.2 Diffrence de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.1.2.3 Energie, puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.1.2.4 Conventions gnrateur/rcepteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.3 Lois de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3.1 Loi des nuds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.3.2 Loi des mailles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Diples lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1 Le rsistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1.1 Leffet rsistif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.2.1.2 Loi dOhm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3

4 TABLE DES MATIRES

2.2.1.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.1.4 Associations de rsistors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2 La bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2.1 Les effets inductif et auto-inductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2.2 Caractristique tension/courant dune bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.2.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.3 Le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3.1 Leffet capacitif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3.2 Caractristique tension/courant dun condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.3.3 Aspect nergtique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Rgime sinusodal, ou harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2 Puissance en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.2.1 Puissance en rgime priodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2.2 Puissance instantane en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.3.2.3 Puissance moyenne en rgime sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.3 Reprsentation complexe dun signal harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.4 Impdances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.3.4.1 Rappel : caractristiques tension/courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4.2 Impdance complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.3.4.3 Associations dimpdances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4 Spectre et fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1 Spectre dun signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.4.1.2 Signaux multipriodiques et apriodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4.2 Fonction de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Du semi-conducteur aux transistors 423.1 Les semi-conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.1 Semi-conducteurs intrinsques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1.1 Rseau cristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.1.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.2 Semi-conducteurs extrinsques de type n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2.1 Rseau cristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2.3 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.3 Semi-conducteurs extrinsques de type p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.3.1 Rseau cristallin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.3.2 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1.3.3 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.2 La jonction PN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.2 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4 Barrire de potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.5 Caractristique lectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.5.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.5.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.5.3 Caractristique et dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Le transistor bipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1.2 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.1.3 Hypothse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.3.1.4 Transistor au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.3.2 Modes de fonctionnement du transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

TABLE DES MATIRES 5

3.3.2.2 Blocage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3.2.3 Fonctionnement normal inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2.4 Fonctionnement normal inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.3.2.5 Saturation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.4 Le transistor MOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.4.2 Dfinitions et principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Systmes analogiques 554.1 Reprsentation quadripolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.2 Matrice de transfert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.1.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.1.4 Impdances dentre/sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Contreraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2.1.2 Conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.2.1.3 Un exemple dintrt du bouclage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2.2 Un peu de vocabulaire... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2.1 Les signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2.2 Les (( branches )) de la boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.2.2.3 Les gains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.2.3 Influence dune perturbation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4 Exemples de systmes contreraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.4.1 Exemple dtaill : une file de voitures sur lautoroute . . . . . . . . . . . . . . . . 614.2.4.2 Autres exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 Diagramme de Bode ; Gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1 Diagramme de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.1.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.3.1.3 Les types de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.3.2 Gabarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.4 Bruit dans les composants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.4.1 Densit spectrale de puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4.2 Les types de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.4.2.1 Bruit thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.4.2.2 Bruit de grenaille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4.2.3 Bruit en 1/f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4.2.4 Bruit en crneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.4.3 Bruit dans un diple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.3.1 Temprature quivalente de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4.3.2 Rapport de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.4 Facteur de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4.1 Dfinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4.2 Temprature de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.4.4.3 Facteur de bruit dun quadriple passif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.4.4.4 Thorme de Friiss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.5 Parasites radiolectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.1 Les sources de parasites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734.5.2 Classification des parasites... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.5.2.1 ... par leur propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.5.2.2 ... par leurs effets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.5.3 Les parades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6 TABLE DES MATIRES

5 Systmes numriques 765.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.2 Reprsentation logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.1.3 Familles de portes logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2 Logique combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1 Les oprateurs de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.1.1 Les oprateurs simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2.1.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785.2.1.3 Les oprateurs (( intermdiaires )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

5.2.2 Table de Karnaugh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2.2 Code binaire rflchi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2.2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.3 Quelques fonctions plus volues de la logique combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.3.1 Codage, dcodage, transcodage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.2.3.2 Multiplexage, dmultiplexage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2.4 Fonctions arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.4.1 Fonctions logiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 835.2.4.2 Fonctions arithmtiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.2.5 Mmoire morte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2.6 Le PAL et le PLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2.6.1 Le PAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.6.2 Le PLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Logique squentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3.1.1 Le caractre squentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3.1.2 Systmes synchrones et asynchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3.1.3 Exemple : bascule RS asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.2 Fonctions importantes de la logique squentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.2.1 Bascules simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3.2.2 Bascules fonctionnement en deux temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.3.2.3 Registres (ensembles de bascules) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3.3 Synthse des systmes squentiels synchrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.3.1 Registres de bascules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.3.2 Compteur programmable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.3.3.3 Unit centrale de contrle et de traitement (CPU) : microprocesseur . . . . . . . . . 94

5.4 Numrisation de linformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1 Le thorme de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.4.1.1 Ncessit de lchantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1.2 Exemple : chantillonnage dune sinusode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.4.1.3 Cas gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.4.2 Les chantillonneurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.4.3 Convertisseur analogique/numrique (CAN) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.3.2 Les caractristiques dun CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4.3.3 Quelques CAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

5.4.4 Convertisseur numrique/analogique (CNA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.4.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.4.2 Un exemple de CNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.4.4.3 Applications des CNA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

6 Transmission de linformation 1026.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

6.1.1 Quelques dates . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.2 Ncessit dun conditionnement de linformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.1.3 Transports simultans des informations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.1.4 Introduction sur les modulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

TABLE DES MATIRES 7

6.2 Emission dinformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1 Modulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2.1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1.2 Modulation porteuse conserve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.2.1.3 Modulation porteuse supprime . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.2.2 Modulations angulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066.2.2.2 Aspect temporel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.2.2.3 Aspect frquentiel de la modulation de frquence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.3 Rception dinformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.3.1 Dmodulation damplitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.3.1.1 Dmodulation incohrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1096.3.1.2 Dtection synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.3.2 Dmodulation angulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

7 Notions dlectrotechnique 1127.1 Le transformateur monophas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1.1 Description, principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.1.1 Ncessit du transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.1.2 Principe du transformateur statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

7.1.2 Les quations du transformateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.1.2.1 Conventions algbriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.1.2.2 Dtermination des forces lectromotrices induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.1.2.3 Le transformateur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2 Systmes triphass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.1 Dfinition et classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

7.2.1.1 Dfinition dun systme polyphas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.1.2 Systmes direct, inverse et homopolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.1.3 Proprits des systmes triphass quilibrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.2.2 Associations toile et triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2.2.1 Position du problme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2.2.2 Association toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2.3 Association triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1187.2.2.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.2.3 Grandeurs de phase et grandeurs de ligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.3.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.3.2 Relations dans le montage toile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2.3.3 Relations dans le montage triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.2.3.4 Bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

7.3 Les machines lectriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1217.3.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.3.1.1 Mouvement dun conducteur dans un champ dinduction magntique uniforme . . . 1217.3.1.2 Le thorme de Ferraris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.3.2 La machine courant continu (MCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.2.1 Principe de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.3.2.2 Ralisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.2.3 Modle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3.2.4 Excitation parallle, excitation srie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3.3 La machine synchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1257.3.4 La machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.4 Conversion dnergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.4.2 Les interrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.4.2.1 Principe de fonctionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.4.2.2 Les types dinterrupteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

7.4.3 Le redressement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4.3.1 Montages diodes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.4.3.2 Montage thyristors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

8 TABLE DES MATIRES

7.4.4 Londulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.4.4.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1317.4.4.2 Exemple donduleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

A Table de transformes de Fourier usuelles 133A.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133A.2 Table . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

B Quelques thormes gnraux de llectricit 135B.1 Diviseur de tension, diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

B.1.1 Diviseur de tension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135B.1.2 Diviseur de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

B.2 Thorme de Millman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136B.3 Thormes de Thvenin et Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

B.3.1 Thorme de Thvenin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137B.3.2 Thorme de Norton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138B.3.3 Relation entre les deux thormes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

C LAmplificateur Oprationnel (AO) 139C.1 LAO idal en fonctionnement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

C.1.1 Reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.1.2 Caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139C.1.3 Exemple : montage amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

C.2 LAO non idal en fonctionnement linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2.1 Reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2.2 Caractristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140C.2.3 Exemples : montage amplificateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

C.2.3.1 Gain non infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141C.2.3.2 Impdance dentre non infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141C.2.3.3 Rponse en frquence imparfaite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

C.3 LAO en fonctionnement non linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

D Lignes de transmission 143D.1 Lignes sans perte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

D.1.1 Quelques types de lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143D.1.2 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143D.1.3 Rsolution de lquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

D.2 Interface entre deux lignes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144D.2.1 Coefficients de rflexion/transmission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144D.2.2 Cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

D.3 Ligne avec pertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146D.3.1 Equation de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146D.3.2 Rsolution de lquation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

E Rappels sur les nombres complexes 147E.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147E.2 Reprsentations algbrique et polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

E.2.1 Reprsentation algbrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147E.2.1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147E.2.1.2 Rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148E.2.1.3 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

E.2.2 Reprsentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148E.2.2.1 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148E.2.2.2 Reprsentation polaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149E.2.2.3 Rgles de calcul et conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

E.3 Tables rcapitulatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150E.3.1 Quelques nombres complexes remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150E.3.2 Rgles de calcul et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

TABLE DES MATIRES 9

F Liste dabrviations usuelles en lectricit 151

Index 153

10 TABLE DES MATIRES

Introduction

Ce cours a pour but de prsenter rapidement le plus large ventail possible des connaissances de base en lectro-nique (analogique et numrique), lectrotechnique, traitement et transport du signal.

Le premier chapitre, la lecture facultative, introduit la notion de transforme de Fourier et en tablit les pro-prits mathmatiques ;

Le deuxime chapitre aborde les notions de base des circuits lectriques, et prsente une approche plus (( empi-rique )) des dfinitions du chapitre prcdent ;

le chapitre suivant expose rapidement les principes de fonctionnement des semi-conducteurs, et prsente suc-cintement transistors bipolaire et MOS ;

Le quatrime regroupe sous le titre (( Systmes analogiques )) des champs aussi divers que les notions de filtrage,de bruit dans les composants, de contreraction, etc. ;

Le chapitre suivant aborde les (( systmes numriques )) : circuits de logique combinatoire ou squentielle etquelques contraintes techniques lies au traitement numrique de linformation ;

Le sixime chapitre expose brivement quelques modes de transport de linformation ; Le dernier introduit quelques concepts-clefs de llectrotechnique et de llectronique de puissance : transfor-

mateur, systmes polyphass, machines lectriques et conversion dnergie ;

On trouvera en fin de polycopi quelques annexes et un index.

11

Chapitre 1

Quelques mathmatiques...

1.1 Gnralits sur les signaux

1.1.1 Introduction

Le concept de signal est extrmement vaste :

le relev en fonction du temps de lactionnement dun interrupteur ; une mission radiophonique ou tlvise ; une photographie...

... sont autant de signaux diffrents.

Un signal y dpend dune variable x, sous la forme gnrale 1.1 :y = S(x)

avec y Cm et x Cn

On se limitera, sauf mention contraire, au cas o m = 1 et n = 1. Le cas le plus courant est celui o x est en fait letemps t. Nous considrerons donc lavenir que les signaux que nous allons tudier sont des fonctions de t.

1.1.2 Les classes de signaux

Les signaux peuvent tre classs en diverses catgories :

1.1.2.1 Temps continu et temps discret

Dans le premier cas, le signal x est une fonction continue du temps t.Exemple :

1.1. Rappel : IN dsigne lensemble des entiers naturels (0, 1, 2, ... 33, etc.), ZZ lensemble des entiers relatifs (-10, -4, 0, 1, etc.), Q lensembledes nombres rationnels (tous les nombres qui peuvent scrire sous la forme dune fraction), IR lensemble des nombres rels (tous les nombresrationnels, plus des nombres comme pi,

2,e, etc.), et C lensemble des nombres complexes.

12

1.1. GNRALITS SUR LES SIGNAUX 13

6

-Temps

x(t)

FIG. 1.1 Signal temps continu

On notera souvent un tel signal sous la forme x(t), par exemple. Dans le deuxime, x nest dfini quen un ensemble dnombrable de points.

Exemple :

6

-Temps

x(t)

FIG. 1.2 Signal temps discret

On notera souvent un tel signal sous la forme x(n), par exemple. Ces points sont souvent rpartis des intervallesde temps rguliers.

1.1.2.2 Valeurs continues et valeurs discrtes

Dans le premier cas, le signal x peut prendre toutes les valeurs possibles dans un ensemble de dfinition donn(exemple ]; +2[ ou C). Un tel signal est galement appel analogique en rfrence llectronique.

Dans le deuxime, le signal x ne peut prendre quun ensemble dnombrable de valeurs. Un tel signal est gale-ment appel numrique en rfrence llectronique.Exemple :

6

-Temps

x(t)

FIG. 1.3 Signal valeurs discrtes

Notez que les quatre combinaisons sont possibles : les figures 1.1, 1.2 et 1.3 donnent ainsi respectivement unexemple de signal analogique temps continu, de signal analogique temps discret, et de signal numrique tempscontinu.

On se limitera dans la suite du chapitre aux signaux analogiques temps continu. On peut passer dun signalanalogique un signal numrique par chantillonnage : se reporter notamment au chapitre 5.4 pour plus de dtails.

14 CHAPITRE 1. QUELQUES MATHMATIQUES...

1.1.2.3 Priode, frquence

On parle galement de signaux priodiques : un signal x est dit priodique de priode T , ou par anglicisme T -priodique, si pour tout instant t0, x(t0 + T ) = x(t0) : le signal se rpte, identique lui-mme, au bout dun intervallede temps T .

On dfinit alors sa frquence f 1.2 parf =

1T

Une frquence est linverse dun temps, et sexprime en Hertz (Hz).

1.1.3 Energie, puissance

1.1.3.1 Dfinitions

Energie : soit un signal x(t) temps continu, tel que + |x(t)|2dt existe et converge. Alors le signal est dit

nergie finie et la valeur de cette intgrale est appele nergie du signal x 1.3 :

Ex= +

|x(t)|2dt (1.1)

Puissance : pour le mme type de signaux, on dfinit galement la puissance, note Px, par :

Px= lim

+12

+

|x(t)|2dt (1.2)

1.1.3.2 Remarques

1. Pour un signal priodique, lintgrale 1.1 ne converge pas. On peut nanmoins dfinir la puissance dun signalx T-priodique par :

Px=

1T

(T )

|x(t)|2dt

2. Il existe des signaux ni priodiques, ni dnergie finie, pour lesquels la puissance ne peut tre dfinie, commepar exemple la (( rampe )) x(t) = t.

3. Il sagit l de dfinitions mathmatiques. En pratique, un signal mesur ne lest jamais sur un intervalle detemps infini. Par exemple, on peut commencer visualiser un signal un instant quon prendra comme originedes temps, et dans ce cas on arrtera son examen au bout dun temps Tobs. Comme on ne sait pas ce que ce signaltait avant quon ne lobserve, ni ce quil deviendra aprs, il serait prsomptueux dutiliser les bornes et+ dans lintgrale 1.1, et on se limitera donc lcrire sous la forme Tobs

0|x(t)|2dt. Remarquons dailleurs

que cette dernire intgrale converge toujours.

Ce quil faut retenir

Les signaux peuvent tre valeurs discrtes ou continues ; temps discret ou continu ;

1.2. Parfois note ( prononcer (( nu ))).1.3. Le symbole = dsigne une dfinition.

1.2. LA TRANSFORME DE FOURIER 15

La priode dun signal est lintervalle de temps au bout duquel il se rpte identique lui-mme ; sa frquenceest linverse de la priode ;

Lnergie dun signal x temps continu vaut :

Ex= +

|x(t)|2dt

1.2 La Transforme de Fourier

1.2.1 Gnralits

1.2.1.1 Introduction

Cet outil fut introduit pour la premire fois par le physicien franais Joseph Fourier, pour ses travaux sur la conduc-tion de la chaleur au XIXe sicle. Depuis lors, il a longuement t dvelopp, et des extensions en ont t proposes.

Il existe plusieurs sortes de Transformes de Fourier, chacune adapte aux classes de signaux quelle analyse, ouau type de signal quelle gnre. On dnombre ainsi :

une transforme continue pour les signaux temps continu : la Transforme de Fourier proprement parler ; une transforme continue pour les signaux temps discret : la Transforme de Fourier temps discret ; une transforme discrte pour les signaux priodiques temps continu : le dveloppement en srie de Fourier,

ou Transforme de Fourier au sens des distributions ; une transforme discrte pour les signaux temps discret : la Transforme de Fourier Discrte.

Nous allons nous limiter, pour ltablissement des proprits, la Transforme de Fourier continue des signaux temps continu.

1.2.1.2 Dfinitions

1. Transforme de Fourier : soit un signal x(t) temps continu, tel que + |x(t)|dt converge 1.4. On dfinit

alors la transforme de Fourier de x, note X() ou TF[x(t)], par :

X() = +

x(t)ej2pitdt (1.3)

o j est tel que j2 = 1 1.5. La transforme de Fourier permet de mesurer le (( contenu frquentiel )) dun signal, savoir la manire dont on peut le dcomposer en une somme de sinusodes de frquences .

2. Transforme de Fourier inverse : si de plus x est nergie finie 1.6, cette relation est inversible en

x(t) = +

X()e+j2pitd (1.4)

1.4. On dit alors que (( x L1 )), ou que x est dintgrale (( absolument convergente )).1.5. On utilise la lettre j et non i comme en mathmatiques pour dsigner la racine carre (( classique )) de -1 pour viter la confusion avec le

courant i en lectricit.1.6. Rappel :

+ |x(t)|2dt converge.


Lopration correspondante est appele transformation de Fourier inverse : elle permet de revenir au signaltemporel x partir de son contenu frquentiel.

Ces deux dfinitions permettent de disposer de deux manires de dfinir compltement un signal qui satisfait auxconditions dinversibilit de la transforme de Fourier. On peut le dfinir :

soit par sa reprsentation temporelle ; soit par sa reprsentation frquentielle.

Ces deux domaines sont souvent appels (( duaux )) car leurs variables t et f sont lies par f = 1/t.

Spectre : on appelle spectre de x le module de la transforme de Fourier de x :

S() = |X()|

1.2.2 Proprits

Pour toutes les dmonstrations suivantes, les signaux x et y sont dintgrales absolument convergentes. On noteraindiffremment X() ou TFx() la transforme de Fourier du signal x.

1.2.2.1 Linarit

Soient et deux nombres complexes quelconques. La linarit de lquation 1.3 entrane facilement que :

TF(x+ y) = TF(x) + TF(y) (1.5)

1.2.2.2 Dcalage en temps/frquence

Soit t0 un rel strictement positif. Calculons TF[x(t t0)] :

TF[x(t t0)] = +

x(t t0)ej2pitdt

On effectue le changement de variable 1.7 u = t t0, et il vient :

TF[x(t t0)] = +

x(u)ej2pi(u+t0)du

Do :TF[x(t t0)] = e2jpit0

+

x(u)ej2piudu

Et donc :TF[x(t t0)] = ej2pit0X() (1.6)

Par symtrie dans les relations 1.3 et 1.4, on obtient de mme :

TF[e+j2pi0tx(t)] = X( 0) (1.7)

1.7. Il faut vrifier son caractre C1, cest--dire continu et drivable, et galement sassurer quil soit strictement monotone.


1.2.2.3 Drivation

On note x(t) =dx/dt. Alors :

TF[x(t)] = +

x(t)ej2pitdt

On effectue une intgration par parties 1.8 en intgrant x(t) et en drivant lexponentielle complexe. On obtientalors :

TF[x(t)] = [x(t)ej2pit]+ + j2pi +

x(t)ej2pitdt

Comme x est, physiquement, ncessairement nul 1.9 et que lexponentielle complexe y reste borne, lepremier terme de la somme devient nul et donc :

TF[x(t)] = j2piX() (1.8)

1.2.2.4 Dilatation en temps/frquence

Soit un rel non nul. Calculons TF[x(t)] :

TF[x(t)] = +

x(t)ej2pitdt

Effectuons le changement de variable 1.10 u = t. Deux cas se prsentent alors:

Soit > 0 ; alors

TF[x(t)] =1

+

x(u)ej2piudu

Et donc

TF[x(t)] =1X(

)avec > 0 (1.9)

Soit < 0 ; alors

TF [x(t)] =1

+

x(u)ej2piudu = 1

+

x(u)ej2piudu

Et donc

TF[x(t)] = 1X(

)avec < 0 (1.10)

Remarque : si on applique la formule 1.10 en posant = 1, on obtient TF[x(t)] = X(). On en dduit doncque la parit de la Transforme de Fourier est la mme que celle du signal original.

1.8. Rappel sur lintgration par parties : Soient f et g deux fonctions drivables et dfinies sur lintervalle [a,b], dont les drives sont continuessur ]a,b[. Alors : b

af (t)g(t)dt = [f(t)g(t)]ba

baf(t)g(t)dt

avec [f(t)g(t)]ba = f(b)g(b) f(a)g(a)1.9. Un signal observ est toujours nul en car il ntait alors pas encore observ, et nul en + car il ne lest plus.

1.10. cf. note 1.7.


1.2.2.5 Conjugaison complexe

On note x le signal conjugu de x 1.11. Calculons TF[x(t)] :

TF[x(t)] = +

x(t)ej2pitdt =( +

x(t)e+j2pitdt

)Et donc :

TF[x(t)] = X() (1.11)

Remarque : si x est un signal rel, alors x(t) = x(t), donc X() = X(). Si de plus x est pair (ou impair),alors x(t) = x(t) (respectivement x(t) = x(t)) et en utilisant la remarque du paragraphe 1.2.2.4, il vientX() = X() (respectivement X() = X()) do X() = X() et X est relle (respectivementimaginaire pure). En dfinitive, on obtient le tableau rcapitulatif suivant :

Signal x Pair ImpairRel X relle paire X imaginaire pure impaire

Imaginaire pur X imaginaire pure paire X relle impaire

1.2.2.6 Convolution

Dfinition : Soient deux signaux x et y valeurs continues et temps continu. On dfinit le produit de convolutiondes deux signaux, ou plus simplement leur convolution, par :

(x y)(t) = +

x()y(t )d (1.12)

On vrifie aisment que (x y)(t) = (y x)(t), cest--dire que la convolution est commutative, et donc que : +

x()y(t )d = +

x(t )y()d (1.13)

Transforme de Fourier : Calculons TF[(x y)(t)]...

TF[(x y)(t)] = +

( +

x()y(t )d)ej2pitdt

Ou :TF[(x y)(t)] =

+

+

x()y(t )ej2pitddt

On crit ej2pit = ej2pi(t)ej2pi et on obtient, en regroupant :

TF[(x y)(t)] = +

( +

y(t )ej2pi(t)dt)x()ej2pid

Dans lintgrale centrale, on effectue le changement de variable u = t ; il vient alors :

TF[(x y)(t)] = +

( +

y(u)ej2piudu)x()ej2pid

On peut ensuite sparer les variables, et on obtient :

TF[(x y)(t)] =( +

y(u)ej2piudu

)( +

x()ej2pid)

1.11. Autrement dit, si on crit x(t) sous la forme x(t) = x1(t) + jx2(t), alors x(t) = x1(t) jx2(t).


Et donc :TF[(x y)(t)] = X()Y () (1.14)

Par symtrie dans les relations 1.3 et 1.4, on obtient de mme :

TF[(x.y)(t)] = (X Y )() (1.15)

La transforme de Fourier de la convolution de deux signaux est le produit de leurs transformes de Fourier,et la transforme de Fourier inverse dune convolution de deux TF est le produit des deux transformes deFourier inverses.

1.2.3 Reprsentation de Fourier des signaux dnergie infinie

Les signaux dnergie infinie sont ceux pour lesquels lintgrale 1.1 ne converge pas.

1.2.3.1 Impulsion de Dirac

Dfinition : on introduit (t), not impulsion de Dirac 1.12, dfini par sa transforme de Fourier, tel que :

TF[(t)] = 1l (1.16)

o 1l dsigne la fonction uniformment gale 1 sur IR.

Plus (( physiquement )), est la limite quand T 0 du signal suivant :

-

6

-T/2 T/2

1/T

-

6

-

6

-

6

FIG. 1.4 Construction dune impulsion de Dirac

On reprsente graphiquement cette impulsion ainsi :

-

66 6

Temps

(t)

t0

(t t0)

FIG. 1.5 Reprsentation schmatique dune impulsion de Dirac

1.12. On dit parfois aussi (( pic )) de Dirac.


Proprits : soit x un signal temps continu, dnergie finie.

1. Calculons TF[x(t)(t)] : il sagit de la transforme de Fourier dun produit, donc en appliquant la formule 1.15,le rsultat est la convolution des deux transformes de Fourier :

TF[x(t)(t)] = +

X()1l( )d = +

X()d

On crit 1 = e+j2pi0, et on obtient :

TF[x(t)(t)] = +

X()e+j2pi0d

Or le membre de droite nest autre que la valeur prise par x(t) en t = 0 (cf. dfinition 1.4 de la transforme deFourier inverse). Il vient donc :

TF[x(t)(t)]() = x(0) (1.17)En particulier, pour = 0, on obtient facilement : +

x(t)(t)dt = x(0) (1.18)

En gnralisant, on obtient galement facilement par un changement de variable : +

x(t)(t t0)dt = x(t0) (1.19)

2. Calculons galement (x )(t) :(x )(t) = TF1[TF(x )] = TF1[X().1l] = TF1[X()] = x

Limpulsion de Dirac est donc llment neutre de la convolution.3. La dfinition 1.16 se traduit par : +

e+j2pitd = (t)

mais galement par symtrie entre les relations 1.3 et 1.4, par : +

ej2pitdt = () (1.20)

4. Impulsion de Dirac et chelon de Heaviside. Lchelon de Heaviside est dfini comme suit :

0 t

1u(t) = 0 pour t < 0

u(t) = 1 pour t 1

FIG. 1.6 chelon de Heaviside

Soient a et b deux rels non nuls, b > a. Calculons I = bau(t)x(t)dt : b

a

u(t)x(t)dt = [u(t)x(t)]ba ba

u(t)x(t)dt

en utilisant une intgration par parties (cf. note 1.8). Trois cas se prsentent alors :(a) a > 0 et b > 0 : alors u(b) = u(a) = 1, et

I = u(b)x(b) u(a)x(a) (x(b) x(a)) = 0


(b) a < 0 et b < 0 : alors u(b) = u(a) = 0, et

I = 0 0 + ba

0.x(t)dt = 0

(c) a < 0 et b > 0 : alors u(b) = 1 et u(a) = 0, et

I = x(b) b0

x(t)dt = x(b) (x(b) x(0)) = x(0)

Cette relation devant tre vrifie quels que soient a et b, on obtient : +

u(t)x(t)dt = x(0)

En comparant avec la relation 1.18, et ces galits devant tre vrifies quel que soit le signal x, il vient doncque

u(t) = (t) (1.21)La drive de lchelon de Heaviside est limpulsion de Dirac.

1.2.3.2 Spectre des signaux priodiques

Soit x(t) un signal temps continu, de priode T. On admet que x est (( dveloppable en srie de Fourier )) sous laforme :

x(t) =nZZ

xnej2pin tT (1.22)

avec

xn =1T

(T )

x(t)ej2pintT dt (1.23)

Pour un signal x impair, son dveloppement en srie de Fourier se simplifie en

x(t) =nIN

n sin(2pin

t

T

)Si x est pair, on peut de mme crire

x(t) =nIN

n cos(2pin

t

T

)Dans les deux cas, le coefficient 1 est l(( amplitude du fondamental )) et pour n > 1 les coefficients n sont lesamplitudes des (( harmoniques )). On peut alors dfinir le taux dharmoniques par

=1n>1 n

Calculons la Transforme de Fourier de x :

X() = +

x(t)ej2pitdt = +

(nZZ

xnej2pin tT

)ej2pitdt

En admettant la validit de la permutation des symboles de somme et dintgration, on obtient :

X() =nZZ

xn

( +

ej2pintT ej2pitdt

)=nZZ

xn

( +

ej2pi(nT )tdt

)

Or la relation 1.20 donne + e

j2pi( nT )tdt = ( nT

)donc :

X() =nZZ

xn( n

T

)(1.24)


Exemple : cas dun signal carr.On considre le signal T -priodique x(t) tel que :{

x(t) = 1 pour T/4 < t < +T/4x(t) = 0 pour + T/4 < |t| < T

t

x(t)

+T/4T/4

FIG. 1.7 Exemple de signal carr

On a alors

xn =1T

(T )

x(t)ej2pintT dt =

1T

+T/4T/4

ej2pintT dt =

1j2pin

(ejnpi/2 e+jnpi/2) = 1pin

sinnpi

2

En remarquant que seuls les termes dordre n impair sont non nuls, et en crivant dans ce cas n = 2k + 1, on obtient

X() =1pi

kZZ

(1)k2k + 1

( n

T

)

1.2.3.3 Cas particulier : peigne de Dirac

Dfinition : on dfinit le peigne de Dirac de priode T par la relation suivante :

T (t)=nZZ

(t nT ) (1.25)

Il se reprsente graphiquement comme suit :

-

66 6 66

(t)

TempsT 2T-T

(t+ T ) (t T ) (t 2T )

0

FIG. 1.8 Peigne de Dirac

Proprit : le peigne de Dirac est un signal priodique, de priode T ; il est donc (( dveloppable en srie deFourier )) :

T (t) =nZZ

nej2pin tT

Chacun des coefficients n vaut en vertu de la formule 1.23 :

n =1T

+T/2T/2

T (t)ej2pintT dt

Soit :

n =1T

nZZ

+T/2T/2

(t nT )ej2pin tT dt


Dans cette somme infinie, seul le terme pour n = 0 est non nul (les autres (( (t nT ) )) sont nuls sur lintervalle[T2 ,+ T2 ]). Il vient donc :n =

1T

+T/2T/2

(t)ej2pintT dt

On peut alors augmenter lintervalle de calcul de lintgrale sur lensemble IR entier, car (t) y est nul ; on obtientalors :

n =1T

+

(t)ej2pintT dt

Et en utilisant la formule 1.18 il vient :

n =1T

En notant T () la Transforme de Fourier du peigne T , il vient donc :

T () =nZZ

n( n

T

)=

1T

nZZ

( n

T

)=

1T 1T()

On peut alors retenir le rsultat suivant :La transforme de Fourier dun peigne de Dirac (en temps) est un peigne de Dirac (en frquence).

Corollaire : Autre formule du peigne de Dirac. Utilisons la relation 1.4 de la transforme de Fourier inverse :

T (t) = +

T ()e+j2pitd =1T

nZZ

( +

( n

T

)e+j2pitd

)

On applique alors la proprit 1.19, et il vient :

T (t) =1T

nZZ

ej2pinT t


La dfinition de la Transforme de Fourier ; Le spectre dun signal est le module de sa transforme de Fourier ; Les proprits de la TF, et plus spcialement la proprit lie la convolution :

TF[x y(t)] = TF[x(t)].TF[y(t)]

Llment neutre de la convolution est limpulsion de Dirac ; sa transforme de Fourier est la fonction contin-ment gale 1.


1.3 Notion de filtre linaire

1.3.1 Linarit

On considre un systme S quelconque, reprsent sous une forme de (( bote noire )), dentre x et de sortie y :

- -x(t) y(t)S

Par dfinition, S est un systme linaire sil existe une fonction de deux variables h(t,) telle que :

Si on est temps continu :

y(t) = +

h(t,)x()d (1.26)

Si on est temps discret :y(n) =

mZZ

h(n,m)x(m)

h est appele rponse impulsionnelle du systme. En effet, en tudiant la rponse du systme une impulsion, dansle cas par exemple de signaux temps continu, avec par exemple une impulsion retarde dun temps x(t) = (t),on obtient facilement en utilisant la formule 1.19 : y(t,) = h(t,). A priori, la rponse du systme dpend donc dumoment de lexcitation.

Dans la suite du cours, on se limitera une fois encore aux signaux temps continu pour ltablissement des qua-tions.

1.3.2 Invariance

Comme il a t soulign dans le paragraphe prcdent, la rponse du systme dpend a priori de linstant o il estexcit. Linvariance est la traduction du fait que lon dsire que cette rponse ne dpende plus de cet instant. Autrementdit, si y(t) est la rponse au signal x(t), alors le signal x(t ) doit entraner la rponse y(t ).

Soit donc le signal x1(t) ; son image par le systme S est le signal y1(t). On considre le signal x2(t) = x1(t )(il sagit du signal x1 retard du temps ) ; son image est le signal y2(t). On cherche avoir y2(t) = y1(t ).Traduisons cette galit en utilisant la relation 1.26 : +

h(t,)x2()d =

+

h(t ,)x1()d

Soit : +

h(t,)x1( )d = +

h(t ,u)x1(u)du

On effectue dans la premire intgrale le changement de variable u = ; il vient alors : +

h(t,u+ )x1(u)du = +

h(t ,u)x1(u)du

Cette galit devant tre vrifie quel que soit le signal x1, on a donc ncessairement :

Quels que soient t, , u : h(t, + u) = h(t ,u)

1.3. NOTION DE FILTRE LINAIRE 25

En particulier, pour u = 0 on obtient :h(t,) = h(t ,0)

La fonction de deux variables h(t,) peut donc se mettre sous la forme dune fonction de la diffrence de ces deuxvariables. Par la suite, pour un systme linaire invariant, nous crirons donc plus simplement h(t,) = h(t ). Enremplaant dans lquation 1.26, on obtient :

S est un systme linaire invariant y(t) = +

h(t )x()d (1.27)

Soit plus simplement, en comparant avec la formule 1.12 :

S est un systme linaire invariant y(t) = (h x)(t)

La rponse dun systme linaire invariant une entre quelconque est la convolution de cette entre par la rponseimpulsionnelle du systme.

1.3.3 Fonction de transfert

Soit S un systme linaire invariant, et h sa rponse impulsionnelle. Appliquons lentre de S le signal x(t) =x0e

st, avec s C . En utilisant la relation 1.27, il vient :

y(t) = +

h(t )x0esd

Soit encore, en utilisant la commutativit de la convolution (formule 1.13) :

y(t) = x0 +

h()es(t)d

On peut alors (( sortir )) est de lintgrale :

y(t) = (x0est).( +

h()esd

)Le premier terme du produit est en fait x(t). Le deuxime terme du produit ne dpend pas du temps, mais seulementde la variable s. Pour les mathmaticiens, ces deux remarques se traduisent par la constatation que les signaux de laforme est sont des signaux propres du systme S. On note le deuxime terme H(s) :

H(s) = +

h()esd

H est appele fonction de transfert de S . Dans le cas particulier o s = j2pi, on reconnat dans lexpressionprcdente la transforme de Fourier de la rponse impulsionnelle h, et on parle alors de la fonction de transfert enrgime harmonique.

La fonction de transfert en rgime harmonique est la transforme de Fourier de la rponse impulsionnelle,soit :

H() = +

h()ej2pid (1.28)

Fonction de transfert et reprsentation complexe : On a dmontr que pour un systme linaire invariant S , defonction de transfert H(s), dans le cas o lentre tait de la forme x(t) = x0est, on avait la relation suivante entrelentre x et la sortie y: y(t) = H(s)x(t). Lorsque lon utilise la reprsentation complexe, en crivant x(t) sous la


forme x0ejt, la relation qui apparat lie directement les reprsentations complexes de lentre et de la sortie, et lafonction de transfert en rgime harmonique :

y(t) = y0ejt = x0ejtH(j) = x(t)H(j)


Dans un filtre linaire invariant, la sortie est la convolution de lentre par la rponse impulsionnelle du systme.La Transforme de Fourier de la sortie est donc gale la Transforme de Fourier de lentre multiplie par cellede la rponse impulsionnelle, appele fonction de transfert ;

Chapitre 2

Gnralits

2.1 Le circuit lectrique

Le but de cette partie est dintroduire quelques notions de base de llectricit dans son ensemble.

2.1.1 Circuits lectriques

Un circuit lectrique est un ensemble de composants lectriques interconnects dune manire quelconque par desconducteurs.

Un composant lectrique est : dans le cas le plus simple un lment deux bornes (on dit aussi un diple), que lon reprsente sous la

forme suivante : a b

Les bornes a et b servent la connexion avec dautres composants. Dans cette catgorie on trouve parexemple les rsistors 2.1, condensateurs 2.1, bobines 2.1, piles, etc.) ;

dans certains cas un lment plus de deux bornes. Par exemple, un transistor possde 3 bornes, untransformateur peut en avoir 4 voire 6. Un composant quatre bornes est appel quadriple.

Un conducteur est constitu dun matriau transportant bien le courant lectrique. Pour des raisons physiques,un bon conducteur lectrique est galement un bon conducteur thermique. On en trouve ainsi ralis en mtal, etsurtout en cuivre. Mais il est galement possible dutiliser un liquide conducteur, appel lectrolyte : lexemplele plus classique est leau sale.

2.1.2 Courant, tension, puissance

2.1.2.1 Courant lectrique

Un courant lectrique est un dplacement densemble ordonn de charges lectriques dans un conducteur. On lecaractrise par une grandeur, lintensit, dfinie comme tant le dbit de charges lectriques dans le conducteur 2.2.

2.1. voir section 2.2.2.2. Lunit lgale de charge lectrique est le Coulomb (symbole C). Par exemple, un lectron porte une charge lmentaire ngative, note e, et

valant e 1,61019C.

27

28 CHAPITRE 2. GNRALITS

Cette grandeur est souvent note I . Quand, pendant un temps dt, il passe dq Coulombs, lintensit vaut

I =dqdt

Lunit lgale dans laquelle sexprime lintensit du courant lectrique est lampre (symbole A). Le courant dans leschma dun circuit lectrique est reprsent par une flche. Il est noter que du fait de la dfinition de lintensit(I = + dqdt ) et de la charge de llectron (charge ngative), le sens de dplacement effectif des lectrons est loppos dusens positif du courant 2.3.On reprsente un courant lectrique par une flche sur un conducteur, indiquant le sens positif de lintensit :

i

Cette flche indique que si les lectrons passent de droite gauche, on comptera une intensit positive ; ngative silsvont de gauche droite.

2.1.2.2 Diffrence de potentiel

Au repos, les charges lectriques dun conducteur sont en mouvement continuel sous leffet de lagitation ther-mique :

Y

:

z

I

Cependant, ce mouvement, une vitesse non nulle, ne se traduit pas par un dplacement global susceptible de setraduire en courant lectrique. Pour mettre en mouvement ces charges dans une direction donne, il est ncessairedappliquer un champ lectrique aux bornes du conducteur. En appliquant le potentiel lectrique V1 et le potentiel V2 ces deux bornes, on cre une diffrence de potentiel qui met les lectrons 2.4 en mouvement 2.5.

La valeur de la diffrence de potentiel est appele la tension , et son unit est le Volt (symbole V). Le Volt est dfinide telle manire quune charge dun Coulomb acclre sous une tension de 1V acquiert une nergie de 1J : 1V=1J/C.On reprsente une diffrence de potentiel par une flche ct du composant, comme sur le schma suivant :

DV1V2

V2 V1

Dans le bas de ce schma, les symboles rays indiquent la rfrence de potentiel nulle, appele la masse, par rapport laquelle sont dfinis les potentiels V1 et V2.

2.3. Cette petite incohrence a des origines historiques, llectron ayant t dcouvert aprs la formalisation du phnomne lectrique.2.4. L o des lectrons (( manquent )) dans la structure cristalline du mtal, on trouve des (( trous )), ou absence dlectrons, que lon considre

comme tant de petites charges positives, galement susceptibles dtre mises en mouvement.2.5. Rappel sur la force de Laplace : quand une charge lectrique q est place dans un champ lectrique E , elle est soumise une force F= q E .

2.1. LE CIRCUIT LECTRIQUE 29

2.1.2.3 Energie, puissance

Ainsi quon la soulign au paragraphe prcdent, lapplication dune diffrence de potentiel aux bornes dunconducteur permet de mettre en mouvement les charges lectriques libres quil renferme. Ce faisant, on leur a com-muniqu de lnergie cintique en apportant de lnergie lectrostatique sous la forme de la diffrence de potentielimpose. En se ramenant une unit de temps, on peut introduire une puissance lectrique dfinie comme tant leproduit de la tension par le flux de charges par unit de temps dans le conducteur, autrement dit par lintensit. Il estfacile de vrifier que ce produit est effectivement homogne une puissance : 1V.1A=1(J/C).1(C/s)=1(J/s)=1W.

2.1.2.4 Conventions gnrateur/rcepteur

Il est possible de (( raffiner )) cette notion de puissance lectrique en distinguant les composants (( gnrateurs )) depuissance de ceux qui se (( contentent )) de la recevoir.

Convention rcepteur : considrons un diple que lon qualifiera de (( passif )) , uniquement capable de recevoirde lnergie lectrique. On impose aux bornes de ce diple une ddp V2 V1, avec V2 > V1. Les lectrons, decharges ngatives, vont se diriger vers le ple de potentiel le plus lev. Par consquent, le courant sera positifdans le sens contraire. Il sensuit que lon peut dfinir une convention rcepteur pour les sens positifs des courantet tensions, comme suit :

DV2 V1 > 0

I > 0

Sensdes

lectrons

On notera que la flche de la tension et celle du courant sont de sens opposs.

Convention gnrateur : cette convention est la (( duale )) de la prcdente. Il sagit cette fois-ci pour le dipledimposer la tension ses bornes et lintensit du courant qui le traverse. En fait, on dfinit la conventiongnrateur daprs la convention rcepteur. Si lon veut pouvoir brancher lun en face lautre un rcepteur et ungnrateur, il faut ncessairement que les conventions de signe pour ce dernier soient les suivantes, pour quilny ait pas dincompatibilit entre les dfinitions :

DV2 V1 > 0

I > 0

Sensdes

lectrons

On notera que cette fois-ci, les deux flches sont dans le mme sens.


2.1.3 Lois de Kirchhoff

2.1.3.1 Loi des nuds

Cette loi se dduit facilement de la notion de courant lectrique. Supposons que lon ait un flux i0 = dq1dt dlectronsdans un conducteur arrivant un (( embranchement )) dun circuit lectrique :

i0

i1

i2

Les lectrons venant de la (( gauche )) partiront soit dans la premire, soit dans la deuxime branche. Mais le nombretotal dlectrons par seconde restera le mme que celui qui arrive en permanence par la gauche, et donc i0 = i1 + i2(avec les sens des courants dfinis suivant la figure prcdente).

Dans la thorie des rseaux de Kirchhoff, un nud est un point de convergence de plusieurs conducteurs.

Plus gnralement, si on considre n conducteurs arrivant au mme point O, avec les sens positifs des courants indfinis comme suit, vers O...

OinR ?/

Y

i1i2

i3

i4

La loi des nuds stipule alors que la somme algbrique des courants arrivant un nud est constamment nulle :n

k=1

ik = 0

2.1.3.2 Loi des mailles

Cette loi dcoule de la remarque selon laquelle entre deux points quelconques, la diffrence de potentiel est biendfinie. Considrons par exemple trois points A, B et C. On mesure entre A et B la tension VAB = VB VA, entre Aet C la tension V1 et entre C et B la tension V2 :

A B

C

VAB

V1 V2

Par dfinition de V1, on a V1 = VC VA et de mme pour V2, V2 = VB VC . Il sensuit que V1+V2 = (VC VA)+(VB VC) = VB VA = VAB . Cela sapparente une relation vectorielle.

2.2. DIPLES LECTRIQUES 31

Dans la thorie des rseaux de Kirchhoff, une maille est une (( chane )) de conducteurs et de composants lectriques,partant dun point, et arrivant ce mme point, par exemple :

maille

A1 A2

A3

A4A5A6

A7

La loi des mailles stipule que la somme algbrique des tensions le long de la maille est constamment nulle :

nk=2

VAkAk1 = 0


ce que sont le courant lectrique (un flux dlectrons), sa mesure (lintensit), et la tension ; la notion dnergie et de puissance lectriques ; les lois des nuds et des mailles.

2.2 Diples lectriques

2.2.1 Le rsistor

2.2.1.1 Leffet rsistif

On considre un conducteur, aux bornes duquel on impose une diffrence de potentiel. On a dj indiqu quece conducteur serait alors travers par un courant lectrique, un flux dlectrons. Cependant, tous les matriaux ne(( conduisent )) pas llectricit aussi facilement : certains offrent plus ou moins de rsistance au passage des lectrons.Cest ce phnomne que lon appelle leffet rsistif.

2.2.1.2 Loi dOhm

Cette loi exprime que certains matriaux ont une rponse linaire en courant une diffrence de potentiel impose.Si lon considre un tel diple, not D aux bornes duquel on impose la diffrence de potention U , et travers par le


courant i. Ce diple est un rsistor :

D

U

i

Quel que soit linstant t, U et i vrifient la relation de proportionnalit

U(t) = R.i(t)

o R est appele rsistance du rsistor, et sexprime en Ohms , en abbrg . Linverse de la rsistance est la conduc-tance , souvent note G, et sexprime en Siemens (abbrviation S) : G = 1/R.

2.2.1.3 Aspect nergtique

On a dj dit que la rsistance traduisait la (( difficult )) avec laquelle les lectrons peuvent circuler dans le matriau.Cette difficult saccompagne dun chauffement : cest ce quon appelle leffet Joule. Cet chauffement, du point devue du circuit lectrique, est une perte dnergie par dissipation thermique. Pour une rsistance R, parcourue par uncourant i et aux bornes de laquelle on mesure la tension U , cette puissance perdue PJ est gale :

PJ = Ri2 =U2

R

Par exemple, une rsistance R = 10 parcourue par un courant de i = 0,5 A dissipe 2,5 W.

2.2.1.4 Associations de rsistors

Considrons deux rsistances R1 et R2. On peut les associer de deux manires : soit elles sont parcourues parle mme courant (association en srie), soit elles sont soumises la mme diffrence de potentiel (association enparallle). On cherche dans chaque cas la rsistance R quivalente lensemble de R1 et R2.

1. Association en srie ; les deux rsistances sont associes ainsi :

R1 R2i

U1 U2

R

U

i

U

La loi des mailles (paragraphe 2.1.3.2) nous permet dcrire U = U1+U2. Or on a aussi U1 = R1i et U2 = R2i.Il vient donc U = (R1 +R2)i, soit R = R1 +R2 :La rsistance quivalente deux rsistances mises en srie est gale la somme des rsistances.

2.2. DIPLES LECTRIQUES 33

2. Association en parallle ; les deux rsistances sont associes ainsi :

R1 = 1/G1

R2 = 1/G2

R = 1/G

i

i

U

U

i1

i2

On note leurs conductances respectivesG1,G2 et la conductance quivalenteG. La loi des nuds (paragraphe 2.1.3.1)nous permet dcrire i = i1 + i2. Or on a aussi i1 = G1U et i2 = G2U . Il vient donc i = (G1 + G2)U , soitG = G1 +G2 :La conductance quivalente deux conductances mises en parallle est gale la somme des conduc-tances.

Autrement dit, linverse de la rsistance quivalente est gale la somme des inverses des rsistances.

2.2.2 La bobine

2.2.2.1 Les effets inductif et auto-inductif

Considrons deux conducteurs. On fait circuler dans lun de ces conducteurs un courant lectrique :

i

Ce courant cre un champ dinduction magntique. Si de plus le courant est variable, le champ ainsi cr est lui-mmevariable et est responsable de lapparition dun courant dit induit dans le deuxime conducteur : cest leffet inductif.Dans le mme temps, le champ dinduction magntique rtroagit sur le courant qui la cr, en ralentissant sa vitessede variation. Cest leffet auto-inductif.

2.2.2.2 Caractristique tension/courant dune bobine

On dfinit le coefficient dinduction magntique de la bobine par le rapport entre le flux dinduction magntique travers le circuit 2.6, et le courant qui lui donne naissance ; on le note L :

L(t) =(t)i(t)

Or la diffrence de potentiel u apparaissant grce leffet auto-inductif aux bornes de la bobine est gale u = ddt . Ilvient donc

u(t) = Ldidt

o L est appele linductance de la bobine et sexprime en Henri (H). Dans un circuit lectrique, on reprsente unebobine sous la forme suivante :

i

u

L

2.6. En rsum, le produit du champ magntique par la surface enserre par le circuit.



Le phnomne physique correspond au stockage dnergie sous forme magntique. Le stockage est momentan etlnergie est restitue au circuit en courant. Lnergie accumule par la bobine vaut :

Emag(t) =12Li(t)2

2.2.3 Le condensateur

2.2.3.1 Leffet capacitif

Lorquon applique une diffrence de potentiel deux conducteurs isols, on assiste une accumulation de chargespar effet lectrostatique. Cest leffet capacitif. Il peut tre recherch et dans ce cas on fabrique des composants sp-cialiss qui lui font appel, les condensateurs, ou bien ntre quun parasite. Il tend retarder les signaux.

2.2.3.2 Caractristique tension/courant dun condensateur

Pour un circuit donn, on dfinit sa capacit C comme le rapport de la charge accumule sur la tension applique ses bornes :

C =q

uLunit de C est le Farad (F).

Or le courant est la drive de la charge par unit de temps (cf 2.1.2.1) : i(t) = dqdt donc il vient :

i(t) = Cdudt

On reprsente un condensateur sous la forme suivante :

i

u

C


Le phnomne physique correspond au stockage dnergie sous forme lectrostatique. Le stockage est momentanet cette nergie est restitue au circuit sous forme de tension. Lnergie accumule par le condensateur vaut :

Estat =12Cu(t)2


rsistor et rsistance ; condensateur et capacit ; bobine et inductance ;

2.3. RGIME SINUSODAL, OU HARMONIQUE 35

les lois dassociation en srie et en parallle des rsistances.

2.3 Rgime sinusodal, ou harmonique

2.3.1 Dfinitions

Un signal harmonique, ou en utilisant une analogie avec la lumire, monochromatique, est un signal sinusodal, defrquence donne. La reprsentation (( classique )) de ce signal se fait sous la forme relle :

x(t) = x0 sin 2pit ou x(t) = X2 sin 2pit

x0 est appel amplitude et X valeur efficace de x. On peut poser = 2pif : est appele pulsation (ou vitesseangulaire pour certaines applications).

2.3.2 Puissance en rgime sinusodal

2.3.2.1 Puissance en rgime priodique

On considre un diple D en convention rcepteur :

D

i

u

On dfinit la puissance instantane dissipe dans le diple par

p(t) = u(t)i(t)

En rgime priodique 2.7, avec tension et courant de priode T , on peut dfinir galement la puissance moyenne par

P =1T

(T )

p(t)dt =1T

(T )

u(t)i(t)dt

2.3.2.2 Puissance instantane en rgime sinusodal

Supposons que u(t) = U2 cost et i(t) = I

2 cos (t ). Il vient alors, aprs quelques calculs :

p(t) = UI[cos+ cos (2t )]La puissance instantane est donc la somme dun terme constant (UI cos) et dun terme variable frquence doublede la frquence initiale (UI cos (2t )). Il sensuit que dans le cas gnral ( 6= 0 et 6= pi), le signe de p(t) varieau cours du temps : le diple est tour tour gnrateur puis rcepteur de puissance lectrique.

2.7. Sinusodal ou non...


2.3.2.3 Puissance moyenne en rgime sinusodal

1. Puissance active : On la dfinit par P = UI cos. On lappelle puissance active car cest elle qui est rellementutile (par exemple, dans un moteur, cest la puissance active qui est transforme en puissance mcanique, auxpertes prs). Deux cas se prsentent :

pi/2 < < +pi/2 : P > 0, ce qui signifie que le diple est rcepteur de puissance ; +pi/2 < < +pi : P < 0, ce qui signifie que le diple est metteur de puissance.

Cas dun condensateur ou dune bobine : Condensateur : on a i(t) = C du(t)dt donc si u(t) = U

2 cost, alors

i(t) = CU2 sint = (CU)

I

2 cos [t (pi/2)]

On en dduit que = pi/2, et donc que dans le cas dun condensateur parfait, la puissance active estnulle.

Bobine : on a de mme u(t) = L di(t)dt , qui nous amne facilement = +pi/2, et donc galement unepuissance active nulle.

2. Puissance ractive : On ne peut pas faire de diffrence, simplement en examinant le bilan de puissance active,entre un condensateur et une bobine. Par symtrie avec la dfinition de la puissance active, on dfinit la puissanceractive, souvent note Q, par Q = UI sin . Lunit de puissance ractive est le Volt Ampre Ractif (VAR).Quand 0 < pi/2, Q > 0 et on dit que le diple est de type inductif. Quand pi/2 < 0, Q < 0 et lediple est dit capacitif 2.8.

3. Puissance apparente : P = UI cos et Q = UI sin amnent naturellement dfinir la quantit S =P 2 +Q2 = UI , appele puissance apparente.

Il vient alors P = S cos : cos est donc un facteur mesurant lefficacit de production de puissance active dusystme, et est appel facteur de puissance .

2.3.3 Reprsentation complexe dun signal harmonique

On considre un signal harmonique x(t) = x0 cost. On dfinit alors sa reprsentation complexe x sous la forme

x(t) = x0ejt

On identifiera par la suite x et x, et on crira donc souvent par abus de notation : x(t) = x0ejt. On verra plus tardque lutilisation de la reprsentation complexe permet de simplifier les calculs. Pour repasser ensuite dans le domainerel, il suffit de prendre la partie imaginaire 2.9 du rsultat des calculs 2.10 : x(t) = =[x(t)].

Drivation : A partir de la forme complexe, il est ais dtablir une relation entre un signal x(t) et sa drive parrapport au temps. En effet, si x(t) = x0ejt, alors dxdt = (j)x0e

jt = j(x0e

jt), soit :

dxdt = jx

De mme, pour intgrer un signal, il suffit de diviser sa reprsentation complexe par j.

Expression de la puissance en notation complexe : Lexpression utilisable en notations relles et donne dans leparagraphe 2.3.2.2 ne lest plus quand on manipule les reprsentations complexes. La puissance instantane devient

p(t) =12 0) :

H(j) = A1 + j 01 + j 1

On a donc :

GdB = 20 logA+ 10 log

[1 +

(

0

)2] 10 log

[1 +

(

1

)2]

et :

= arctan

0 arctan

1

On suppose galement pour simplifier que les deux pulsations 0 et 1 sont trs diffrentes. Deux cas se prsententalors :

0 1 Pour 0, on a GdB 20 logA ; Pour 0 1, on a GdB 20 logA+ 20 log 0 ; Pour 1 , on a GdB 20 logA+ 20 log 0 20 log 1 .

On obtient donc les diagrammes suivants :

GdB

0 1

0 10

pi/2

0 1 Pour 1, on a GdB 20 logA ; Pour 1 0, on a GdB 20 logA 20 log 0 ; Pour 0 , on a GdB 20 logA+ 20 log 0 20 log 1 .

On obtient donc les diagrammes suivants :

GdB

0 1

0 10

pi/2

64 CHAPITRE 4. SYSTMES ANALOGIQUES

4.3.1.3 Les types de filtres

Les filtres frquentiels sont principalement de 4 types :

Filtre passe-bas

f

GdB

fc

Filtre passe-bande

f

GdB

fc1 fc2

Filtre passe-haut

f

GdB

fc

Filtre coupe-bande

f

GdB

fc1 fc2

1. Filtre passe-bas : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type

H(j) =A

1 + j/0

Etude asymptotique : Quand 0, on a GdB 20 logA = cte et quand 0 il vient GdB 20 logA 20 log (/0). On obtient le diagramme suivant :

f

GdB

f0

La frquence f0, pour laquelle le module de la fonction de transfert vaut (Valeur max)/2, est appele frquence

de coupure. Elle correspond une perte dun facteur 2 sur le gain maximal en puissance. Dautre part, quandla frquence est augmente dun facteur 10, le gain en dcibels est diminu de 20 units : on dit que la pentedu filtre est de -20dB par dcade, et le filtre est dit du premier ordre. Un filtre passe-bas du deuxime ordrepossde une fonction de transfert de la forme suivante :

H(j) =A

(1 + j/0)2

La pente est alors de -40dB par dcade.2. Filtre passe-bande : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type

H(j) = A1 + j/0

(1 + j/1)(1 + j/2)

avec 0 < 1 < 2. Il y a cette fois-ci deux frquences de coupure ; lintervalle de frquence entre ces deuxbornes est la bande passante.

3. Filtre passe-haut : la fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type

H(j) = A(1 + j/0)

Cest un filtre passe-haut du premier ordre (pente de +20dB par dcade).

4.3. DIAGRAMME DE BODE ; GABARIT 65

4. Filtre coupe-bande : La fonction de transfert la plus simple pour un tel filtre est du type

H(j) = A(1 + j/1)(1 + j/2)

1 + j/0avec 0 < 1 < 2

Il est noter que dans la ralit, tout filtre coupe les hautes frquences, mme un filtre dit passe-haut. Dans les filtresactifs 4.5, les transistors prsentent toujours des capacits parasites qui ont pour effet dintroduire de hautes frquencesde coupure. Dans les filtres passifs ( base uniquement de circuits R,L,C), il y a aussi toujours des capacits parasites,aux points de soudure des composants par exemple.

4.3.2 Gabarit

Afin de pouvoir spcifier clairement et sans ambigut les besoins des utilisateurs, par exemple, ou les caractris-tiques techniques dun systme, des dfinitions ont t nonces pour les filtres frquentiels. Nous avons dj parlde quelques-unes dentre elles dans le paragraphe prcdent (frquence de coupure, bande passante). Nous allonsmaintenant en faire une description plus dtaille, en prenant pour exemple un filtre passe-bas.

GdB

f

G0

G0 3dB

fc

Bande passanteBande de transition

Bande attnue

Gmin

Gmin + 3dB

Caractristique idale

Taux dondulation

FIG. 4.1 Gabarit de filtre passe-bas.

Notations :

H0 dsigne le gain maximal et G0 = 20 logH0 ; Hmin dsigne le gain minimal ventuel 4.6 et Gmin = 20logHmin ; fc dsigne la frquence de coupure.

Dfinitions : Voici les paramtres que lon doit spcifier en gnral pour dfinir un filtre passe-bas :

La bande passante est dfinie comme tant le domaine de frquences o le gain en dcibel est suprieur ou gal G0 3dB ;

La bande de transition est dfinie comme tant le domaine de frquences o le gain en dcibels est comprisentre Gmin + 3dB et G0 3dB ;

La bande attnue est dfinie comme tant le domaine de frquences o le gain en dcibels est infrieur ou gal Gmin + 3dB ;

Lattnuation de la bande attnue vaut G0 Gmin (en dB) ;

4.5. cf. Note 2.11.4.6. Certains filtres possdent un gain minimal en dB gal .


La frquence de coupure est dfinie comme tant la frquence pour laquelle le gain vautG03dB. On peut parlerde frquence de coupure principale et de frquence de coupure secondaire si le gain prsente deux plateaux dehauteurs diffrentes ;

On doit galement prciser le taux dondulation (diffrence, en dB, entre lamplitude des oscillations et le gaindans la bande passante) dans la bande passante et ventuellement dans la bande attnue.


La dfinition du diagramme de Bode ; Les diffrents types de filtres : passe-bas, passe-bande, coupe-bande, passe-haut ; les dfinitions des termes utiliss : frquence de coupure, bande passante... ; La notion de gabarit utilis pour dresser la liste des spcifications dun filtre.

4.4 Bruit dans les composants

Les informations qui nous parviennent sont souvent dtriores par des parasites, qui peuvent tre ds plusieurscauses. Des outils ont t dvelopps afin de pouvoir mieux estimer les contributions parasites, et essayer de senaffranchir. Ces outils sont bass sur des notions de statistiques, les bruits tant gnralement en effet des processusalatoires.

4.4.1 Densit spectrale de puissance

On rappelle que le spectre 4.7 dun signal est le module de sa transforme de Fourier. On dfinit la densit spectralede puissance comme tant le carr du module de la transforme de Fourier. Ainsi, si x est un signal etX sa transformede Fourier, sa densit spectrale de puissance vaut Dx = |X(()|2 .

Il existe une autre expression de la densit spectrale de puissance. Introduisons la notion de fonction dautocorrlationdun signal x temps continu :

() = +

x(t)x(t+ )dt o est la conjugaison complexe.

Prise au point , cette fonction mesure en quelque sorte la manire dont les structures que lon peut voir dans un signalse rptent sur des chelles de temps de . Calculons sa transforme de Fourier () :

(j) = +

+

x(t)x(t+ )ejdtd

Cette expression peut se mettre sous la forme :

(j) = +

( +

x(t+ )ej(t+)d)x(t)e+jtdt

On effectue dans lintgrale centrale le changement de variable u = t+ et il vient :

(j) = +

( +

x(u)ejudu)x(t)e+jtdt

4.7. cf. le paragraphe 1.2.1.2.

4.4. BRUIT DANS LES COMPOSANTS 67

Soit encore :

(j) = X(j) +

x(t)e+jtdt

On effectue le changement de variable u = t et on obtient :

(j) = X(j) +

x(u)ejudu

On reconnat dans le deuxime terme la transforme de Fourier de x(t). Or daprs la proprit 1.11, la transfor-me de Fourier de x vaut X(), et daprs 1.10, la transforme de Fourier de x(t) vaut X(). Le deuximeterme vaut donc X(j), donc (j) = X(j)X(j) = |X(j)|2 : la densit spectrale de puissance est aussi latransforme de Fourier de lautocorrlation.

4.4.2 Les types de bruit

Nous nous limiterons dans tout ce qui suit aux seuls bruits additifs : la puissance totale transporte est gale lasomme de la puissance de signal utile et la puissance transporte par le bruit.

4.4.2.1 Bruit thermique

Egalement nomm bruit de rsistance, ou bruit Johnson, du nom du physicien Johnson qui la mis en videnceen 1927 .

Ltude thorique en a t faite en 1928 par Nyquist. Quand un corps est port une certaine temprature, lesnoyaux atomiques mais surtout les lectrons qui le composent (en raison de leur plus faible masse) sont agits,et dots dune vitesse en moyenne nulle (ils ne vont en moyenne dans aucune direction particulire), mais dontla moyenne quadratique (cest--dire la racine carre de la moyenne des carrs des vitesses) est proportionnelleau produit de la temprature, exprime en degrs Kelvin, et dune constante k, appele constante de Boltzmann,qui vaut k = 1.38.1023J/K :

Y

:

z

I

FIG. 4.2 Dplacement dun lectron : llectron revient en moyenne son point de dpart, donc sa vitesse moyenneest nulle ; mais il se dplace, donc en moyenne, sa vitesse nest pas nulle : on estime cette dernire valeur par la vitessequadratique moyenne.

Pour une rsistanceR porte la temprature T , la densit spectrale de puissance du bruit vaut DR = 2kRT 4.8.Elle sexprime en Volts au carr par Hertz (V2/Hz). Ce bruit est dit blanc, par analogie avec la lumire, car toutesles frquences sont galement reprsentes dans le spectre. Cela nest pas rigoureusement exact (lnergie trans-porte par un tel signal serait infinie), mais cette approximation est tout fait valable dans les domaines defrquences o lon travaille habituellement.

4.8. On peut aussi trouverDR = 4kRT . Tout est une question de dfinition de la transforme de Fourier. Nous utilisons dans ce cours la dfinitiondans laquelle les bornes dintgration de lintgrale gnralise sont et + (cf paragraphe 1.2.1.2). Cette dfinition est dite bilatrale. Onpeut galement dfinir une autre TF, o le domaine dintgration stend de 0 + seulement. Cette TF est dite monolatrale, mais ne vrifie pastout fait les mmes proprits.


Exemple : circuit RC. Considrons le circuit suivant :

e

sR

C

Il est facile de montrer que la fonction de transfert de ce filtre vaut :

H(j) =1

1 + j/0

avec 0 = 1/RC. La rsistance (( bruyante )) peut tre modlise comme tant la mise en srie dune rsistanceparfaite, non bruyante, et dune source eb dlivrant une tension dont la densit spectrale de puissance est celledu bruit. Cette source de tension est filtre de la mme manire par le circuit. La composante bruite sb de lasortie vaut donc la frquence :

sb(t) =1

1 + j/0eb(t)

Calculons la transforme de Fourier ; il vient :

TF[sb(t)] = TF(

11 + j/0

eb(t))=

11 + j/0

TF[eb(t)]

Prenons-en le module au carr ; le terme de gauche devient la densit spectrale de puissance du bruit en sortie, etla Transforme de Fourier de droite la densit spectrale de puissance de lentre bruite, donc du bruit thermiqued la rsistance :

Ds() =1

1 + (/0)2De()

Application numrique : dans notre cas : R = 10 k, T = 300 K, C = 1,6 nF. La frquence de coupure vautalors 0 10 kHz. La puissance totale transporte par le bruit vaut

+ Ds()d, soit 2kRT0pi.

En rgle gnrale, on dira en fait que la puissance de bruit totale vaut en premire approximation la densitspectrale de puissance de bruit en entre, multiplie par la bande passante du systme (ici 0). Avec les valeursnumriques choisies, on obtient donc environ 2kRT0 1012V2. Le bruit uniquement d cette rsistanceest donc quivalent une source de tension moyenne denviron 1 V.

4.4.2.2 Bruit de grenaille

Egalement nomm (( shot noise )). Il est caus par des discontinuits du dbit des porteurs de charge (le plus souvent des lectrons 4.9), dues des

effets quantiques. Il est modlis par une source de courant, place en parallle du composant idal non bruyant, et de densit

spectrale de puissance DI = eI o I dsigne le courant moyen qui parcourt le composant 4.10.

4.4.2.3 Bruit en 1/f

Egalement nomm (( flicker noise )), bruit de scintillement ou de papillotement, bruit en excs, bruit de bassefrquence, ou bruit rose.

I

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