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FACTORIZACINFACTORIZACINFACTORIZACINFACTORIZACIN

Caso I: Factor Comn Ejemplos

Cmo Reconocer: Existe un factor comn en todos

los trminos. Los nmeros pueden factorizarse en este

caso si existe mximo comn divisor (MCD) entre

ellos.

Cmo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras

comunes con el menor exponente. Abrir parntesis y

dividir cada trmino entre el factor comn (restando

los exponentes).

ax+bx = x(a+b)

ax3-bx2 = x2(ax-b)

2b5-b3 = b3(2b2-1)

24ax+18bx = 6x(4a+3b)

24 18 2

12 9 2

6 9 2 MCD = 2 . 3 = 6

3 9 3

1 3 3

1

Caso I Especial 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y)

Cmo Reconocer: El factor comn es un conjunto

entre parntesis.

Cmo Factorizar: Tomar el parntesis comn y dividir cada trmino entre el comn

a(m-2)-m+2

a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1)

x(a-b)+a-b

x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1)

Caso II: Factor comn por agrupacin ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by) Cmo Reconocer: Son cuatro trminos, a veces son

seis u ocho trminos

Cmo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar cada grupo como el caso I y luego el resultado

factorizar como el caso I especial.

= x(a+b) - y(a+b)

= (a+b)(x-y)

ax2-x+ax-1 = (ax2-x)+(ax-1)

= x( ax-1) +(ax-1)

= (ax-1)(x+1) Caso III: Trinomio cuadrado perfecto a2+2ab+b2 = (a+b)2

Cmo Reconocer: Siempre son tres trminos.

El primero y el tercero siempre son positivos y tienen

raz cuadrada.

Cmo Factorizar: Sacar raz cuadrada del primero,

signo del segundo y raz cuadrada del tercero. Asociar

entre parntesis y elevar al cuadrado.

x2-2xy+y2 = (x-y)2

4x2-12xy+9y2 = (2x-3y)2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy

2

3632

52

2554

=+ y

xyxy

x ( ) 33 552

2 :prueba xyyx

=

Caso III Especial (a+1)2+2(a+1)(2a-3)+(2a-3)2

Cmo Reconocer: Son tres trminos con parntesis.

El primero y el tercero siempre son positivos y tienen

raz cuadrada.

Cmo Factorizar: Sacar raz cuadrada del primero,

signo del segundo y raz cuadrada del tercero. Asociar

entre corchetes y elevar al cuadrado.

[(a+1)+(2a-3)]2

[ a+1 + 2 a-3 ]2

[3a-2]2

Caso IV: Diferencia de cuadrados a2 b2 = (a b) (a + b)

Cmo Reconocer: Siempre son dos trminos que

tienen raz cuadrada, siempre es una resta

Cmo Factorizar: Abrir dos pares de parntesis: uno con menos (-) y el otro con ms (+). Sacar raz

cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo

en los dos parntesis.

4x2 9y2 = (2x + 3y) (2x 3y)

+

=

336

2 4

5

4

5

16

25 y

x

y

x

y

x

Caso IV Especial (a+b)2 c2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c]

Cmo Reconocer: Uno o los dos trminos son

conjuntos entre parntesis y que tienen raz cuadrada,

el signo afuera de los parentesis es menos (-)

Cmo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno

con menos [-] y el otro con ms [+]. Sacar raz

cuadrada de los dos trminos. Repetir lo mismo en los

dos corchetes. Eliminar parntesis y reducir trminos

semejantes.

49(x 1)2 9(3 x)2

[7(x-1) 3(3 x)] [7(x-1) + 3(3 x)]

[7x 7 9 + 3x] [7x 7 + 9 3x]

[10x 16] [4x + 2]

Combinacin Caso III y IV Ejemplos

Cmo Reconocer: Son cuatro trminos, tres de ellos

tienen raz cuadrada. A veces son seis trminos,

cuatro de los cuales tienen raz cuadrada.

Cmo Factorizar: Cuando son cuatro trminos

formar un trinomio cuadrado perfecto entre parntesis

y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por

el caso IV Especial

Cuando son seis trminos formar dos trinomios

cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el

resultado factorizar por el caso IV Especial

a2 +2ab + b2 c2 = (a2 +2ab + b2) c2

(a + b)2 c2

[(a +b) c] [(a +b) +c]

[a + b c] [a + b + c]

a2 - x2 2xy y2 = a2 (x2 + 2xy + y2)

= a2 (x+y)2

= [a (x+y)][a + (x+y)]

= [a x - y] [a + x + y]

a2 +2ab + b2- x2 + 2xy y2

(a2 +2ab + b2) - (x2 - 2xy + y2)

(a + b)2 (x y)2

[(a + b) (x y)][ (a + b) + (x y)]

[ a + b x + y ][ a + b + x y ]

CasoV: Trinomio cuadrado por

Adicin y Sustraccin x4 + x2y2 + y4 =(x2 + y2)2 x2y2

Cmo Reconocer: Siempre son tres trminos. El

primero y tercero siempre son positivos, tienen raz

cuadrada y sus exponentes son mltiplos de cuatro

(4, 8, 12, etc)

Cmo Factorizar: Resolver como caso III y restar lo

que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. El

resultado factorizar como el caso IV Especial.

+ x2y2 =[(x2 + y2) xy] [(x2 + y2) + xy]

+2x2y2 =[ x2 + y2 xy] [ x2 + y2 + xy]

=[ x2 xy + y2 ] [ x2 + xy + y2 ]

25x4 + 21x2y2 + 9y4 =(5x2 + 3y2)2 9x2y2

+ 9x2y2 =[(5x2 + 3y2) 3xy] [(5x2 + 3y2) + 3xy]

+ 30x2y2 =[ 5x2 + 3y2 3xy] [ 5x2 + 3y2 + 3xy]

=[ 5x2 3xy + 3y2 ] [ 5x2 + 3xy + 3y2 ]

Caso V Especial x4 + 4y4

Cmo Reconocer: Siempre son dos trminos

positivos que tienen raz cuadrada y cuyos exponentes

son mltiplos de cuatro (4, 8 12, etc)

Cmo Factorizar: Sacar raz cuadrada a ambos

trminos, asociar entre parntesis y elevar al

cuadrado, restar el doble del primero por el segundo y

el resultado factorizar por el caso IV Especial

(x2 + 2y2)2 4x2y2

[(x2 + 2y2) 2xy] [ (x2 + 2y2) + 2xy]

[ x2 + 2y2 2xy] [ x2 + 2y2 + 2xy]

[ x2 2xy + 2y2 ] [ x2 + 2xy + 2y2]

64x4 + y8

(8x2 + y4)2 16x2y4

[(8x2 + y4) 4xy2] [(8x2 + y4) + 4xy2]

[ 8x2 + y4 4xy2] [ 8x2 + y4 + 4xy2]

[ 8x2 4xy2 + y4 ] [ 8x2 + 4xy2+ y4 ]

Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c

x2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2)

Cmo Reconocer: Tiene la forma x2 + bx + c

Cmo Factorizar: Abrir dos pares de parntesis,

colocar la raz cuadrada del primero en cada

parntesis; en el primer parntesis poner el signo del

segundo trmino y en el segundo parntesis poner la

multiplicacin de los signos de segundo y tercer

trmino.

Si los signos de los parntesis son iguales, buscar dos

nmeros que sumados den el segundo y multiplicado

den el tercer trmino.

Si los signos de los parntesis son opuestos, buscar

dos nmeros que restados den el segundo y

multiplicados den el tercer trmino. El nmero mayor

se anota en el primer parntesis.

x2 7x + 6 = (x - 6)(x - 1)

x2 3x 10 = (x 5)(x + 2)

x2 + x 20 = (x + 5)(x - 4)

Caso VI Especial

x4y6 2x2y3 15 = (x2y3 - 5)(x2y3 + 3)

x2 + 7ax + 12a2 = (x + 4a)(x + 3a)

(5x)2 + 4(5x) 12 = (5x + 6)(5x -2)

- x2 + 3x + 28 = -(x2 3x 28)

-(x - 7)(x + 4)

(7 x)(x + 4)

Caso VII: Trinomio de la Forma ax2 + bx + c Ejemplos

Cmo Reconocer: Tiene la forma ax2 + bx + c

Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer trmino en dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus

resultados, si la suma da el segundo trmino, entonces

poner cada fila entre parntesis.

10 x2 9 x + 2 = (5x 2) (2x 1) 5x -2 = -4x

2x -1 = -5x .

-9x

6

Otro Mtodo: Abrir dos pares de parntesis. Colocar el

coeficiente del primer trmino en cada parntesis y en el

denominador. Multiplicar el primer trmino con el tercero

y proseguir como el caso VI, luego simplificar el

denominador con los coeficientes de un parntesis, si

sobra algo en el denominador usarlo para simplificar con

el otro parntesis.

3x2 +5 x + 2

( )( )2333

2333

1

11

++=/

+

/+/

xx

xx

6x2 7x 3

( )( )13326

2696

12

1332

+=/

/+/

//

/

xx

xx

Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio a3 + 3 a2 b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Cmo Reconocer: Siempre son 4 trminos, todos

positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuarto

trmino tienen raz cbica.

Cmo Factorizar: Sacar raz cbica del primero, poner

signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si

son intercalados, sacar raz cbica del cuarto trmino,

asociar entre parntesis y elevar al cubo.

X3 3 x2y + 3xy2 y3 = (x - y)3

8 + 12 a2 + 6 a4 + a6 = (2 + a2)3

prueba

3(2)2(a2) = 12a2

3(2)(a2)2 = 6a4

125 a3 150 a2b + 60 ab2 8b3 = (5a 2b)3

prueba

3(5a)2(2b) = 150a2b3(5a)(2b)2 = 60ab2

Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos x3 + y3 = (x + y)(x2 xy + y2)

Cmo Reconocer: Siempre son dos trminos sumados o

restados que tienen raz cbica

Cmo Factorizar: Cuando es una suma (x

3 + y

3): Abrir dos pares de

parntesis, en el primer parntesis sacar raz cbica del

primero ms (+) raz cbica del segundo, en el segundo

parntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero

por el segundo ms (+) el segundo al cuadrado.

Cuando es una resta (x3 - y

3): Abrir dos pares de

parntesis, en el primer parntesis sacar raz cbica del

primero menos (-) raz cbica del segundo, en el segundo

parntesis: el primero al cuadrado ms (+) el primero por

el segundo ms (+) el segundo al cuadrado.

a3 - b3 = (a b)(a2 + ab + b2)

8x3 125 = (2x 5)[(2x)2 + (2x)(5) + (5)2]

= (2x - 5)(4x2 + 10x + 25)

Caso IX Especial

x3 + (x - 1)3 = [x + (x - 1)][x2 x(x-1) + (x-1)2]

= (x + x - 1)(x2 x2 +x + x2 2x + 1)

=(2x - 1)(x2 x +1)

(5x - 1)3 (2x + 3)3

=[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1)2 + (5x - 1)(2x + 3) +(2x + 3)2]

=[5x -1 - 2x -3][25x2 10x+1+10x2+15x 2x 3+4x2+12x+9]

=(3x - 4)(39x2 + 15x + 7)

Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales x5 + y5 = (x + y)(x4 x3y + x2y2 xy3 + y4)

Cmo Reconocer: Siempre son dos trminos sumados o

restados que tienen raz quinta, sptima u otra raz impar.

Cmo Factorizar: Abrir dos pares de parntesis, en el

primer parntesis sacar raz de ambos trminos y en el

segundo parntesis poner un polinomio donde el primer

trmino vaya decreciendo y el segundo trmino vaya

creciendo.

Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y

si es una resta, el polinomio es de signos positivos.

a7 b7=(a - b)(a6+a5b+a4b2+a3b3+a2b4+ab5+b6)

x5 1 = (x - 1)(x4 + x3 + x2 + x + 1)

1 + x7 =(1 + x)(1 x + x2 x3 + x4 x5 + x6)

x5 32 =(x - 2)(x4 + x3.2 + x2.22 + x.23 + 24)

=(x 2)(x4 + 2x3 + 4x2+ 8x+ 16)

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