Cours Introduction à la logique classique - Les Treillisjjayez.pagesperso-orange.fr/cours/treillis-ho.pdf · J.Jayez–Lestreillis 1/44 Cours Introduction à la logique classique

J. Jayez – Les treillis 1/ 44

Cours Introduction à la logique classiqueLes Treillis

Jacques Jayez, ENS-LSH, L2C2

2008-2009, semestre 1


Ordres

Ordres I

◮ Propriétés d’une relation R sur un ensemble X

◮ Réflexivité : R(x ,x) pour tout x ∈ X .

◮ Symétrie : si R(x ,y), R(y,x) pour tout x ,y ∈ X .

◮ Transitivité : si R(x ,y) et R(y, z), alors R(x , z).

◮ Antisymétrie : si R(x ,y) et R(y,x), alors x = y.


Ordres

Ordres II

◮ Irréflexivité : ¬R(x ,x) pour tout x ∈ X .

◮ Connexité : R(x ,y) ou R(y,x) pour tout x ,y ∈ X .

◮ Linéarité : R(x ,y), R(y,x) ou x = y pour tout x ,y ∈ X .

◮ Sérialité : pour tout x ∈ X il existe au moins uny ∈ X tel que R(x ,y).

◮ Caractère Euclidien : si R(x ,y) et R(x , z), alorsR(y, z).


Ordres

Ordres III

Définition 1

Un préordre sur X est une relation binaire réflexive et

transitive sur X

◮ Si (X ,≤) est un préordre, x ∈ X et y ∈ X sont ditscomparables si x ≤ y ou y ≤ x.

◮ Si x ≤ y et y ≤ x, on dit que x et y sont isomorphes,ce qu’on note x ∼= y.


Ordres

Ordres IV

Définition 2

Un ordre partiel sur X est une relation binaire réflexive,

transitive et antisymétrique sur X .

◮ «Partiel» parce que pas nécessairement connexe (ou

linéaire).

◮ Si (X ,≤) est un ordre partiel, on note x < y le fait que

x ≤ y et x 6= y

Diagramme de Hasse

b < a, c < a

a

b c


Information

Information V

◮ Exemple introductif

◮ Situation : ce cours peut a priori avoir lieu dans trois

salles, F124, F129, F130

◮ On suppose que chaque choix exclut les autres : si

F124 alors non-F129 et non-F130, etc.

◮ On peut classer les infos par degré de vague : F124

ou F129 est plus vague que F129 (qui exclut F124 et

F130, par stipulation).

◮ x est plus vague que y : x > y.


Information

Information VI

F124 ∨ F129 ∨ F130

(F124 ∨ F129) & non-F130 (F124 ∨ F130) & non-F129 (F129 ∨ F130) & non-F124

F124 & non-F129 & non-F130 F129 & non-F124 & non-F130 F130 & non-F124 & non-F129


Information

Information VII

◮ Deux manières de regarder ce graphe.

1. En termes de situations effectivement réalisées : les

seuls nœuds pertinents sont ceux de la base.

2. En termes d’information communiquée à un agent :

tous les nœuds sont possibles.

◮ Conséquence : à ce stade, le graphe exprime les

situations informationnelles possibles.


Information

Information VIII

◮ Interprétation de «non».

◮ Si non-A figure dans une situation réelle s, A ne peut

pas y figurer.

◮ Ce n’est pas vrai pour une situation informationnelle

(un état d’information) : un agent peut être placé en

face de deux informations contradictoires.

◮ L’agent sait qu’aucune situation réelle ne correspond

à la description contradictoire.

◮ Mais il ne sait pas quelle est la situation réelle.


Information

Information IX

◮ Une description (une formule logique dans notre cas)peut donc dénoter deux objets différents.

1. Une situation ou un ensemble de situations réelles2. Un état d’information

Ex. La description (F124 & F129 & non-F130) ne correspond àaucune situation réelle = elle correspond à l’ensemble vide

◮ Elle correspond aussi à un état d’information contradictoire,mais qui peut exister.

Ex. La description (F124 ∨ F129 & non-F130) correspond à unensemble de deux situations réelles : {(F124 & non-F129& non-F130),(non-F124 & F-129 & non-F130)}.

◮ Elle correspond aussi à un état d’information non contradictoire.


Information

Information X

◮ Comment discrimine-t-on deux descriptions ?

◮ Réponse informationnelle : lorsqu’elles décrivent des

états d’information différents.

☞ Cela vaut même pour des descriptions contradictoires

(qui correspondent à deux ou plusieurs situations

réelles incompatibles).

◮ Réponse de la logique classique :

Définition 3

Deux descriptions sont distinctes seulement si elles

décrivent des (ensembles de) situations réelles

différentes.


Information

Information XI

◮ Corollaire 1 En logique classique, deux descriptions

contradictoires sont identiques.

◮ Pourquoi ? Parce qu’elles dénotent l’ensemble vide de

situations.

◮ Corollaire 2 Deux descriptions sont différentes

seulement s’il existe au moins une situation (réelle)

qui correspond à l’une mais pas à l’autre. Dans tout

autre cas, elles sont identiques.


Information

Information XIIF124 ∨ F129 ∨ F130

(F124 ∨ F129) & non-F130 (F124 ∨ F130) & non-F129 (F129 ∨ F130) & non-F124

F124 & non-F129 & non-F130 F129 & non-F124 & non-F130 F130 & non-F124 & non-F129

a•

◮ a représente n’importe quelle description contradic-

toire, par ex. F124 & non-F124 & . . ..


Information

Information XIII

◮ La relation d’ordre (≤) correspond à ⊆ sur l’ensemblede situations réelles : D1 ≤ D2 = l’ens. des sit. quivérifient D1 ⊆ l’ens. des sit. qui vérifient D2.

◮ le signe ⇒ (dénommé «implication») correspond à ≤,et donc à ⊆.

◮ Une description contradictoire implique n’importe

quelle autre description (ex falso sequitur quodlibet).

◮ Conséquence pour ∅ : une proposition de forme «six ∈ ∅, P(x)» est toujours vraie, car x ∈ ∅ est unedescription contradictoire.


Information

Information XIV

◮ Pour construire la logique classique, on procède en

trois étapes.

1. On introduit les propriétés fondamentales de & et

∨ , sous forme d’opérations ∧ et ∨ sur des structuresinformationnelles appelées treillis.

2. On introduit la notion de distributivité (treillis

distributifs)

3. On introduit un opérateur - (la négation), de manière

à rendre le treillis «réaliste», au sens de la logique

classique (= sensible aux situations réelles possibles).

Ce sont les treillis booléens (George Boole 1850).


Treillis

Treillis I

Définition 4

Soit (X ,≤) un préordre et A ⊆ X . x est une bornesupérieure (resp. inférieure) de A =déf x ≥ y (resp. ≤ y)pour tout y ∈ A. x est un plus grand (resp. plus petit)élément de A =déf x est une borne supérieure (resp.

inférieure) de A qui appartient à A.


Treillis

Treillis II

Définition 5

Soit (X ,≤) un préordre et A ⊆ X ,∨A désigne un plus

petit élément dans l’ensemble des bornes supérieures de

A

◮ Observation∨A n’existe pas nécessairement. Ex.

sur {a,b, c}.

NON

A B

a b c

OUI

A B

a b c


Treillis

Treillis III

◮ Observation Tous les éléments de type∨A sont

isomorphes. En effet, soit A′ l’ensemble des b.s. de A.

Si x ,y ∈ A′ sont des plus petits éléments de A′, x ≤ yet y ≤ x.

Définition 6

Soit (X ,≤) un préordre et A ⊆ X ,∧A désigne un plus

grand élément dans l’ensemble des bornes inférieures de

A

◮ Les remarques faites pour∨A s’appliquent à

∧A.


Treillis

Treillis IV

◮ Observation Si∨∅ existe,

∨∅ ≤ x pour tout x ∈ X .

Soit x ∈ X ; alors x est une b.s. de ∅, car x vérifie la propriété que, si

y ∈ ∅, x ≥ y (voir ici). DoncW

∅ ≤ x.

◮ Une définition symétrique existe pour∧

∅ et∧

∅ ≥ xpour tout x ∈ X .

◮

∨∅ et

∧∅ sont notés ⊥ (base) et ⊤ (sommet) du

préordre.


Treillis

Treillis V

◮ Observation Dans un ordre partiel∨A (ou

∧A) est

unique s’il existe (⇐ antisymétrie).

◮ On écrit a ∨ b et a ∧ b pour∨{a,b} et

∧{a,b}.

◮ Observation Pour tout x ∈ X , a ∨ b ≤ x ssi a ≤ x etb ≤ x.(⇒) Si a ∨ b ≤ x, vu que, par déf. a ≤ a ∨ b et b ≤ a ∨ b, a ≤ x et b ≤ x.

(⇐) Si x ≥ a, b, x est une b.s. de {a, b}. Comme a ∨ b est un plus petit

élement de l’ensemble des b.s. de {a, b}, a ∨ b ≤ x.

◮ Observation Pour tout x ∈ X , a ∧ b ≥ x ssi a ≥ x oub ≥ x.


Treillis

Treillis VI

◮ Convention Dans ce qui suit, on appellera∨A

l’union de A et∧A la conjonction de A.

◮ On dit que l’union (la conjonction) de A sont finies

lorsque A est fini.

Définition 7

Un treillis est un ordre partiel où toutes les unions et

conjonctions finies existent. Un treillis complet est un

treillis où toutes les unions et conjonctions existent.


Treillis

Treillis VII

◮ Convention Dans la représentation par diagramme

de Hasse, les ∨ sont en haut et les ∧ en bas despoints concernés.

◮ Exemple de treillis uu u uu u uu


Treillis

Treillis VIII

◮ Un exemple important de treillis est l’ensemble des

parties d’un ensemble X , ℘(X).

◮ On prend (X ,⊆) comme ordre partiel.

{a, b, c}

{a, b} {a, c} {b, c}

{a} {b} {c}

∅


Treillis

Treillis IX◮ Dans la déf. ci-dessous, R ↾ X signifie la restriction de la relationR aux éléments de X .

Définition 7

Soit (X ,≤) un treillis. (A ⊆ X ,≤↾ A) est un sous-treillis =déf pour toutensemble fini B ⊆ A,

W

A B =W

X B etV

A B =V

X B.

◮ Cette définition n’impose pas simplement que A soit un treillis.

◮ Dans l’exemple ci-dessous, les points noirs forment un treillis mais

pas un sous-treillis (A ∧ B = C dans le sous-ensemble, mais pas dans

l’ensemble de départ).uu E uu E Euu

A E Bu E EC


Treillis

Treillis X

◮ Quelques propriétés des treillis (x, y et z sont des

éléments quelconques d’un treillis).

1. x ∧ x = x = x ∨ x (idempotence)

2. x ∧ y = y ∧ x et x ∨ y = y ∨ x (commutativité)

3. (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z) et (x ∨ y) ∨ z = x ∨ (y ∨ z) (associativité)3.1 (a) (x ∧ y) ∧ z ≤ z et (b) (x ∧ y) ∧ z ≤ x ∧ y.3.2 Par (3.1b), (a) (x ∧ y) ∧ z ≤ x et (b) (x ∧ y) ∧ z ≤ y, car x ∧ y ≤ x.3.3 Par (3.1a) et (3.2b), (x ∧ y)∧ z ≤ y ∧ z car pour tout u tel que u ≤ y etu ≤ z, u ≤ y ∧ z.Par (3.2a) et (3.3), (x ∧y)∧ z ≤ x ∧ (y∧ z) (pour la même raison que (3.3)).3.5 On montre de même que x ∧ (y ∧ z) ≤ (x ∧ y) ∧ z.

3.6 Par antisymétrie, (x ∧ y) ∧ z = x ∧ (y ∧ z).


Treillis

Treillis XI

4. x ∧ (x ∨ y) = x ∨ (x ∧ y) = x (absorption).

5. x ≤ y ssi x ∧ y = x ou x ∨ y = y.

6. Si y ≤ z, alors x ∧ y ≤ x ∧ z et x ∨ y ≤ x ∨ z (monotonie).Soit u = x ∧ y et v = x ∧ z. Puisque u ≤ y et que y ≤ z par hypothèse,

u ≤ z. Donc, puisque u ≤ x et u ≤ z, u est une borne inf. de {x , z}. Par

définition, on a u ≤ v. La démonstration pour le cas ∨ est symétrique.

7. ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z)) ≤ x ∧ (y ∨ z), et x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z).Par monotonie, on a x ∧ y ≤ x ∧ (y ∨ z) ainsi que x ∧ z ≤ x ∧ (y ∨ z).

Donc x ∧ (y ∨ z) est une borne sup. de {x ∧ y, x ∧ z}. Par définition

x ∧ (y ∨ z) ≥ ((x ∧ y) ∨ (x ∧ z)). La démonstration de l’autre cas est

symétrique.

8. Si x ≤ z, alors x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z.Par monotonie, x ∨(y∧z) ≤ x ∨y. On remarque que (y∧z)∨x ≤ (y∧z)∨z

(puisque x ≤ z par hypothèse). Or z ∨ (y ∧ z) = z (absorption), donc

x ∨ (y ∧ z) ≤ z. On n’a plus qu’à appliquer la déf. de ∧.


Treillis

Treillis XII

Définition 8

Un treillis est modulaire =déf si x ≤ z alorsx ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ z

◮ On a vu que si x ≤ z, alors x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ z(propriété 8). Pour qu’un treillis soit modulaire, il

suffit donc de montrer que, si x ≤ z, x ∨ (y ∧ z) ≥(x ∨ y) ∧ z.


Treillis

Treillis XIII

Définition 9

Un treillis est distributif =déf x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)

◮ On a vu que x ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) (propriété7). Pour qu’un treillis soit distributif, il suffit donc de

montrer que, x ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).

◮ Observation Pour tout treillis, les deux propriétés

x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) et x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z)sont équivalentes.Supposons que x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) ; On montre que (x∨y)∧(x∨z) =x ∨ (y∧z). Par hypothèse, on a (x ∨y)∧ (x ∨z) = ((x ∨y)∧x)∨ ((x ∨y)∧z)= x ∨ ((x ∨ y) ∧ z) (propr. 4) = x ∨ ((x ∧ z)∨ (y ∧ z)) (par hyp.) = x ∨ (y ∧ z)(par associativité et propr. 4).


Treillis booléens

Treillis booléens I

◮ Cette section est très importante : on y introduit les

treillis booléens qui forment la base algébrique de la

logique classique.

◮ En gros, un treillis booléen est un treillis distributif

qui est doté d’une opération de complémentation.

Définition 10

Soit (X ,≤) un treillis et x ∈ X . Un complément de x estun élément y ∈ X tel que x ∧ y = ⊥ et x ∨ y = ⊤.


Treillis booléens

Treillis booléens II

◮ Observation Si (X ,≤) est distributif, il y a au plus unélément y ∈ X tel que x ∨ y = z et x ∧ y = w.Supposons que x ∧ y = z et x ∨ y = w et que x ∧ y′ = z et x ∨ y′ =

w, avec y 6= y′. On a y = y ∧ (y ∨ x) = y ∧ w = y ∧ (y′ ∨ x) =

(y ∧ y′) ∨ (y ∧ x) = (y ∧ y′) ∨ z. Mais z ≤ y et z ≤ y′, donc z ≤ (y ∧ y′)

et (y ∧ y′) ∨ z = y ∧ y′ (propriété 5). Finalement, y = y ∧ y′. On peut

montrer de façon analogue que y′ = y ∧ y′, donc y = y′.

Définition 11

Un treillis booléen est un treillis distributif où chaque

élément x ∈ X a un complément, noté −x.

◮ Remarque : de par l’observation précédente, le

complément d’un élément est unique.


Treillis booléens

Treillis booléens III

◮ Quelques propriétés des treillis booléens :

1. −− x = x.On a x ∧ − x = ⊥ = − − x ∧ − x. Donc x et − − x sont deux

compléments de −x. Mais, par définition, un élément a un seul

complément, donc x = −− x.

2. −(x ∧ y) = −x ∨ − y.On a −(x ∧ y) ∧ (x ∧ y) = ⊥. Par ailleurs, on a (x ∧ y) ∧ (−x ∨ −y) = (x ∧ y ∧ − x) ∨ (x ∧ y ∧ − y) = (⊥ ∧ y) ∨ (x ∧ ⊥) = ⊥ ∨ ⊥ =⊥. D’autre part, on a (x ∧ y) ∨ (−x ∨ − y) = (x ∨ − y ∨ −x) ∧ (−x ∨ y ∨ − y) = (⊤ ∨ − y) ∧ (⊤ ∨ − x) = ⊤ ∧ ⊤ = ⊤.

Donc, par unicité du complémentaire, −(x ∧ y) = −x ∨ − y.

3. −(x ∨ y) = −x ∧ − y (preuve analogue).


Logique classique

Logique classique I

◮ On a vu que les points d’un treillis pouvaient être

considérés comme des descriptions.

◮ Dans un treillis booléen toutes les descriptions

contradictoires coïncident avec la base (⊥) du treillis.

◮ a ∧ − a ∧ . . . = ⊥.

◮ Plus généralement, on peut associer à un ensemble

«complet» de descriptions possibles un treillis boo-

léen.

◮ On obtient alors la logique propositionnelle classique.

Comment ?


Logique classique

Logique classique II

◮ On considère un ensemble d’expressions atomiques

(propositions atomiques), qui sont les composantes

ultimes des descriptions.

◮ Chaque description (on dit «proposition») a une

syntaxe décrite en (12).

Définition 12

Soit un ensemble P de propositions atomiques. Une expression A estune proposition =déf :1. A est un élément de P, ou2. A est de forme B & C, où B et C sont des propositions, ou3. A est de forme B ∨ C, où B et C sont des propositions, ou4. A est de forme ¬B, où B est une proposition.


Logique classique

Logique classique III

◮ On a vu que la logique classique traitait les des-

criptions (= propositions) comme portant sur les

ensembles de situations réelles (6= états d’informa-tion).

◮ Imaginons que p et p′ soient deux propositions

atomiques indépendantes (la vérité de l’une ne peut

affecter la vérité de l’autre).

◮ A priori, il y a quatre possibilités p peut correspondre

à la situation réelle ou pas, de même pour p′.

◮ Cela donne une table, où ou est interprété comme la

disjonction non exclusive.


Logique classique

Logique classique IV

◮ En logique on sert plutôt de 1 ou V(rai) (= réel) et 0

ou F(aux) (= pas réel).

p p′ p ou p′

réel réel réel

réel pas réel réel

pas réel réel réel

pas réel pas réel pas réel

p p′ p ou p′

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0


Logique classique

Logique classique V

◮ On peut regarder ces exemples sous l’angle informa-

tionnel.

◮ Chaque ligne décrit un ensemble de situations. Il y a

priori 4 situations possibles (p et p′, p mais pas p′, p′

mais pas p, ni p ni p′).

◮ p ou p′ décrit l’ensemble des situations où on a p

et/ou p′.

◮ Si on note SH l’ensemble des situations où H est

vraie, on a :


Logique classique

Logique classique VI

Sp ⊆ Sp ∨ p′ p ≤ p ∨ p′

Sp′ ⊆ Sp ∨ p′ p′ ≤ p ∨ p′

Sp ∪ Sp′ ⊆ Sp ∨ p′ p ∨ p′ ≤ p ∨ p′

Sp ∩ Sp′ ⊆ Sp ∨ p′ p ∧ p′ ≤ p ∨ p′

S6p 6⊆ Sp ∨ p′ −p 6≤ p ∨ p′

S6p′ 6⊆ Sp ∨ p′ −p′ 6≤ p ∨ p′

S6p ∩ S6p′ 6⊆ Sp ∨ p′ −p ∧ − p′ 6≤ p ∨ p′

◮ Question : Est-ce que cet alignement des treillis (≤)et de la logique à deux valeurs (réel/pas réel) fondée

sur les descriptions de situation(s) est un hasard?

◮ Non : l’alignement est systématique.


Logique classique

Logique classique VII

◮ On considère un ensemble P de propositions ato-miques mutuellement indépendantes.

◮ Chaque situation possible sur P est un choix despropositions de P qui sont réelles (vraies) et de cellesqui sont non réelles (fausses).

◮ Une situation sur P est une fonction P → {1,0}(interprétation, valuation, assignation, selon les terminologies).

◮ L’ensemble des situations possibles est IP = {I : I :P → {1,0}}.


Logique classique

Logique classique VIII

◮ On peut considérer l’ensemble des assignations

partielles I℘(P) = {I : I : P ′ ⊆ P → {1,0}}.

◮ Chaque assignation partielle est compatible avec un

ensemble d’assignations totales.

◮ Par ex., si P = {p1,p2,p3} p1 = 1,p2 = 0 estcompatible avec les deux assignations p1 = 1,p2 =0,p3 = 1 et p1 = 1,p2 = 0,p3 = 0.

◮ A présent on va fabriquer un ordre dont le domaine

est I℘(P) et dont la relation d’ordre ≤ est ⊆.

◮ Si on interprète ∧ comme l’intersection, ∨ commel’union, − comme la complémentation sur I℘(P), ⊤

comme I℘(P) et ⊥ comme ∅, le résultat est un treillisbooléen.


Logique classique

Logique classique IX

◮ Exemple pour P = {p, q, r}Les expressions en rouge décrivent toutes les situationspossibles.

◮ On voit que les points du treillis, pris niveau par niveau,correspondent à des situations de plus en plus nombreuses du

bas vers le haut (0, 1, 2, 4, 8).

◮ Les conjonctions (∧) correspondent à la réalisation simultanée dedeux ou plusieurs propositions (dans la/les même(s) situation(s)).

◮ Les disjonctions (∨) correspondent à l’union de situations quiréalisent les termes.

Ex. : p ∨ q correspond à l’union des ensembles de situations quiréalisent p (mais pas q), q (mais pas p) ou p et q.


Logique classique

Logique classique X⊤

p∨q∨r p∨6 q∨r 6p∨q∨r 6p∨6q∨r p∨q∨6 r p∨6 q∨6 r 6p∨q∨6 r 6p∨6q∨6 r

p∨q p∨6 q 6p∨q 6p∨6q p∨r 6p∨r p∨6 r 6p∨6 r q∨r 6 q∨r q∨6 r 6 q∨6 r

p 6p q 6 q r 6 r

p∧q p∧6 q 6p∧q 6p∧6q p∧r 6p∧r p∧6 r 6p∧6 r q∧r 6 q∧r q∧6 r 6 q∧6 r

p∧q∧r p∧6 q∧r 6p∧q∧r 6p∧6q∧r p∧q∧6 r p∧6 q∧6 r 6p∧q∧6 r 6p∧6q∧6 r

⊥


Logique classique

Logique classique XI

◮ On a les correspondances suivantes : & = ∧, ∨ = ∨,¬ = −.

Sp & q = Sp ∩ Sq p ∧ q = p ∧ q

p q p & q1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

Sp∨q = Sp ∪ Sqp ∨ q = (p ∧ −q) ∨(−p ∧ q) ∨ (p ∧ q)

p q p & q1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

S¬p = S − Sp −p = −pp ¬p1 0

0 1


Logique classique

Logique classique XII

◮ Le cas de l’implication. Il y a en fait deux interpréta-

tions.

◮ ⇒ = ≤. Cela correspond à un opérateur de nécessité :A ⇒ B nécessairement (= dans tout treillis booléen)en vertu de la forme de A et de B.

◮ Par ex., A⇒ A ∨ B car A ≤ A ∨ B.


Logique classique

Logique classique XIII

◮ L’interprétation courante : p ⇒ q dans S signifie que,chaque fois que p est vrai dans S, q également.

Sp⇒q = S − Sp & ¬qp ⇒ q = (p ∧ q) ∨(−p ∧ q) ∨ (−p ∧ − q)

p q p & q

1 1 1

1 0 0

0 1 1

0 0 0

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