Cours Signaux Chapitre 5 6 ETUDIANTS

Signaux & Systmes

Module Tlcommunications (UE3) : T1 - Signaux & SystmesFrdric PAYANIUT de Nice Cte dAzur - Dpartement R&T [email protected]

22 octobre 2007

Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes

Plan du cours

1

Chapitre 5 : Etude des systmes Introduction aux systmes Analyse temporelle dun systme Analye frquentielle dun systme Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ? Schma danalyse dun systme avec la TL Exemple : le circuit RC Autres proprits

2


IntroductionDnition dun systme On appelle systme un processus physique S qui associe un signal dentre e(t) un signal de sortie s(t) :

e(t )Entre

Systme

s(t )Sortie

Exemples de systmes :


PropritsLinarit Soit deux signaux e1 (t) s1 (t) et e2 (t) s2 (t). Un systme est dit linaire (SL) siS S

Stationnarit Un systme est stationnaire (ou invariant dans le temps (SIT)) si

Causalit Un systme est dit causal si


Analyse dun systmeDnition Lanalyse des systmes consiste

Lanalyse des systmes se fera de deux faons diffrentes :1

2

Remarque : Ici, on ne considre que des

Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analyse temporelle dun systme

Plan du cours

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Mise en quation dun systmeDune manire gnrale, tout systme linaire peut tre dcrit

Exemple : le circuit RC.Re(t ) i (t )

C

s(t ) s(t) + RC

ds(t) = e(t) dt

Sous cette forme, on cherchera rsoudre lquation diffrentielle.


Mise en quation dun systmeOn trouvera la solution gnrale sous la forme s(t) = sg (t) + sp (t), avec : 1 sg (t)

2

sp (t) Exemple : le circuit RC.2

e(t) s(t)

1.5

s(t) = E E.e RC

t

1

0.5


Relation entre/sortie dun systme

Dnition Soit un signal dentre e(t). La sortie dun SLIT est donne par :

h(t) est la ; le terme est un produit de convolution (voir plus loin).

e(t )Entre

h(t )

s(t )Sortie


Rponse impulsionnelle

Dnition La rponse impulsionnelle note h(t) dun SLIT est le signal de sortie fourni par le systme lorsque lentre est un dirac ((t)) : e(t) = (t) s(t) = h(t).S

e( t ) = ( t )

S0

s(t ) = h (t )

t


Rponse impulsionnelle

Exemple : Soit un systme S dont la rponse impulsionnelle est inconnue. (t )

s(t ) = e at

S0

t

0

t

On peut donc dduire facilement : Remarque :


Le produit de convolutionDnition On appelle convolution de x1 (t) par x2 (t) le signal y (t) = x1 (t) x2 (t) dni par :+

y (t)

=

x1 ( ).x2 (t ).d

(1)

Proprits Le produit de convolution est commutatif : x1 (t) x2 (t) = x2 (t) x1 (t) ; x1 (t) (t) = x1 (t) ; x1 (t) (t t0 ) = x1 (t f0 ) (idem dans lespace des frquences).

Signaux & Systmes Chapitre 5 : Etude des systmes Analye frquentielle dun systme

Plan du cours

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Rponse frquentielle dun systmee(t ) h(t ) s ( t ) = h ( t ) * e( t )

TF

TF

TF

E( f )

H( f )

S( f ) = H ( f ) E( f )

Dnition


Analyse frquentielle dun systme

Avantage de lanalyse frquentielle : systmes en srie.

e(t )

S1

S2

s(t )

Lanalyse des systmes linaires se fait souvent dans le domaine des frquences selon la dmarche suivante :

e(t )

TF

E( f )

H( f )

S( f )

TF -1

s(t )


Conclusion sur lanalyse des systmes

Un systme S est compltement dni si on connait :

Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Introduction et dnition

Plan du cours

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Motivations

La mthode danalyse base sur la TF ne marche pas toujours (TF divergente). Alternative la TF : la Transforme de Laplace (TL)

e(t )1 2 3

TL

E ( p)

H ( p)

S ( p)

TL -1

s(t )


La transforme de LaplaceDnition Soit le signal causal s(t) (nul pour t 0). La transforme de Laplace (TL) permet la relation TL s(t) S(p),TL1

avec p une variable complexe dnie par p = + j2f , S(p) dnie par L est donne par+

S(p) =0

s(t)e(pt) dt.

Remarque : relation Fourier-Laplace : sous certaines conditions (toujours vries dans ce cours) X (f ) = X (p)|p=j2f X (p) = X (f )|f =p/j2 (2)

Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Pourquoi la TL est pratique pour lanalyse des systmes ?

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Raison 1 : Les transformes de Laplace usuelless(t) (t) eat .u(t) t n .u(t) t n .eat .u(t) sin(t).u(t) cos(t).u(t) eat .sin(t).u(t) eat .cos(t).u(t) S(p) 1 1/(p+a) n!/pn+1 n!/(p + a)n+1 /(p2 + 2 ) p/(p2 + 2 ) / (p + a)2 + 2 (p + a) / (p + a)2 + 2 Domaine R ] a, +[ R+ ] a, +[ R+ R+ R+ R+


Raison 2 : Les proprits de la TL

Convolution : Rsolution simples des quations diffrentielles :Thorme de la drivation :

avec x(0+ ) et x (0+ ) respectivement la valeur instantane de x(t) et de sa drive linstant t = 0.


Raison 3 : la transforme de Laplace inverseSoit le signal x(t) et X (p) sa TL dnie par une fraction rationnelle N(p) . X (p) = D(p)Les valeurs qui annulent N(p) : les Les valeurs qui annulent D(p) : les

Dnition Si deg(N(p)) deg(D(p)), La TL inverse sobtient en 2 tapes :


La transforme de Laplace inverseExemple Soit le signal x(t) dont la TL est dnie par X (p) = 3p + 4 . p2 + 2p

Avec une dcomposition en lments simples : 3p + 4 1 2 = + . p2 + 2p p+2 p Or, 1 TL1 2t 2 TL1 e .u(t), et 2.t 0 .u(t). p+2 p Donc, x(t) = e2t + 2 .u(t).

Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Schma danalyse dun systme avec la TL

Plan du cours

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Schma type dune tude dun systme

Soit un certain systme S tudier. Pour connaitre son comportement :1 2 3 4 5

dtermination de lquation diffrentielle dcrivant S. obtention dune fraction liant S(p) et E(p) ;

on connait alors s(t) en fonction de e(t) !


Schma type dune tude dun systme (II)On a plus qu appliquer en entre des signaux pour en tudier la sortie : 1 impulsion de Dirac (t) =>reprsente la modlisation mathmatique du systme ; permet de connatre la stabilit du systme tudi.2

chelon unit =>capacit du systme ragir une variation brusque ; tude du rgime transitoire.

3

signal sinuisoidale =>permet de dcrire le comportement en frquence du systme ; diagrammes de Bode (amplitude et phase).

Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Exemple : le circuit RC

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Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Exemple : le circuit RC

Etude du circuit RCRe(t ) i (t )

C

s(t )

1 2

Ce ltre est dni par lquation RC ds(t) + s(t) = e(t). dt Thorme de la drivation RC.s(0+ ) E(p) S(p) = + 1 + RCp 1 + RCp Rponse impulsionnelle : e(t) = (t)TL TL1

3

E(p) = 1.

Si le condensateur est dcharg : s(0 ) = 0 S(p) =4 t 1 1 TL1 s(t) = ( ).e( RC ) u(t) = h(t). 1 + RCp RC

+

Idem pour les rponses indicielles, harmoniques...

Signaux & Systmes Chapitre 6 : La transforme de Laplace Autres proprits

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PropritsLinarit : Si x(t)TL TL1

X (p) et y (t)TL TL1

TL TL1

Y (p),

a.x(t) + b.y (t)

a.X (p) + b.Y (p)

Changement dchelle : x(at)TL TL1

1 X (p/a) a

Translation temporelle : si T0 0, x(t T0 )TL TL1

X (p).epT0


Proprits (suite)Dnition Thorme de la valeur initiale : x(0+ ) = lim p.X (p)p+

Thorme de la valeur nale : x(+) = lim p.X (p)p0

x (t )x (0+ )

t

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