2V321  Physique  des  grandes  fonctions  des  organismes  vivants  

Cours-­‐TD  1.1  –  éléments  de  correction  

Programme  :  On  mettra  en  évidence  (1)  la  notion  de  pression  dans  un  fluide  ;  (2)  le  principe  fondamental  de  l’hydrostatique  ;  (3)  la  loi  des  vases  communicants  ;  (4)  la  loi  de  conservation  du  débit  dans  le  contexte  des  pressions  dans  les  différents  parties  du  système  vasculaire.  Une  question  se  posera  alors  :  pourquoi  la  pression  veineuse  est-­‐elle  plus  faible  que  la  pression  artérielle  (même  lorsqu’on  est  couché)  ?  Le  TP  est  là  pour  le  découvrir.  

Exercice  d’introduction  

1) Dans  le  premier  cours  (cours  0)  nous  avons  parlé  du  travail  du  cœur.  Mais  pourquoi  le  cœur  effectue  ce  travail  ?  A  quoi  sert  cette  énergie  fournie  ?  

Au  niveau  du  ventricule  on  observe  des  variations  de  pression  entre  une  pression  minimale  (diastolyque)  d’environ  80  mmHg  (ou  torr)  et  une  maximale  (systolique)  d’environ  120  mmHg,  la  valeur  moyenne  étant  autour  de  100  mmHg.  Ces  pressions  sont,  en  fait,  des  surpressions  par  rapport  à  la  pression  atmosphérique  P0.  

2) Rappeller  la  valeur  de  P0  en  unités  mmHg,  atm  et  Pa,  et  comparer  avec  la  surpression  ventriculaire  moyenne.     a    

P0 = 1 atm = 760 mmHg ≈ 105 Pa Pascal Pa = N/m2 unité S.I. (MKS) 1 mmHg ≈ 100000/760 ≈ 133 Pa (1 mmHg = 0.133 kPa) 1 Pa ≈ 760/100000 ≈ 0.0076 mmHg (1 kPa = 7.6 mmHg) 80 – 120, en moyenne 100 torr = 100 mmHg,

sous entendu par rapport à P0 = 760 mmHg = 1 atm

100 mmHg = 100*133 Pa = 13’300 Pa = 0.133 atm : plus petit mais comparable.

Exercice  :  Pression  hydrostatique    

Mais  ça  veut  dire  quoi  exactement,  pression  dans  un  liquide  ?  Retrouvons  cette  notion  à  partir  de  la  définition  plus  élémentaire  de  force.      

L’idée de cet exercice est de rappeler les notions de force et pression, en les liants entre elles, et de

justifier la pression hydrostatique comme le poids des couches de liquides superposées en partant d’un

système modèle avec des couches solides (glace) qui fondent après.

On  fabrique  des  palets  cylindriques  en  glace,  avec  e  =  2  cm  d’épaisseur,  S  =  80  cm2  de  surface.    

1) On  en  pose  un  sur  une  table  :  quelle  est  la  force  que  ce  palet  exerce  sur  la  table  ?  Quelle  est  la  (sur)pression  sur  la  surface  de  la  table  (par  rapport  à  la  pression  atmosphérique)  ?  

2) On  pose  un  deuxième  palet  sur  le  premier.  Quelle  est  la  force  que  le  deuxième  palet  exerce  sur  le  premier  ?  Quelle  est  la  (sur)pression  correspondante  ?  Quelle  force  et  quelle  (sur)pression  s’exercent  maintenant  sur  la  table  ?  

3) On  les  empile  pour  faire  une  tour  de  15  palets.  Décrire  (tracer)  l’évolution  de  la  (sur)pression  en  fonction  du  numéro  du  palet.    

4) On  met  les  15  palets  empilés  dans  une  cuve  cylindrique  de  même  diamètre  que  les  palets  et  on  attend  que  l’eau  fonde  complètement.  Comment  varie  la  (sur)pression  en  fonction  de  la  hauteur,  entre  le  fond  et  la  surface  de  l’eau  liquide  ?  Comment  justifier  alors  l’existence  d’une  pression  hydrostatique  dans  un  liquide  ?  

5) Qu’est-­‐ce  l’origine  de  la  pression  atmosphérique  ?    

Figure  0    :  depuis  Campbell  "Biology"  

Figure  2  :  Palet  de  glace  scientific  

 

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6) Comment  les  résultats  précédents  sont-­‐ils  modifiés  par  la  présence  de  l’atmosphère  au  dessous  de  la  pile  de  palets,  puis  de  la  colonne  d’eau  ?  

7) Que  vaut  la  pression  à  une  profondeur  donnée  en  dessous  de  la  surface  de  la  mer  ?  

1) On prend la masse volumique de l’eau, rho = 1 kg/dm3 = 1 g /cm3 = 1000 kg/m3

V =eS = 80 cm2 *2 cm = 160 cm3 => m = V rho = 160 g = 0.16 kg => F = mg = 1.6 N

=> P = mg/S = 1.6 N / (80 10^-4 m2) = 0.02 10^4 Pa = 0.002 atm.

2) 2eme sur premier, la même force/ pression. les 2 sur la table : 2P = 0.004 atm.

3) P(N) = Nmg/S = 0.002*N atm => jusqu’à 0.002*15 atm = 0.03 atm

4) c’est la même chose ! P(h=N*2cm) = P(N) => écrivons N = h/e : P(h) = (h/e) (mg / S) = (m/V) gh = rho g h !!

la pression hydrostatique c’est le poids de l’eau en dessus qui s’exerce sur l’eau en dessous…

5) le poids de l’air de l’atmosphère, des couchez superposées.

6) P sur la table = P0+rho g h

7) P(-z) = P0 + rho g z

On  retient  :    

Principe  fondamental  de  l’hydrostatique  :      

∆P  =  ρ  g  h      

pour  un  fluide  à  l’équilibre  (donc  immobile)  avec  ∆P  différence  de  pression,  ρ masse  volumique,  g  accélération  de  la  pesanteur,  h  altitude.  

(Unités  :  Pa  =  N/m2  =  (kg/m3).(m/s2).m)  

Principe  des  vases  communicants  

Pourquoi,  dans  le  dispositif  en  figure,  le  niveau  du  liquide  doit  nécessairement  être  le  même  si  le  liquide  est  à  l’équilibre  ?  On met en évidence que :

- La surface libre du liquide est toujours au même niveau et à la pression extérieure

- La pression hydrostatique à une profondeur donnée est la même pour tous les points du même

plan.

Si ce n’était pas le cas, la différence de pression entre deux points à la même profondeur

générerait une force qui mettrait le liquide en mouvement (du point de pression plus élevée vers

celui de pression plus faible).`

Le point clé est de réaliser que un liquide au repos est isotrope pour ce qui concerne la pression : en un point quelconque d'un fluide la

pression en ce point est identique dans toutes les directions.

La  pression  hydrostatique  dans  le  système  cardio-­‐vasculaire  

1) La  pression  ventriculaire  moyenne  (ou  la  pression  artérielle  mesurée  au  niveau  de  l’avant-­‐bras,  c’est  à  dire  pratiquement  au  niveau  du  cœur)    est  donc  de  100  mmHg.  Ceci  correspond  à  la  pression  hydrostatique  exercée  par  une  colonne  de  sang  de  quelle  hauteur  ?      Masse  volumique  du  sang:  1,05  kg/L.  

R : On peut simplifier les calculs en prenant 1 kg/L comme pour l’eau.

∆P = 100 mmHg = 13'300 Pa (vu avant)

h = ∆P/rho g = 13'300 Pa / (10ms-2 *1000 kg/m3 ) = 1.3 m (avec 1.05 on a 129)

Figure  3  :  Vases  communicantes  de  3B  scientific  

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2) En  supposant  que,  pour  un  homme  debout,  le  sommet  de  la  tête  se  situe  60  cm  au  dessus  du  cœur,  quelle  est  la  différence  de  la  pression  sanguine  artérielle  qu’on  peut  prévoir  entre  les  deux  parties  ?    

3) Même  question  entre  les  pieds  et  le  cœur,    en  supposant  une  distance  d’environ  100  cm.  

4) Comparer  aux  valeurs  des  pressions  artérielles  mesurées  et  indiquées  dans  la  figure  4.  

5) La  pression  ventriculaire  moyenne  (question  1)  peut-­‐elle  s’expliquer  comme  un  pur  effet  Hydrostatique  ?  Pourquoi  ?  Qui  fait  la  différence  ?  

cœur – tête :

h’ = 60 cm ∆P’ = rho g h’ = 1.05 103 10 0.4 = 4200 Pa = 47 mmHg

pieds – cœur :

h’’ = 100 cm ∆P’’ = rho g h’’ = 1.05 103 10 1 = 10500 Pa = 79 mmHg

(ce qui correspond à la figure du bouyssy : 100+79 = 179 , 100-47 = 53 )

La pression ventriculaire de 100 n’est donc pas seulement hydrostatique, ce n’est pas que le poids

du sang qui y contribue. La contraction cardiaque.

Question  :  que  devient  cette  pression  ?  

Comparons  le  schéma  précédent  avec  celui  d’un  homme  allongé  :  on  voit  bien    que  dans  ce  cas  les  différences  de  pression  associées  à  la  gravité  que  nous  venons  de  calculer  s’annulent,  et  en  particulier,  les  pressions  sont  les  mêmes  dans  les  pieds  et  dans  la  tête.    

Cependant  :  

Pourquoi  la  pression  artérielle  dans  les  pieds  et  dans  la  tête  est  plus  faible  qu’au  niveau  du  cœur  ?  

Et  surtout,  pourquoi  la  pression  veineuse  est  elle  tellement  plus  faible  que  la  pression  artérielle  ?  

Géométrie  du  système  circulatoire  

Le  sang  circule  dans  un  système  de  «  tuyaux  »  qui  a  une  géométrie  particulière  :  

                       

 

 

 

 

 

Ayons  une  vision  un  peu  plus  quantitative  de  la  géométrie  ce  système  hydraulique  :  on  trouve  en  particulier  les  données  suivantes  :  

-­‐ La  section  d’une  grosse  artère  (mais  aussi  de  l’aorte  ?)  :  sA  =  3  cm2          

-­‐ La  section  d’un  capillaire  :  sC  =  60  µm2     (Le  diamètre  d’un  capillaire  :  dC  =  9  µm)  

Figure  4  :  depuis  Bouyssy,  Davier  Gatty  

Figure  5  :  Depuis  Bouyssy,  Davier,  Gatty  

Figure  5  :  Depuis  http://biowiki.mbolduc1.profweb.ca/index.php?title=La_circulation_sanguine  

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-­‐ La  section  d’ensemble  de  tous  les  capillaires  :  sCtot  =  2400  cm2,    soit  près  de  3000  fois  supérieure  à  celle  

d’une  artère  !    1) Estimer  le  nombre  de  capillaires.  

 2400 cm2 / 60 µm2 = 4 109 : 4 milliards !

Conservation  du  débit  et  estimation  des  vitesses  du  sang  

1)  Conservation  du  débit  Q  Le  premier  principe  physique,  le  plus  important,  est  aussi  le  plus  simple  :  le  sang,  comme  la  plupart  des  liquides,  est  (presque)  incompressible  :  le  volume  d’une  quantité  donné  de  matière  ne  change  pas.  Par  conséquent…    1) Que  vaut  le  volume  ∆V  de  fluide  qui  traverse  une  section  de  surface  A  d’un  tuyau  en  un  lapse  de  temps  ∆t,  si  la  

vitesse  d’écoulement  est  v  (Figure  6)  ?    

∆V = Ad = Av∆t

2) Exprimer  alors  le  débit  Q  à  travers  la  surface  A,  c’est-­‐à-­‐dire  le  volume  de  fluide  qui  la  traverse  par  unité  de  temps.    

Q = ∆V/∆t = Av

3) On  considère  maintenant  un  tuyau  qui  change  de  section,  comme  en  figure  7.    Que  vaut  le  débit  Q1  à  travers  la  surface  A1  ?    Et  le  débit  Q2  à  travers  la  surface  A2  ?    Que  peut-­‐on  dire  de  la  relation  entre  ces  deux  grandeurs  pour  un  fluide  incompressible  ?  

 A1 v1 = A2 v2

4) Comment  faut  il  écrire  la  conservation  du  débit  en  correspondance  d’un  branchement  ?    Par  exemple,  en  figure  8,  que  vaut  la  vitesse  dans  les  trois  branches  1  2  et  3  si  toutes  les  sections  sont  égales  ?    Quelle  est  la  surface  qu’il  faut  prendre  en  compte  pour  ce  calcul  ?`  

5)  Stot1 v1 = Stot2 v2 soit ici : A v = 3A v’ => v’ = v/3

1)  Vitesse  du  sang  Le  résultat  précédent  permet  d’estimer  la  vitesse  du  sang  dans  les  différents  niveaux  de  branchement  du  système  circulatoire.  La  figure  9  montre  la  surface  de  la  section  totale  traversée  par  le  sang  à  chaque  niveau  de  branchement.    1) Ecrire  la  conservation  du  débit  entre  l’aorte  et  les  capillaires.  On  pourra  

appeler  vA  la  vitesse  du  sang  dans  l’aorte,  vC  celle  au  niveau  des  capillaires.  

Si on compare l’aorte à la partie des capillaires, les deux parties extrêmes, on peut écrire

SA vA = SC vC

2) Que  vaut  le  débit  Q  en  sortie  du  cœur  (comment  l’estimer)  ?  Que  vaut  alors  la  vitesse  du  sang  dans  l’aorte,  vA  ?    En  déduire  vc.  Comparer  avec  les  données  de  vitesse  des  figures  9  et  10.  

 

Figure  6  :  le  volume  qui  traverse  une  section  d'un  tuyau  en  un  temps  ∆t  si  la  vitesse  est  v.  Depuis  http://philschatz.com/physics-­‐book/contents/m42205.html  

 

Figure  7  :  Conservation  du  débit.  Depuis  http://philschatz.com/physics-­‐book/contents/m42205.html  

Figure  8  :  Conservation  du  débit  à  un  branchement.  

v  

Figure  9  :  Depuis  Campbell,  "Biology".  

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Il faut utiliser le débit cardiaque : Q = ∆Vexpulsé/∆tbattement = ∆V * 1/∆t

volume expulsé = ∆Vexpulsé = 80 cm3 fréquence cardiaque = 70 min-1 = 1/∆t Q = 80 cm3 * 70 min-1 = 5600 cm3/min = 5.6 L/min = 5.6 10-3 m3 / 60 sec = 0.93 10-4 m3/sec = 93 cm3/s

Va : Q = SA vA => vA = Q/ SA = 93 cm3/s / 3 cm3 ≈ 30 cm/s

rapide ! 30*3600 = 108000 cm/h = 1 km/h Vc : => vC = SA vA / SCtot = 3*30/2400 = 0.037 cm/s = 0.37 mm/s

lent : moins d’un mm/sec Ca colle assez bien notamment avec la figure 10.

Et  la  pression  ?  

Quoi  dire  maintenant  de  la  pression  ?  On  connaît  la  pression  en  sortie  du  cœur,  peut-­‐on  en  déduire  celle  au  niveau  des  capillaires  ?  

Théorème  de  Bernoulli  Une  loi  physique  qu’on  pourrait  penser  d’utiliser  est  le  théorème  de  Bernoulli,  valable  que  pour  un  fluide  parfait,  c’est  à  dire  en  l’absence  de  toute  dissipation  d’énergie  :    

P  +  ρ  g  h  +  ½  ρ  v2  =  cte     Théorème  de  Bernoulli  

où  P  est  la  pression,  ρ  la  masse  volumique,  h  l’altitude,  v  la  vitesse,  et  la  grandeur  indiquée  est  constante  lorsqu’on  se  déplace  le  long  d’une  «  ligne  de  courant»  qui  suit  le  mouvement  du  fluide.  

Ce  théorème  traduit  la  conservation  d’énergie  le  long  d’une  ligne  de  courant.  Il  n’est  vraiment  pas  intuitif  :  par  exemple,  il  nous  dit  que  pour  un  fluide  en  mouvement  (v  ≠  0),  la  pression  P  n’est  pas  égale  à  la  pression  hydrostatique  ρgh.  

Nous  n’allons  pas  le  discuter  en  détail,  mais  seulement  identifier  ses  limites.  

1) Considérons  un  homme  couché  :  alors  ρgh  =  cte  et  le  théorème  de  Bernoulli  devient  P  +  ½  ρ  v2  =  cte.  Si  le  théorème  s’appliquait  au  cas  de  la  circulation  sanguine,  comment  la  pression  devrait  évoluer  en  allant  des  artères  aux  capillaires  ?  

2) Comparer  avec  la  figure  9.  Cette  prévision  est-­‐elle  correcte  ?  3) Que  peut-­‐on  conclure  sur  la  conservation  de  l’énergie  dans  ce  cas  ?  Le  sang  

se  comporte-­‐t-­‐il  comme  un  fluide  parfait  ?  Dans un cas où la pression hydrostatique est toujours la même (une personne couchée) on aurait donc

P + ½ rho v2 = cte, ce qui veut dire par exemple que

Pc + ½ rho vc2 = Pa + ½ rho va2 :

la conservation de l’énergie nous dit que la pression dépend de la vitesse, et aussi que

plus la vitesse est grande, plus la pression est faible : juste le contraire de ce qu’on s’attendait ! Et de ce qu’on observe : voir fig 9. Ce que l’on voit est que le principe ne marche pas du tout : la pression diminue lorsque la vitesse diminue, en allant vers les capillaires.

Ceci veut dire tout simplement que l’énergie n’est pas conservée, il y a dissipation d’énergie due aux frottements, à la viscosité du sang, et ces effets sont loin d’être négligeables.

 Dans  le  TP  et  dans  le  prochain  cours-­‐TD,  nous  aborderons  la  question  du  comportement  d’un  liquide  visqueux,  ou  plus  précisément  nous  nous  demanderons  dans  quelles  conditions  la  viscosité  d’un  liquide  est  négligeable,  dans  quelles  conditions  elle  ne  l’est  pas  ?  Puis  reviendrons  vers  le  sang  pour  voir  si  les  propriétés  d’un  liquide  visqueux  permettent  de  comprendre  son  comportement  et  quelles  sont  les  limites  de  ce  modèle  physique.  

Figure  00  :  Depuis  Bouyssy  Davier  Gatty.