Cours satellites

Chapitre 5

Satellites et planetes

Description du chapitre

• Fiche 1 : les referentiels d’etude.

• Fiches 2 et 3 : l’interaction gravitationnelle.

• Fiches 4 et 5 : generalites sur les mouvements des satellites et planetes.

• Fiches 6 et 7 : etude du mouvement circulaire des satellites et planetes.

• Fiches 8 : les satellites geostationnaires.

• Fiches 9 : l’impesanteur.

espace

1

CHAPITRE 5. SATELLITES ET PLANETES

Fiche 1 - Les differents referentiels d’etude

Referentiel Origine du referentiel Axes du referentiel

Copernic

Centre de masse dusysteme solaire de

de de de de de de dede de



Heliocentrique





Geocentrique





Terrestre





Table 5.1: les differents referentiels d’etude.

Pour etudier le mouvement des planetes autour du Soleil, on utilise le

referentiel heliocentrique. Ce referentiel est suppose galileen.

Pour etudier le mouvement des satellites autour d’une planete, on se

place dans le referentiel dont l’origine est au centre de cette planete et dont les

axes sont diriges vers trois etoiles tres eloignees (on peut parler de referentiel

planetocentrique). Ce referentiel est aussi suppose galileen.

Si la planete est la Terre, il s’agit du referentiel geocentrique.

Fiche 2 - La force d’interaction gravitationnelle

La force d’interaction gravitationnelle entre deux points

materiels

On peut redonner l’expression de la force d’interaction gravitationnelle (voir la

fiche 1 du chapitre Dynamique) entre deux poins materiels A et B, de masses

mA et mB, distants de d :

−−→FAB = (5.1)

avec−−→FAB la force gravitationnelle (en N) de A sur B,

−−→FBA celle de B sur A,

G = 6, 67.10−11 m3.kg−1.s−2 la constante de gravitation universelle, mA et mB

les masses (en kg), d la distance entre A et B (en m), −−→uAB le vecteur unitaire

dirige de A vers B.

On peut rappeler que la force gravitationnelle est toujours attrac-tive.

2


La force d’interaction gravitationnelle entre des corps a

repartition spherique de masse

La loi precedente s’applique encore a des objets a symetrie spherique de

masse (la masse volumique ne depend que de la distance au centre). La force

exercee par A sur B (reciproquement par B sur A) peut se modeliser par une

force unique, appliquee au centre de B (reciproquement de A), donnee par la

relation 5.1.

Ainsi (ce resultat sera admis), un corps a repartition spherique de masse equi-

vaut (a l’exterieur de ce corps), du point de vue de l’interaction gravitationnelle,

a un point materiel coıncidant avec le centre de la sphere et dont la masse est

egale a la masse totale du corps spherique.

Le Soleil, la Terre, la Lune, toutes les etoiles, planetes et satellites sont donc

en general « remplaces » par leur centre, en y concentrant la masse totale.

Ce resultat n’est valable que si les corps ont des repartitions sphe-

riques de masse. Par exemple, la force qu’exerce un asteroıde (qui n’est en

general pas un objet spherique) sur un objet n’est pas donnee par la loi prece-

dente.

Figure 5.1: interaction gravitationnelle dans le cas d’un corps qui n’a pas lasymetrie spherique de masse.

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Fiche 3 - Definition du champ gravitationnel−→G

Definition du champ gravitationnel−→G

Il existe un champ gravitationnel−→G 1 en un point de l’espace, lorsqu’une

masse amenee en ce point subit une force gravitationnelle. Ainsi, il regne au-

tour de la Terre un champ gravitationnel car toute masse y est soumise a

l’interaction gravitationnelle de la Terre.

Par definition, si on amene un objet de masse m en un point quelconque, le

champ gravitationnel cree en ce point est defini par :

−→G = (5.2)

Le champ gravitationnel G est enm.s−2ou enN.kg−1

. Il est

donc homogene a une acceleration.Comme la masse m est toujours positive,

−→F et

−→G ont toujours meme

direction et meme sens.

Champ gravitationnel cree par une masse ponctuelle

On peut determiner le champ gravitationnel cree, par la masse ponctuelle m,

en un point quelconque A situe a la distance r. Pour cela, on place, en A, une

1. On note−→G pour ne pas confondre avec la constante de gravitation universelle G. Cette

notation n’a rien d’officielle.

masse ponctuelle m′. D’apres la definition 5.2 :

−→G = = (5.3)

On remarque que le champ−→G ne depend pas de la masse m′. Ainsi, une

fois admise cette definition, il n’est pas necessaire d’avoir un objet en A pour

que le champ−→G existe. Ce champ est toujours dirige vers la masse m. Il

est radial et centripete.

Champ gravitationnel cree par un objet a symetrie

spherique de masse

Comme on l’a vu precedemment, un objet a symetrie spherique de masse peut

etre remplace (du point de vue de l’interaction gravitationnelle) par une masse

ponctuelle en son centre.

Ainsi, pour un objet de masse M , on retrouve (a l’exterieur de l’objet) la meme

expression qu’en 5.3 :

−→G = = (5.4)

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Champ gravitationnel cree par la Terre

On peut supposer que la Terre est un objet a symetrie spherique de masse. En

appelant MT la masse de la Terre et RT son rayon, le champ gravitationnel

cree par la Terre s’ecrit (a l’aide de 5.4) :

−→G = = (5.5)

Cette expression generale donne le champ gravitationnel en un point quel-

conque a l’exterieur de la Terre. On peut donc l’exprimer pour un point

a la surface de la Terre, c’est-a-dire pour r = ou h = :

−→G0 = (5.6)

En prenant MT = 5, 98.1024 kg et RT = 6380 km, on trouve :

G0 ' (5.7)

Cette valeur G0 est tres proche de celle du champ de pesanteur g0 a la surface

de la Terre. Ces deux valeurs sont en fait egales si on neglige l’effet de la

rotation de la Terre (voir Fiche 2 du chapitre « Dynamique » ainsi que la

suite).

Le champ gravitationnel depend de l’altitude h, on peut le noter G (h). Ainsi :

G (h) = (5.8)

On remarque que lorsque h augmente, le champ G diminue. En utili-

sant G0 = , on peut aussi ecrire :

G (h) = (5.9)

Champ gravitationnel et champ de pesanteur

Le champ gravitationnel verifie−→G = . Le champ de pesanteur verifie

−→g = . Ainsi, en supposant que la force gravitationnelle−→F est egale

au poids−→P , les deux champs sont identiques. On a vu (fiche 2 du chapitre

« Dynamique »), que ces deux forces sont egales lorsqu’on neglige l’effet

de rotation de la Terre.

On peut donc retenir que, en toute rigueur :

−→g 6= −→G (5.10)

Lorsque l’effet de la rotation de la Terre est neglige :

−→g = −→G (5.11)

La plupart du temps, cette derniere approximation est utilisee.

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Fiche 4 - Mouvement general des satellites et des

planetes : generalites, mouvements

Generalites

Figure 5.2: configuration generale.

On suppose qu’un objet de masse m est soumis a l’influence (interaction gra-

vitationnelle) d’un objet de masse M (avec M � m). Ces deux objets sont

a symetrie spherique de masse. Le referentiel d’etude a pour origine le

centre de la masse M , avec des axes diriges vers trois etoiles lointaines. Ce re-

ferentiel sera toujours suppose galileen. Nous etudions dans ce chapitre le

mouvement des planetes autour du Soleil et des satellites autour des planetes.

Ces deux situations sont en fait formellement identiques.

Si on etudie le mouvement des planetes, le referentiel d’etude est le refe-

rentiel heliocentrique. M est la masse du Soleil et m celle de la planete.

Si on etudie le mouvement des satellites autour d’une planete, le referentiel

d’etude est le referentiel planetocentrique. M est la masse de la planete et

m celle du satellite. S’il s’agit de satellites de la Terre, on utilise le referentiel

geocentrique.

Trajectoires

De facon generale, l’objet de masse m evoluant dans le champ gravitationnel

de l’objet de masse M a pour trajectoire, selon l’importance de la vitesse (et

donc de l’energie cinetique), une ellipse, un cercle (cas particulier de l’el-

lipse), une parabole ou une hyperbole (figure 5.3). On remarque que les

trajectoires elliptiques et circulaires sont liees, c’est-a-dire qu’elles restent lo-

calisees autour du centre attracteur. En revanche, les trajectoires paraboliques

et hyperboliques sont ne sont pas liees (on parle de diffusion) car le mobile

s’eloigne alors a l’infini du centre attracteur.

Figure 5.3: differentes trajectoires possibles dans la champ gravitationnel.

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Le mouvement des planetes autour du Soleil

Les planetes du systeme solaire tourne autour du Soleil. De facon generale, la

trajectoire des planetes est elliptique. En fait, la plupart des planetes (en

dehors de Mercure et Pluton) ont des trajectoires quasi circulaires.

Le mouvement de la Terre est donc presque circulaire. Elle tourne

autour du Soleil (mouvement de revolution) en 365,25 jours dans

un plan appele plan de l’ecliptique ou ecliptique.

La plupart des planetes (en dehors de Mercure et Pluton) ont une

trajectoire dans le plan de l’ecliptique.

Rotation de la Terre sur elle-meme

Figure 5.4: mouvements de la Terre.

La Terre tourne sur elle-meme par rapport a un axe incline d’environ 23°

(l’obliquite) par rapport a la perpendiculaire a l’ecliptique. La periode de

rotation de la Terre (donc le temps qu’elle met pour faire un tour sur

elle-meme) vaut environ T = = . Cette periode

s’appelle le jour sideral. Elle est differente du jour solaire, qui

separe deux passages consecutifs du Soleil a la verticale du meme lieu. Le jour

solaire vaut Tsolaire = =

Figure 5.5: difference entre jour sideral et jour solaire.

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Fiche 5 - Mouvement general des satellites et des

planetes : les trois lois de Kepler

Des l’antiquite, les astronomes ont essaye de prevoir les deplacement des pla-

netes. Utilisant les resultats des observations de Tycho Brahe (1546 − 1601),Johannes Kepler (1571−1630) formule les trois lois qui decrivent le mou-

vement des planetes autour du Soleil. Elles sont en fait aussi valables pour

des satellites autour des planetes.

Premiere loi de Kepler : loi des trajectoires

Figure 5.6: trajectoire elliptique des planetes.

Premiere loi de Kepler : dans le referentiel heliocentrique,

la trajectoire du centre d’une planete est une ellipse dont le Soleil

est l’un des foyers.

Le cercle est une ellipse particuliere dont les deux foyers sont confondus avec

le centre.

Deuxieme loi de Kepler : loi des aires

Figure 5.7: illustration de la loi des aires.

Deuxieme loi de Kepler : le segment de droite reliant le Soleil a

la planete balaie des aires egales pendant des dureesegales.

Ainsi, les planetes ne tournent pas autour du Soleil avec une vitesse constante,

sauf si la trajectoire est circulaire. Elles se deplacent plus rapidement lors-

qu’elles sont plus proches du Soleil et plus lentement lorsqu’elles en sont

plus eloignees. La vitesse est maximale a la perihelie et mini-

male a l’apogee.

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Troisieme loi de Kepler : loi des periodes

Troisieme loi de Kepler : pour toutes les planetes du systemes solaire,

le rapport du carre de la periode de revolutionsur le cube du demi-grand axe de l’ellipse est

le meme :T 2

a3 = cste =

Cette constante est independante des caracteristiques des planetes tournant

autour du Soleil, notamment de la masse des planetes.

Pour finir, on peut remarquer que les lois de Kepler s’appliquent aussi

aux mouvements des satellites autour d’une planete.

Fiche 6 - Mouvement circulaire des satellites et des

planetes : vitesse, vitesse angulaire, periode

Conditions d’etude

Nous avons vu qu’en general, les trajectoires des satellites et des planetes sont

des ellipses. Il est possible de demontrer ce resultat a partir du PFD. Ceci

est cependant hors-programme. Pour pouvoir faire quelques calculs, nous li-

miterons notre etude au cas des trajectoires circulaires. Cette etude

est d’autant plus interessante que, dans de nombreux cas, les trajectoires

reelles sont presque circulaires. Si les trajectoires sont elliptiques, l’etude

ne pourra etre que qualitative.

Figure 5.8: trajectoire circulaire.

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Demonstration de l’uniformite du mouvement

L’hypothese principale faite est que le mouvement est circulaire 2. Le PFD

applique au mobile donne :

−→F = m−→a ⇐⇒

Projetant sur , on trouve :

Ainsi, le mouvement d’un satellite en orbite circulaire est necessaire-

ment uniforme.

On peut redemontrer ce resultat a l’aide de la cinematique. En effet, −→a =−→F

m.

Or la force−→F est dirigee selon le rayon qui, dans le cas du cercle, est orthogonale

a la tangente, donc a la vitesse. Ainsi, −→a ·−→v = ⇐⇒De meme, on peut utiliser le theoreme de la puissance cinetique :

dEcdt

=

P�−→F�. Or, P

�−→F�

= = . On en deduitdEcdt

= ⇐⇒

Non uniformite du mouvement elliptique

Il faut remarquer que les resultats precedents ne sont plus valables

dans le cas d’un mouvement elliptique (figure 5.9). En effet, il existe

alors une composante tangentielle a l’acceleration et le mouvement n’est

plus uniforme.

Dans la situation (1),−→F ·−→v donc le mouvement est ralenti. Dans

la situation (2),−→F ·−→v donc le mouvement est accelere. Ainsi, la

vitesse est maximale a la perihelie et minimale a l’apogee2. On ne suppose donc pas que le mouvement est uniforme.

Figure 5.9: non uniformite du mouvement elliptique.

Expression de la vitesse

Projetant la reltion du PFD sur , on trouve :

On en deduit l’expression de la vitesse :

v = = (5.12)

On peut aussi l’exprimer en fonction du champ de pesanteur 3 g0 :

v = (5.13)

3. Egale au champ gravitationnel G0 lorsqu’on neglige l’effet de la rotation de la Terre(cas le plus courant).

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Cette vitesse est independante de la masse m (satellite ou planete). Elle

diminue lorsque l’altitude augmente : ce sont les objets de plus basse

altitude qui ont la plus grande vitesse.

Expression de la vitesse angulaire

La vitesse angulaire ω d’un satellite (ou d’une planete) en mouvement circulaire

peut s’ecrire ω = . Ainsi :

ω = = (5.14)

On peut l’exprimer en fonction du champ de pesanteur g0 :

ω = (5.15)

Elle diminue lorsque l’altitude augmente : ce sont les objets de plus

basse altitude qui ont la plus grande vitesse angulaire.

Expression de la periode de revolution

La periode de revolution, ou periode T , d’un satellite (ou d’une planete) est le

temps qu’il met pour effectuer une revolution complete sur sa trajectoire. Elle

peut s’ecrire :

T = ou T =

Ainsi :

T = = (5.16)

On peut l’exprimer en fonction du champ de pesanteur g0 :

T = (5.17)

Elle diminue lorsque l’altitude diminue : ce sont les objets de plus haute

altitude qui ont la plus grande periode.

Demonstration de la troisieme loi de Kepler

De l’expression de la periode T , on peut facilement deduire la troisieme loi de

Kepler :

T 2 =

D’ou :

T 2

r3 = (5.18)

On retrouve bien la troisieme loi de Kepler.

Applications

Application 1 :

Jupiter possede 4 satellites naturels parmi lesquels Io dont le rayon de

l’orbite est de 4, 22.105 km et Europe dont le rayon de l’orbite est de

6, 71.105 km. La periode de revolution de Io est de 1, 77 jour terrestre.

Quelle est la valeur de la periode de revolution d’Europe ?

Corrige :

espace

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espace

Application 2 :

Dans le referentiel heliocentrique, la planete Mars possede une orbite

quasiment circulaire de rayon R = 2, 28.1011 m autour du Soleil de

masse MM = 1, 99.1030 kg.

On donne G = 6, 67.10−11 N.m2.kg−2.

1. Quelle est la valeur de la vitesse de Mars ?

2. Quelle est la valeur la periode de revolution de Mars ?

3. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire de Mars ?

Corrige :

espace

Application 3 :

Dans le referentiel geocentrique, on considere un satellite de masse m

dont la trajectoire est circulaire autour de la Terre. Son orbite est situe

dans le plan equatorial a l’altitude h = 400 km.

On donne RT = 6, 37.103 km, g0 = 9, 81 m.s−1.

1. Quelle est la valeur de la vitesse du satellite ?

2. Quelle est la valeur la periode de revolution du satellite ?

3. Quelle est la valeur de la vitesse angulaire du satellite ?

Corrige :

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Fiche 7 - Mouvement circulaire des satellites et des

planetes : etude energetique

Energie cinetique, energie potentielle et energie mecanique

L’energie cinetique d’un mobile (planete ou satellite), de masse m, en mou-

vement circulaire, autour d’un centre attracteur (Soleil ou planete), de masse

M , est :

Ec =

Ainsi :

Ec = = (5.19)

L’energie potentielle (associee a la force d’interaction gravitationnelle) est

donnee par (voir fiche 8 du chapitre « Travail et energie ») :

Ep = = (5.20)

L’energie mecanique de l’objet en orbite circulaire vaut :

Em =

Ainsi :

Em = = (5.21)

D’apres les resultats precedents :

Em < 0 , Ec = = , Ep = = (5.22)

Ces relations sont uniquement valables pour des trajectoires circulaires.

Signe de l’energie mecanique pour les differents types

de trajectoires

De facon generale, un mobile ayant une trajectoires elliptique ou circulaire

a une energie mecanique negative. Un mobile ayant une trajectoire para-

bolique a une energie mecanique nulle. Un mobile ayant une trajectoire

hyperbolique a une energie mecanique strictement positive.

Pour qu’un mobile puisse s’eloigner a l’infini, il faut que Em ⩾ 0. En effet,

a l’infini (donc lorsque r tend vers l’infini), l’energie potentielle tend vers 0 :

Ep,∞ = 0. On a alors Em,∞ = Ec. Comme Ec ⩾ 0, il faut que Em,∞ ⩾ 0.

L’energie mecanique se conservant, sa valeur doit etre positive en tout point

de la trajectoire : Em ⩾ 0. Le cas limite (mouvement parabolique) correspond

a Em = 0. Cela permet au mobile de s’eloigner a l’infini, avec une vitesse qui

tend vers 0.

Ces remarques permettent d’expliquer pourquoi l’energie mecanique des mou-

vements elliptique et circulaire (mouvements lies) est negative, celle des

mouvements paraboliques (mouvements de diffusion) est nulle et celle des

mouvements hyperboliques (mouvements de diffusion) est strictement po-

sitive.

Vitesse de liberation

La vitesse de liberation est la vitesse necessaire pour que le mobile puisse

« s’echapper » de l’influence du centre attracteur. Il faut donc que le

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mobile puisse aller a l’infini. Le cas limite est le mouvement parabolique.

Il faut que la vitesse permette d’avoir une energie mecanique nulle. Ainsi,

on peut determiner cette vitesse de liberation, en fonction de r, en ecrivant que

l’energie mecanique est nulle :

Em = 0⇐⇒ Ec + Ep = 0⇐⇒

Ainsi :

vlib = = (5.23)

ou vcirc =rGM

rest la vitesse du mobile en orbite circulaire. On remarque

que, pour passer d’une trajectoire circulaire a une trajectoire para-

bolique, il faut multiplier la vitesse par . Cela signifie aussi que l’energie

cinetique est multipliee par . Cela s’explique simplement en remarquant

que l’energie doit passer de Ec = a Ec = .

Fiche 8 - Les satellites geostationnaires

Definition et trajectoire

Un satellite geostationnaire est un satellite qui reste fixe (station-

naire) par rapport a un point de la surface de la Terre. Il reste donc a

la verticale d’un meme point de la surface de la Terre.

On peut montrer qu’un tel satellite est necessairement dans le plan equatorial.

En effet, la trajectoire appartient necessairement a un plan parallele a l’equa-

teur, sinon le mobile ne pourrait rester a la verticale d’un point de la surface

de la Terre.

Figure 5.10: impossibilite d’une trajectoire n’appartenant pas a un plan pa-rallele au plan equatorial.

De plus, si le plan du mouvement ne contient pas le centre de la Terre alors−→F est dirige vers le centre de la Terre et −→a est dirige vers le centre de la

trajectoire.−→F et −→a ne sont alors pas colineaires. Cela est impossible d’apres

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le PFD (−→F = m−→a ). Le plan du mouvement doit necessairement contenir le

centre de la Terre.

Figure 5.11: impossibilite d’une trajectoire n’appartenant pas a un plan conte-nant le centre de la Terre.

En conclusion, un satellite geostationnaire est necessairement dans le

plan equatorial.

Figure 5.12: un satellite geostationnaire est necessairement dans le plan equa-torial.

Periode du satellite geostationnaire

Le satellite geostationnaire restant a la verticale d’un point de la surface de

revolution, sa periode est egale a la periode de revolution dela Terre (donc au jour sideral). Ainsi :

T = (5.24)

Altitude du satellite geostationnaire

De la valeur de la periode, on peut deduire l’altitude du satellite. En effet,

la troisieme loi de Kepler donne 4 :

T 2

(RT + h)3 = 4π2

GMT⇐⇒ (RT + h)3 =

⇐⇒ RT + h =

Ainsi :

h = (5.25)

En prenant MT = 5, 98.1024 kg et RT = 6, 37.103 km, on trouve :

h ' (5.26)

4. On peut aussi utiliser l’expression (5.17) de la periode.

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Vitesse du satellite geostationnaire

On peut determiner la vitesse du satellite geostationnaire en utilisant :

v = ou v = (5.27)

On trouve :

v ' (5.28)

Fiche 9 - Notion d’impesanteur

Lorsqu’un astronaute, a l’interieur d’une station orbitale, il « flotte » dans

l’air. Son poids semble avoir disparu. On dit qu’il se trouve en impesanteur.

Comment expliquer ce phenomene ?

Dans le referentiel geocentrique, la seule force s’exercant sur l’astronaute est

la force de gravitation−→F = −GMTm

d2−→u , ou m est la masse de l’astronaute,

MT la masse de la Terre et d la distance separant l’astronaute au centre de la

Terre. En appliquant le PFD : m−→a = −GMTmd2

−→u , on obtient −→a = −GMTd2−→u .

Cette acceleration est independante de la masse m de l’astronaute. Le meme

raisonnement peut etre fait pour la station orbitale. Son acceleration aura la

meme expression, donc la meme valeur que celle de l’astronaute.

On en deduit que l’acceleration relative de l’astronaute par rapport a

la station est nulle. Le mouvement de l’astronaute dans le referentiel de la

station est rectiligne uniforme . Il est en impesanteur.

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