CQP 208 - Chapitre 2 Dérivée des fonctions algébriques

CQP 208Chapitre 2

Dérivée des fonctions algébriques

Olivier Godin

Université de Sherbrooke

22 octobre 2015

Limite et continuité 1 / 103

Plan du chapitre

1 Taux de variation moyen

2 Taux de variation instantané

3 Dérivée en un point et fonction dérivée

4 Dérivée et continuité

5 Premières formules de dérivation


Plan du chapitre

6 Interprétation géométrique du signe de la dérivée

7 Dérivée d’ordre supérieur

8 Dérivation des fonctions composées

9 Dérivation implicite

10 Références


Taux de variation moyen

Taux de variation moyen

1 Taux de variation moyenVariation d’une fonctionDroite sécante et taux de variation moyen





Taux de variation moyen Variation d’une fonction

Variation d’une fonction








La notion de limite introduite au chapitre précédent s’est avérée un excellent moyen pourmieux comprendre le concept de fonction. Par exemple, elle nous a permis d’identifier lesasymptotes présentes dans le graphique d’une fonction de même que de formaliser ladéfinition de la continuité d’une fonction. Dans le présent chapitre, nous allons introduireune autre notion relative aux fonctions qui mettra, une fois de plus, à contribution leconcept de limite. Il s’agit de la notion de dérivée d’une fonction.

La dérivée est un outil mathématique visant à mesurer la variation d’une fonction,c’est-à-dire de déterminer le changement de la valeur de la variable dépendante suite à lamodification de la valeur de la variable indépendante.




La variation d’une fonction continue f (x) sur l’intervalle [a,b], notée ∆f , est ladifférence entre la valeur de la fonction à la fin de l’intervalle et la valeur de la fonction audébut de l’intervalle. C’est donc dire que

∆f = f (b)− f (a).

La variation de la variable indépendante x sur l’intervalle [a,b], notée ∆x , est lalongueur de l’intervalle. C’est donc dire que

∆x = b − a.








Taux de variation moyen Droite sécante et taux de variation moyen

Droite sécante et taux de variation moyen








Une droite sécante est une droite qui coupe une courbe en un ou plusieurs points.

Le taux de variation moyen d’une fonction f sur un intervalle [a,b] où a < b est défini par

∆f∆x

=f (b)− f (a)

b − a.

Le taux de variation moyen d’une fonction f sur un intervalle [a,b] correspond à la pentede la sécante à la courbe de f (x) passant par le points (a, f (a)) et (b, f (b)).







Partant du principe que ∆x = b − a, on a que b = a + ∆x . On peut donc reformuler ladéfinition du taux de variation moyen :

∆f∆x

=f (b)− f (a)

b − a

=f (a + ∆x)− f (a)

∆x








Taux de variation instantané

Taux de variation instantané


2 Taux de variation instantanéDroite tangente et taux de variation instantanéÉquation de la droite tangenteÉquation de la droite normaleAutres applications du taux de variation instantané




Taux de variation instantané Droite tangente et taux de variation instantané

Droite tangente et taux de variation instantané








La tangente à la courbe C en un point P de la courbe est l’unique droite dont la positioncorrespond à la limite des sécantes passant par P et Qi lorsque Qi s’approche de P parla gauche et des sécances passant par P et Ri lorsque Ri s’approche de P par la droite.




Nous pouvons déterminer la pente de la tangente à la fonction f en un point (a, f (a)) encalculant successivement la pente des sécantes à la courbe passant par P et Qi lorsqueQi tend vers P par la gauche et des sécances passant par P et Ri lorsque Ri tend vers Ppar la droite.

Autrement dit, la pente de la tangente est donnée par

lim∆x→0

f (a + ∆x)− f (a)

∆x.

On appelle cette valeur le taux de variation instantané.





Taux de variation instantané Équation de la droite tangente

Équation de la droite tangente






Taux de variation instantané Équation de la droite tangente

Équation de la droite tangente

L’équation de la droite tangente à la courbe décrite par la fonction f (x) au point (a, f (a))est donnée par y = m(x − a) + f (a), où

m = lim∆x→0

f (a + ∆x)− f (a)

∆x,

si cette limite existe.


Taux de variation instantané Équation de la droite normale

Équation de la droite normale








La droite normale à la courbe décrite par une fonction f (x) en un point (a, f (a)) est ladroite perpendiculaire à la droite tangente à la courbe f (x) en ce point. Son équation estdonnée par y = − 1

m (x − a) + f (a), où

m = lim∆x→0

f (a + ∆x)− f (a)

∆x,

si cette limite existe et est différente de 0.





Taux de variation instantané Autres applications du taux de variation instantané

Autres applications du taux de variation instantané












Dérivée en un point et fonction dérivée

Dérivée en un point et fonction dérivée



3 Dérivée en un point et fonction dérivéeDérivée d’une fonction en un pointFonction dérivée



Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d’une fonction en un point

Dérivée d’une fonction en un point






Dérivée en un point et fonction dérivée Dérivée d’une fonction en un point

Dérivée d’une fonction en un point

La dérivée d’une fonction en un point correspond au taux de variation instantanné decette fonction en ce point. Ainsi, la dérivée d’une fonction f au point (a, f (a)), notée f ′(a)

oudfdx

∣∣∣∣x=a

, peut être définie de la façon suivante :

f ′(a) =dfdx

∣∣∣∣x=a

= lim∆x→0

f (a + ∆x)− f (a)

∆x,

lorsque la limite existe.

Lorsque f ′(a) existe, nous dison que f est une fonction dérivable en x = a et f ′(a) estégale à la pente de la tangente à la courbe de f au point (a, f (a)).


Dérivée en un point et fonction dérivée Fonction dérivée

Fonction dérivée







Fonction dérivée

Selon la fonction, le calcul de la dérivée en plusieurs points suppose la répétition ducalcul de limites similaires, ce qui peut être long et fastidieux. Pour cette raison, il estpossible de trouver une fonction qui nous donne la dérivée de la fonction de départ en toutpoint. C’est ce que nous appellerons la fonction dérivée, ou plus simplement la dérivée.

Soit une fonction y = f (x). La fonction dérivée de f (x), notée f ′(x),dfdx

,dydx

ou

simplement y ′, est donnée par

f ′(x) =dfdx

=dydx

= y ′ = lim∆x→0

f (x + ∆x)− f (x)

∆x.



Fonction dérivée

Attention ! Il ne faut pas voirdydx

comme un quotient. Il faut plutôt considérerddx

commeun opérateur qui indique qu’il faut dériver la fonction par rapport à x .




Dérivée et continuité









Dans cette section, nous verrons les liens qui existent entre les notions de domaine, decontinuité et de dérivabilité d’une fonction. Nous avons vu qu’une fonction est dérivableen x = a si et seulement si la limite suivante existe :

lim∆x→0

f (a + ∆x)− f (a)

∆x.

La relation entre la dérivabilité et la continuité d’une fonction en x = a est donnée par lethéorème suivant :




Le théorème précédent nous permet de comprendre que la dérivabilité d’une fonctionimplique sa continuité :

dérivabilité =⇒ continuité

Par contre, une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable :

continuité 6=⇒ dérivabilité

Par ailleurs, par la contraposée de ce théorème, on a que si une fonction n’est pascontinue, alors elle n’est pas dérivable :

non continuité =⇒ non dérivabilité








Premières formules de dérivation


5 Premières formules de dérivationDérivée d’une fonction constanteDérivée de la fonction identitéDérivée du produit d’une constante par une fonctionDérivée de la somme ou de la différence de deux fonctionsDérivée du produit de deux fonctionsDérivée du quotient de deux fonctionsDérivée de la fonction puissance




Nous avons utilisé la définition de la dérivée pour calculer les dérivées de fonctionsdéfinies par des formules. Cette notion étant aquise, nous verrons maintenant quelquesrègles qui nous permettront de trouver les dérivées sans avoir à toujours utiliser ladéfinition.

Cependant, il sera nécessaire de démontrer la plupart de ces règles. Pour y arriver, ilfaudra faire appel à la définition de la dérivée.


Premières formules de dérivation Dérivée d’une fonction constante

Dérivée d’une fonction constante



Premières formules de dérivation Dérivée d’une fonction constante

Dérivée d’une fonction constante


Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction identité

Dérivée de la fonction identité



Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction identité

Dérivée de la fonction identité


Premières formules de dérivation Dérivée du produit d’une constante par une fonction

Dérivée du produit d’une constante par une fonction









Premières formules de dérivation Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions

Dérivée de la somme ou de la différence de deux fonctions








Les formules 3, 4 et 5 peuvent être regroupées en une seule appelée propriété delinéarité :

ddx

(au ± bv) = adudx± b

dvdx


Premières formules de dérivation Dérivée du produit de deux fonctions

Dérivée du produit de deux fonctions











Attention ! Il ne faut pas commettre l’erreur suivante : la dérivée du produit de deuxfonctions n’est pas égale au produit des dérivées des deux fonctions. C’est donc dire que

ddx

(uv) 6=(

dudx

)(dvdx

).


Premières formules de dérivation Dérivée du quotient de deux fonctions

Dérivée du quotient de deux fonctions








Attention ! Comme pour la dérivée d’une produit, il faut se rappeler que la dérivée duquotient de deux fonctions n’est pas égale au quotient des dérivées des deux fonctions.C’est donc dire que

ddx

(uv

)6=

dudxdvdx

.


Premières formules de dérivation Dérivée de la fonction puissance

Dérivée de la fonction puissance












Interprétation géométrique du signe de la dérivée

Interprétation géométrique du signe de la dérivée

6 Interprétation géométrique du signe de la dérivéeRelation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivéeInterprétation du signe de la dérivéeTableau des signes d’une fonction




10 Références


Interprétation géométrique du signe de la dérivée Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée

Relation entre le graphique d’une fonction et celui de sa dérivée





10 Références




Nous savons que la valeur de la dérivée d’une fonction f (x) au point (a, f (a)) correspondà la pente de la droite tangente à f (x) à ce même point. Pouvons-nous tirer davantaged’information du calcul de la dérivée ?




La dérivée de f (x) étant elle même une fonction, on peut en tracer le graphique :

Plutôt que d’évaluer la valeur de la dérivée à certains points de la fonction, essayons dedégager certaines informations plus générales.





Interprétation géométrique du signe de la dérivée Interprétation du signe de la dérivée

Interprétation du signe de la dérivée





10 Références




Nous allons maintenant formellement relier la croissance et la décroissance d’unefonction au signe de sa dérivée. Cette relation est exprimée dans le théorème suivant,que nous accepterons sans démonstration.

Soit f , une fonction continue sur [a,b] telle que f ′ existe sur ]a,b[. On a que

si f ′(x) > 0 sur ]a,b[, alors f est croissante sur [a,b] ;

si f ′(x) < 0 sur ]a,b[, alors f est décroissante sur [a,b] ;

De plus, si c ∈ Domf , nous dirons que c est un nombre critique de f si f ′(c) = 0 ou sif ′(c) n’existe pas.

En particulier, on appellera le point (c, f (c)) point stationnaire de f si f ′(c) = 0.














Interprétation géométrique du signe de la dérivée Tableau des signes d’une fonction

Tableau des signes d’une fonction





10 Références




Puisque nous souhaitons faire l’étude du signe de la dérivée, nous introduisons ici unoutil indispensable : le tableau des signes d’une fonction.




Considérons la fonction

P(x) = 2x2 − 5x − 3

= 2(x +12

)(x − 3)

On lui associe le tableau des signes suivant :




Une fois rempli, on obtient le tableau

La fonction P(x) est donc

positive sur l’intervalle]−∞,−1

2

[∪ ]3,∞[

négative sur l’intervalle]−1

2 ,3[

nulle en x = −12 et x = 3.





Dérivée d’ordre supérieur






10 Références




Nous avons vu que, lorsque nous dérivons une fonction, le résultat est également unefonction qui peut, à son tour, être dérivée. C’est ce que nous nommons la dérivéeseconde, qui est notée

d2fdx2 = f ′′(x) = f (2)(x).

Évidemment, rien n’empêche de dériver à nouveau la dérivée seconde pour obtenir ladérivée troisième :

d3fdx3 = f ′′′(x) = f (3)(x).

On peut continuer ainsi tant et aussi longtemps qu’il est possible de le faire. On définitdonc la dérivée d’ordre n, où n ∈ N :

dnfdxn = f (n)(x).




Si le signe de la dérivée première nous renseigne sur la croissance et la décroissanced’une fonction f (x), le signe de la dérivée seconde nous renseigne sur la croissance oula décroissance de la fonction f ′(x). Quelle interprétation pouvons-nous donner à cela ?








Dérivation des fonctions composées

Dérivation des fonctions composées



8 Dérivation des fonctions composéesDérivée de la puissance d’une fonctionDérivée d’une fonction composée


10 Références


Dérivation des fonctions composées Dérivée de la puissance d’une fonction

Dérivée de la puissance d’une fonction





10 Références




Souvenons-nous du théorème 2.8, où il était question d’une règle pour la dérivation d’unepuissance de x :

Dans cette section, on souhaite généraliser ce résultat pour des puissances d’unefonction, c’est-à-dire des fonctions de la forme

y = (u(x))n .




Considérons la fonction f (x) = (3x + 1)2. Si on souhaite évaluer f ′(x), on commence pardévelopper l’expression initiale pour obtenir

f (x) = (3x + 1)2 = 9x2 + 6x + 1,

puis on trouve que

f ′(x) = 9(2x) + 6(1) + 0 = 18x + 6 = 6(3x + 1).

Or, si on avait bêtement appliqué le théorème 2.8, on aurait pu croire que

f ′(x) = 2(3x + 1)2−1 = 2(3x + 1) 6= 6(3x + 1).

On a donc la preuve que le théorème initial ne s’applique pas aux puissances defonctions. Il faudra donc trouver un résultat équivalent à celui-ci, mais qui fonctionneavec les puissances de fonctions.














Dérivation des fonctions composées Dérivée d’une fonction composée

Dérivée d’une fonction composée





10 Références




Supposons qu’on vous demande de dériver la fonction F (x) =√

x2 + 1. On peutconstater que F est une fonction composée. Si on pose

y = f (u) =√

u et u = g(x) = x2 + 1,

alors on peut écrire y = F (x) = f (g(x)) = f ◦ g.

Sachant comment dériver f et g, on aurait intérêt à établir une régle de dérivation pourla composition des fonctions f et g.

C’est ce que propose de faire la règle de dérivation en chaîne. Il s’agit de l’un des plusimportants théorèmes en calcul différentiel.





Dérivation implicite






10 Références




Jusqu’à présent, nous avons travaillé avec des courbes qui étaient données par deséquations explicites de la forme y = f (x), où la variable dépendante est expriméedirectement par rapport à la variable indépendante.

Par contre, certaines courbes ne peuvent pas être exprimées par une telle équation. C’estpar exemple le cas d’un cercle de rayon r dont l’équation est x2 + y2 = r2. Il est alorsquestion d’équation implicite, où aucune variable n’est exprimée en fonction de l’autre.

Nous dirons qu’une courbe dans le plan xy est donnée implicitement si son équation estde la forme f (x , y) = 0.




Bien qu’il soit toujours assez simple de convertir une équation explicite en équationimplicite, il n’est pas toujours possible de faire le contraire, c’est-à-dire de convertir uneéquation implicite en équivalent explicite.

Pour réussir à déterminerdydx

à partir d’une équation implicite, nous devons

1 dériver chaque membre de l’équation par rapport à x , en considérant y commeune fonction dérivable par rapport à x ;

2 regrouper tous les termes contenantdydx

du même côté de l’égalité ;

3 isolerdydx

en faisant une mise en évidence, puis une division.








Références

Références





10 Références


Références

Réseau de concepts


Références

Références

Éric Brunelle and Marc-André Désautels.Calcul différentiel.Les Éditions CEC inc., 2011.

Gilles Charron and Pierre Parent.Calcul différentiel, 6e édition.Groupe Beauchemin - Chenelière Éducation, 2007.

Josée Hamel and Luc Amyotte.Calcul différentiel, 2e édition.Éditions du renouveau pédagogique, 2014.

Stéphane Beauregard and Chantal Trudel.Calcul différentiel.Groupe Modulo, 2013.


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